Khóa luận tốt nghiệp TÍCH PHÂN LEBESGUE

Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ Sau đó nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những hạn chế của tích phân Riemann. Cụ thể, khi phân tích cách xây dựng tích phân Riemann của một hàm số trên đoạn ta thấy rằng trong quá trình chia nhỏ đến khi các đoạn chia này nhỏ dần thì hiệu của tổng Darboux trên và dưới của phải tiến tới 0. Tức là muốn tích phân tồn tại thì hàm số phải khá liên tục, hay nói chính xác hơn là phải liên tục hầu khắp nơi. Đó là lý do vì sao tích phân Riemann đó là lý do vì sao tích phân Riemann không thể áp dụng được cho những hàm số quá ư là gián đoạn. Để vượt qua sự hạn chế ấy, Lebesgue đã đề ra ý kiến độc đáo là khi chia nhỏ đoạn không nên nhóm các điểm gần nhau trên mà nhóm các điểm sao cho giá trị của hàm số gần nhau. Nghĩa là không nên chia thành từng đoạn nhỏ mà nên chia nó ra thành từng tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của hàm số. Theo quan điểm đó, Lebesgue đã xây dựng được một khái niệm tích phân tổng quát, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn nên nó được gọi là tích phân Lebesgue.

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN  BÙI VIẾT TÂN VỀ TÍCH PHÂN LEBESGUE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 05 năm 2017 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: VỀ TÍCH PHÂN LEBESGUE Sinh viên thực BÙI VIẾT TÂN MSSV: 2113010145 CHUN NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN KHĨA 2013 – 2017 Cán hướng dẫn ThS NGUYỄN THỊ BÍCH LÀI MSCB: Quảng Nam, tháng 05 năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn ThS Nguyễn Thị Bích Lài Tác giả Bùi Viết Tân LỜI CẢM ƠN Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến q thầy, giáo thuộc Khoa tốn, quý thầy cô Ban giám hiệu trường Đại học Quảng Nam, tạo điều kiện giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ths Nguyễn Thị Bích Lài, người ln giúp đỡ, động viên, tận tình hướng dẫn em trình thực khóa luận Em xin cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè người thân tạo điều kiện, động viên giúp đỡ tơi q trình học tập thực khóa luận Tác giả Bùi Viết Tân MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài .1 Mục tiêu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .1 Cấu trúc đề tài B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Đại số,  - đại số 1.1.1 Đại số 1.1.2  - đại số .3 1.2 Độ đo số tập hợp 1.2.1 Hàm tập 1.2.2 Độ đo 1.2.3 Một số tính chất độ đo 1.3 Độ đo 1.3.1 Định lý Carathéodory 1.3.2 Định lý thác triển n 1.4 Độ đo Lebesgue � 1.4.1 Độ đo đường thẳng 1.4.2 Độ đo không gian Euclide n chiều 1.5 Hàm đo 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Một số tính chất 1.5.3 Các phép toán hàm số đo .8 1.6 Hàm tương đương hầu khắp nơi 1.6.1 Định nghĩa 1.6.2 Nhận xét .8 1.7 Hội tụ theo độ đo 1.7.1.Định nghĩa 1.7.2 Một số tính chất 1.8.1 Hàm đặc trưng 1.8.2 Hàm đơn giản 1.8.3 Định lý 1.8.4 Nhận xét .9 Chương 2: Tích phân Lebesgue 11 2.1 Tích phân hàm đơn giản khơng âm 11 2.1.1 Định nghĩa 11 11 2.1.2 Một số tính chất 2.2 Tích phân hàm đo không âm 16 2.2.1 Định nghĩa 16 16 2.2.2 Một số tính chất 2.2.3 Mệnh đề 18 2.2.4 Mệnh đề 18 2.2.4 Mệnh đề 19 2.3 Tích phân hàm đo 19 2.3.1 Định nghĩa 19 2.3.2 Nhận xét 19 2.4 Tính cộng tính tích phân 20 2.4.1 Mệnh đề 20 2.4.2 Hệ .21 2.5 Tính bảo tồn thứ tự tích phân 21 2.5.1 Mệnh đề 21 2.5.2 Hệ .22 2.6 Tính tuyến tính tích phân 23 2.6.1 Mệnh đề 23 2.7 Tính khả tích tích phân 25 2.7.1 Mệnh đề 25 2.7.2 Định lý 26 2.7.3 Định lý 27 2.7.4 Định lý 27 2.7.5 Định lý 28 2.8 Qua giới hạn dấu tích phân .29 2.8.1 Định lý Levi .29 2.8.2 Định lý hội tụ đơn điệu 29 2.8.2.1 Định lý 29 2.8.2.2 Hệ 30 2.8.4 Bổ đề Fatou 30 2.8.4.1 Bổ đề 30 2.8.4.2 Nhận xét 31 2.8.4.3 Mệnh đề 32 2.9 Định lý hội tụ, bị chặn 32 2.9.1 Định lý 32 2.9.2 Hệ .33 2.9.3 Định lý 33 2.9.4 Định lý (Tính liên tục tuyệt đối tích phân) 34 2.9.5 Định lý 35 2.10 So sánh tích phân Lebesgue tích phân Riemann 35 2.10.1 Định lý 35 2.10.2 Định lý 37 2.10.3 Định lý 37 2.10.4 Nhận xét 38 2.10.4 Tích phân Lebesgue xem hàm tập .38 2.10.4.1 Định nghĩa 38 2.10.4.2 Định lý 38 2.10.4.2 Nhận xét 39 2.11 Mối liên hệ tích phân Lebesgue khơng gian metric 40 2.11.1 Mệnh đề .40 2.11.2 Mệnh đề .43 2.12 Tính đồng liên tục (Định lý Vitali) 45 Chương Ứng dụng tích phân Lebesgue để giải tốn tích phân 47 Dạng 1: Tính khả tích .47 Dạng 2: Tính hội tụ, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ theo độ đo 53 Dạng 3: Liên hệ tích phân Riemann tích phân Lebesgue .57 C KẾT LUẬN 66 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tích phân tổng qt nhà tốn học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu kỷ  Sau hồn thiện đáng kể nhiều nhà toán học lớn Lý thuyết khắc phục hạn chế tích phân Riemann Cụ thể, phân tích cách xây dựng tích phân Riemann hàm số f đoạn , ta thấy trình chia nhỏ đến đoạn chia nhỏ dần hiệu tổng Darboux f phải tiến tới Tức muốn tích phân tồn hàm số phải liên tục, hay nói xác phải liên tục hầu khắp nơi Đó lý tích phân Riemann lý tích phân Riemann áp dụng cho hàm số gián đoạn Để vượt qua hạn chế ấy, Lebesgue đề ý kiến độc đáo chia nhỏ đoạn , khơng nên nhóm điểm gần  mà nhóm điểm cho giá trị hàm số gần Nghĩa không nên chia  thành đoạn nhỏ mà nên chia thành tập hợp nhỏ, tập bao gồm điểm ứng với giá trị gần hàm số Theo quan điểm đó, Lebesgue xây dựng khái niệm tích phân tổng quát, áp dụng cho tất hàm số đo bị chặn nên gọi tích phân Lebesgue Với mong muốn tìm hiểu nắm vững kiến thức liên quan đến tích phân Lebesgue, mong muốn cung cấp thêm nguồn tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên học tập nghiên cứu đề tài liên quan đến tích phân Lebesgue, với hướng dẫn giáo Nguyễn Thị Bích Lài nên tơi chọn đề tài: “Về tích phân Lebesgue” làm đề tài khóa luận cho Mục tiêu đề tài Hệ thống tính chất tích phân Lebesgue ứng dụng tích phân để giải số dạng tập liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tích phân lebesgue vấn đề liên quan đến tích phân Lebesgue Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp kiến thức học - Phân tích nội dung kiến thức cần nghiên cứu - Sưu tầm tài liệu từ sách, mạng internet - Tham khảo ý kiến chuyên gia Cấu trúc đề tài Đề tài gồm có phần: - Phần 1: Mở đầu - Phần 2: Nội dung - Phần 3: Kết luận - Phần 4: Tài liệu tham khảo B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Đại số,  - đại số 1.1.1 Đại số Cho X �� Một lớp M tập tập X gọi đại số nếu: �M �X c � A �M � A  X \ A �M � A �M , B �M � A �B �M 1.1.2  - đại số Cho X �� Một lớp M tập tập X gọi  - đại số nếu: �X �M c � A �M � A  X \ A �M � � Ai �M , i �{1, 2, 3, } � U Ai �M i=1 1.2 Độ đo số tập hợp 1.2.1 Hàm tập Cho X �� M  - đại số X Hàm μ: M � [0 ;  �) gọi hàm tập Hàm tập μ gọi cộng tính với A �M , B �M , A �B  � A �B � M nếu: μ( A �B )  μ(A)  μ(B) {A } �� M ,ƹ Ai Hàm tập μ gọi   cộng tính với i Aj (i j) � U Ai �M i=1 nếu: � μ( U Ai )  i=1 � �μ(A ) i i=1 1.2.2 Độ đo Cho M đại số X Hàm tập μ xác định M gọi độ đo M nếu: lim � f n dμ  n �� (f n ) n�� Bài 5: Cho dãy hàm A xác định � bởi: � f(x)  �n x �n � x  n Giải : x �n n �� Lấy x �� Khi tồn cho Do f n (x) = n với n �n Vì f n � � Nhưng f dμ  μ((n, n))  2, n �� n � n A Nên lim � f n dμ  n �� A (f ) Bài 6: Cho không gian đo ( X , A ,μ) Giả sử n n�� f hàm đo khả tích A�A lim Giả sử f  f dμ  � n �� n A Chứng minh rằng: μ a) f n � f A f dμ  � f dμ � lim b) n �� n A A Giải: A  {x �A :| f n  f |ε} � a) Cho ε  0, với n �� đặt n lim Từ f  f dμ  � lim μA � n � � b) Từ n n �� A n  μ Hay f n � f A f n f khả tích, ta có: (| f � A n |  | f |)dμ  � | f n |dμ  � | f |dμ �� (| f n  f |)dμ A A A Cho n � �, ta được: lim (| f � n �� A n |  | f |)dμ �lim (| f � n � � 60 A n  f |)dμ  Khi đó: Suy ra: lim f dμ  � f dμ � n �� n A A Dạng 3: Liên hệ tích phân Riemann tích phân Lebesgue Bài 1: Tính tích phân hàm sau E  [0; �) : a) f(x)  e  x b) f(x)  [x]! c) f(x)  e [x] Giải: � � n=1 n=1 A  [0, �)  U [0, n]= U An , a) Đặt (L) �e x dx = (L) lim x �e n �� [0,n] [0, �) An  [0, n] Dãy An tăng, với f(x)  nên: n  (R) lim � e  x   lim e  x |0n  lim (1  e n )  n �� n �� n �� b) Ta có: 1 1 � � dμ = � χ [0, +�) dμ = � χ[0, +�) dμ = � U χ[n, n+1) dμ = � �χ [n, n+1) dμ � [x]! [x]! [x]! [x]! n=0 [x]! n=0 [0, �) [0, �) [0, �) [0, �) [0, �) = � [n, dμ n+1) = �[x]!.χ� n=0 [0, �) � χ ��[x]! � � [0, �) n=0 n=0 [n, n+1) n=0 c) Ta có: �e [x] dμ = [0, �) �e [x] χ [0, +�)dμ = [0, �) = � [x] �e χU n=0 � n=0 [n] dμ = [n, n+1) �dμ [n, n+1) e�.[x] χ� [n, dμ n+1) n=0 [0, �) n=0 [0, �) �e χ [0, +�)dμ � [n, dμ n+1) = � �e χ� [x] = [x] [0, �) [0, �) = �e � �e�χ [x] dμ [n, n+1) [0, �) n=0 = e e 1 �sinx � π� 0, : f(x)  � � � sin x � Bài 2: Tính tích phân hàm số sau � � 61 �[n]! dμ �= �n! e. dμ = [n, n+1) cosx �� cosx � Giải: A  {x �[0, Đặt π π ]| cosx B  {x �[0, ]| cosx 2 hữu tỷ } vô tỷ } A �B  [0, Khi A �B  � π ] Ta có: π ] � [0, 1] x a cosx song ánh φ :[0, Do đó, A có lực lượng lực lượng tập số hữu tỷ [0,1] Suy ra: μA  mà (L) Vậy: μ(A �B )  μA  μB  π π � μB  2 [0, π ] 2 B f(x)dx, � π b) f(x)dx, � c) f(x)dx, � π sin xdμ  (L) � sin xdμ  (R) � sin xdx  �f(x)dμ  (L)� [0, π ] Bài 3: Tính tích phân: a) π với � x + 1, x �� f(x)  � �x , x � � cosx, x ��\ � � f(x)  � � sinx, x �� với �1, x �D f(x)  � �2, x �D với � sinπx, x �[0, ) �D c � � f(x)  � cosπx, x �[ ,1] �D c � f(x)dx, �2 � �x , x �D d) với �sinπx, x �D � f(x)  � f(x)dx, � � x , x �D � e) với c Với D tập Cantor, D  [0, 1] \ D Giải: 62 2 a) Ta có f(x)  g(x)  x +1 [0,1] tập số hữu tỷ đoạn [0,1] có độ đo Lebesgue Do đó: (L) (x +1)dx  �f(x)dμ  (L) �(x +1)dμ  (R)� [0,1] [0,1] b) Ta có f(x)  g(x)  cosx π π [0, ] [0, ] tập số hữu tỷ đoạn có độ đo Lebesgue Do đó: π cosxdx  �f(x)dμ  (L) �cosxdμ  (R) � (L) π [0, ] π [0, ] c) Ta có f(x)  g(x)  [0,1] μD  nên: 2dx  �f(x)dμ  (L) �g(x)dμ  (L) �2dμ  (R)� (L) [0,1] [0, ] [0,1] � sinπx, x �[0, ) � � f(x)  g(x)  � � c osπx, x �[ , 1] � d) Ta có [0,1] μD  nên: (L) sinπdx  (R) � cosπdx  �f(x)dμ  (L) �g(x)dμ  (L) �sinπxdμ  (L) �cosπxdμ  (R)� [0,1] [0, ] [0,1] e) Ta có (L) f(x)  g(x)  x [0,1] μD  nên: �f(x)dμ  (L) �g(x)dμ  (L) � [0,1] [ ,1] [0,1] [0, ] x dμ  (R) � [0, ] Bài 4: Kiểm tra tính khả tích (L) hàm số sau: a) b) f(x) = , x �[1, �) x2 h(x) = , x �(0,1] x g(x) = c) 1-x , x �[0,1] Giải: 63 x dμ  2 a) Ta có: f(x) = 0 x2 khả tích Riemann theo nghĩa suy rộng [1, �) � n 1 (R) �2 dx  lim (R) �2 dx  lim (1  )  n �� n �� x x n 1 Nên ta có: � � n 1 1 (L) �2 dx  (R) �2 dx  lim (R) �2 dx  lim (1  )   � n � � n � � x x x n 1 Vậy hàm f(x) khả tích (L) [1, �) b) Ta có: h(x) = 0 x khả tích Riemann theo nghĩa suy rộng (0,1] 1 1 (R) �dx  lim (R) �dx  lim (ln1  ln )  � n �  � n �  � x n x n Nên ta có: 1 1 1 (L) �dx  (R) �dx  lim (R) �dx  lim (ln1  ln )  � n �  � n �  � x x n x 0 n Vậy hàm h(x) khơng khả tích (0,1] g(x) = c) Ta có: 1 x2 0 khả tích Riemann theo nghĩa suy rộng [0,1], dxπ (R) �  arcsinx |10  2 1 x Nên ta có: 1 dxπ (L) � (R) �  arcsinx |10  2 1 x 1 x 0 Bài 5: Chứng minh rằng: dx �e  ax (0, �) dμ  , a  a Giải: Ta có �f n (x)  eχ ax (0,, n) a, x. Lại có: eχ ax (0, n) � e χax (n (0, �) � )� f n (x) � Suy ra: (L) (0, �) n  ax n 1  ax  ax  ax e dμ  (R) lim e dμ  lim (  e )   lim (e  1)  n �� � n ��� n �� n �� a a a (0,n)  ax �e dμ  (L) lim 64 Bài 5: Tính : � �2x �x �  x �x a) lim � e cos � �  e sin � � � n �� �n � �n � � b) lim n �� n + 2x � (n + 1)(x  1) � � dx � � � � � dx Giải: �x � �x � f n  e 2x cos � � e x sin � � �n � �n � a) Đặt �x � cos � �� �n � Ta có n � � �x � sin � �� �n � n � � 2x Do f n � e n � � � Mặt khác, ta có: f n �e 2x e x 2x (e �  e  x )dx  Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta được: � lim n �� b) Đặt Ta có fn  fn � � �f dx  lim �e n n �� 0 2x dx  n  2x (n  x)(x  1) x  n � � n + 2x 2n + 2x 2 � 2 fn � 2 n+x x + hàm số x + khả tích (L) Mặt khác, n + x nên [0, �) Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebegue, ta có: � lim n �� � 1π � dx  arctanx  n �� � x +1 f n dx  lim � Bài 6: 65 � n,  x < � � n f n (x)  � � 0, �x  � n Cho a) Tính lim f n (x), lim � f n (x)dx n �� n �� g(x) �f n (x), n b) Có tồn hay khơng hàm số g(x) khả tích cho Giải: a) Ta có: x �(0,1) tồn N đủ lớn cho �x � f n (x)  0, n  N � lim f n (x)  n �� N n lim � f n (x)dx  lim � ndx  n �� Lại có: b) Vì n �� 0 1 0 lim � f n (x)dx  �0  � lim f n (x)dx n �� n �� nên theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue suy f không bị chặn nên không tồn hàm g thỏa mãn yêu cầu toán Bài 7: Tính tích phân sau: dμ �1 + x a) [0, �) dμ �x b) (0,1] Giải: a) Đặt f(x) = , A  [0, �) + x2 � Ta có A  U An [0,n), Υ An , f(x)>0 với An � n=1 x [0,+ ) nên: n dμ dμ dμ π n  lim (L)  lim (R)  lim arctanx |  2 � � � n �� n �� n �� + x + x + x [0, �) [0, n) (L) f(x) = b) Đặt � Ta có , A  (0,1] x A  U An n=1 An  [ , 1], An �, f(x)>0 x �(0,1] n với nên: 66 dμ dμ dμ (L) �  lim (L) �  lim (R) �  lim x |11  n �  � n �  � x x x n �� 1 n [0,�) [ ,1] n π � Bài 8: Tính: (1  �� n sinx ) n cosxdx n=0 Giải: x �[0, Đặt π ], đặt: f n (x) =(1 g n (x) = sinx ) n cosx  k=0 � n �fk (x) f n (x) �g n (x) Z g(x), g(x)  �f k (x) Khi đó: n � � k=0 Do áp dụng định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue, ta được: π π 0 π � lim � g n (x)dx  � lim g n (x)dx  � ( �f k (x))dx n � � π n �� �  � � ��1  sinx k=0 0� k=0  k π  � � � cosx � dx  � cosx �1  sinx � � � k=0 π  k � dx � � π π cosx(1  (1  sinx ) ) cosx � dx (n � +�)  � dx  sinx |02   (1  sinx ) sinx 0 n ln(x + n)  x e cosxdx n �� n lim Bài 9: Tính � Giải: Đặt f n (x) = ln(x + n)  x e cosx, n = 1, 2, 3, lim f n (x)  n Ta có: n �� (0,1) 1 ln(x+n)  x x e x   f(x)  e cosx �e , n � e n mà Do đó, áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta được: 1 ln(x + n)  x ln(x + n)  x lim e cosxdx  � lim e cosxdx  � 0dx  n ��� n n � � n 0 α Bài 10: Với giá trị α hàm f(x) = x sinx khả tích [1, �) : a) Theo nghĩa Lebesgue? b) Theo nghĩa Riemann suy rộng? c) Khả tích tuyệt đối theo nghĩa Riemann suy rộng? 67 Giải: Xét α �0 Ta có: � π 2π 3π (n+1)π 4π x sinxdx + (  1) � x |sinx|dx + � x |sinx|dx + (  1) � x |sinx|dx + + (  1) �x |sinx|dx �x sinxdx = � α α α 1π α 2π π 3π � =� x sinxdx + �(  1) α n α nπ (n+1)π n n=1 α �x |sinx|dx α nπ (n+1)π �x |sinx|dx, α Áp dụng định lý giá trị trung bình mở rộng tích phân nπ nên tồn α t n �[nπ, (n+1)π], cho: �α (n+1)π �t n �|sinx|dx (n+1)π (n+1)π � nπ x α |sinx|dx = t αn �|sinx|dx = � (n+1)π � nπ nπ �α n �t n �|sinx|dx n � nπ = 2t αn � Vậy �(  1) x sinxdx � α n phân kỳ nên Nếu α  0, phân kỳ Đặt n n=1 � nα � f(x)  �(  1) t nπ �(  1) t n=1 � n α �x |sinx|dx  n=1 � Mà (n+1)π nα � phân kỳ sinx x sinxdx = � � x α α dx 1 ; g(x)=sinx f '(x) = α 1α lim f(x) = α x x Khi x �� liên tục [1,b], b  G(x) = � g(x)  � sinx �1, x �[1, �) � Theo dấu hiệu Dirichlet suy Vậy G(x) bị chặn [1, �) x sinxdx � α 68 hội tụ � Vì sinx �x dx α 1 α � ( 1,0),  hội tụ không hội tụ tuyệt đối |x sinx| �|x sinx|  � � sinx |x 1sinx| = � | | � x x �1 mà 1 phân kỳ nên � x α |sinx|dx � � phân kỳ hay x sinxdx � α không ( 1,0)  hội tụ tuyệt đối |α � � � dx x dx = α α � � x  α hội tụ α  nên Nếu α  1, ta có |x sinx| � | x | x �1 α � x sinxdx � α hội tụ tuyệt đối Vậy, ta có: � x sinxdx α  1, � α a) khả tích Lebesgue [1, �) � �x sinxdx � α b) α  0, �x sinxdx α khả tích Riemann theo nghĩa suy rộng (do theo tiêu chuẩn Dirichlet) [1, �) c) α  1, hàm khả tích tuyệt đối theo nghĩa Riemann suy rộng [1, �) 69 hội tụ 70 C KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu hoàn thành nội dung sau : - Xây dựng tích phân Lebesgue từ độ đo Lebesgue, hàm đo Lebesgue, tích phân Lebesgue, chuyển qua giới hạn lấy dấu tích phân - Chỉ mối liên hệ tích phân Lebesgue tích phân Riemann - Ứng dụng tích phân Lebesgue để giải tập liên quan (khả tích, hội tụ khắp nơi, hội tụ theo độ đo) Do thời gian làm khóa luận khơng nhiều kiến thức thân hạn chế nên đưa hết tất nội dung liên quan đề tài vào khóa luận Đồng thời, khơng thể tránh sai sót, nhầm lẫn q trình làm nên tơi mong nhận góp ý thầy bạn đọc 71 72 D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Quang Anh, Measure and Intergration Problems with Solutions, 2013 [2] Nguyễn Định (chủ biên), Nguyễn Ngọc Hải, Các định lý tập hàm thực, NXBGD, 2001 [3] Lương Hà, Lý thuyết độ đo tích phân, NXB Đại Học Huế, 2006 [4] Nguyễn Văn Toản, Bài tập giải tích đại, , NXB Đại Học Huế, 2003 73 ... quan đến tích phân Lebesgue, với hướng dẫn cô giáo Nguyễn Thị Bích Lài nên tơi chọn đề tài: “Về tích phân Lebesgue làm đề tài khóa luận cho Mục tiêu đề tài Hệ thống tính chất tích phân Lebesgue. .. dụng tích phân để giải số dạng tập liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tích phân lebesgue vấn đề liên quan đến tích phân Lebesgue Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp kiến thức học - Phân tích. .. dụng tích phân Lebesgue để giải tốn tích phân 47 Dạng 1: Tính khả tích .47 Dạng 2: Tính hội tụ, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ theo độ đo 53 Dạng 3: Liên hệ tích phân Riemann tích