Về tích ba vectơ trong không gian vectơ và ứng dụng

Lời nói đầu Tích hai vectơ trong không gian 3 E đợc trình bày rất nhiều trong các tài liệu ở các trờng phổ thông và có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán. Định nghĩa tích ba vectơ đã đợc trình bày và sử dụng để khảo sát các độ cong trên mặt trong [5]. Mục đích của khoá luận này là tập hợp ,bổ sung và chứng minh chi tiết một số tính chất của tích ba vectơ trên 4 E và khai thác một số ứng dụng của nó. Khoá luận này chia làm 3 mục: Đ1. Tích ba vectơ trên 4 E Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích ba vectơ trên 4 E ; trình bày định nghĩa tích hỗn tạp và một số tính chất về tích hỗn tạp; trình bày định thức Gram và mối quan hệ giữa định thức Gram với tích ba vectơ trên 4 E . Đ2. Khoảng cách trong 4 E . Trong mục này, chúng tôi trình bày về khoảng cách từ một điểm đến m- phẳng; khoảng cách giữa hai phẳng và ứng dụng của tích ba vectơ để xác định khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng; khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau và khoảng cách giữa đờng thẳng và mặt phẳng trên 4 E . Đ3. Thể tích trong 4 E . Trong mục này , chúng tôi xét thể tích của hộp và đơn hình; một số ứng dụng tích ba vectơ để tính thể tích của m- hộp, m-đơn hình và đa ra công thức tính thể tích của một số đơn hình. Sau mỗi mệnh đề chúng tôi đều đa ra các ví dụ ứng dụng cụ thể. 1 Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hớng dẫn Nguyễn Hữu Quang. Và chúng tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo trong khoa cùng bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Vinh, tháng 5 năm 2005 Tác giả 2 Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Đ 1 Tích ba vectơ trên 4 E 3 Đ 2 Khoảng cách trong 4 E 21 Đ 3 Thể tích trong 4 E 33 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 3 Đ 1 . tích ba vectơ trên 4 e Giả sử 4 e là không gian vectơ Ơclit 4-chiều với cơ sở trực chuẩn { 1 e , 2 e , 3 e , 4 e } . Trong mục này , chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích ba vectơ trên 4 e . 1.1.Định nghĩa: Tích ba vectơ 321 a ,a , a (theo thứ tự ấy ) , là một vectơ đợc kí hiệu a a a 321 và đợc xác định nh sau : a a a 321 = a a a a a a a a a ,- a a a a a a a a a , a a a a a a a a a - , a a a a a a a a a . 333231 232221 131211 343231 242221 141211 343331 242321 141311 343332 242322 141312 4 Trong đó ) j i ( i aa ; với j =1,2,3,4 và i = 1,2,3. 1.2. Mệnh đề : (Xem [5]) . Tích ba vectơ có tính chất tuyến tính với từng thành phần . Chứng minh : Thật vậy ,với các vectơ a ,a ,a 321 , a' ,a' , a' 321 trong đó ) a ,a ,a , (aa i4i3i2i1i ; ) a' ,a' ,a' , (a' a' i4i3i2i1i và số thực R , ta sẽ chứng minh , chẳng hạn : i/ a a )a'a ( 3211 + = a a a 321 + a a a' 321 ii/ a a )a ( 321 = ) a a a ( 321 . Trớc hết ta chứng minh i/ Theo định nghĩa tích ba vectơ , ta có : , a a a a a a a'a a'a a' a ,- a a a a a a a'a a'a a'a aa)a'a( 343331 242321 141413131111 343332 242322 141413131212 3211 ++++++ =+ 5 a a a a a a a'a a'a a'a - , a a a a a a a'a a'a a'a , 333231 232221 131312121111 343231 242221 141412121111      ++++++ 6 =           a a a a a a a a a ,- a a a a a a a a a , a a a a a a a a a - , a a a a a a a a a 333231 232221 131211 343231 242221 141211 343331 242321 141311 343332 242322 141312 + 7 a a a a a a a' a' a' - , a a a a a a a' a' a' , a a a a a a a' a' a' ,- a a a a a a a' a' a' 333231 232221 131211 343231 242221 141211 343331 242321 141311 343332 242322 141312 + = a a a 321 + a a a' 321 . . Bây giờ ta sẽ đi chứng minh ii/ . Theo định nghĩa tích ba vectơ , ta có : 8 a a )a ( 321 = a a a a a a a a a ,- a a a a a a a a a , a a a a a a a a a - , a a a a a a a a a 333231 232221 131211 343231 242221 141211 343331 242321 141311 343332 242322 141312 = a a a a a a a a a - , a a a a a a a a a , a a a a a a a a a - , a a a a a a a a a 333231 232221 131211 343231 242221 141211 343331 242321 141311 343332 242322 141312 = a a a a a a a a a ,- a a a a a a a a a , a a a a a a a a a ,- a a a a a a a a a 333231 232221 131211 343231 242221 141211 343331 242321 141311 343332 242322 141312 = = ) ( 321 aaa Vậy 321 aaa ) ( = ) ( 321 aaa . . 1.3. Mệnh đề : (Xem [5]) . . a a a b sửGiả 321 = Khi đó : i/ . 3 2, 1,i ; i ab = ii/ b = S 3 sign ) a a a( (3)(2)(1) .( ở đây s 3 là số các phép thế của {1,2,3 } ) . Chứng minh : 9 i/ Ta chứng minh , chẳng hạn 1 ab . ( còn các trờng hợp còn lại đợc chứng minh tơng tự ) . Theo định nghĩa tích ba vectơ trong 4 e và tích vô hớng của hai véc tơ ta có: a a a a a a a a a a -a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -a a a a a a a a a a . 14 333231 232221 131211 13 343231 242221 141211 12 343331 242321 141311 11 343332 242322 141312 1 ab += 10