Đại số đại cương là một trong những môn học khá trừu tượng đòi hỏi sinh viên phải có sự đầu tư và có thời gian làm quen mới có thể nắm bắt được kiến thức. Nội dung Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun là một trong những phần hay và khó. Do đó, trong quá trình học tập và nghiên cứu bộ môn này, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun”.
Tích trực tiếp tổng trực tiếp mơđun TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN Nguyễn Đức Minh Hồng Nguyễn Thị Hồng Diễm Trần Thị Cơng Kiều ĐHSP Toán K13 GVHD: Th.S Võ Văn Minh I Đặt vấn đề Đại số đại cương mơn học trừu tượng đòi hỏi sinh viên phải có đầu tư có thời gian làm quen nắm bắt kiến thức Nội dung Tích trực tiếp tổng trực tiếp mơđun phần hay khó Do đó, q trình học tập nghiên cứu mơn này, chúng tơi định chọn đề tài: “Tích trực tiếp tổng trực tiếp môđun” II Nội dung Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun 1.1.1 Định nghĩa Giả sử R vành Một R –môđun trái nhóm cộng aben M với ánh xạ R×M → M (r , m) rm gọi phép nhân vô hướng, thỏa mãn hệ thức: i) ii) iii) iv) r’(rm) = (r’r)m (r’+ r)m = r’m + rm r(m + m’) = rm + rm’ 1m = m với m, m'∈ M r , r '∈ R 1.1.2 Tính chất Nếu M ,0 R tương ứng phần tử trung hòa M R ta suy r M = M ,0 R m = M − (rm) = ( −r )m = r (−m) với m, m'∈ M r , r '∈ R 1.2 Môđun 1.2.1 Định nghĩa Giả sử -môđun Tập A ≠ φ môđun gọi môđun với phép cộng phép nhân với vô hướng Ng.Đ.M.Hồng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 hạn chế A Từ Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp môđun định nghĩa mơđun ta đưa tiêu chuẩn đơn giản để kiểm nghiệm tập có phải môđun hay không ? 1.2.2 Các mệnh đề Mệnh đề Cho M R -môđun Nếu A tập khác rỗng M điều kiện sau tương đương : i) A môđun M ii) A nhóm cộng M a ∈ A , r ∈ R ta có ∈ A iii) Với a, b ∈ A r , s ∈ R ta có + sb ∈ A Mệnh đề Giao họ môđun R -môđun M môđun M 1.3 Môđun thương Định nghĩa Cho môđun -môđun Khi tương ứng R × ( M / A) → M / A (r , m + A) rm + A ánh xạ Hơn nữa, nhóm thương M / A R -môđun với phép nhân với vô hướng r (m + A) = rm + A 1.4 Đồng cấu môđun 1.4.1 Định nghĩa Cho hai R -môđun M , N Một đồng cấu R -mơđun hay ánh xạ tuyến tính ϕ : M → N ánh xạ ϕ thỏa mãn điều kiện ϕ ( x + y ) = ϕ ( x) + ϕ ( y ) ϕ ( rx) = rϕ ( x) với x, y ∈ M , r ∈ R Nếu N = M ϕ gọi tự đồng cấu M Một đồng cấu R -mơđun gọi đơn giản đồng cấu không cần thiết phải rõ vành sở 1.4.2 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Đồng cấu ϕ : M → N gọi đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) ϕ đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) 1.4.3 Hạt nhân, ảnh đồng cấu 1.4.3.1 Định nghĩa Cho ϕ : M → N đồng cấu R-mơđun Khi đó: Im ϕ = ϕ ( M ) = {ϕ ( x ) x ∈ M } Kerϕ = { x ∈ M ϕ ( x) = 0} = ϕ −1 (0) Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp môđun Ta gọi , lượt ảnh hạt nhận đồng cấu f 1.4.3.2 Các mệnh đề Mệnh đề Cho đồng cấu tương ứng mơđun Khi đó: 1) ϕ (U ) môđun N −1 2) ϕ (V ) = { x ∈ M ϕ ( x ) ∈ N } môđun M Đặc biệt Im ϕ Kerϕ môđun tương ứng N M Mệnh đề Giả sử f : X → Y đồng cấu R - mơđun Hai tính chất sau tương đương: a) f đơn cấu b) f giản ước bên trái, nghĩa đẳng thức fϕ1 = fϕ kéo theo ϕ1 = ϕ , ϕ1 , ϕ đồng cấu R - môđun tùy ý M tới X Mệnh đề Giả sử f : X → Y đồng cấu R - môđun Hai tính chất sau tương đương: (a) f toàn cấu f giản ước bên phải, nghĩa đẳng thức ψ f = ψ f kéo theo (b) ψ = ψ , ψ ,ψ đồng cấu R -môđun tùy ý M tới X 1.4.3.3 Định nghĩa đồng cấu Định nghĩa Giả sử ϕ : A → B đồng cấu môđun p : A → A / Kerϕ phép chiếu tắc Khi tồn đồng cấu ψ : A / Kerϕ → B cho biểu đồ sau giao hoán ψ Hệ Nếu ϕ : A → B đồng cấu R - môđun ta có đẳng cấu A / Kerϕ ≅ Imϕ Định lý (Mở rộng định lý đồng cấu) Giả sử ϕ : A → B đồng cấu môđun α : A → C tồn cấu, ngồi Kerα ⊂ Kerϕ Khi tồn đồng cấu λ : C → B cho biểu đồ sau giao hốn Ng.Đ.M.Hồng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp môđun nữa, λ đơn cấu Kerα = Kerϕ Định lý ( định lý đẳng cấu thứ nhất) Nếu B, C hai môđun A ( B + C ) / C ≅ B /( B ∩ C ) Định lý (định lý thứ hai đẳng cấu) Nếu B, C mơđun A C ⊂ B A / B ≅ ( A / C ) /( B / C ) Chú ý: Ta chứng tỏ tương ứng ϕ đồng cấu theo lập luận sau Gọi p1 : A → A / B; p : A → A / C phép chiếu tắc Rõ ràng Kerp = C ⊂ B = Kerp1 nên theo định lý (mở rộng định lý đồng cấu) tồn đồng cấu ϕ : A / C → A / B xác định p1 (a) = a + B Tích trực tiếp- tổng trực tiếp 2.1 Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp 2.1.1 Tích trực tiếp 2.1.1.1 Định nghĩa tích trực tiếp: Cho họ R-môđun ( Ai | i ∈ I ) Khi tích Đềcác ∏ A = { (a ) | i ∈ I , a ∈ A } i i I i i phép nhân với vô hướng theo thành phần: R-mơđun, gọi tích trực tiếp họ ( Ai | i ∈ I ) Trường hợp Ai = A với i ∈ I ta ký hiệu ∏A = A i I I Dễ thấy phép chiếu tắc p j : ∏ Ai → Aj I ( ) a aj R-toàn cấu, với j ∈ I 2.1.1.2 Định lý: Định lý (tính phổ dụng) Giả sử B R-môđun với họ đồng cấu β j : B → Aj , j ∈ J Khi tồn đồng cấu β : B → ∏ Aj cho biểu đồ sau I giao hoán ∏A p j j → Aj I Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp môđun Nghĩa p j β = β j , j ∈ j Chứng minh Đồng cấu cho β ( x ) i = β i ( x ) , ∀x ∈ B, i ∈ I Khi rõ ràng với x ∈ B ta có ( p j β ) ( x ) = p j ( β ( x ) ) = p j ( βi ( x ) ) = β j ( x ) ⇒ p j β = β j , j ∈ I ' Ai cho p β ' = β , j ∈ I Xét tọa Tính β Giả sử có β : B → ∏ j j I ' độ thứ j phần tử β ( x ) β ( x ) , ảnh x ∈ B , ta có β ' ( x ) j = p j ( β ' ( x ) ) = β j ( x ) = β ( x ) j , ∀j ∈ I ' Điều chứng tỏ β ( x ) = β ( x ) , β = β ' 2.1.1.3 Mệnh đề Mệnh đề: Giả sử ( fi : Ai → Bi | i ∈ I ) họ đồng cấu mơđun Khi tương ứng f : ∏ Ai → ∏ Bi I Cho f I ((a )) =( f (a )) i i đồng cấu, kí hiệu i 2.1.2 Tổng trực tiếp 2.1.2.1 Định nghĩa: Định nghĩa ∏f i Cho ( Ai | i ∈ I ) họ R-mơđun Tập tích Đề-các ∏ A , gồm i I tất phần tử ( ) mà = hầu hết trừ số hữu hạn số i ∈ I , môđun con, gọi tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) họ ( Ai | i ∈ I ) kí hiệu ⊕ Ai I ( I) Trong trường hợp Ai = A với i ∈ I ta ký hiệu ⊕I Ai = A Với j ∈ I , tương ứng µi : Aj → ⊕ Ai I đơn cấu, gọi nhúng tắc 2.1.2.2 Nhận xét Khi tập hợp hữu hạn mơđun thực phép chiếu ∏ A = ⊕ A , trường hợp i I I i vơ hạn ⊕I Ai ∏ A Cần lưu ý rằng, xét tích trực tiếp ta quan tâm đến i I , tổng trực tiếp ta quan tâm đến phép nhúng µ j 2.1.2.3 Định lý Ng.Đ.M.Hồng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp mơđun Định lý: Giả sử B R-môđun với họ đồng cấu ( α j : Aj → B ) Khi tồn đồng cấu α : ⊕I Ai → B cho biểu đồ sau giao hoỏn j Ai Aj I α αj B Nghĩa αµ j = α j , j ∈ J Chứng minh Đồng cấu : cho α ( ( ) ) = ∑ α i ( ) Điều thực = hầu hết trừ số hữu hạn số Với a j ∈ Aj µ j ( a j ) = ( K , 0, a j , 0,K ) Từ αµ j (a j ) = α ( K , 0, a j , 0,K ) = α j ( a j ) , Do αµ j = α j , j ∈ I ϕ:⊕IAi→B Nếu đồng cấu thỏa mãn ϕµ j = α j ϕ ( ( ) ) = ϕ ( ∑ µi ( ) ) = ∑ ( ϕ oµi ) ( ) = ∑ α i ( ) Bởi vậy, ϕ = α 2.1.2.4 Các Mệnh đề Mệnh đề: Giả sử ( fi : Ai → Bi | i ∈ I ) họ đồng cấu môđun Khi tương ứng f : ⊕ Ai → ⊕ Bi I I ( ) Cho f ( a j ) = ( fi ( ) ) đồng cấu,được kí hiệu ⊕ f i Ta ý tổng trực tiếp số hữu hạn mơđun trùng với tích trực tiếp chúng Mệnh đề mô tả tổng hữu hạn theo ngôn ngữ phép nhúng phép chiếu Để đơn giản, phát biểu ta sử dụng hàm Kronecker , định nghĩa cho số nguyên 1,…,n cách đặt δ jk = j ≠ k δ jk = j = k Mệnh đề: Cho M ,K , M n R-mơđun Khi M ≅ M1 ⊕ M ⊕ K ⊕ M n Nếu tồn R-đồng cấu µi : M j → M p j : M → M j mãn j = 1,K , n thỏa p j µk = δ jk id M k µ1 p1 + K + µ n pn = id M Chứng minh: Giả sử M ≅ M1 ⊕ M ⊕K ⊕ M n n Trước hết ta xét trường hợp thân M tổng trực tiếp, M = ⊕M j Theo định j =1 nghĩa tổng trực tiếp ta có ánh xạ nhúng Ng.Đ.M.Hồng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13 với Do Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp mơđun có hữu hạn thành phần, M tích trực tiếp mơđun nghĩa tích trực tiếp ta có phép chiếu với x , nên từ định với Khi ta có Rõ ràng ta có =1 với có đẳng cấu Và j , ta cần đơn giản thay Cuối cùng, ta và dể dàng kiểm tra đẳng thức cần có Ngược lại Giả sử ta có ánh xạ cho Định nghĩa ánh xạ thỏa mãn điều kiện ) Với định nghĩa ánh xạ g : g Với phần tử Khi Với (( Với phần tử với j ta có Như hợp thành f g g f phép đồng nhất, từ f, g Ng.Đ.M.Hồng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp môđun đẳng cấu 2.1.3 Tổng trực tiếp 2.1.3.1 Định nghĩa Môđun A gọi tổng trực tiếp họ môđun ( điều kiện sau thỏa mãn: ) (i) (ii) =0 2.2.3.2 Bổ đề Bổ đề 2.2.3.2: Môđun A tổng trực tiếp họ mô đun phần tử , biểu diễn dạng , Chứng minh Do điều kiện i) định nghĩa, có tập hữu hạn phần tử a viết dạng Giả sử có tập hữu hạn hạn tử cho cho Dó bổ sung thêm cách thích hợp vào biểu diễn a nên ta coi Khi với ta có Do điều kiện ii) định nghĩa ta suy với hay Điều sảy Đó điều phải chứng minh Ngược lại, dễ thấy biểu diễn phần tử dạng dẫn tới điều kiện i) ii) định nghĩa tổng trực tiếp 2.1.3.3 Các hệ Hệ : Giả sử A tổng mơđun Khi A tổng trực tiếp từ Suy Chứng minh Do nên phần tử biểu diễn dạng Giả sử (1) Lại có: = + + …+ Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 (2) Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp môđun nên theo bổ đề 2.2.3.2 ta suy Α tổng trực tiếp cách biểu diễn (1) (2) đồng nhất, nghĩa là, aj = 0, ≤ j ≤ n Hệ Môđun Α tổng trực tiếp họ môđun ( { Α i } i ∈ I ) nếu: ϕ : ⊕ Αi → Α I đẳng cấu Chứng minh họ Nghĩa Hiển nhiên ( a i ) ∑ giả sử suy ∑a I i = Do Α tổng trực tiếp nên theo hệ ta có: đơn cấu toàn cấu nên giả sử biễu diễn dạng Trong đẳng cấu đẳng cấu Do toàn cấu nên phần tử hữu hạn Cách biễu diễn đơn cấu Vậy theo bổ đề , A tổng trực tiếp họ 1.3.4 Ví dụ Cho ϕ : A → A đồng cấu R -môđun thỏa mãn: ϕ ϕ = ϕ Chứng minh rằng: A = Im ϕ ⊕ Kerϕ Bài giải: Ta cần chứng minh A = Im ϕ + Kerϕ (1) Im ϕ + Kerϕ = { 0} (2) Chứng minh (1) ∀x ∈ A suy ϕ ϕ ( x) = ϕ ( x) ⇒ ϕ ( x − ϕ ( x) ) = Vậy x − ϕ ( x) ∈ Kerϕ : x − ϕ ( x) = a ⇒ x = a + ϕ ( x) ⇒ x ∈ Kerϕ + Im ϕ A = Ker ϕ + Im ϕ (1) Vậy Chứng minh (2) Giả sử x ∈ Im ϕ ∩ Kerϕ Suy ⇒ = ϕ ( x ) = ϕ (ϕ (u )) = ϕ ϕ (u ) = ϕ (u ) = x hay x = Vậy Im ϕ ∩ Kerϕ = { 0} (2) Từ (1) (2) suy A = Im ϕ ⊕ Kerϕ 2.1.3.5 Định nghĩa hạng tử trực tiếp: Ng.Đ.M.Hồng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp mơđun Môđun B A gọi hạng tử trực tiếp A có mơđun C A cho A = B ⊕ C Môđun A ≠ gọi khơng phân tích được, A hạng tử A 2.1.3.6 Ví dụ 1) Tập số phức xem R-mơđun Khi R hạng tử trực tiếp ta có phân tích trực tiếp: Trong i2 = -1 2) Trên vành xem mơđun nó, mơđun m với m ≠ 0, m ≠ ±1 không hạng tử trực tiếp Thật vậy, hai môđun thực sự, m , n Bởi môđun ta có khơng phân tích 3) Nhóm xychic có cấp bội số nguyên tố -môđun khơng phân tích Chứng minh Ta kí hiệu nhóm Xyclic có cấp k (k) Giả sử n = pn, p nguyên tố Giả sử (n) = A ⊕ B : A,B sinh tương ứng phần tử p α p β , α + β = m Từ điều suy hai nhóm A, B chứa nhóm kia, trái giả thiết A∩ B = Các hạng tử trực tiếp có liên quan với đồng cấu có tính chất đặc biệt mà ta xét 2.1.3.7 Định nghĩa Đơn cấu α : A → B R môđun gọi chẻ Im α hạng tử trưc tiếp B Toàn cấu β : B → C gọi chẻ Ker β hạng tử trực tiếp B 2.1.3.8 Mệnh đề 1) Đồng cấu môđun α : A → B đơn cấu chẻ tồn đồng cấu β : B → A cho βα = id A (ta nói α nghịch đảo trái) đó: B = Im α ⊕ Kerβ 2) Đồng cấu: β : B → C toàn cấu chẻ tồn đồng cấu γ : C → B cho βγ = id C (ta nói β nghịch đảo phải) Khi đó: B = Im γ ⊕ Kerβ Chứng minh (1) giả sử α : A → B đơn cấu chẻ Khi B = Im α ⊕ B1 Do phần tử b ∈ B viết dạng α ( a ) + b1 , a ∈ A, b ∈ B1 Và α dẳng cấu α Im α nên tương ứng: β :B→ A α ( a ) + b1 a Là đồng cấu Rõ ràng βα = id A Ngược lại, giả sử tồn đồng cấu β : B → A cho βα = id A Khi α đơn cấu Lấy b ∈ B tùy ý Thế Ng.Đ.M.Hồng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang 10 Tích trực tiếp tổng trực tiếp mơđun β ( b − αβ ( b ) ) = ⇒ b − αβ ( b ) ∈ ker β Vậy B = Im α ⊕ ker β Để chứng ta lấy a phần tử trực thuộc giao Thế tồn cho Vậy (2) Nếu tồn cấu chẻ đẳng cấu, Gọi Thỏa mãn Khi hạn chế phép nhúng tắc ta Ngược lại tồn đồng cấu cho toàn cấu Áp dụng Mệnh đề 1) ta 2.1.4 Dãy khớp 2.1.4.1 Định nghĩa Dãy môđun đồng cấu môđun , nghĩa ϕn n −1 → M n −1 ϕ→ M n → M n +1 → gọi dãy khớp Im ϕ n −1 = Kerϕ n Dãy khớp với mơđun đơn cấu là tồn cấu chẻ (1) ∀n f g 0 → M ' → M → M" → Được gọi dãy khớp ngắn ( Im f = Kerg ) (*) Trong mơđun đầu mơđun cuối Dãy (*) dãy khớp ngắn f đơn cấu, g toàn cấu Im f = Kerg Khi đó, f đơn cấu nên ta đồng M ' với Im f ( = Kerg ) g toàn cấu nên Im g = g ( M ) = M " ; đo theo định lí đồng cấu mơđun, ta có M Kerg ≅ Im g nên M M' ≅ M " 2.1.4.2 Mệnh đề (Tiêu chuẩn chẻ từ dãy khớp ngắn) f g Giả sử (**) → M ' → M → M" → dãy khớp ngắn môđun Khi điều kiện sau tương ứng: i) f có nghịch đảo trái, tức tồn đồng cấu ψ : M → M ' cho ψ f = id M ' ii) g có nghịch đảo phải, tức tồn đồng cấu ϕ : M " → M cho g ϕ = id M " Khi điều kiện thỏa mãn M ≅ Im f ⊕ Kerψ ≅ Kerg ⊕ Im ϕ Tức M ≅ M '⊕ M " Ví dụ: Giả sử có họ R -môđun { Ai / i ∈ I } , { Bi / i ∈ I } Nếu với i ∈ I ta có dãy khớp: → Ai → Bi → Ci → Ng.Đ.M.Hồng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang 11 Tích trực tiếp tổng trực tiếp mơđun → ⊕ Ai → ⊕ Bi → ⊕ Ci → Chứng minh i∈I i∈I i∈I dãy khớp Đặt: ⊕I f i : ⊕I Ai → ⊕I Bi ∑a i Và ⊕I g i : ∑ f (a ) ; ∑ g (b ) ; i I ⊕ Bi → ⊕ C i I I ∑b i i I • ⊕ f i , ⊕ g i đơn cấu, toàm cấu: I ⊕ f i ánh xạ: Giả sử I i I Ta chứng minh (1) i I I ∑ a = ∑ a '∈ ⊕ A i i ⇒ Ai ∋ a j − a j ' = −∑ (ai − ' ) ∈ ∑ Ai ⇒ a j − a j '∈ Ai ∩ ∑ Ai = ⇒ a j = a j ' ; ∀j = 1, n • i∈I i≠ j ⇒ ∑ (ai − ' ) = ∀j = 1, n ; ⇒ Với I i ∀j = 1, n ; i∈I i≠ j i∈I i≠ j ⊕ f i đồng cấu : I I ∑ f (a ) = ∑ f (a ' ) i i i I i I ∑ a , ∑ a '∈ ⊕ A i I i I i I ; ∀r , r '∈ R ; Ta có : ⊕ f i r ∑ + r ' ∑ ' = ⊕ f i ∑ ( rai + r ' ') = ∑ f i (ra i + r ' ' ) I I I I I I = r.∑ f i (ai ) + r ' f i (ai ' ) = r ⊕I f i ∑ + s ⊕I f i ∑ ' I I i ⊕ f i đơn cấu : Với ∑ ∈ Ker ⊕ f i ⇒ ∑ f i (ai ) = I • I I I ⇒ B j ⊃ Im( f j ) ∋ f j (a j ) = −∑ f i ( ) ∈ ∑ Im( f i ) ⊂ ∑ Bi ; ∀j ∈ I i∈I i∈I i∈I i≠ j ⇒ i≠ j i≠ j f j (a j ) ∈ B j ∩ ∑ Bi = ; ∀j ∈ I i∈I i≠ j ⇒ a j ∈ Ker ( f j ) = ; ∀j ∈ I (do f j đơn cấu, ∀j ∈ I ) ⇒ ∑ = ⇒ Ker ⊕ f i = I I • ⊕ g i đồng cấu : Tương tự chứng minh ⊕ f i đòng cấu I I C i ⇒ c = ∑ ci với c ∈ C ; ∀i ∈ I ⊕ g i toàn cấu : ∀c ∈ ⊕ i i I I I • Từ ci ∈ C i (∀i ∈ I ) g i tồn cấu nên ∃bi ∈ Bi : ci = g i (bi ) Ng.Đ.M.Hồng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang 12 Tích trực tiếp tổng trực tiếp mơđun (1) ( ) ∑ f (a ) ∈ Im(⊕ f ), , Chứng minh : ( ) Im ⊕ f i = Ker ⊕ g i I Với i i i I I I Ta có ⊕I g i ∑ f i (ai ) = ∑ ( g i f i )(ai ) = ( ( g i f i )(ai ) = ) I ( ) I ( dãy cho dãy khớp) ∑ b ∈ Ker (⊕ g ) ( ) f i ⊂ Ker ⊕ g i ⇒ Im ⊕ I I ; ⇒ ∀j ∈ I , = ⊕ g i ∑ bi = ∑ g i (bi ) I I I I C j ∋ g j (b j ) = −∑ g i (bi ) ∈ ∑ C i ⇒ ∀j ∈ I , g j (b j ) ∈ C j ∩ ∑ C i = Ngược lại, với i I ⇒ i i∈I i≠ j i∈I i≠ j i∈I i≠ j ⇒ b j ∈ Ker ( g j ) = Im( f i ) , ∀j ∈ I ⇒ ∑ bi ∈ ∑ Im( f i ) = Im ⊕ f i I ( ) Vậy Im(⊕ f ) = Ker (⊕ g ) I I I i I i Từ kết (1) (2) ta có dãy khớp: ⊕ fi ⊕ gi ∈ ∈I 0 → ⊕ Ai Ii → ⊕ Bi i → ⊕ C i → i∈I i∈I i∈I III Kết luận Tích trực tiếp tổng trực tiếp nội dung quan trọng chương trình học mô đại số đại cương Bài nghiên cứu giúp chúng em nắm vững kiến thức bản, từ vận dụng vào giải tập Đồng thời, thông qua nghiên cứu chúng em tự rèn luyện cho thân khả tự học hỏi, tự tìm tòi, nghiên cứu Bên cạnh đó, thân sinh viên thể hòa mình, giao lưu với thầy cô, bạn bè, thể lĩnh hình thành khả đứng trước đám đông thông qua hoạt động Không vậy, hoạt động góp phần đẩy mạnh phong trào tham gia sinh viên nhà trường Thể mối quan hệ nhà trường sinh viên Nhà trường tạo hội sinh viên định hướng mục đích học tập từ hình thành nên khả nghiệp vụ sau IV Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tiến Quang: Giáo trình Mơđun nhóm Aben, NXB ĐHSP 2008 [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng: Đại số đại cương, NXB GD, 1999 [3] Mỵ Vinh Quang: Đại số đại cương, NXB Giáo dục năm 1999 [4] Hồng Xn Sính: Đại số đại cương, NXB ĐHSP, NXB GD 1995 Ng.Đ.M.Hoàng, Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Toán K13 Trang 13 ... p1 (a) = a + B Tích trực tiếp- tổng trực tiếp 2.1 Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp 2.1.1 Tích trực tiếp 2.1.1.1 Định nghĩa tích trực tiếp: Cho họ R-mơđun ( Ai | i ∈ I ) Khi tích Đ các ∏ A = { (a... Ng.T.H.Diễm, Tr.T.C.Kiều - Lớp ĐHSP Tốn K13 Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp môđun đẳng cấu 2.1.3 Tổng trực tiếp 2.1.3.1 Định nghĩa Môđun A gọi tổng trực tiếp họ môđun ( điều kiện sau thỏa mãn: ) (i)... (2) Trang Tích trực tiếp tổng trực tiếp mơđun nên theo bổ đề 2.2.3.2 ta suy Α tổng trực tiếp cách biểu diễn (1) (2) đồng nhất, nghĩa là, aj = 0, ≤ j ≤ n Hệ Môđun Α tổng trực tiếp họ môđun ( {