Tổng và tích trực tiếp các môđun nội xạ

Những lớp môđun có thể phân tích thành tổng hay tích trực tiếp và các lớp môđun không phântích được đang được nhiều tác giả nghiên cứu quan tâm.. Khái niệm môđun nội xạ đã được giới thiệ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÂM ANH TUẤN

TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÂM ANH TUẤN

TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN - 2014

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Tổng và tích trực tiếp các môđun 4

§1.2 Môđun con cốt yếu – tính chất 11

Chương II: TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ §2.1 Môđun nội xạ 15

§2.2 Định lí Papp and Bass về tổng trực tiếp các môđun nội xạ 19

§2.3 Tích trực tiếp các môđun nội xạ 23

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

MỞ ĐẦU

Môđun là một khái niệm cơ bản của Đại số hiện đại Một trong nhữnghướng nghiên cứu môđun là phân tích thành những môđun đơn giản hơn theotổng hay tích trực tiếp Một hướng khác, xây dựng những lớp môđun mới từnhững lớp môđun đã cho nhờ các phương pháp mở rộng Những lớp môđun

có thể phân tích thành tổng hay tích trực tiếp và các lớp môđun không phântích được đang được nhiều tác giả nghiên cứu quan tâm

Trong lý thuyết môđun, cùng với lớp môđun xạ ảnh thì lớp môđun nội

xạ là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọng góp phần hìnhthành hai trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết này Khái niệm môđun nội xạ đã

được giới thiệu trong [3]: Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu

:

f A→Q và với mỗi đơn cấu :g A→B của những R – môđun, tồn tại một

đồng cấu :h B→Q sao cho hg = f , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

Như vậy, khái niệm môđun nội xạ được xây dựng từ những môđun đãcho thông qua các đồng cấu môđun Một cách tự nhiên, có thể đặt ra các câuhỏi: Tổng trực tiếp (hay tích trực tiếp) của các môđun nội xạ có nội xạ haykhông? Với những điều kiện nào thì xảy ra sự phân tích thành tổng trực tiếp?Những môđun không phân tích được có tính chất gì? Đây là những vấn đềchính mà luận văn hướng đến

Dựa vào tài liệu chính [3] luận văn tìm hiểu về sự phân tích thành tổngtrực tiếp và tích trực tiếp các môđun nội xạ Ngoài phần mở đầu và kết luận,luận văn được chia thành hai chương:

Chương I là phần kiến thức chuẩn bị, trình bày hệ thống các khái niệm

về tích trực tiếp, tổng trực tiếp các môđun, môđun con cốt yếu, trình bàychứng minh một số tính chất cơ bản của chúng thông qua các định lí và bổ đề

Chương II là phần nội dung chính của luận văn, trình bày khái quát vềkhái niệm, tính chất cơ bản của môđun nội xạ Tìm hiểu và chứng minh chitiết thêm về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđunnội xạ

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự gợi ý vàhướng dẫn nhiệt tình của Thầy PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, đồng thời tác giả cũng xin trân trọng cảm ơnThầy PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, Cô GVC.TS.Nguyễn Thị Hồng Loan, Cô GV.TS Đào Thị Thanh Hà cùng quý thầy côtrong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khoa Toán, Phòng Sau Đại họccủa Trường Đại học Vinh, Phòng QLKH&SĐH của Trường Đại học ĐồngTháp, các bạn học viên Cao học Toán khoá 20 đã hỗ trợ, giúp đỡ và tạo điềukiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn này

Nghệ An, tháng 9 năm 2014

LÂM ANH TUẤN

Chương I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, vành luôn được hiểu là vành có đơn vị ký hiệu

là 1 và các môđun là môđun phải unita

Chương này trình bày hệ thống các khái niệm về tích trực tiếp, tổngtrực tiếp các môđun, môđun con cốt yếu, một số tính chất cơ bản của chúngthông qua các định lí và bổ đề Các khái niệm, tính chất được trình bày lấy từtài liệu [3]

là một R – môđun, gọi là tích trực tiếp của họ ( A i I i| ∈ )

Giả sử B là R – môđun cùng với các đồng cấu βj:B→ A j Khi đó tồn

tại đồng cấu duy nhất : i

I

β →∏ sao cho các biểu đồ sau giao hoán

x B∈ ∀ ∈i I Khi đó β là một đồng cấu môđun.

Suy ra β'( )x =(βi( )x ) =β( )x , ∀ ∈x B Cho nên 'β =β 

1.1.3 Mệnh đề Giả sử ( f A i: i →B i I i | ∈ ) là một họ đồng cấu môđun Khi

Chứng minh Với mọi ( ) ( )i , i i

được gọi là tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ ( A i I i | ∈ ) vàđược kí hiệu bởi ⊕I A i.

B

⊕

cho bởi f a( ) ( )i =( f a i( )i ) là một đồng cấu được kí hiệu bởi ⊕I f i và được gọi

là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( f i I i| ∈ )

Chứng minh Tương tự phần chứng minh của Mệnh đề 1.1.3 

1.1.7 Định nghĩa (Tổng trực tiếp trong).

Môđun A R được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con

( A i I i | ∈ ) nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

Môđun A R là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con ( A i I i| ∈ )

nếu và chỉ nếu mỗi phần tử a A∈ biểu diễn duy nhất dưới dạng:

trong đó a i∈A i , bằng 0 với hầu hết i I∈ .

Chứng minh ( )⇒ Do điều kiện 1) của Định nghĩa 1.1.7, nên có mộttập hữu hạn I'⊂I sao cho phần tử a viết được dưới dạng ' i

( )⇐ Ngược lại, giả sử mỗi phần tử a A∈ có sự biểu diễn duy nhất

Từ Bổ đề 1.1.8, ta suy ra các hệ quả sau

1.1.9 Hệ quả Giả sử A là tổng của những môđun con A Khi đó A là tổng i

trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ

1 2 0,

a +a + +a = a ∈A suy ra a i j =0, 1≤ ≤j n .

1.1.10 Hệ quả Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con

( A i I i | ∈ ) nếu và chỉ nếu ánh xạ

( )

:

i I

Từ Hệ quả 1.1.10, nên ta thường dùng thuật ngữ tổng trực tiếp thay cho

cả tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài, cùng với kí hiệu ⊕I A i Sự phân

biệt tổng trực tiếp trong hay tổng trực tiếp ngoài được hiểu theo từng tìnhhuống cụ thể.

1.1.12 Định nghĩa Đơn cấu : Aα →B của các R – môđun được gọi là chẻ

ra nếu Im( )α là hạng tử trực tiếp trong B Toàn cấu : Bβ →C được gọi là

chẻ ra nếu Ker( )β là hạng tử trực tiếp trong B

1.1.14 Định nghĩa Dãy khớp ngắn

0→ A α→ → B β C →0 (*)

được gọi là chẻ ra nếu Im( )α =Ker( )β là hạng tử trực tiếp của B.

1.1.15 Mệnh đề Đối với dãy khớp ngắn (*), các phát biểu sau là tương

đương:

(a) Dãy khớp ngắn (*) chẻ ra.

(b) α là đơn cấu chẻ ra.

(c) β là toàn cấu chẻ ra.

Khi đó B=Im( )α ⊕Im( )γ ; A C⊕ , trong đó : Cγ →B là nghịch đảo phải của β.

Chứng minh Được suy ra trực tiếp từ định nghĩa và Mệnh đề 1.1.13 

§1.2 MÔĐUN CON CỐT YẾU – TÍNH CHẤT

Môđun con cốt yếu

1.2.1 Định nghĩa.

a) Môđun con A của R – môđun M gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A BI ≠0 (một cáchtương đương, A BI =0 thì B=0) Khi đó, ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu A⊂*M

b) Đồng cấu : Aα →B được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu Im( )α ⊂*B

1.2.2 Ví dụ

1) Với mỗi môđun M, ta đều có M ⊂*M

2) Vành số nguyên Z xem như môđun trên chính nó Khi đó, mỗi iđêan

khác không trong Z tức là các môđun con khác không của Z- môđun Z đều

cốt yếu Thật vậy, đối với hai iđêan khác không bất kỳ aZ và bZ ta đều có:

A M

I (c) Nếu : Mϕ →N là đồng cấu môđun và B⊂*N thì 1( )

βα → cũng là đơn cấu cốt yếu.

Chứng minh (a) Giả sử U ≠0 là môđun con của C Khi đó U cũng là môđun con khác không của M Ta có:

A⊂ M ⇒ A UI ≠ Mà A⊂ ⇒B B UI ≠0

Do đó B⊂*C

(b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Với n=1, mệnh đề đúng theo giả thiết Giả sử mệnh đề đúng với n−1,tức là:

1 1

*

n i i

Chứng minh ( )⇒ Giả sử m≠0, m M∈ , khi đó mR≠0 Do A⊂*M

nên A mRI ≠0 Từ đó suy ra r R∃ ∈ sao cho mr ≠0 và mr A∈

( )⇐ Ngược lại, giả sử B là môđun con khác không của M Khi đó,

lấy 0 m B≠ ∈ và tồn tại r R∈ sao cho 0 mr A≠ ∈ Vì mr B∈ nên A BI ≠0.Điều này chứng tỏ A⊂*M 

Từ Bổ đề 1.2.5, ta suy ra một số tính chất cơ bản của môđun con cốtyếu thông qua các hệ quả sau

Khi đó, theo Hệ quả 1.2.6 thì A⊂*M 

Mà A⊂*M , nên theo Bổ đề 1.2.4 (a) ta được B⊂*M

( ) ( )3 ⇒ 1 Giả sử 0≠ ∈m i M i Khi đó 0≠ ∈m i M , theo Bổ đề 1.2.5 thìtồn tại r R∈ sao cho 0≠m r B i ∈ Ta cũng có m r M i ∈ i, nên ta suy ra được

0≠m r B M i ∈ I i ⊂M i Điều này chứng tỏ B MI i ⊂*M i, ∀ ∈i I 

Chương II

TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

Chương này là phần nội dung chính của luận văn, trình bày khái niệm,một số tính chất cơ bản của môđun nội xạ, tìm hiểu và trình bày chứng minh

về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun nội xạ

§2.1 MÔĐUN NỘI XẠ

2.1.1 Định nghĩa (Môđun nội xạ)

Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu : f A→Q và với

mỗi đơn cấu :g A→B của những R – môđun, tồn tại một đồng cấu

:

h B→Q sao cho hg= f , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

Về đặc trưng của môđun nội xạ, ta có định lí sau

Chứng minh * Chứng minh ( ) ( )a ⇔ b :

( ) ( )a ⇒ b Do Q nội xạ, nên tồn tại đồng cấu : Bβ →Q sao cho biểu

đồ sau giao hoán

nghĩa là βϕ =1Q.

Do đó, theo Mệnh đề 1.1.13 thì ϕ là chẻ ra.

( ) ( )b ⇒ a Xét biểu đồ các đồng cấu môđun sau

trong đó g là đơn cấu.

Gọi K là môđun con của Q⊕B gồm tất cả các cặp có dạng

Do g đơn cấu nên γ cũng đơn cấu Theo giả thiết thì γ chẻ ra, tức là

tồn tại đồng cấu :v N →Q sao cho vγ =1Q Đặt h v= β:B→Q, ta có:

Q

g f

Q γ Nβ

Điều này chứng tỏ Q là nội xạ.

( ) ( )c ⇒ a Do Hom(α,1Q) là toàn cấu, nên với mỗi f ∈Hom A Q R( , )

thì tồn tại h Hom B Q∈ R( , ) sao cho

Hom α h = hα =hα = f

Do đó, theo Định nghĩa 2.1.1 thì Q là nội xạ 

2.1.3 Hệ quả Nếu Q là môđun nội xạ và Q A≅ thì A nội xạ.

Chứng minh Giả thiết Q A≅ , nên tồn tại g Q1: → A là đẳng cấu Vì

Q nội xạ nên với mỗi đơn cấu : f M →B và mỗi đồng cấu :g M →Q thìtồn tại một đồng cấu :h B→Q sao cho hf =g.

A1

g

h

∃

Điều này chứng tỏ A là nội xạ 

2.1.4 Định lí (Tiêu chuẩn Baer).

Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi iđêan phải U ⊂R R và mỗi đồng cấu : f U →Q đều tồn tại đồng cấu : h R R →Q sao cho hi= f , trong đó i là phép nhúng U vào R R

Chứng minh (Xem [3] mục 5.7 hoặc [1] mục 4.5).

Từ Định lí 2.1.4, ta suy ra ngay hệ quả sau

2.1.5 Hệ quả Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi Q là R – nội xạ.

Chứng minh Được suy ra trực tiếp từ Định lí 2.1.4, với U là R và i R

§2.2 ĐỊNH LÍ PAPP AND BASS VỀ TỔNG TRỰC TIẾP

CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

Một trong những vấn đề cơ bản của lí thuyết môđun là với những điềukiện nào thì xảy ra sự phân tích thành tổng trực tiếp và những môđun khôngphân tích được có những tính chất như thế nào?

Để tìm hiểu về nội dung chính của phần này thì một số khái niệm, địnhnghĩa có liên quan trong phần chứng minh ta có thể xem trong [1], [3] Trướctiên xin nêu lại các định lí, bổ đề để làm cơ sở Phần chứng minh của chúng

có thể xem trong [3] hoặc [1] được nêu cụ thể theo từng mục tương ứng

2.2.1 Định lí ([3], Định lí 6.5.1)

Đối với vành R, các điều kiện sau là tương đương:

(a) Môđun R là Noether R

(b) Mọi tổng trực tiếp các R – môđun phải nội xạ là nội xạ.

(c) Mọi tổng trực tiếp đếm được của các bao nội xạ của các R – môđun đơn phải là nội xạ.

2.2.2 Định nghĩa 1) Môđun M gọi là phân tích được nếu nó có hạng tử R trực tiếp khác 0 và M (ngược lại, M được gọi là không phân tích được) R

2) Môđun M gọi là thuần nhất (hay đều) nếu với mọi môđun con khác R

không A và B ta có A BI ≠0

2.2.3 Định lí ([3], Định lí 6.6.2 hoặc [1], 5.2)

Giả sử Q là môđun nội xạ, R Q R ≠0 Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(a) Q không phân tích được.

(b) Q là bao nội xạ của môđun con bất kỳ của nó.

(c) Mỗi môđun con trong Q là thuần nhất.

(d) Q là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không náo đó.

2.2.4 Hệ quả ([3], Hệ quả 6.6.3)

(a) Bao nội xạ của một R – môđun đơn là không phân tích được.

(b) Môđun nội xạ Q chứa hầu hết môđun con đơn là không phân tích được.

(c) Nếu R là Artin thì mọi môđun nội xạ R Q R ≠0 không phân tích được

là bao nội xạ của một R – môđun đơn.

2.2.5 Bổ đề ([3], Bổ đề 6.6.6 hoặc [1], 5.3)

Giả sử Γ là một tập hợp tuỳ các môđun con của môđun M Khi đó R

trong số các tập con Λ ⊂ Γ thoả mãn điều kiện

U U

∈Λ

∑

tồn tại tập con tối đại Λ0.

2.2.6 Hệ quả ([3], Hệ quả 6.6.7 hoặc [1], 5.4)

1) Đối với mỗi môđun M tồn tại một tập hợp tối đại các môđun con R nội xạ không phân tích được có tổng là trực tiếp.

2) Đối với mỗi môđun M tồn tại một tập hợp tối đại các môđun con R

đơn mà tổng là trực tiếp.

2.2.7 Bổ đề ([3], Bổ đề 6.6.8 hoặc [1], 5.5)

Nếu môđun R Noether thì mỗi môđun khác không R M chứa một R

môđun con thuần nhất khác không.

2.2.10 Định lí Papp and Bass ([3], Định lí 6.6.4(a))

Những điều kiện sau là tương đương:

(1) Môđun R là Noether R

(2) Mỗi môđun nội xạ Q là tổng trực tiếp của những môđun con R

không phân tích được.

Chứng minh ( ) ( )1 ⇒ 2 Theo Hệ quả 2.2.6, trong Q tồn tại tập hợp

tối đại các môđun con nội xạ không phân tích được có tổng là trực tiếp Gọitổng đó là

0

0 I i

Q = ⊕Q ,

vì Q nội xạ với mọi i I i ∈ nên theo Định lí 2.2.1 thì Q nội xạ Do đó 0 Q là0

hạng tử trực tiếp trong Q Giả sử rằng

0 0

Q Q= ⊕B

Giả sử B0 ≠0, khi đó theo Bổ đề 2.2.7 thì B chứa môđun con thuần0

nhất U ≠0 Gọi I U là bao nội xạ của U , chứa trong ( ) B thì 0 I U là không( )

phân tích được và là hạng tử trực tiếp của B Gọi0

( )

0 1

B =I U ⊕B Khi đó, Q0 +I U( ) =Q0⊕I U( ) là tổng trực tiếp của các môđun con nội xạkhông phân tích được Điều này trái với tính tối đại của I Do đó 0 B0 =0 và

0

0 I i

Q Q= = ⊕Q.

Điều này chứng tỏ môđun nội xạ Q là tổng trực tiếp của các môđun con

không phân tích được

( ) ( )2 ⇒ 1 Chứng minh được hoàn thành khi mà điều kiện (c) trong

Định lí 2.2.1 được thoả mãn Giả sử

Giả sử I Q là bao nội xạ của Q với ( ) Q⊂I Q( ) Ta chứng minh rằng

Nếu Soc D( )j ≠0, theo Hệ quả 2.2.4 đặt F j =Soc D( )j là đơn và D là j

bao nội xạ của F Do đó ta có j

Do đó Q đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ I Q và( )

chính bản thân nó nội xạ Điều này chứng tỏ tổng trực tiếp đếm được các Q i

là thoả mãn điều kiện (c) trong Định lí 2.2.1, nên R là Noether  R

§2.3 TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ

Như đã đề cập đến ở phần mở đầu, một trong những vấn đề mà luậnvăn hướng đến là tìm hiểu xem tích trực tiếp của các môđun nội xạ có nội xạhay không Vấn đề này được làm sáng tỏ thông qua định lí sau:

Nghĩa là, tích trực tiếp các môđun là nội xạ khi và chỉ khi các môđun thành viên là nội xạ.

Chứng minh ( )⇒ Giả sử :g A→B là một đơn cấu, :f A→Q i là

một đồng cấu với i I∈ Gọi µi :Q i →Q là phép nhúng chính tắc, khi đó:

i f A Q

µ → là một đồng cấu

Do Q nội xạ nên tồn tại đồng cấu : k B→Q sao cho kg=µi f , nghĩa

là biểu đồ sau giao hoán

Xét đồng cấu h=πi k , trong đó :πi Q→Q i là phép chiếu chính tắc.Khi đó, ta có:

( ) ( ) ( ) 1

i

hg = πk g =π kg =π µ f = f = f Điều này chứng tỏ Q là nội xạ i

( )⇐ Giả sử Q là nội xạ với i I i ∈ Xét biểu đồ giao hoán sau

trong đó g là đơn cấu, f là đồng cấu, πi là phép chiếu chính tắc, với h là i

đồng cấu có được do Q là nội xạ và i π =i f h g i

Khi đó, theo Định lí 1.1.2, thì tồn tại đồng cấu :h B→Q sao cho

2.3.2 Hệ quả Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ.

Chứng minh Giả sử Q là nội xạ và Q Q= ⊕1 Q2 Tương tự phầnchứng minh ( )⇒ của Định lí 2.3.1, ta suy ra Q i i ( =1,2) là nội xạ 

KẾT LUẬN

Luận văn đã đề cập, tìm hiểu và trình bày các vấn đề sau:

1 Khảo sát, hệ thống các khái niệm về tích trực tiếp, tổng trực tiếp củacác môđun, khái niệm môđun con cốt yếu và trình bày một số tính chất cơ bảncủa chúng như: Tính chất phổ dụng của tích và tổng trực tiếp các môđun(Định lí 1.1.2, 1.1.5 chương I); tích trực tiếp, tổng trực tiếp của họ các đồngcấu là một đồng cấu (Mệnh đề 1.1.3, 1.1.6 chương I); điều kiện để một môđun

là môđun con cốt yếu (Bổ đề 1.2.5 chương I), tổng trực tiếp các môđun concốt yếu là cốt yếu (Hệ quả 1.2.6 chương I)

2 Khảo sát khái niệm môđun nội xạ và trình bày chi tiết tính chất đặctrưng của môđun nội xạ (Định lí 2.1.2 chương II), một môđun đẳng cấu vớimôđun nội xạ là nội xạ (Hệ quả 2.1.3 chương II)

3 Trình bày chứng minh tích trực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ(Định lí 2.3.1 chương II), mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ(Hệ quả 2.3.2 chương II), mỗi môđun nội xạ trên vành Noether là tổng trựctiếp của các môđun con không phân tích được (Định lí 2.2.10 chương II)