Tích ten xơ về các mặt spline và ứng dụng

ệ ì ì P P ệ số ò ữớ ữợ ữủ t t rữớ ữ ữợ sỹ ữợ tọ ỏ t ỡ s s t tợ ữớ ữợ t t t ữợ t t tọ ỏ t ỡ t tợ Pỏ t ổ t rữớ ữ ú ù t tr sốt q tr t t tốt ữủ ỷ ỡ t tợ ữớ t ổ ụ t t ủ t tr q tr t t t ỷ ổ ữợ sỹ ữợ s t ợ t ỡ t s ự tổ tỹ t q t tr ữủ ró ỗ ố r q tr ự tỹ tổ tứ ỳ t tỹ ợ sỹ tr trồ t ỡ t ỷ ử ổ tỡ ởt số t t ỡ ổ tr ởt số t t ỡ ổ ởt số t t ỡ ổ rt ỳ tự Pữỡ s tự s r tự s rtt Pữỡ ữỡ tố t ữỡ P ởt số t t ỡ s ởt số t t ỡ ỹ ữớ s t s t tỡ ởt số t t số t s t tỡ s s s t tỡ Pữỡ ữỡ tố t sỷ t s t tỡ ữỡ tố t ợ ỳ ữỡ tố t ợ ỳ ữợ ệ số ởt số ợ ữỡ tr t t t r tỹ t ú t t tợ tr số t ữỡ tr ữỡ tr r t ú tr số ú ữỡ tr õ tr õ õ ữớ t t ú qt tr Pữỡ ú sỷ s õ ữ t ỡ ỷ ỵ số tr tự tr ữ t sỷ s ữủ t q t ỷ s t tỡ số ữỡ tr r õ ữ tữỡ tỹ ợ s ũ sỹ ú ù t t tổ ự t ỡ t s ự ự ự t s ữủ t t t tỡ ởt số t t ỷ t s t tỡ s ỷ t t tỡ ữỡ tr r ự ự t s t tỡ ự ró ởt số t t t s t tỡ ởt số s t tỡ ự t tỡ ữỡ tr r ố tữủ ự ố tữủ ự s t s t tỡ P ự t s t t Pữỡ ự Pữỡ t tờ ủ t ỵ ỹ õ õ ró ởt số t t t s t tỡ ỷ ữỡ s t s t tỡ ữỡ tr r ữỡ ổ tỡ ởt t X ữủ ởt ổ tỡ ợ ộ tỷ x, y X t õ t q t õ ởt tỷ X tờ x ợ y ữủ ỵ x + y ự ợ ộ tỷ x X ộ số tỹ t õ t ởt q t õ ởt tỷ X t x ợ ỵ x q t õ tr tọ t s x + y = y + x, x, y X (x + y) + z = x + (y + z), x, y X ỗ t t tỷ s x + = x x X tỷ tỷ ổ ợ ộ tỷ x X tỗ t t tỷ x X s x + (x) = tỷ x tỷ ố x 1.x = x, x X (x) = () x, x X, R ( + ) x = x + x, x X, , R (x + y) = x + y, x, y X, R r ổ tỡ tỹ tr t t số tỹ số ự t t õ ổ tỡ ự ữớ t ỏ ổ tỡ ổ t t tỷ ởt ổ tỡ tỡ r t tỹ E X = E2 t t E = {(x1 , x2 ) : x1 , x2 R} ợ ộ số tỹ tỡ x = (x1 , x2 ) , y = (y1 , y2 ) X ổ ữợ ữủ x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) x = (x1 , x2 ) ổ tỡ t ổ t t tỹ C[ab] = x = x (t) : x (t) ợ ộ số tỹ tử tr f (t) , g (t) C[a,b] , ổ ữợ ữủ (f + g) (t) = f (t) + g (t) , a t b (f ) (t) = f (t) ổ tỡ ởt số t t ỡ sỷ X X ởt ổ tỡ tỹ õ ởt tỷ ợ ộ t x X, (x) = x ợ x X, R, .x = = ợ x X, R t õ x=0 (.x) = (.x) = x.() [a, b] ổ tr ổ tr ởt t X = ũ ợ ởt d:X ìX R tọ t s d(x, y) = x = y, x, y X, x, y t ỗ t d(x, y) = d(y, x), x, y X t ố ự d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X t t tỷ d tr tr X số d (x, y) ỳ x y tỷ X t t tr ổ tr ữủ ỵ M = (X, d) t õ Q X=Q t ủ số ỳ t ợ d(x, y) = |x y| ổ tr X = C [0, 1] ỗ tử tr [0, 1] ợ d(x, y) = m |x(t) y(t)| õ ổ tr t t ởt số t t ỡ ổ tr M = (X, d) (xn) X x0 X (xn) tử tợ x0 tr ổ M n ( > 0) (n0 N ) (n n0) d (xn, x0) < ỵ lim xn = x0 xn x0 (n ) n x0 ỏ ợ (xn ) tr ổ M (2.4.1) t õ ởt t tỷ L[x, w, f ] ợ ỳ ỡ m f = (fi )m i=1 trồ số ữỡ w = (wi )i=1 tứ t x= (xi )m i=1 ợ ởt s n g = L [x, w, f ] = cp p rở r t p=1 (2.4.2) ữ s r ởt ổ s ụ õ t tỷ L L [x, w, f ] L S = span {1 , , n } t ỳ t số s ợ t tỷ ữỡ tố t tữỡ ự t số s t (2.4.2) y ữủ t L [x, y, F, w, v] = L y, v, L [x, w, F ]T C= L x T ữỡ ệ số ỷ ổ tự s ỡ s s t ữ s sỷ [a, b] t N út a = x0 < x1 < < xN = b, h = (b a)/N s ỡ s ữ s Bj (x) = h (x xj3 )5 , (x xj3 )5 6(x xj2 )5 , (x xj3 )5 6(x xj2 )5 + 15(x xj1 )5 , (x xj3 )5 6(x xj2 )5 + 15(x xj1 )5 20(x xj )5 , (x xj3 )5 6(x xj2 )5 + 15(x xj1 )5 20(x xj )5 + 15(x xj+1 )5 , (x xj3 )5 6(x xj2 )5 +15(x xj1 )5 20(x xj )5 +15(x xj+1 )5 6(x xj+2 )5 , 0, Bj (x), j = N + t xj x xj+1 , xj+1 x xj+2 , xj+2 x xj+3 , x < xj3 x > xj+3 t t ởt ỡ s Bj (x) õ ữủ t Bj (x) õ (xj3 , xj+3 ) s tr tr t xj3 x xj2 , xj2 x xj1 , xj1 x xj , tr ừBj (xi ), Bj (xi ), Bj (xi ) õ t s ữủ ởt tr f (x, y) f (x, y) ự t t s ởt số ử t số f (x, t) = e x sin(t) ữỡ tr ữủ ỹ t ữ s rstrt t r r >:= 80; h := N N := 80 > f := (x, t) exp( x).sin(.t); f := (x, t) e > m := i i N x sin(t) : r j r t N : (x, j) h1 piecewise m(j 3) x m(j 2), (xm(j 3))5 , m(j 2) x m(j 1), (xm(j 3))5 6.(x m(j 2))5 , m(j 1) x m(j), (x m(j 3))5 6.(x m(j 2))5 + 15.(x m(j 1))5 , m(j) x m(j + 1), (x m(j 3))5 6.(x m(j 2))5 + 15.(x m(j 1))5 20.(x m(j))5 , m(j + 1) x m(j + 2), (x m(j 3))5 6.(xm(j 2))5 +15.(xm(j 1))5 20.(xm(j))5 +15.(x m(j + 1))5 , m(j + 2) x m(j + 3), (x m(j 3))5 6.(x m(j 2))5 + 15(xm(j1))5 20(xm(j))5 +15(xm(j+1))5 6.(xm(j+2))5 , ; r j r t N + : (t, j) h1 piecewise m(j 3) t m(j 2), (t m(j 3))5 , m(j 2) t m(j 1), (t m(j 3))5 6.(t m(j 2))5 , m(j 1) t m(j), (tm(j 3))5 6.(tm(j 2))5 +15.(t m(j 1))5 , m(j) t m(j +1), (tm(j 3))5 6.(tm(j 2))5 +15.(t m(j 1))5 20.(tm(j))5 , m(j +1) t m(j +2), (tm(j 3))5 6.(t m(j2))5 +15.(tm(j1))5 20.(tm(j))5 +15.(tm(j+1))5 , m(j+2) t m(j + 3), (t m(j 3))5 6.(t m(j 2))5 + 15(t m(j 1))5 20(t m(j))5 + 15(t m(j + 1))5 6.(t m(j + 2))5 , ; ữỡ tr t t ợ tr ữớ rr t rr rr rr rr rr tr tr tr tr tr r t r t r t r t r t r t r t t t t t t s s t r r t s s s t s s t r r t r r t s t t t t t t t t t t t t t t t t t s t r r t s t rr r t r t ss t rr t rr rr rr rr t t s s t r r t s s s t s s t t t t t t t t t t tt t t tt t t t r r r r s t t t t s r r t s t t ss t C := array(1 N + 1, N + 1) : i N +1 N +1 C[i, j] := X[i, j] : r t r t ss A := V ector(N + 1) i N +1 A[i] := r t B := V ector(N + 1) i N +1 B[i] := (t, t 1) r t C1 := array(1 N + 1, N + 1) : r i t N + r j t N + C1[i, j] := C[i, j].(x, y 1) q tPrt evalf (f (0.1, 0.7)); 0.3015269753 eval(eval(q, t = 0.7), x = 0.1); 0.0003074272 abs(evalf (f (0.1, 0.7) eval(eval(q, t = 0.7), x = 0.1))); 0.3012195481 s số s ợ N = 80 T T Bienx Bient GT f GT g SS 0.1 0.7 0.3015269753 0.0003074272 0.3012195481 0.2 0.7 0.1123814673 0.0005847613 0.1117967060 0.3 0.7 0.0418854538 0.0008048549 0.0410805988 0.4 0.7 0.0156110369 0.0009461637 0.0146648732 0.5 0.7 0.0058183558 0.0009948554 0.0048235004 0.6 0.7 0.0021685468 0.0009461637 0.0012223830 0.7 0.7 0.0008082344 0.0008048549 0.0000033794 0.8 0.7 0.0003012352 0.0005847613 0.0002835260 0.9 0.7 0.0001122727 0.0003074272 0.0001951544 10 0.1 0.1 0.1151730561 0.1148978597 0.0002751964 11 0.1 0.2 0.2190721710 0.0427466589 0.1763255121 12 0.1 0.3 0.3015269755 0.0159319242 0.2855950512 13 0.1 0.4 0.3544662187 0.0059379529 0.3485282657 14 0.1 0.5 0.3727078387 0.0022131216 0.3704947171 15 0.1 0.6 0.3544662187 0.0008248477 0.3536413709 16 0.1 0.8 0.2190721710 0.0001145805 0.2189575905 T T Bienx Bient GT f GT g SS 17 0.1 0.9 0.1151730558 0.0000427133 0.1151303425 18 0.4 0.9 0.0059628855 0.0001314580 0.0058314274 19 0.3 0.5 0.0517732681 0.0057940276 0.0459792405 20 0.2 0.4 0.1321123383 0.0112946577 0.1208176805 21 0.3 0.8 0.0304315635 0.0002999757 0.0301315877 22 0.3 0.9 0.0159988196 0.0001118249 0.0158869947 23 0.2 0.9 0.0429259007 0.0000812455 0.0428446551 24 0.2 0.8 0.0816499153 0.0002179451 0.0814319701 ởt số ợ ữỡ tr ởt ự q trồ s t tỡ t ữỡ tr r ữỡ sỷ s t tỡ t s ởt t t t t t ữỡ tr r tr R = [0, 1] ì [0, 1] Lu = uxx + uyy u = f, u 0, (x, y) R (x, y) R tt (x, y) tử tr R (x, y) > t t t t tr út x y R ữ s x : = x0 < x1 < < xn = 1, y : = y0 < y1 < < yn = ứ õ ỹ ỡ s s tữỡ ự ợ x y (x), B (x), , B n (x)}, {B (y), B (y), , B n (y)}, {B ợ j (x), B j (y) B ữ s B0 (x) =B0 (x) 4B1 (x) B1 (x) =B0 (x) 4B1 (x) (x) =Bn (x) 4Bn1 (x) Bn1 Bn (x) =Bn (x) 4Bn+1 (x) Bj (x), j = 1, , n + ỡ s s t x tữỡ ự Bj (y), j = 1, , n + ỡ s s t y (x xj2 )3 , xj2 x xj1 , 2 h + 3h (x xj1 ) + 3h(x xj1 ) 3(x xj1 )3 , xj1 x xj , h3 + 3h2 (xj+1 x) + 3h(xj+1 x)2 Bj (x) = h 3(xj+1 x)3 , xj x xj+1 , (xj+2 x)3 , xj+1 x xj+2 0, trữớ ủ tr Bj õ t ữủ t tr ừBj (xi ), Bj (xi ), Bj (xi ) t tr j (0) = B j (1) = B õ t ỹ ỡ s XN t t tỡ i,j : i, j n}, XN = span{B tr õ i,j (x, y) = B i (x)B j (y), B XN uN ữủ ữ s N i,j zij B uN = i,j=0 út õ ỗ f C [R] t u C [R] ứ u tr R s r uxx = = uyy t út õ Lu = t út õ sỷ t (xl , ym ) Dxxyy uN (xl , ym ) = Dxxyy u(xl , ym ), l, m = 0, n t t õ zlm Bl (xl )Bm (xm ) = 81 zlm = uxxyy u(xl , ym ), l, m = 0, n h4 tr õ uxxyy = fxx uxxxx xx u uxx u C [R] u t tr ữớ {(x, 0) : x 1} {(x, 1) : x 1} u, uxx , uxxxx trt t t õ R t tứ t õ uxxyy (xl , ym ) = fxx (xl , ym ), l, m = 0, n t t ữủ zlm uN h4 = fxx (xl , ym ), l, m = 0, n 81 tọ LuN (xl , ym ) = f (xl , ym ), l, m n Dxxyy uN (xl , ym ) = fxx (xl , ym ), l, m = 0, n t t x=0 t t n LuN (0, ym ) = zij Bi (0)Bj (ym ) i,j=0 g = h n z0j Bj (ym ) j=0 =f (0, ym ), 1 h2 z0,m1 + z0,m + z0,m+1 = f (0, ym ), m n 4 g ứ ữủ t ữợ ữỡ tr tr BN z0N = bN , tr õ z0N = (z0,1 , z0,2 , , z0,n1 )T h2 h2 f (0, y1 ) + fxx (0, 0), f (0, y1 ), f (0, y2 ), , = 36 h2 f (0, yn1 ), f (0, yn ) + fxx (0, yn ) 36 bN BN tr ữớ trở ợ số z0,j , zn,j , zj,0 , zj,n , j n, t ụ õ AN z N = bN õ (n 1)2 ữỡ tr zij , i, j n tr AN ữ s D1 C1 B D C 2 B3 D3 C3 AN = 4h tỷ Bj , Dj Cj h2 (Cj )i,i1 = + ij , 12 h2 (Dj )i,i1 = + ij , Cn2 Bn1 Dn1 , ữủ ữ s h2 (Cj )i,i = + ij , (Dj )i,i = + h2 ij , Bj = Cj , h2 (Cj )i,i+1 = + ij , 12 h2 (Dj )i,i+1 = + ij , tr õ ij = (xi , yj ) ứ C [R] h ọ t AN ổ s t Pữỡ tr õ t s r t ỵ uN t t ỷ s t tỡ t ự sỹ tỗ t t t tỡ t tự t ởt ợ ữỡ tr t t tỡ t s ự t ữủ t q s r ởt tố t t s s ự ró ởt số t t s s ỹ t t tỡ t t ụ ữ ợ t ữỡ sỷ t s t tỡ số r ự sỹ tỗ t t t tỡ t tự t ởt ợ ữỡ tr t tr s t tỡ ữỡ tr t t tr số õ ữớ ữ õ t t ợ tợ tốt tớ tr ự ỏ ổ tr ọ ỳ t sõt qỵ t ổ õ õ ỵ s ữủ t t ỡ t ữỡ t ữớ t số tr t sữ Pử ỳ t ữ số t t ố P t tr t tr tt rs r P r r s qstrts t ts Prrt stt t sr P Prtr s rt ts r t r t r ts ttstrrtt