Tích tenxơ là phép toán quan trọng của toán học. Các kết quả của phép tính tenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều ngành toán học khác như giải tích, đại số và hình học. Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong một số ngành khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hóa học, sinh học,…Phép tính tenxơ vừa là công cụ, vừa là đối tượng nghiên cứu của một số chuyên ngành toán học
Tích Tenxơ MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tích tenxơ phép tốn quan trọng tốn học Các kết phép tính tenxơ có ứng dụng sâu sắc nhiều ngành toán học khác giải tích, đại số hình học Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng số ngành khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hóa học, sinh học,…Phép tính tenxơ vừa cơng cụ, vừa đối tượng nghiên cứu số chuyên ngành toán học Thấy tầm quan trọng ứng dụng thực tiễn tích tenxơ, mong muốn mở rộng kiến thức học hỏi, thân việc tìm hiểu, nghiên cứu tích tenxơ Cùng với giúp đỡ giảng viên môn Đại số đại cương nâng cao, tơi xin chọn đề tài “Tích tenxơ ” làm đề tiểu luận cho Mục đích nghiên cứu Thơng qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích tìm hiểu sâu tích tenxơ từ giải số tập vận dụng Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, định nghĩa, Định lí, mệnh đề tích tenxơ Đối tượng nghiên cứu - Tích tenxơ hai mơđun - Tích tenxơ hai đồng cấu - Tích tenxơ dãy khớp - Tích tenxơ tích trực tiếp tổng trực tiếp - Quan hệ Hom tích tenxơ Phạm vi nghiên cứu - Hệ thống lí thuyết tích tenxơ - Các kiến thức liên quan Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp lại kiến thức học - Phân tích nội dung kiến thức cần nghiên cứu - Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet - Hỏi ý kiến chuyên gia SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang Tích Tenxơ NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa môđun 1.1 Định nghĩa Cho A vành có đơn vị ≠ M nhóm cộng aben, với ánh xạ µ từ A �M vào M, tạo nên phép tốn nhân ngồi xác định bởi: ax µ a.x với a �A x �M Với phép cộng vốn có M phép nhân ngồi xác định M gọi A-môđun trái tiên đề sau thỏa mãn: ( M ) : a x y ax ay, ( M ) : a b x ax bx, ( M ) : ab x a bx , ( M ) : 1x x với a, b �A x, y M 1.2 Chú ý Nếu Tiên đề M thay bởi, ab x b ax M gọi A-mơđun phải Và ta thấy ngay, vành A giao hốn hai khái niệm môđun trái môđun phải Cũng cần lưu ý rằng, trình bày mơđun phải theo kiểu phần tử vô hướng đặt bên phải Tiên đề M viết x ab xa b ta có x ab ab x b ax ax b xa b Trong tồn giáo trình này, ta xét lớp môđun trái, để thuận tiện, ta dùng từ ‘mơđun’ thay cho ‘mơđun trái’ 1.3 Ví dụ (i) Mỗi ideal trái vành A A-môđun Đặc biệt, ideal A A-môđun thân A A-môđun (ii) K trường K-mơđun khơng gian vectơ K (iii) Mỗi nhóm aben cộng M coi �-mơđun với phép tốn nhân ngồi xác định sau: Với x �M n ��thì nx x x x x (tổng gồm n phần tử x) với n nguyên dương, x 0M ; nx n x n nguyên âm SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang Tích Tenxơ 1.4 Nhận xét Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ khái niệm mơđun khái niệm tổng quát khái niệm: vành, ideal, khơng gian vectơ nhóm aben Ngồi ra, mơđun tự ln �-mơđun 1.5 Định lí Với A mơđun M, ta ln có: (i) A x 0 M a0M với x �M a �A (ii) a x ax a x với x �M a �Ax.v Chứng minh Ta có A x (0 A 0 A ) x 0 A x 0 A x nên A x 0 M Tương tự ta có: a0 M a(0M 0M ) a0M a0M nên a 0M 0 M Vậy ta có (i) Do 0M 0 A x (a a x ax a x nên a x ax Để ý rằng: 0 M a0M a x x ax a x nên – ax a x (đpcm) Đồng cấu môđun 2.1 Định nghĩa Một ánh xạ f từ A-môđun M vào A-môđun M’ gọi đồng cấu Amơđun hay ánh xạ tuyến tính f thỏa mãn hai tính chất sau: (i) f x y f ( x) f ( y ) với x, y �M (ii) f (ax ) fa ( x ) với a �A x �M Nếu đồng cấu f đơn ánh, tồn ánh, song ánh, tương ứng gọi đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Nếu f M M ' f gọi đồng cấu 1 không thường viết Ta kí hiệu Kerf f gọi hạt nhân hay hạch f, Im f f M gọi ảnh f Cokerf M ' Im f gọi đối hạch f, Coim f M Kerf gọi đối ảnh f Một đồng cấu từ M vào M gọi tự đồng cấu M Hai A-môđun M M’ gọi đẳng cấu viết M M ' tồn đẳng cấu A-môđun từ M đến M’ SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang Tích Tenxơ 2.2 Nhận xét Cho A-đồng cấu môđun f : M � M' Khi f đồng cấu không Kerf M f toàn cấu Im f M , nên f x f x với x �M 2.3 Ví dụ (i) Cho N mơđun A-mơđun M ta có mơđun thương M N Khi quy tắc p : M � M cho p x x đồng cấu A-mơđun Hơn nữa, p N tồn cấu gọi tồn cấu chiếu tắc Tồn cấu có Kerp N (ii) Với môđun N A-môđun M, ánh xạ nhúng i:N �M biến phần tử N thành đơn cấu, gọi đơn cấu tắc hay phép nhúng tắc từ N vào M Mệnh đề đơn giản giúp cho việc kiểm tra đồng cấu có phần nhanh chóng kiểm tra qua định nghĩa 2.4.Mệnh đề Xét ánh xạ f : M � M ' đồng cấu A-môđun f (ax by ) af ( x) bf ( y ) với a, b �A x, y �M Chứng minh Giả sử f đồng cấu Khi với a, b �A x, y �M ta có: f ( ax by ) f (ax) f (by ) af ( x) bf ( y ) Ngược lại f (ax by ) af ( x) bf ( y ) với a, b �A x, y �M thì: f ( x y ) f (1x 1y ) f ( x) f ( y ) f ( x ) f ( y ) f (ax) f ( ax y) af ( x) f ( y) af ( x) Do f đồng cấu 2.5 Mệnh đề Nếu ánh xạ f : M � M ' g : M ' � M '' hai đồng cấu A-mơđun ánh xạ tích gf đồng cấu A-môđun từ M vào M '' Cho A N A-mơđun kí hiệu HomA ( M , N ) tập tất A-đồng cấu từ M vào N Trong trường hợp A vành giao hốn với f , g �HomA M , N a, b �A ta xác định đối tượng af bg sau: (af bg )( x) af ( x) bg ( x) với x �M Khi đó,bởi A vành giao hốn, nên (af bg ) cx dy c af bg x d af bg y với c, d �A x, y �M Do af bg �HomA M , N SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang Tích Tenxơ Tập HomA M , N với phép toán xác định trở thành A-môđun, gọi môđun đồng cấu từ M đến N Chú ý vành A khơng giao hốn, Hom A M , N nhóm aben với phép cộng đồng cấu Tích tổng trực tiếp môđun I là họ A-môđun số hóa Cho I tập khác rỗng Giả sử ( M ) � I Kí hiệu M ��I M tích Descartes họ ( M ) �I Khi xây dựng phép cộng M phép nhân phần tử A với phần tử M sau: x �I y �I x y �I a x �I (ax ) x �I Chúng ta thấy hai phép toán vừa xác định làm �I với a �A cho M trở thành A-môđun 3.1 Định nghĩa A-môđun M xây dựng gọi tích trực tiếp họ Amôđun M �I Nếu M N với �I ta kí hiệu П �I M bởi N I Bây M � �I M ta lấy tập �M bao gồm tất phần tử �I M với thành phần hầu hết, trừ số hữu hạn thành phần khác Khi với x x �I y y �I ��M với a, b �A thành �I phần x x �I y y �I hầu hết, trừ số hữu hạn thành phần có M thể khác 0, nên ax by (ax by ) �I Do ax by �� �I M A-môđun M Vậy � �I 3.2 Định nghĩa M gọi tổng trực tiếp họ A-môđun � M A-môđun � �I �I M N Nếu M N với �I ta kí hiệu � �I 3.3 Nhận xét Nếu họ A-môđun M �I gồm số hữu hạn mơđun tích trực tiếp tổng trực tiếp Nếu coi vành A A-mơđun tích trực tiếp n A-mơđun A kí hiệu An Đặc biệt �-môđun �n gọi lưới nguyên An không gian n-chiều thực Dãy khớp môđun 4.1 Định nghĩa Cho dãy môđun đồng cấu R- môđun: � M n 1 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng n 1� M ��� n �M ���� � n n 1 (1) Trang Tích Tenxơ Dãy (1) gọi khớp M n Im n 1 Kern ; f g Dãy khớp với môđun: � M �� � M ' ��� M '' � (*) gọi dãy khớp ngắn Imf Kerg (*) dãy khớp ngắn f đơn cấu, g toàn cầu Imf Kerg Khi đó, f đơn cấu nên ta đồng M ' �Im f Kerg g toàn cấu nên Im g M '' Do theo định lý đồng cấu mơđun, ta có M Kerg Im g hay M M '' M' 4.2 Mệnh đề: (Tiêu chuẩn chẻ dãy khớp ngắn) f g Giả sử � M �� � M ' ��� M '' � dãy khớp ngắn môđun Khi điều kiện sau tương đương: (i) f có nghịch đảo trái, tức : M � M ' đồng cấu, cho f id M (ii) g có nghịch đảo phải, tức : M '' � M đồng cấu, cho g id M '' Khi điều kiện thỏa mãn thì: M Imf �Ker Kerg �Im M ’ �M '' SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang Tích Tenxơ Chương TÍCH TENXƠ Tích tenxơ hai mơđun 1.1 Ánh xạ song tuyến tính Giả sử V vành, E V-môđun phải, F V-môđun trái, G �-mơđun Một ánh xạ f từ tích Descartes E �F hai tập hợp E F tới G gọi song tuyến tính, nếu, x1 , x2 E, y1 , y2 F, V, ta có: f ( x1 x , y ) f ( x1, y ) f ( x2 , y ) f ( x, y1 y2 ) f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) f ( x , y ) f x, y 1.2 Định nghĩa tích tenxơ mơđun Giả sử E V-môđun phải F V-mơđun trái Ta gọi tích tenxơ E F, cặp (T, f) gồm �-môđun T ánh xạ song tuyến tính f : E �F � T thỏa mãn tính chất độc xạ sau: �-môđun G ánh xạ song tuyến tính g : E �F � G , tồn �-đồng cấu h : T � G g hf , tức biểu đồ sau giao hoán: f E �F ���T g !h G 1.3 Các hệ định nghĩa Từ định nghĩa trên, hồn tồn trường hợp V-mơđun tự do, ta suy hệ sau: (i) Nếu (T, f ) tích tenxơ E F f ( E �F ) sinh T Tuy nhiên, f ánh xạ song tuyến tính Vì nói chung khơng thể đơn ánh được, trừ E F Thật f x, f x, f x, f x, f 0, y f 0, y f 0, y f 0, y nên f x, f 0, y Nhưng x, � 0, y , trừ x , y (ii) Nếu (T, f ) (T’, f ' ) tích tenxơ E F tồn đẳng : T T ' cho f ’ f 1.4 Sự tồn tích tenxơ Cho V-mơđun phải E V-môđun trái F Ta chứng minh tích tenxơ chúng tồn Ta xét tích Descartes E �F tập hợp E F dựng �-môđun tự sinh E �F Đó cặp gồm �-mơđun, mà ta kí hiệu C � E �F , đơn ánh j : E �F � C , thỏa mãn tính chất độc xạ sau: �-mơđun SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang Tích Tenxơ G ánh xạ g : E �F � G tồn nhát � -đồng cấu k : C � G g kj , tức biểu đồ sau giao hoán: j E �F �� � C � E �F = g !k G Gọi D �-môđun C sinh phần tử có dạng: ( x 1 x2 , y ) ( x1, y ) ( x2 , y ) ( x, y1 y2 ) ( x, y1 ) ( x, y2 ) x , y x, y Xét �-môđun thương C/D đồng cấu tự nhiên p : C � C / D Đặt T C / D f pj , ta chứng minh cặp (T, f ) tích tenxơ mơđun E F f E �F ��� C / D T p j C Trước hết ánh xạ f song tuyến tính Thật ta có f ( x1 x2 , y ) f ( x1, y ) f ( x2 , y ) pj ( x1 x2 , y ) pj ( x1 , y ) pj ( x2 , y ) p ( x1 x2 , y) p( x1 , y ) p ( x2 , y ) p[( x1 x2 , y) ( x1 , y ) ( x2 , y )] tương tự f ( x, y1 y2 ) f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) f x , y f x, y Giả sử G �-môđun tùy ý g : E �F � G ánh xạ song tuyến tính Ta chứng minh tồn �-đồng cấu h : T � G cho ta có g hf f=pj j p E �F �� � C �( E �F ) ��� C / D T g h G SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang Tích Tenxơ Muốn ta lấy ảnh k phần tử sinh D Nếu tất ảnh ta có D �Kerk Khi đó, theo tính chất độc xạ môđun thương, tồn �-đồng cấu h : C / D � G cho ta có k hp Vì ta có: k[( x1 x2 , y ) – ( x1 , y ) ( x2 , y )] k[ j ( x1 x2 , y ) – j ( x1, y ) – j ( x2 , y )] kj ( x1 x2 , y ) – kj ( x1, y ) – kj ( x2 , y ) g ( x1 x2 , y ) – g ( x1 , y ) – g ( x2 , y ) tương tự: k[( x, y1 y2 ) – ( x, y1 ) – ( x, y2 )] k[( x , y ) – ( x, y )] nên tồn �-đồng cấu h cho ta có: k hp Ta chứng minh h thỏa mãn: g hf Thật vậy, ta có hf hpj kj g Cuối h’ với tính chất ấy, nghĩa h : T � G thỏa mãn h’ f h’ h Thật vậy, phần tử t T viết dạng: t �ni ( xi , yi ) D �ni (( xi , yi ) D ) �ni p ( xi , yi ) �ni pj ( xi , yi ) �ni f ( xi , yi ) i i i i i (ni )i họ số nguyên với giá hữu hạn Khi đó, ta có, t T : h’ t h '(�ni f ( xi , yi )) �ni h’ f ( xi , yi ) �ni hf ( xi , yi ) h(�ni f( xi , yi )) h t i i i i Do h’ h Tính tenxơ hai đồng cấu 2.1 Định nghĩa Giả sử f : EV � EV ’ đồng cấu V -môđun phải, g : V F � V F ' đồng cấu V -môđun trái Ta xét tích tenxơ E �V F E '�V F ' với ánh xạ tenxơ : E �F � E �V F ': E '�F ' � E '�V F ' f �g ' Hợp thành: '( f �g ) : E �F ��� � � E '�F ' ��� E '�V F ' x, y a f x , f y a SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng f x �f y Trang Tích Tenxơ rõ ràng song tuyến tính Vậy theo tính chất độc xạ tích tenxơ, tồn �-đồng cấu h : E Į�V F E' V F ' cho biểu đồ giao hoán: E �F �� � E �V F f �g = h ' E '�F ' ��� E '�V F ' �-đồng cấu h gọi tích tenxơ V-đồng cấu f g kí hiệu f �g Theo định nghĩa ta có: ( f �g )( x �y ) f x �g y Nếu V giao hốn f �g khơng �-đồng cấu mà V-đồng cấu, ta có: ( f �g )( ( x �y )) = ( f �g )( x �y ) = f x �g y = f ( x) �g ( y ) = ( f ( x) �g ( y )) = ( f �g )( x �y ) 2.2 Các tính chất (i) 1E �1F 1E �F Thật ta có x �E , y �F : (1E �1F )(x �y) (x �y) (ii) Nếu f : EV � E 'V , f ' : E 'V � E ''V đồng cấu V-môđun phải g : V F � V F ' , g ' : V F ' � V F '' đồng cấu V-môđun trái thì: f ’ f �g’g ( f ’ �g’)( f �g ) Thật vậy, ta có x �E , y �F : ( f ’ f �g’ g )( x �y ) f ’ f x �g’g y ( f ’ �g’)( f x �g y ) ( f ’ �g ’)( f �g )( x �y ) Vậy ta có: f ’ f �g’g ( f ’ �g’)( f �g ) Ta minh họa tính chất biểu đồ giao hốn sau: Nói riêng, ta có: f ’ f �1F ( f ’ �1F )( f �1F ) SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 10 Tích Tenxơ q �i ln B1 ž������� A2 B2 C3 (1’) khớp Vì n l toàn ánh nên ln toàn ánh Ngoài ln(q �i )(b1 , a2 ) = ln(qb1 ia2 ) = lnqb1 lnia2 = lnia2 = ljma2 = Vậy Im( q�i ) �Ker(ln) Đảo lại giả sử b2 �Ker(ln) Khi ta có l (n(b2 )) Vậy n(b2 ) �Kerl Imj Vậy tồn a3 �A3 cho j (a3 ) n(b2 ) Vì m toàn ánh nên tồn a 2�A2 cho m(a2 ) a3 Do n(b2 ) jm(a2 ) ni (a2 ) Vậy n(b2 i ( a2 )) , tức b2 i (a2 )� Kern Imq Vậy tồn b1 �B1 cho b2 i (a2 ) q (b1 ) , tức b2 i (a2 ) q(b1 ) (q �i )(b1 , a2 ) Do b2 �Im(q �i ) , ker ln �Im(q �i ) Vậy Im(q �i ) Ker ln , tức dãy (1’) khớp B2 Áp dụng kết vào biểu đồ trên, ta suy dãy (1) khớp Ta ý rằng, theo định nghĩa ( f �1) �(1 � f ') ta có Im[( f �1)�(1 � f ')] Im( f �1) Im(1 � f ') Do đó, dãy (1) khớp ta có: Ker ( g �g ') Im( f �1) Im(1 � f ') 3.5 Hệ luận định lí vừa chứng minh 3.5.1 Hệ luận Giả sử A môđun V-môđun phải B, A’ môđun V-môđun trái B’ i : A � B i ' : A ' � B ' phép nhúng tắc Khi ta có: B / A �V B '/ A ' ( B �V B’) / ( Im(i �1) Im(1 �i ')) 3.5.2 Chứng minh Thật vậy, ta có dãy khớp A p B ��� B / A � A’ p' B ' ��� B '/ A ' � Áp dụng định lý 3.4 ta dãy khớp: (i �1)�(1 �i ') ( A ��ľ�������ľ����Į (B V A ') V B ') B V B' p �p ' (B/ A) V ( B '/ A ') Vì p �p ' toàn cấu và: Kerp �p ' Im((i �1)�(1 �i ')) Im(i �1) Im(1 �i ') nên ta có B / A �V B '/ A ' B �V B '/ ( Im(i �1) Im(1 �i ')) SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang 16 Tích Tenxơ Tích tenxơ tích trực tiếp tổng trực tếp 4.1 Tích trực tiếp Giả sử ( Ei ) I họ V-môđun phải, ( Fj ) J họ V-môđun trái Đặt: C Ei , D J Fj I ( Ei �V E j ) Xét ánh xạ: : C �D � i, j (( xi ) I , ( yj ) J ) a ( xi �y j )i , j rõ ràng song tuyến tính Vì theo tính chất độc xạ tích tenxơ, tồn �-đồng cấu: I : C ĮD � i, j ( Ei Fj ) cho biểu đồ sau giao hoán: C �D �� � C �D = φ f ( E1 �E j ) i, j Ta có: f (( xi ) I �( y j ) J ) ( xi �y j )ij Nói chung f khơng phải đơn ánh, khơng phải tồn ánh 4.2 Tổng trực tiếp Ei , F �Fj Các phép nhúng tắc E � C F � D xác định Đặt E � I J �-đồng cấu tắc: E Į�V F C V D Ánh xạ này, hợp thành với ánh xạ f cho �-đồng cấu g: g : E ĮV� F i, j ( Ei Fj ) ( xi ) I �( y j ) J a ( xi �y j )ij Vì họ ( xi ) I ( y j ) J có giá trị hữu hạn, nên họ ( xi �y j )ij có giá trị (E i �Fj ) hữu hạn, g thật �-đồng cấu từ E �V F tới � i, j g : (�Ei ) �V (�Fj ) � �( Ei �V Fj ) I J i, j g (( xi ) I �( y j ) J ) ( xi �y j )i , j Ta chứng minh g �-đẳng cấu Muốn ta xác định �-đồng ( Ei cấu: h : �Į i, j V Fj ) (�Ei ) �V (�Fj ) cho hg gh ánh xạ đồng I J SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang 17 Tích Tenxơ Để đạt mục đích ấy, theo tính chất độc xạ tổng trực tiếp, ta xác định Ei ) �V (�F j ) họ �-đồng cấu số hóa I �J từ Ei �F j tới (� I J Ei j : F j � �Fj phép nhúng vào tổng trực tiếp, ta Gọi i : Ei � � I J i �Į j : Ei xét họ ( i � j )i , j với: V (�Ei ) �V (�Fj ) Fj I J Khi tồn Z-đồng cấu h cho với cặp i, j, biểu đồ sau giao hoán: �( Ei �Fj ) Ei �V F j i, j = i � j h (�Ei ) �V (�F j ) I J ( i � j )( xi �y j )) �( i xi ) �( j y j ) Ta có: hg (( xi ) I �( y j ) J ) h(( xi �y j )i , j ) � ij ij (� i xi ) �(� j y j ) ( xi ) I �( y j ) J i i Vậy hg trùng với ánh xạ đồng phần tử sinh �-môđun (�Ei ) �V (�F j ) , ta phải có: hg 1(�Ei )�V ( �F j ) I J I J Mặt khác: gh(( xi �y j )ij ) g (( xi ) I �( y j ) J ) ( xi �y j )i , j Từ gh 1i�, j ( Ei �F j ) 4.2.1 Những hệ luận đẳng cấu tắc g : (�Ei ) �V (�Fj ) �( Ei �V Fj ) I J i, j (i) Giả sử F V-môđun trái tự với sở (ci )i �I giả sử E Vmơđun phải tùy ý Khi phần tử E �V F có biểu diễn dạng: �( x �c ) i I i xi �E , ( xi ) I họ với giá hữu hạn i ci , ( ) họ phần tử V Giả sử x �E y �F , ta có y � i I I (x � i ci ) �(x i �ci ) �xi �ci x �E với giá hữu hạn Do đó: x �y � i I I I SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 18 Tích Tenxơ ( xi ) I có giá hữu hạn Như x �y có biểu diễn dạng mong muốn điều cho phần tử E �V F Để chứng minh cách biểu diễn nhất, ta cần chứng minh �x �c i i I �(x x ' ) �c i i xi , i I, �x �c �x ' �c i i i I i I ta có: , từ suy x x ' i I i i i I Vậy giả sử �x �c i i I Vì (c ) sở F nên ta có: i I F �Vci �Vci I I Vci ) �( E �VVci ) Từ suy ra: E �V F E �V (� I I ( E �VVci ) phần tử Trong đẳng cấu: E �V F � I �x �c tương ứng Vì i I i �x �c i I i ( xi �ci ) I theo giả thiết, i I, ta có x �c i i Mặt khác, có đẳng cấu V Vc i ( c i ) E �VV E �VVci Nhưng ta có E �VV E Vậy E E �VVci Trong đẳng cấu phần tử xi xi �ci tương ứng Vì xi �ci nên xi , i I (ii) Nếu E F môđun tự vành giao hoán A, với sở theo thứ tự (b j ) J (c i ) I E � A F A-mơđun tự với sở (b j �ci ) j ,i Ta biết phần tử E �V F viết cách dạng: �x �c i I i xi �E ( xi ) I họ với giá hữu hạn Vì E có sở (b j ) J nên phần tử xi �E viết cách dạng: xi � ijb j I ij �A họ ( ij ) j có giá trị hữu hạn Khi phần tử E �V F viết cách dạng: ( b ) �c � (b �� ij j I J i ij j �ci ) i, j Từ ta kết luận E � A F tự A (b j �ci ) J �I sở (iii) Giả sử E F hai không gian vectơ hữu hạn chiều trường T E có sở {e …,e m } F có sở {f …,f n } Khi tích tenxơ E �T F SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang 19 Tích Tenxơ khơng gian vectơ T với sở gồm mn vectơ ei � f j , dim( E �T F ) mn Nói riêng vectơ u E �T F viết cách x ij (ei �e j ) , m thành phần x ij �T gọi thành phần tenxơ u dạng u � i, j sở (e i ) Khi thay đổi sở E, ta tính thay đổi tương ứng thành phần Giải tích tenxơ cổ điển mơ tả phần tử E �T E , gọi tenxơ hai lần phản biến, thành phần biến đổi chúng đổi sở Một tenxơ với số phản biến số hợp biến, theo định nghĩa: * phần tử E �T E E * = Hom T (E,T) khơng gian đối ngẫu E trường hợp sở (e i ) xác định sở đối ngẫu (ei) E * Mọi phần tử �x (e �e ) i j E �T E * có biểu diễn dạng ij j i xác i định thành phần x j (i, j = 1,…., n) f g (iv) Giả sử � E ' �� � E ��� E '' � dãy khớp ngắn đồng cấu V-môđun phải F V-mơđun trái tự Khi dãy cảm sinh đồng cấu f �1 nhóm aben: �ľ���ľ���Į E' V F E V g �1 F E '' V F khớp Như V-môđun trái tự dẹt Tương tự ta thấy V-mơđun phải tự dẹt Ta phải chứng minh f �1 �-đơn cấu Thật vậy, F tự do, nên có có sở (c i ) I Khi đó, phần tử E '�V f viết cách dạng �x ' �c i i I x 'i �E ' họ ( x 'i ) I có giá hữu hạn x 'i �ci ) �f ( x 'i ) �ci Khi ta có f ( x ' ) , i I, Giả sử ( f �1)(� i I I phần tử E �V F có biểu diễn dạng �x �c Vì i I i f đơn ánh nên x 'i , i I Vậy Ker ( f �1) (v) Giả sử P V-môđun trái xạ ảnh E, F hai V-môđun phải Nếu 1p : E f : E � F đơn cấu f �Į� SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng V P F V P đơn cấu Trang 20 Tích Tenxơ Như vậy, dãy khớp ngắn đồng cấu V-môđun phải: f g � E ��� F ���G � V-môđun trái xạ ảnh P, dãy cảm sinh đồng cấu nhóm aben: � E �V P � F �V P � G �V P � khớp Do V-mơđun trái xạ ảnh dẹt Tương tự ta thấy V-môđun phải xạ ảnh dẹt Thật vậy, xạ ảnh nên tồn V-môđun trái Q V-môđun trái tự T cho: T P �Q 1T : E Vì T tự nên f : E � F V-đơn cấu thì: f �Į� V T F V T đơn cấu (iv) Nhưng E �V T E � V (P �Q) E �V P �E �V Q F �V T F �V (P �Q) F �V P �F � V Q Do đẳng cấu ta đồng hóa f �1T với: ( f �1P )( f �1Q ) : ( E �V P) Ů� ( E �V Q) ( F �V P) ( F �V Q) Vì f �1T đơn cấu nên ( f �1P )( f �1Q ) đơn cấu Song : A � B �Ů� :A C B D : C � D đơn cấu V-đồng cấu cho φ ψ đơn cấu ( � ) a, c � a , c � a c � a c (vi) Nếu A vành giao hoán E F A-mơđun xạ ảnh E � A F A -mơđun xạ ảnh Thật vậy, E xạ ảnh nên đẳng cấu với hạng tử trực tiếp P A-môđun tự T Tương tự F đẳng cấu với hạng tử trực tiếp P Amôđun tự T Lại có P1 �A P2 đẳng cấu với hạng tử trực tiếp T1 �AT2 Nhưng A giao hốn nên tích tenxơ hai A-môđun tự lại tự (ii) Do E � A F A-mơđun xạ ảnh Quan hệ Hom Tích tenxơ Giả sử V S hai vành, A V V-môđun phải V B S V-S song môđun C S S-mơđun phải Khi tồn đẳng cấu nhóm aben: SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 21 Tích Tenxơ : Hom S (A V B, C) Hom V (A, Hom S (B, C)) xác định công thức: (( f)(a))(b) = f(a b), a A, b B, f Hom S (A V B, C) Đẳng cấu nghịch đảo φ xác định cơng thức φ(g)(a b) = (g(a))(b), g Hom V (A, Hom S (B, C)) - Trước hết ta ý A V B có cấu trúc S-mơđun phải, ta xác định nhóm aben Hom S (A V B, C) Mặt khác Hom S (B, C) có cấu trúc V-mơđun phải, ta xác định nhóm aben Hom V (A, Hom S (B, C)) - Với a �A f �Hom S (A V B, C), ánh xạ ( f)(a) : B � C b a f(a b) S-đồng cấu, s ,s �S b , b �B ( f(a))(b s + b s ) = f(a ( b s + b s )) = f(a ( b s ) + a (b s )) = f((a b )s + (a b )s ) = (f(a b ))s + (f(a b ))s = (( f(a))(b )) s + (( f(a))( b )) s - Ánh xạ f : A � Hom S (B, C) a a f(a) cho ( f(a))(b) = f(a b) V-đồng cấu, a , a �A, v , v � V b �B ta có : ( f( a1v1 + a2v2 ))(b) = f(( a1v1 + a2v2 ) �b) = f( a1v1 �b + a2v2 �b) = f( a1 �v1b + a2 �v2b ) = f( a1 �v1b ) + f( a2 �v2b ) = ( f (a1 ))(v1b) + ( f (a2 ))(v2b) = ( f (a1 )v1 )(b) + ( f (a2 )v2 )(b) = ( f (a1 )v1 + f (a2 )v2 )(b) Từ suy f( a1v1 + a2v2 ) = ( f (a1 ))v1 + ( f (a2 ))v2 - �-đồng cấu, tức f , f �Hom S (A V B, C) ta có (f + f ) = f + f Thật vậy, a �A, b �B, ta có ( (f + f )(a))(b) = (f + f )(a �b) = f (a �b) + f (a �b) = ( f (a))(b) + ( f (a))(b) = ( f (a) + f (a))(b) Từ (f +f )(a) = f (a)+ f (a) =( f + f )(a) (f + f ) = f + f - Để chứng minh đẳng cấu, ta dựng ánh xạ nghịch đảo φ SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 22 Tích Tenxơ Nếu g : A � Hom S (B, C) V-đồng cấu a �A, b �B g(a)� Hom S (B, C), (g(a))(b) �C, v �V, (g(av))(b) = (g(a)v)(b) = g(a)(vb) Xét ánh xạ A �B � C (a, b) a (g(a))(b) Ta dễ thấy song tuyến tính V Vì theo tính chất độc xạ tích tenxơ, tồn �-đồng cấu φ(g) : A V B � C cho φ(g)(a �b) = (g(a))(b) Nếu s �S φ(g)((a �b)s) = φ(g)(a �bs) = (g(a))(ba) = ((g(a))(b))s = (φg(a �b))s Vậy φ(g) �Hom S (A V B, C), g �Hom V (A, Hom S (B, C)) Do φ : Hom V (A, Hom S (B, C)) � Hom S (A V B, C) g a φ(g) ánh xạ - Nếu h �Hom V (A, Hom S (B, C)) φ(g + h)(a �b) = ((g + h)(a))(b) = (g(a))(b) + (h(a))(b) = φ(g) )(a �b) + φ(h)(a �b) từ φ(g + h) = φ(g) + φ(h) Vì φ �-đồng cấu - Ta kiểm tra ánh xạ đồng Nếu g � Hom V (A, Hom S (B, C)) φ(g) : A V B � C ( φ(g))(a)(b) = φ(g)(a �b) = (g(a))(b) Như ta có φ(g) = g, g, tức φ = 1HomV ( A, HomS ( B,C )) Mặt khác f �Hom S (A V B, C) f �Hom V (A, Hom S (B, C)) (φ f)(a �b) = ( f(a))(b) = f(a �b) Vì φ = HomS ( A �V B, C ) Chú ý Giả sử V B’ S V B S hai V-S song môđun Một đồng cấu song môđun : B’ � B đồng cấu nhóm cộng cho v �V, s �S : (vb’s) = v( b’)s Giả sử cho đồng cấu SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 23 Tích Tenxơ V-môđun phải : A’ � A V-S song môđun : B’ � B S-môđun phải : C � C’ Khi ta có biểu đồ giao hoán : ( A, B, C ) HomS ( A ľ����� V B, C ) Homv ( A, Homs (B, C )) Hom( , Hom( , )) Hom( � , ) ( A ', B ', C ') HomS ( A 'ľ������ V B ', C ') Homv ( A ', Homs (B', C ')) Ta nói đẳng cấu tự nhiên biến A, B C Thật vậy, ta có f a f f ( � ) a ( f ( � )) Hom( , )( f ) Ta cần chứng minh Hom( , )( f) = ( f( � )) a’ �A’, b’ �B’, ta có ((Hom( , )( f) )(a’))(b’) = (Hom( , )( f)( a’))(b’) = ( ( f)( a’) )(b’) = ( ( f)( a’))( b’) = f( a’ � b’) Mặt khác: ( ( f( � ))(a’))(b’) = f( � )(a’ �b’) = f( a’ � b’) Vậy Hom( , )( f) = ( f( � )) tức biểu đồ giao hốn Nếu A R-V song mơđun, B V-môđun trái C R-môđun trái tương tự trên, ta chứng minh tồn đẳng cấu nhóm aben : Hom R (A V B, C) � Hom V (B, Hom R (A, C)) xác định công thức : ( f)(b)(a) = f(a �b), a �A, b �B, f �Hom R (A V B, C) đẳng cấu tự nhiên biến A, B C SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 24 Tích Tenxơ Chương BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập Cho R vành giao hoán Cho F G R-môđun tự với sở ( x ) �A ( y ) �B Chứng minh F �R G R-môđun tự với sở ( x �y )( , ) A B Giải Ta biết phần tử F �R G viết cách dạng � �B �y �F ( ) họ với giá hữu hạn B Vì F có sở ( x ) �A nên phần tử �F viết cách ( n x ) �y �� dạng: B A � n ( x �y ) B, A Từ ta kết luận rằng: F �R G R-môđun với sở ( x �y )( , ) A B Bài tập Chứng minh cho M R dãy khớp R-môđun trái A� B �C �0 dãy nhóm aben sau khớp MĮ R MĮ A R B MĮ R C Giải Xét nhóm aben Co ker(1 � ) M �R B / Im(1 � ) , nhận thấy rằng: (1 � )(1 � ) � nên đồng cấu nhóm h : Coker(1 Į� ) M R C cho sơ đồ sau giao hốn, với dòng khớp: � M ľ���ľ����Į M RB RA � M h � M ľ���ľ��Į M RA R B p R C k Co ker(1 ) với c �C , toàn cấu, b �B : (b) c Vì Im Ker nên phần tử p ( x �b) phụ thuộc vào x �M c �C mà không phụ thuộc vào việc chọn b Do đó, tồn đồng cấu nhóm: SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 25 Tích Tenxơ k : M Į�R C Co ker(1 ) x �c a p ( x �b) cho kh = 1, hk = Vậy M �R C Co ker(1 � ) Suy dãy sơ đồ (1) khớp (đpcm) Bài tập Chứng minh cho FR R-môđun phải tự dãy khớp R-môđun trái: A � B �C �0 dãy nhóm aben sau khớp �ĮĮĮ F R A F R B F R C Giải Từ giả thiết FR R-mơđun phải tự nên F có sở ( si )i �I t � s �a i i Trước hết ta thấy t �F �R A viết dạng: i �I với �A (ai )i �I có giá hữu hạn Thật vậy, với với a �A , ta có: x � sr i i , ri �R , (ri )i �I có giá hữu hạn i �I x �a � ( s r �a ) � (s �r a ) � ( s �a ) ii i i i i , i �I i �I i �I � s �a � s �a ' a r a �A (a ) i i i ta có i i i i �I có giá hữu hạn Hơn nữa, i �I i i �I � s �(a a ' ) � a a ' i �I i i i i i, i �I si �a 'i �Ker(1 � ) ta có (1 � )(t ) �si � (a 'i ) Lấy t � i�I i�I t � s �a i i Với phần tử F �R A biểu diễn dạng i �I nên (a 'i ) , i �I Khi a 'i , i �I (do đơn cấu) Vậy Ker(1 � ) {0} Áp dụng định lí biết (Bài tập 2), ta có dãy �ĮĮĮ F SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng R A F R B F R C khớp Trang 26 Tích Tenxơ KẾT LUẬN Qua nghiên cứu, tiểu luận đạt số kết sau: Hệ thống lại khái niệm, định nghĩa kiến thức liên quan đến môđun đồng cấu mơđun, tích tổng trực tiếp mơđun, dãy khớp mơđun Tìm hiểu sâu tích tenxơ hai mơđun, tích tenxơ hai đồng cấu, mối liên hệ tích tenxơ dãy khớp, tích tenxơ tích trực tiếp tổng trực tiếp, quan hệ Hom tích tenxơ Vận dụng định lí tích tenxơ để giải số tập kiến thức liên quan TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Thúc Lanh, Đại số (giáo trình sau đại học) SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 27 Tích Tenxơ [2] Lê Văn Thuyết, Các cấu trúc đại số bản, NXB Giáo Dục năm 1999 [3] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Mơđun nhóm aben, NXB ĐHSP 2008 [4] Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết môđun, NXB ĐHSP 2008 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 28 Tích Tenxơ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài .1 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu .1 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa môđun 1.1 Định nghĩa 1.2 Chú ý 1.3 Ví dụ 1.4 Nhận xét 1.5 Định lí Đồng cấu môđun 2.1 Định nghĩa 2.2 Nhận xét 2.3 Ví dụ 2.4.Mệnh đề 2.5 Mệnh đề Tích tổng trực tiếp môđun 3.1 Định nghĩa 3.2 Định nghĩa 3.3 Nhận xét Dãy khớp môđun 4.1 Định nghĩa 4.2 Mệnh đề: (Tiêu chuẩn chẻ dãy khớp ngắn) Chương TÍCH TENXƠ .7 Tích tenxơ hai mơđun 1.1 Ánh xạ song tuyến tính SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 29 Tích Tenxơ 1.2 Định nghĩa tích tenxơ mơđun 1.3 Các hệ định nghĩa .7 1.4 Sự tồn tích tenxơ Tính tenxơ hai đồng cấu 10 2.1 Định nghĩa 10 2.2 Các tính chất 10 Tích tenxơ dãy khớp 11 3.1 Định lí 11 3.2 Định lí 13 3.3 Định lí 15 3.4 Định lí 15 3.5 Hệ luận định lí vừa chứng minh 17 3.5.1 Hệ luận 17 3.5.2 Chứng minh 17 Tích tenxơ tích trực tiếp tổng trực tếp 17 4.1 Tích trực tiếp 17 4.2 Tổng trực tiếp 18 4.2.1 Những hệ luận đẳng cấu tắc .19 Quan hệ Hom Tích tenxơ 22 Chương BÀI TẬP ÁP DỤNG 26 Bài tập 26 Bài tập 26 Bài tập 27 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng Trang 30 ... Tìm hiểu sâu tích tenxơ hai mơđun, tích tenxơ hai đồng cấu, mối liên hệ tích tenxơ dãy khớp, tích tenxơ tích trực tiếp tổng trực tiếp, quan hệ Hom tích tenxơ Vận dụng định lí tích tenxơ để giải... Chương TÍCH TENXƠ .7 Tích tenxơ hai mơđun 1.1 Ánh xạ song tuyến tính SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng Trang 29 Tích Tenxơ 1.2 Định nghĩa tích tenxơ mơđun ... Đức Minh Hồng Trang Tích Tenxơ Chương TÍCH TENXƠ Tích tenxơ hai mơđun 1.1 Ánh xạ song tuyến tính Giả sử V vành, E V-môđun phải, F V-môđun trái, G �-mơđun Một ánh xạ f từ tích Descartes E �F hai