Bài toán bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và quan trọng đối với học sinh trong các kì thi. Không những thế việc xây dựng một bài toán bất đẳng thức sao cho phù hợp với đối tượng học sinh và sao cho bài toán xây dựng nên mang một nét riêng, không trùng lặp là một điều cần thiết.Bất đẳng thức là một dạng toán phát triển tư duy và nâng cao kiến thức cho học sinh cấp THCS và THPT. Trong đó, việc vận dụng các bất đẳng thức cơ bản như Côsi, Bunhiacôpski để giải được thành thạo các bài toán về bất đẳng thức không phải là một điều đơn giản.
Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài tốn bất đẳng thức tốn khó quan trọng học sinh kì thi Khơng việc xây dựng toán bất đẳng thức cho phù hợp với đối tượng học sinh cho toán xây dựng nên mang nét riêng, không trùng lặp điều cần thiết Bất đẳng thức dạng toán phát triển tư nâng cao kiến thức cho học sinh cấp THCS THPT Trong đó, việc vận dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpski để giải thành thạo tốn bất đẳng thức khơng phải điều đơn giản Thấy tầm quan trọng bất đẳng thức, với mục đích hiểu sâu bất đẳng thức, ứng dụng bất đẳng thức để tạo tiền đề, sở cho việc học tập mở rộng kiến thức cho thân Cùng với giúp đỡ giảng viên môn ‘Đại số sơ cấp’ chọn đề tài “Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng ” làm đề tiểu luận cho Mục đích nghiên cứu Nắm kiến thức độc đáo bất đẳng thức, từ có phương pháp giải phù hợp bước đầu hình thành khả tự sáng tạo bất đẳng thức Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu bất đẳng thức Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, định nghĩa, tính chất bất đẳng thức Đối tượng nghiên cứu - Bất đẳng thức giá trị tuyết đối - Bất đẳng thức Côsi - Bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski - Bất đẳng thức Becnuli - Bất đẳng thức Jensen - Bất đẳng thức Schwart SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm Phạm vi nghiên cứu - Hệ thống tính chất bất đẳng thức - Các kiến thức liên quan Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp lại kiến thức học - Phân tích nội dung kiến thức cần nghiên cứu - Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet - Hỏi ý kiến chuyên gia Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, tiểu luận chia thành hai chương : Chương 1: Trình bày kiến thức bất đẳng thức đưa số bất đẳng thức quan trọng Chương 2: Đưa tập vận dụng cho bất đẳng thức, số tập nâng cao ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm B NỘI DUNG CHƯƠNG I MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG Bất đẳng thức 1.1 nh ngha Cho hai s a b , Ô k k ¡ thuộc ( trường số hữu tỉ hay trường số thực ) Ta nói a lớn b kí hiệu b bé a kí hiệu Ta nói a bb a −b số dương Khi ta nói lớn hay b viết a≥b a −b số dương khơng Khi ta nói b bé hay a viết b≤a A(x) B(x) Giả sử , hai biểu thức toán học với miền xác định chung đối số x S (hoặc xem hai biểu thức toán học n đối số ta xem x = ( x1 , x2 , , xn ) thuộc A( x) < B( x) A( x) ≤ B( x) kn hay hay giá trị thừa nhận A( x ) < B( x ) A( x ) ≤ B( x ) x0 x1 , x2 , , xn , Ta nói: B ( x) > A( x) B( x) ≥ A( x) đối số hay hay x thuộc S ta có tương ứng: B( x ) > A( x ) B( x ) ≥ A( x ) bất đẳng thức số trường số k Chú ý quan hệ “lớn hơn” có trường hợp sp th t (chng hn trng s thc Ă Ô , trường hữu tỉ SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng ) Trường số phức £ Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm trường thức tự nên xác lập quan hệ “lớn hơn”, “nhỏ hơn” cho hai số phức phân biệt (trong số khơng phải số thực) *Ví dụ: > 3, > + 3, ≥ > 2, + x ≥ x − ∀x ∈ ¡ , 1.2 Tính chất bất đẳng thức Ta chứng minh dễ dàng tính chất sau A, B, C, D,… số biểu thức toán học số đối số xét trường số • • • • • • • • A< B⇒ B > A A > B, B > C ⇒ A > C A> B ⇒ A+C > B + D C > D A>B⇒ A> B ⇒ A−C > B − D C < D A> B ⇒ AC > BD C > D > 0 A > B > ⇒ An > B n • ( A> B>0⇒ A > B n • (tính bắc cầu) A > B ⇒ A+C > B+C A>B>0 n ( ∀n ∈ N * ∀n ∈ N B< A B A Các bất đẳng thức quan trọng 2.1 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 2.1.1 Định nghĩa a) Cho số thực a1 a2 , ,…, SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng an , hiển nhiên ta có k Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm a1 + a2 + + an ≤ a1 + a2 + + an b) Cho số thực khác khơng a, b, ta có: a b + ≥ b a Dấu xảy *Chứng minh: Thật vậy: a = ±b 2 a b a b a b − ≥0⇔ + ≥ 2⇔ + +2≥ b a b a b a a b a b ⇔ + ≥ 2 ⇔ + ≥ b a b a 2.2 Bất đẳng thức Côsi 2.2.1 Định nghĩa Cho n số thực khơng âm a1 a2 , ,…, an , trung bình cộng n số lớn trung bình nhân chúng a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Dấu xảy a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Cơsi gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân *Chứng minh: Ta dùng phương pháp quy nạp theo n + Với n=2 ta có Thật vậy: a1 + a2 ≥ a1a2 a1 + a2 ≥ a1a2 ⇔ a1 + a2 − a1a2 ≥ ⇔ a1 , a2 ≥ + Nếu x1 , x2 số thực khơng âm SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng ( a1 + a2 ) ≥0 với Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng x1 < x2 ⇔ x1n−1 < x2n−1 Vậy với x1 , x2 GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm số thực khơng âm ta ln có ( x1n−1 − x2n−1 )( x1 − x2 ) ≥ ⇔ x1n + x2n ≥ x1 x2n−1 + x2 x1n−1 Lấy n số thực không âm x1 , x2 , , xn , viết bất đẳng thức tương ứng cộng lại ta được: ( x1n + x2n ) + ( x1n + x3n ) + + ( x1n + xnn ) + ( x2n + x3n ) + + ( x2n + xnn ) + + ( xnn−1 + xnn ) ≥ ( x1 x2n−1 + x2 x1n−1 ) + ( x1 x3n−1 + x3 x1n−1 ) + + ( x1 xnn−1 + xn x1n−1 ) + + ( xn−1 xnn−1 + xn xnn−−11 ) (*) Từ đó: (n − 1)( x1n + x2n + + xnn ) ≥ x1 ( x2n−1 + x3n −1 + + xnn−1 ) + x2 ( x1n−1 + x3n−1 + + xnn−1 ) + + xn ( x1n −1 + x2n−1 + + xnn−−11 ) (**) Theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận n-1 số thực không âm bất kì, trung bình cộng khơng nhỏ trung bình nhân chúng Thế nói riêng ta có: x2n−1 + x3n −1 + + xnn−1 ≥ (n − 1) x2 x3 xn x1n−1 + x3n −1 + + xnn−1 ≥ (n − 1) x1 x3 x n x1n−1 + x2n −1 + + xnn−−11 ≥ (n − 1) x1 x2 xn −1 (***) Từ (**) (***) ta suy ( n − 1)( x1n + x2n + + xnn ) ≥ n(n − 1) x1 x2 xn x1n = a1 , x2n = a2 , , xnn = an Trong hệ thức đặt ta a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n (đpcm) 2.3 Bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski 2.3.1 Định nghĩa SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng Cho n cặp số thực tùy ý GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm a1 , b1 ∈ ¡ i = 1, 2, , n , Thế n n 2 n 2 a b ∑ i ≤ ∑ .∑ bi i=1 i=1 i=1 Dấu xảy tồn k ∈¡ cho bi = kai , i = 1,2, , n *Chứng minh: Với ∀x ∈ ¡ ta có: (a1 x − b1 ) ≥ (an x − bn ) ≥ Từ suy ra: a12 x − 2a1b1 x + b12 ≥ an2 x − 2an bn x + bn2 ≥ Cộng vế theo vế ta được: (a12 + a22 + + an2 ) x − 2(a1b1 + a2 b2 + + an bn ) x + (b12 + b22 + + bn2 ) ≥ Ta thấy vế trái tam thức bậc hai f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ Ta có , A>0 f ( x) = Ax + Bx + C ∆' = B − AC = (a1b1 + a2 b2 + + an an ) + (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) ≤ Từ ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Nếu A=0 a1 = a2 = = an bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên Dấu xảy khi: ∆' = ⇔ a1 x − b1 = = an x − bn = b1 = ka1 , , bn = kan , ∀k ∈ R 2.4 Bất đẳng thức Becnuli SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm 2.4.1 Định nghĩa Đối với số thực dương a số hữu tỉ q > ( < aĂ , 1< qÔ ) thì: (1 + a ) q > + qa *Chng minh: qÔ m n q= q >1 m > n m, n ∈ ¥ Do nên , Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho m số ta được: n m−n (1 + qa) + + (1 + qa ) + + + + n > (1 + qa) n 1m−n m hay n(1 + qa) + m − n > m(1 + qa ) n m n = m q Nhưng , ta có: + a > (1 + qa )1 q hay (1 + a ) q > + qa 2.5 Bất đẳng thức Jensen 2.5.1 Hàm lồi hàm lõm 2.5.1.1 Hàm lồi f (x) Hàm ≤ λ ≤1 gọi hàm lồi khoảng (a, b) với x1 , x2 ∈ ( a, b) : f (λx1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) f (x) Hàm λ =1 gọi lồi chặt dấu xảy f (x) = x *Ví dụ: , f ( x) = x2 , SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng f ( x) = e x λ =0 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm 2.5.1.2 Hàm lõm f (x) Hàm f (x ) gọi hàm lõm f ( x) = x *Ví dụ: , hàm lồi f ( x) = log10 x 2.5.2 Bất đẳng thức Jensen 2.5.2.1 Định nghĩa k ∀xi ∈ k, pi ∈ [ 0,1] , ∑ pi = f Nếu i =0 hàm lồi K ta có: k p f ( x ) ≥ f ∑ p i xi ∑ i i i =1 i =1 k Với hàm lồi chặt dấu xảy chặt dấu xảy x1 = x2 = = xn x1 = x2 = = xn Với hàm lõm *Chứng minh: + Với k =2 ta có: p1 f ( x1 ) + p2 f ( x2 ) ≥ f ( p1 x1 + p2 x2 ) + Giả sử bất đẳng thức Jensen với đặt qi = pi /(1 − pk ) với i = 1,2, , k − k −1 f (vì hàm lồi) , ta chứng minh với k Ta Ta có: k −1 k −1 p f ( x ) = p f ( x ) + ( − p ) q f ( x ) ≥ p f ( x ) + ( − p ) f ∑ qi xi ∑ i i k k k ∑ i i k k k i =1 i =1 i =1 k k −1 k ≥ f ( pk xk + (1 − pk )∑ qi xi ) = f ∑ pi xi i =1 i =1 2.6 Bất đẳng thức Schwartz 2.6.1 Định nghĩa SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng Giả sử a1 , a2 , , an số thực GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm b1 , b2 , , bn số dương Khi ta ln có: a (a + a2 + + an ) a12 a22 + + + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn Dấu xảy (*) a a1 a2 = = = n b1 b2 bn *Chứng minh: + Với n=2 ta ln có: a12 a22 ( a1 + a2 ) + = b1 b2 b1 + b2 Thật vậy, bất đẳng thức viết lại thành a y ( x + y ) + b x( x + y ) ≥ ( a + b) xy ⇔ ( ay − bx) ≥ + Giả sử bất đẳng thức Schwartz với Với a1 , a2 , , an số thực n −1 b1 , b2 , , bn (luôn đúng) , ta chứng minh với n số dương Khi ta ln có: a2 a (a + a2 + + an−1 ) an2 (a1 + a2 + + an ) a12 a22 + + + n−1 + n ≥ + ≥ b1 b2 bn−1 bn b1 + b2 + + bn−1 bn b1 + b2 + + bn ⇒ a (a + a2 + + an ) a12 a22 + + + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 10 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm *Chứng minh: Ta có: a3 b3 c3 + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a a4 b4 c4 = + + a (a + ab + b ) b(b + bc + c ) c(c + ca + a ) Áp dung bất đẳng thức Schwartz ta được: a4 b4 c4 (a + b + c ) + + ≥ a(a + ab + b ) b(b + bc + c ) c(c + ca + a ) a + b + c + ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Vì a + b + c + ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a) = (a + b + c)( a + b + c ) Nên a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + + ≥ a+b+c a + ab + b b + bc + c c + ca + a Mặt khác: (a − b) + (b − c) + (c − a) ≥ ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ ⇔ 3(a + b + c ) ≥ (a + b + c) ⇔ a2 + b2 + c2 a + b + c − ≥0 a+b+c a2 + b2 + c2 a + b + c ⇔ ≥ a+b+c Suy a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 6.2 Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho ba số thực dương a b c , , Chứng minh a b c + + ≥1 b + 2c c + 2a a + 2b SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 20 (đpcm) Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng Bài tâp 2: Cho ba số thực dương a b c , , GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm a2 + b2 + c2 ≥ thỏa mãn Chứng minh a3 b3 c3 + + ≥ 2a + 3b + 5c 2b + 3c + 5a 2c + 3a + 5b 30 Bài tập 3: Cho ba số thực dương a b c , , a + b + c = 3abc thỏa mãn Chứng minh a b c + 2+ 2≥ bc ca ab a+b+c 2 Bài tập 4: Cho ba số thực dương a b c , , Chứng minh a + b2 b2 + c c2 + a + + ≥ a+b+c a+b b+c c+a Ứng dụng bất đẳng thức để giải số toán cực trị 7.1 Các định lí 7.1.1 Mệnh đề Nếu tổng số thực dương chúng lớn x1 , x2 , , xn số cho trước tích x1 = x2 = = xn *Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: S x1 + x2 + + xn n = ≥ x1 x2 xn n n S ⇔ x1 x2 xn ≤ n Dấu xảy x1 , x2 , , xn n x1 = x2 = = xn cho, tích có giá trị lớn 7.1.2 Định lí SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng 21 Với S tổng n số dương Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng Nếu n số thực dương x1 , x2 , , xn GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm có tổng S khơng đổi tích P = x1m1 x2m2 xnmn có giá trị lớn x1 x x = = = n m1 m2 mn mi số hữu tỉ dương cho trước 7.1.3 Mệnh đề Nếu tích số dương x1 = x2 = = xn x1 , x2 , , xn số cho trước tổng chúng bé *Chứng minh: Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: x1 + x2 + + xn n ≥ x1 x2 xn = n P n ⇔ x1 + x2 + + xn ≥ n n P x1 = x2 = = xn Dấu xảy x1 , x2 , , xn Với P tích n số dương cho, tổng có giá trị bé 7.1.1 Định lí Nếu n số thực dương S = x1 + x2 + + xn x1 , x2 , , xn P = x1m1 x2m2 xnmn có tích có giá trị bé khơng đổi tổng x x1 x = = = n m1 m2 mn ( mi , i = 1,2 , n số hữu tỉ dương cho trước) 7.2 Áp dụng Bài toán 1: Cho a, b, c ≥ , biết a +b + c =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b3 + c3 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 22 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm *Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 1 a + ≥ 27 27 1 b b3 + + ≥ 27 27 1 c c3 + + ≥ 27 27 a3 + Cộng tương ứng hai vế ba bất đẳng thức ta được: a+b+c ≥ ⇔ a + b3 + c3 + ≥ 27 27 ⇔ a + b3 + c ≥ a + b3 + c3 + Suy giá trị nhỏ P a=b=c= , Bài tốn 2: Tìm giá trị bé a2 + b2 + c2 = S = x2 + y2 + z2 với P = ax + by + cz = Giá trị đạt nào? *Giải: Theo bất đẳng thức Cơsi- Bunhiacơpski ta có: ( x + y + z )( a + b + c ) ≥ (ax + by + cz ) Do S = x2 + y2 + z2 ≥ P2 36 = =9 2 a +b +c Vậy S có giá trị bé khi: x= aP 3a bP 3b cP 3c = ;y= = ;z = = 2 2 2 a +b +c a +b +c a +b +c 2 A= * Bài tốn 3: Với x khơng âm, tìm giá trị nhỏ biểu thức *Giải: SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 23 x+8 x +1 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm Ta có: x + ( x − 1) + 9 A= = = x −1+ = x +1+ −2 x +1 x +1 x +1 x +1 Vì x≥0 nªn x xác định x +1 > , x +1 >0 x +1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x +1 Ta có: A = x +1+ −2≥2 x +1 ( ) x +1 x +1 = Dấu xảy −2⇒ A≥4 x +1 ⇒x=4 x +1 Vậy giá trị nhỏ A x=4 7.3 Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho x>0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x + 2000 x Bài tập 2: Cho x>0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2x2 − 6x + 2x Bài tập 3: Cho x> y x y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − 12 xy + y x− y Bài tập 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức − x + x −1 Bài tập 5: Tìm giá trị lớn biểu thức SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 24 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm (2 x − 1)(2 − x ) Bài tập 6: Tìm giá trị lớn biểu thức x 25 − x Một số tập nâng cao x, y , z , t Bài tập 1: Cho số thực dương thỏa mãn xyzt = Chứng minh rằng: 1 1 + + + ≥ x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) 3 *Chứng minh: 1 1 ; y = ; z = ;t = a b c d x= Đặt , theo đề ta có = x ( yz + zt + ty ) a3 abcd = 1 = a2 b+c+d 1 + + bc dc bd 1 b2 = = 1 a+c+d y ( xz + zt + tx ) + + b ac cd da 1 c2 = = 1 a+b+d z ( yt + xt + xy ) + + c bd ad ab 1 d2 = = 1 a+b+c t ( yz + zx + xy ) + + d bc ca ab (1) Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: 1 1 + + + x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) = a2 b2 c2 d2 + + + b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có: SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng 25 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm a2 b2 c2 d2 (a + b + c + d ) a + b + c + d + + + ≥ = b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c 3( a + b + c + d ) (2) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a + b + c + d 44 abcd ≥ = 3 (3) Từ (1), (2) (3) suy 1 1 + + + ≥ x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) 3 *Nhận xét: Ta thấy toán khó, khó tốn khó nhận dấu hiệu để áp dụng bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải biết cách phân tích để đưa bất đẳng thức quen thuộc vận dụng bất đẳng thức cách linh hoạt Để giải toán ta phải sử dụng đến hai bất đẳng thức khác lúc, bất đẳng thức Cơsi Schwart A= Bài tập 2: Cho số thực dương x, chứng minh x + 27 ≥9 x2 *Chứng minh: Ta có: A= Vì x>0 x + 27 27 27 = 2x + = x + x + 2 x x x x, x, nên ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x+x+ 27 x2 ta có: 27 27 ≥ 33 x.x ⇒ A ≥ x x *Nhận xét: Đây dạng tốn khơng q khó học sinh đòi hỏi học sinh phải linh hoạt việc vận dụng bất đẳng thức để giải toán Ta thấy hai số dương 2x 27 x2 có tích khơng phải số Muốn khử SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 26 x2 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng tử phải có x = x.x phải biểu diễn GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm 2x = x + x dùng bất đẳng thức Côsi cho số dương x, y , z Bài tập 3: Cho số thực không âm thỏa mãn x+ y+z =2 Chứng minh: x2 y2 z2 A= + + ≥1 y+z z+x x+ y *Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x2 y+z y+z ta được: x2 y+z x2 y + z x + ≥2 = = x y+z y+z (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương y2 z+x z+x ta được: y2 z+x y2 z + x y + ≥2 = = y z+x z+x Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương z2 x+ y x+ y (2) ta được: z2 x+ y z2 x + y z + ≥2 = = z x+ y x+ y (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta : x2 y2 z2 x+ y+z + + + ≥ x+ y+ z y+z z+x x+ y x2 y2 z2 x+ y+z + + ≥ y+z z+x x+ y ⇒ A ≥1 ⇒ SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 27 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm *Nhận xét: Ta thấy để ngun A khó giải tốn A khơng có dấu hiệu quen thuộc để ta áp dụng bất đẳng thức để giải toán Ta thêm x+ y y+z vào hạng tử thứ ba y+z z+x x+ y , , vào hạng tử thứ z2 x+ y x2 y+z , z+x vào hạng tử thứ hai mẫu hạng tử A, từ giải tốn cách dễ Bài tập 4: Chứng minh với số tự nhiên S= 1 = < , ∀k ≥ 2 k k k (k − 1) k Suy 1 = − k (k − 1) k − k 1 < − k −1 k k Cho k nhận giá trị từ đến n ta có: 1 < − 22 1 < − 32 1 < − n −1 n n Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng n≥2 1 1 + + + + < 2 n *Chứng minh: Lại có , để vận dụng bất đẳng thức Côsi ta khử dàng Xét y2 z+x 28 ta ln có Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm 1 1 1 1 + + + + < − ⇒ + + + + < n n n S= hay 1 1 + + + + < 2 n (đpcm) *Nhận xét: Ta thấy hạng tử S có dạng thức 1 1 ≤ = − k k k (k − 1) k − k k2 , ta áp dụng bất đẳng cho hạng tử S, cộng vế theo vế bất đẳng 1− thức lại với vế phải bất đẳng thức lại n , từ ta giải toán cách dễ dàng Ứng dụng bất đẳng thức vào việc giải phương trình Bài tốn 1: Giải phương trình x4 + = x4 + + x4 − *Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có: x4 + ≥ x2 (1) (a + b) ≤ 2(a + b ) ⇔ a + b ≤ 2(a + b ) Theo bất đẳng thức Schwarz ta có: (*) Trở lại tốn, áp dụng bất đẳng thức (*) ta có x + + x − ≤ 4( x + 4) + 4( x − 4) ⇔ x4 + + x4 − ≤ x2 Từ (1) (2) ta có dấu xảy x = ⇒ x=∅ 4 x + = x − SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 29 (2) Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn 2: Giải phương trình 13 x − x + x + x = 16 *Giải: Áp dung bất đẳng thức Cơsi ta có 4(1 − x ) + x − 3x ⇒ x2 − x4 ≤ 2 2 − 3x 52 − 39 x ⇒ x2 − x4 ≤ ⇒ 13 x − x ≤ 4 4(1 − x ) x ≤ Tương tự ta có x + 4(1 + x ) 13 x + ⇒ x2 + x4 ≤ 2 39 x + 12 ⇒ x2 + x4 ≤ x 4(1 + x ) ≤ Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta 13 x − x + x + x ≤ 16 Dấu xảy 4(1 − x ) = x 2 ⇒x= 2 9 x = 4(1 + x ) 13 x − x + x + x = 16 Vậy phương trình SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng x= 30 có nghiệm 5 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm C KẾT LUẬN Qua nghiên cứu, tiểu luận đạt số kết sau: Hệ thống lại khái niệm, tính chất kiến thức liên quan đến bất đẳng thức Tìm hiểu sâu số bất đẳng thức quan trọng, đưa tập vận dụng cho bất đẳng thức để học sinh nắm vững kiến thức bất đẳng thức Hướng dẫn học sinh thủ thuật chứng minh bất đẳng thức dấu hiệu nhận biết để áp dụng bất đẳng thức cho phù hợp Đưa số tập bất đẳng thức mức độ khó để học sinh có học lực khá- giỏi phát triển tư Đưa đánh giá nhận xét để học sinh hiểu rõ chất toán từ học sinh tự giải tốn tương tự SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 31 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Kỳ- Hoàng Thanh Hà, Đại số sơ cấp thực hành giải toán, NXB Đại Học Sư Phạm, 2005 [2] Võ Quốc Bá Cẩn- Trần Quốc Anh, Bất đẳng thức lời giải hay, NXB Hà Nội, 2009 [3] Vũ Đình Hòa, Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo Dục, Hà Nội, 2005 [4] website http://m.tailieu.vn, http://toan.hoctainha.vn SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 32 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng 33 Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng MỤC LỤC SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm ... kiến thức bất đẳng thức đưa số bất đẳng thức quan trọng Chương 2: Đưa tập vận dụng cho bất đẳng thức, số tập nâng cao ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Một số. .. bất đẳng thức quan trọng, đưa tập vận dụng cho bất đẳng thức để học sinh nắm vững kiến thức bất đẳng thức Hướng dẫn học sinh thủ thuật chứng minh bất đẳng thức dấu hiệu nhận biết để áp dụng bất. . .Một số bất đẳng thức quan trọng áp dụng GVHD: Huỳnh Th ị Mai Trâm Phạm vi nghiên cứu - Hệ thống tính chất bất đẳng thức - Các kiến thức liên quan Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp lại kiến thức