Tổng và tích trực tiếp các môđun nội xạ

itd (Định lí 2.2.9) Soc  I  Q   có hai phân tích đẳng cấu với Khi Ei  Fj , theo Định lí 2.2.8 ta Qi  D j với tồn song ánh Định lí 2.2.9, ta có  Q   Qi   D j , i 1 jJ1 v     I Q    Dj   Dj jJ1 jJ J1 Do Q đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun nội xạ I  Q  thân nội xạ Điều chứng tỏ tổng trực tiếp đếm Qi thoả mãn điều kiện (c) Định lí 2.2.1, nên RR Noether  §2.3 TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ Như đề cập đến phần mở đầu, vấn đề mà luận văn hướng đến t m hiểu xem tích trực tiếp mơđun nội xạ có nội xạ hay khơng Vấn đề làm sáng tỏ thông qua định lí sau: 2.3.1 Định lí ([3], Định lí 5.3.4) Nếu Q   Qi Khi ta có: I Q môđun nội xạ  Qi nội xạ, i  I Nghĩa là, tích trực tiếp môđun nội xạ môđun thành viên nội xạ 24 Chứng minh    Giả sử g : A  B đơn cấu, f : A  Qi đồng cấu với i  I Gọi i : Qi  Q phép nhúng tắc, i f : A  Q đồng cấu Do Q nội xạ nên tồn đồng cấu k : B  Q cho kg  i f , nghĩa biểu đồ sau giao hoán g A f B h Qi i k Q Xét đồng cấu h   i k ,  i : Q  Qi phép chiếu tắc Khi đó, ta có: hg   i k  g   i  kg    i  i f   1Q f  f i Điều chứng tỏ Qi nội xạ   Giả sử Q i nội xạ với i  I Xét biểu đồ giao hoán sau g A B f Q i hi Qi g đơn cấu, f đồng cấu,  i phép chiếu tắc, với hi đồng cấu có Qi nội xạ  i f  hi g Khi đó, theo Định lí 1.1.2, th tồn đồng cấu h : B  Q cho  i h  hi Cụ thể với b  B : h  b i   hi  b   , i  I 25 Mặt khác, a  A ta có: f  a i   i  f  a     i f  a   hi g  a    i  hg  a    hg  a i , i  I  f  a   hg  a  , a  A  f  hg Do đó, Q nội xạ  2.3.2 Hệ Mọi hạng tử trực tiếp môđun nội xạ nội xạ Chứng minh Giả sử Q nội xạ Q  Q1  Q2 Tương tự phần chứng minh    Định lí 2.3.1, ta suy Qi  i  1,2  nội xạ  26 KẾT LUẬN Luận văn đề cập, t m hiểu tr nh bày vấn đề sau: Khảo sát, hệ thống khái niệm tích trực tiếp, tổng trực tiếp môđun, khái niệm môđun cốt yếu trình bày số tính chất chúng như: Tính chất phổ dụng tích tổng trực tiếp mơđun (Định lí 1.1.2, 1.1.5 chương I); tích trực tiếp, tổng trực tiếp họ đồng cấu đồng cấu (Mệnh đề 1.1.3, 1.1.6 chương I); điều kiện để môđun môđun cốt yếu (Bổ đề 1.2.5 chương I), tổng trực tiếp môđun cốt yếu cốt yếu (Hệ 1.2.6 chương I) Khảo sát khái niệm môđun nội xạ tr nh bày chi tiết tính chất đặc trưng mơđun nội xạ (Định lí 2.1.2 chương II), mơđun đẳng cấu với môđun nội xạ nội xạ (Hệ 2.1.3 chương II) Trình bày chứng minh tích trực tiếp môđun nội xạ nội xạ (Định lí 2.3.1 chương II), hạng tử trực tiếp môđun nội xạ nội xạ (Hệ 2.3.2 chương II), môđun nội xạ vành Noether tổng trực tiếp mơđun khơng phân tích (Định lí 2.2.10 chương II) 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO A TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Ngô Sỹ T ng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS – môđun, Luận án P.TS Toán lý, Đại học Vinh B TIẾNG ANH [3] F Kasch (1982), Modules and Ring, Academic Press, London - New York ... trực tiếp mơđun nội xạ nội xạ (Định lí 2.3.1 chương II), hạng tử trực tiếp môđun nội xạ nội xạ (Hệ 2.3.2 chương II), môđun nội xạ vành Noether tổng trực tiếp môđun khơng phân tích (Định lí 2.2.10... tích trực tiếp, tổng trực tiếp môđun, khái niệm môđun cốt yếu trình bày số tính chất chúng như: Tính chất phổ dụng tích tổng trực tiếp mơđun (Định lí 1.1.2, 1.1.5 chương I); tích trực tiếp, tổng. .. mơđun nội xạ tr nh bày chi tiết tính chất đặc trưng mơđun nội xạ (Định lí 2.1.2 chương II), môđun đẳng cấu với môđun nội xạ nội xạ (Hệ 2.1.3 chương II) Trình bày chứng minh tích trực tiếp mơđun nội