21 MỤC CÁC KÝLỤC HIỆU Trang Các ký hiệu đưa luận văn chủ yếu dựa theo D K Tuand R Tribak [11], w K Nicholson and Sanchez Campos [6], [7] MỤC LỤC tuncu .1 CÁC KÝ HIỆU MỞ DẦU rri :A mỗđun B Chương Kiến thức sở .7 Rad(M) 1.1 Định lý đồng cấu :Căn Jacobson M © Mi 1.2 Phần tử lũy đẳng i=l :Tổng trực tiếp môđun Mi, i G ỉ 1.3 Linh hóa tử :Linh hóa tửchính trái mô đun M I 1.4 Môđun quy vành quy .8 1.5 Môđun tối đại 1.6 Căn Jacobson 1.7 .Môđun bé 1.8 Mô đun nửa đơn vành nửa đơn 1.9 Mô đun A- nội xạ Chương Tổng trực tiếp môđun Baer đối ngẫu điều kiện cấu xạ 10 MỞ ĐẦU Khái niệm vành Baer xuất từ kết hợp chuyên ngành giải tích hàm, c* - đại số đại số Von - Neumann Trong thập niên 50 kỷ 20, khái niệm vành Baer đưa hai tác giả I Kaplansky s K Berberian Năm 1967, J Clark mỏ rộng khái niệm vành Baer đưa khái niệm vành tựa Baer Lớp vành Baer tựa Baer đóng vai trò quan trọng lý thuyết vành nhận quan tâm nhiều tác giả Năm 2004, s T Rizvi c s Roman đưa khái niệm môđun Baer tựa Baer (xem [8]), đặt móng cho việc chuyển hướng nghiên cứu từ cấu trúc vành sang cấu trúc môđun Năm 2010, hai tác giả D K Tutuncu R Tribak sử dụng tư tưởng đối ngẫu để đưa khái niệm môđun Baer đối ngẫu (xem [10]) Vành cấu xạ xuất lần báo năm 1976 G Erlich (xem [4]) Năm 2004, w K Nicholson s Campos đưa điều kiện tương đương nhờ điều kiện tương đương này, việc nghiên cứu vành cấu xạ thuận tiện (xem [6]) Sau năm 2007, w K Nicholson V Camillo mở rộng thành vành tựa cấu xạ(xem [2],[3]), số tác giả khác nghiên cứu mở rộng vành cấu xạ Q Hưang J L Chen (xem [5]), H Zhư N Ding (xem [11]) Trước năm 2005, hai tác giả w K Nicholson s Campos chuyển từ nghiên cứu vành sang nghiên cứu môđun đưa khái niệm môđun cấu xạ (xem [7]) Trong Seminar trường Dại học Vinh, tác giả Lê Văn An, Trần Giang Nam, Ngô Sỹ Tùng mỏ rộng khái niệm môđun cấn xạ đưa khái niệm môđun tựa cấu xạ (xem [1]) Mục đích luận văn sử dụng báo [10] làm sáng tỏ số kết tổng trực tiếp môđun Baer đối ngẫu thiết lập mối liên hệ điều kiện Baer điều kiện cấu xạ Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức sở Trong chương trình bày kiến thức bần có liên quan đến đề tài như: Phần tử lũy đẳng, linh hóa tử, môđun quy vành quy, môđun nửa đơn vành nửa dơn , môđun A- nội xạ Chương Tổng trực tiếp môđun Baer đối ngẫu điều kiện cấu xạ Nội dung chương trình bày hai mục: 2.1 Tổng trực tiếp môđun Baer đối ngầu Chúng giới thiệu định nghĩa số tính chất mốđun Baer đối ngẫu, chứng minh hai môđun Baer đối ngẫu d - lẫn có tính nội xạ tổng trực tiếp hai môđun Baer đối ngẫu, chứng minh ba môđun Baer đối ngầu d - lẫn có tính nội xạ tổng trực tiếp hai môđun Baer đối ngẫu với mô đun lại môđun d - lẫn Từ vành cấu xạ tổng quát, vành Baer, vành 7T- cấu xạ thể Mối liên hệ chứng minh Định lý 2.2.4 Định lý 2.2.5 kết Luận văn thực tháng 11 năm 2012 hoàn thành với giúp đỡ tạo điều kiện Thầy Cô giáo Bộ môn Dại số Khoa toán Trường Dại học Vinh Với tất tình cảm mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: - Ban Giám hiệu trường Dại học Vinh, Phòng đào tạo Sau đại học Vinh, quý Thầy giáo , Cô giáo Bộ môn Dại số, khoa Toán học - Quý Thầy giáo, Cô giáo trực tiếp giảng dạy giúp đỡ tác giả, tạo nhiều điều kiện thuận lợi suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa học - Dặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết Ơ11 sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Văn An, người dã dặt toán, định hướng nghiên cứu, tận tình giúp dở, thường xuyên quan tâm tạo diều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành tới anh, tí mong nhận bảo, góp ý quý thầy giáo, cố giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC SỞ Trong chương này, trình bày khái niệm tính chất nhằm hỗ trợ cho chương sau Các khái niệm, định nghĩa, tính chất dựa vào tài liệu: w K Nicholson and E Sanchez Campos, D K Tutuncu and R Tribak Các vành hiểu vành kết hợp có đơn vị môđun R- môđun phải unitar vành R (nếu không nói thêm) 1.1 Định lý đồng cấu Cho môđun M / tự đồng cấu M Im/ =M/Ker/ 1.2 Phần tử lũy đẳng Cho môđun M, ký hiệu s = End(M) vành tự đồng cấu môđun M Phần tử e vành s gọi phần tử lũy đẳng (idempotent element) e2 =e 1.3 Linh hóa tử Cho R vành 1.4 Môđun quy vành quy 1) Môđun M gọi môđun quy (reguỉar moduỉe) với 1Ĩ1Ôđun cyclic A M A hạng tử trực tiếp M 2) Vành R gọi vành quy (regular ving) Ru (tương ứng ỊỊR) môđun quy 1.5 Môđun tối đại Môđun A M gọi môđun tối đại A ỹ^M không chứa môđun thực M, nghĩa A Ả c tí M A = tí 1.6 Căn Jacobson Ta gọi giao tất môđun tối đại củaM Jacob$on (hay đơn giản căn) môđun M ký hiệu RadỢVỈ) Mệnh đề Nếu R vành quy Rad(R) =0 1.7 Môđun bé Môđun N môđun M môđun bé, ký hiệu N « M 1.9 Môđun A- nội xạ (A- injective modules) 1.9.1 Định nghĩa Cho A H- môđun Một môđun iV gọi 777, A- nội xạ X c A đồng cấu (p : X — đ ề u đồng cấu lị) : A — t h ỏ a mỏ rộng tới mãn ĩpi =ip (với ỉ : X —>A phép nhúng đồng nhất) 1.9.2 Bổ đề Cho N ỉà A~ nội xạ Khi đơn cấu f : N —>A chẻ ra, tức dãy khớp ngắn: 10 CHƯƠNG TỔNG TRựC TIEP CÁC MÔĐUN BAER ĐỐI NGẪU VÀ ĐIÊU KIỆN CÀU XẠ 2.1 TỎNG TRựC TIẾP CÁC MÔĐUN BAER Đối NGẪU Trong chương trình bày lại số khái niệm liên quan đến môđun Baer đối ngẫu tính chất liên quan đến tổng trực tiếp môđun Baer đối ngầu, từ tìm hiểu mối liên hệ rnôđuri Baer đối ngẫu điều kiện cấu xạ 2.1.1 Định nghĩa 1) Môđun M gọi Baeĩ' đối ngẫu (dual Baer module) với môđun N M tồn lũy đẳng e s cho D ( N ) =eS 2) Môđun M gọi có SSP tổng hai hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M 3) Môđun M gọi có SSSP tổng họ hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M 4) Môđun M gọi không phân tích (indecomposable) M hạng tử trực tiếp M 11 2.1.2 Bổ đề Cho N rriôđun môđun M Khi N hạng tử trực tiếp M tồn lũy đẳng e s cho e (M ) = N Chứng minh Diều kiện cần Giả sử N hạng tử trực tiếp M M = N © N' Như với m G M, m phân tích cách dạng m =71 -\-n'(n N xác định p(m) =p(n H-n7) =n, p toàn cấu i : N —> M xác định i(n) =n, i đơn cấu Khi e =i o p: M —> M,m =n -\-n' I—>n đồng cấu thỏa mãn e2 =e e ( M ) = N Diều kiện đủ Từ e H-(l— e) =1, suy e(M)+(l— e)(M) = M Mà e(M)n(l— e)(M) =Onên M =e(M)® (1— e)(M) Hay e(M) hạng tử trực tiếp M 2.1.3 Định lý Dối với môđun M điều kiện sau tương đương: (i) M Baer đối ngẫu; (ũ) Với tập A S: y^ĩm/ = e ( M ) với e =e2 G S; /eA □ 14 D Ợ M ) =iS Suy M mỗđun Baer đối ngẫu Bây ta chứng minh M không phân tích Giả sử M = N © N\N 7^ (3) Vì N hạng tử trực tiếp M nên tồn lũy đăng O^e Gs cho e(M) = N Mặt khác o^e Gổ nên e toàn cấu hay e(M) =AT Vậy AT =M Do M không phân tích 2.1.5 □ Bổ đề Cho môđun M N hạng tử trực tiếp M Khi đó: (i) Nếu M có SSP N củng có SSP (ii) Nếu M có SSSP N củng có SSSP Chứng minh, Nhận xét: Nếu A hạng tử trực tiếp N A hạng tử trực tiếp M Thật vậy, A hạng tử trực tiếp N nên iV A\ N hạng tử trực tiếp M nên M =N © N' Như ta có M =A A' N' hay A hạng tử trực tiếp M (i) Giả sử A B hạng tử trực tiếp N, ta chứng minh A -\-B hạng tử trực tiếp N Thật vậy, N hạng tử trực tiếp M nên theo nhận xét ta có A B hạng tử trực tiếp M Vì M có SSP nên A -\-B hạng tử trực tiếp M Dặt M = (A H-JB) © c Khi đó, A A-B môđun N nên áp dụng luật Môđula ta có: 15 hạng tử trực tiếp M Baer đối ngẫu Chứng minh Giả sử N hạng tử trực tiếp M, ta chứng minh N môđun Baer đối ngẫu Thật vậy, M có S S S P nên theo Bổ đề 2.1.5 N có S S S P Dặt M = N ® N' xét tự đồng cấu / : N —> N , ta chứng minh Im/ hạng tử trực tiếp N Xét đồng cấu / ƠN: N ® N' —* N © N' xác định / ® ơN(n -\-n') = f ( n ) +0, ta có / ® Ơ N < E s nên Im(/ H-CỊy) hạng tử trực tiếp M Với m G M = N © N ' ta c ó m = n -\-n' n G N n' G N suy / © c/v(m) =/ © c/v(n H-n') = f ( n ) Suy / © t/v(M) = f ( N ) Vậy ta có Im/ hạng tử trực tiếp M đặt M = ỉmf(BK Khi Im/ môđun nên áp dụng luật Môđula ta có: N =M nN = ựmf © K) nN = I m f © (.K n N ) Vậy Im/ hạng tử trực tiếp N nên theo Định lý 2.1.3, suy A/ môđun Baer đối ngầu □ 2.1.7 Mệnh đề Nếu M mỏđun quy Baer đối ngẫu M nửa đơn Chứng minh Cho N mõđun M ta có N = ^ x R Vì M 16 2.1.8 Mệnh đề Nếu Ru Baer đối ngẫu R, vành quy Chứng minh Cho iđêan phải ỉ =aR R, ta chứng minh aR hạng tử trực tiếp R Xét tự đồng cấu / : Ru—>Ru xấc định /(r) = a r Khi Im/ = a R = L Mà RR\& niôđun Baer đối ngẫu nên Im/ hạng tử trực tiếp Ru Suy aR hạng tử trực tiếp Ru Vậy R vành quy 2.1.9 □ Định lý Đối với vành R, điều kiện sau tương đương: (%) Ru Baer đối ngẫu; (li) Ru nửa đơn; (Hi) uH Baer đối ngẫu; (iv) uR nửa đơn Chứng minh, (i) =>(ii) Vì Ru Baer đối ngẫu nên theo Mệnh đề 2.1.8, R vành quy, tức Ru mô đun quy, suy Ru nửa đơn theo Mệnh đề 2.1.7 (ii) =>(i) Xét tự đồng cấu (p : Ru —> RR- Ta có Imv? môđun (m) =>(iv) Chứng minh hoàn toàn tương tự 17 (ii) =>(iv) Ta có R f t \ h nửa đơn RR nửa đơn □ 2.1.10 Bo đề Cho L = x R mỏđun xycỉic vành giao hoán R Khi L môđun Baer đối ngẫu L nửa đơn Chứng minh * Diều kiện cần Lấy y GL Khi tồn r Gi? cho y =xr Xét tự đồng cấu / : L —> L xác định /( x a ) = y a với xa G L ánh xạ / hoàn toàn xác định R vành giao hoán Vì L rnôđuri Baer đối ngẫu nên theo Định lý 2.1.3 suy y R hạng tử trực tiếp L Lại theo Định lý 2.1.3, L có SSSP nên mỗđun L hạng tử trực tiếp Do L nửa đơn * Điều kiện đủ Theo Định lý 2.1.9 2.1.11 □ Bố đề Giả sử R vành giao hoán, R không nửa đơn, M môđun không phân tích bao gồm phần tửx cho X Rad (M ) Ann fỉ(x) =0 M không mỏđun Baer đối ngẫu Chứng minh, Ta chứng minh phương pháp phản chứng 18 Cấu nên Im/ = M Mà Im/ = ự ( y ) \ y GM} = {yr Iy eM}= M r = ( x r ) R -\-Lr c L, L =MÌ mâu thuẫn với L mô đun thực M Vì vậy, điều giả sử sai, hay M không Baer đối ngẫu □ Trước đến định lý mục này, ta có khái niệm sau: 2.1.12 Định nghĩa Cho A B môđun Nếu với đồng cấu B, ĩinp hạng tử trực tiếp B, A gọi d lẫn (relativeỉy d ) với B Chúng ta nói môđun Ả B d - lẫn với Ả d lẫn với B B đ - lẫn với A Sau nội dung định lý: 2.1.13 Định lý Cho Mi, M-2,Mn môđun Baer đối ngẫu với n G /V Giả thiết với i,j bất kỳ, i ỹ^j, Mị M.j môđun d - lẫn với i < j, Mi M.ị- nội xạ Khi đỏ M = Mi i=i 19 tử trực tiếp M Lấy i± : Mỵ —> M, i‘2 : M‘2 —> M phép nhúng tắc ĨI‘2 : M —ì M2 phép chiếu tắc, với j G J Vì M2 Baer đối ngẫu nên ta có: EI{T{2{PẼ2) =^2^ P j { M 2) ) hạng tử trực tiếp M2, 7T2ỊPjỈ2' Àẩ2 ^ A^2* Vì M2 d - lẫn với Mi nên ta có hnn(7ĩ$pjii) = n2( M3 đồng cấu bất kỳ, i : M2 —> Mi © M2, í • M2 —> Mị © M2 phép nhúng tắc (Mị M2 21 i'VI2- Suy 7Ĩ2(/??T0) + M ị hạng tử trực tiếp Mi ® M‘2' Nhưng 7Ĩ2ựrmp) +Mj =Irmp -\-Mi nên H-Mi hạng tử trực tiếp Mi © M2 Giả sử L E môđun M\ © M-2 cho (ỉrmỊ) +Mi) © L = Mi© M2 ỉmĩp +Mi =E© Mi Khi (F© Mi)© L =Mi0 M% suy h'® L — M Vì M Mj- nội xạ nên E M ỵ - nội xạ, suy tồn F c /?7r0 cho F© Mi =Irmp +Mi Do F © Mi® L =Mi0 M2 Suy =F® (ira^ n(Aíi® L)) =F© nAíi)© (im^ PlL)] = F © (/?7T0 nMi) Vì M;ị d - lẫn với Mi nên ImĩỊỉ nM1 hạng tử trực tiếp Mị Vì Irmp hạng tử trực tiếp M1 © M2 hay (Af 1© íVí2) v?3 môđun d - lẫn □ 22 2.2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA MÔĐUN BAER Đối NGẪU VẦ ĐIÊU KIỆN CẤU XẠ Như biết, lớp vành Baer lớp vành cấu xạ dành nhiềư quan tâm nghiên cứu tác giả, có nhiều tài liệu nghiên cứu hai lớp vành Tuy nhiên câu hỏi đặt liệu hai lớp vành có mối liên hệ với hay không? Trong mục trả lời phần cho câu hỏi Kết mục Định lý 2.2.4 Dịnh lý 2.2.5 Dây kết luận văn 2.2.1 Định nghĩa 1) Vành R gọi vành Baer (Baer ring) với tập I R, tồn lũy đẳng e R cho Inự) = Re, ỉn^I) linh hóa tử trái ỉ R 2) Phần tử a vành R gọi phần tử cấu xạ tông quát trái RịRb = l ( a ) Vành R gọi vành cấu xạ tong quát trái phần tử cấu xạ tổng quát trái 23 7T - cấu xạ trái 4) Phần tử a vành R gọi phần tử cấu xạ trái (leỷt morphic element) RỊ Ra — /(a), tương đương tồn b G R saơ cho Ra = ỉ ( b ) l ( a ) =Rb Vành R gọi vành cấu xạ trái (ỉeft morphic ring) phần tử cấu xạ trái Ví dụ Phần tử lũy đẳng e Gi? phần tử cấu xạ trái 5) Vành R không giao hoán gọi thể với a ỹ^o có phần tử khả nghịch 2.2.2 Bổ đề Đối với phần tử a vành R điều kiện ố au tương đương: (i) a cấu xạ trái, tức ^'/RO, — K a ) (ii) Tồn b G R cho Ra = ỉ ( b ) l ( a ) =Rb (iii) Tồn b Gi? cho Ra =l(b) l ( a ) = R b 24 (b) =>(c) Hiển nhiên (ớ) =^(ữ) Xét đồng cấu / : xác định f ( x ) =xb có / toàn cấu K e r f = ị x GJR Ix b =0} = l ( b ) = R a Theo Dịnh lý đồng cấu ta có k e r f —Rh =1(0) Do R/ỊIQ — l ( a ) 2.2.3 Bổ đề Nếu a G R cấu xạ trái ba điều kiện sau tương đương: (i) ỉ ( a ) =0; (ii) Ra =R; (Ui) a phần tử khả nghịch R Chứng minh, (i) =>(u) Vì a phần tử cấu xạ trái vành R nên tồn phần tử b [...]... Do đó ta có ỉ ( a ) — ^/ỉU)i hay R là vành cấu xạ tổng quát trái Chứng minh hoàn toàn tương tự cho trường hợp vành cấu xạ tổng quát phải Vậy nếu R là vành Baer thì R là vành cấu xạ tổng quát 2.2.5 □ Định lý Cho R là vành Baer và 7T- cấu xạ trái không phân tích được Khi đó R là một thể Chứng minh,Ta có ỉ ( a ) = R e (vì R là vành Baer) là một hạng tử trực tiếp của vành R Do R không phân tích được nên... tử trực tiếp của Mị Vì vậy Irmp là hạng tử trực tiếp của M1 © M2 hay (Af 1© íVí2) và v?3 là môđun d - lẫn nhau □ 22 2.2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA MÔĐUN BAER Đối NGẪU VẦ ĐIÊU KIỆN CẤU XẠ Như chúng ta đã biết, lớp vành Baer và lớp vành cấu xạ đã dành được rất nhiềư sự quan tâm nghiên cứu của các tác giả, và cũng có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về hai lớp vành này Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là liệu hai lớp vành... R, là vành chính quy Chứng minh Cho bất kỳ iđêan phải ỉ =aR của R, ta sẽ chứng minh aR là hạng tử trực tiếp của R Xét tự đồng cấu / : Ru—>Ru xấc định bởi /(r) = a r Khi đó Im/ = a R = L Mà RR\& niôđun Baer đối ngẫu nên Im/ là hạng tử trực tiếp của Ru Suy ra aR là hạng tử trực tiếp của Ru Vậy R là vành chính quy 2.1.9 □ Định lý Đối với vành R, các điều kiện sau là tương đương: (%) Ru là Baer đối ngẫu; ... tử trực tiếp của M Vì vậy M là Baer đối ngẫu □ 2.1.15 Định lý Cho M I , M - 2,M‘S là các môđun Baer đối ngẫu d lẫn nhau Giả thiết rằng Mỉ2 là Mị- nội xạ (hoặc Mị là M2- nội xạ) thì (Mị © M2) và M3 là môđun d - lẫn nhau Chứng minh, Lấy (f : Ali© M2 —> M3 là đồng cấu bất kỳ, i 1 : M2 —> Mi © M2, í 2 • M2 —> Mị © M2 là các phép nhúng chính tắc (Mị và M2 21 i'VI2- Suy ra 7Ĩ2(/??T0) + M ị là hạng tử trực. .. hạng tử trực tiếp của N, ta sẽ chứng minh A -\-B là hạng tử trực tiếp của N Thật vậy, vì N là hạng tử trực tiếp của M nên theo nhận xét ta có A và B là hạng tử trực tiếp của M Vì M có SSP nên A -\-B là hạng tử trực tiếp của M Dặt M = (A H-JB) © c Khi đó, A A-B là môđun con của N nên áp dụng luật Môđula ta có: 15 hạng tử trực tiếp của M cũng là Baer đối ngẫu Chứng minh Giả sử N là hạng tử trực tiếp của... M-2,Mn là các môđun Baer đối ngẫu với n G /V Giả thiết rằng với i,j bất kỳ, i ỹ^j, Mị và M.j là các môđun d - lẫn nhau và với bất kỳ i < j, Mi là M.ị- nội xạ Khi đỏ M = 0 Mi i=i 19 tử trực tiếp của M Lấy i± : Mỵ —> M, i‘2 : M‘2 —> M là phép nhúng chính tắc và ĨI‘2 : M —ì M2 là phép chiếu chính tắc, với j G J Vì M2 là Baer đối ngẫu nên ta có: EI{T{2{PẼ2) =^2^ P j { M 2) ) là hạng tử trực tiếp của M2,... M và N là hạng tử trực tiếp của M Khi đó: (i) Nếu M có SSP thì N củng có SSP (ii) Nếu M có SSSP thì N củng có SSSP Chứng minh, Nhận xét: Nếu A là hạng tử trực tiếp của N thì A cũng là hạng tử trực tiếp của M Thật vậy, A là hạng tử trực tiếp của N nên iV A\ và N là hạng tử trực tiếp của M nên M =N © N' Như vậy ta có M =A 0 A' 0 N' hay A là hạng tử trực tiếp của M (i) Giả sử A và B là các hạng tử trực. .. nghịch □ Xét trường hợp 1: ỉ ( à ) =Q Vì R là vành 7Ĩ- cấu xạ trái nên R cũng 26 KẾT LUẬN Trên cơ sỏ tham khảo bài báo [10], nội dung luận văn gồm : 1 Phát biểu lại và chứng minh một số tính chất của môđun Baer đối ngẫu (Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.9, Bổ đề 2.1.10, Bổ đề 2.1.11) và đưa ra có chứng minh một số kết quả của tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngẫu (Định lý 2.1.13, Định lý 2.1.14, Định lý... phần tử của nó là cấu xạ tổng quát trái 23 của nó là 7T - cấu xạ trái 4) Phần tử a của vành R được gọi là phần tử cấu xạ trái (leỷt morphic element) nếu RỊ Ra — /(a), tương đương nếu tồn tại b G R saơ cho Ra = ỉ ( b ) và l ( a ) =Rb Vành R được gọi là vành cấu xạ trái (ỉeft morphic ring) nếu mọi phần tử của nó là cấu xạ trái Ví dụ Phần tử lũy đẳng e Gi? là phần tử cấu xạ trái 5) Vành R không giao hoán... x R là mỏđun xycỉic trên vành giao hoán R Khi đó L là môđun Baer đối ngẫu nếu và chỉ nếu L là nửa đơn Chứng minh * Diều kiện cần Lấy y GL Khi đó tồn tại r Gi? sao cho y =xr Xét tự đồng cấu / : L —> L xác định bởi /( x a ) = y a với xa G L ánh xạ / hoàn toàn xác định được vì R là vành giao hoán Vì L là rnôđuri Baer đối ngẫu nên theo Định lý 2.1.3 suy ra y R là hạng tử trực tiếp của L Lại theo Định lý ... mốđun Baer đối ngẫu, chứng minh hai môđun Baer đối ngẫu d - lẫn có tính nội xạ tổng trực tiếp hai môđun Baer đối ngẫu, chứng minh ba môđun Baer đối ngầu d - lẫn có tính nội xạ tổng trực tiếp hai môđun. .. quy, môđun nửa đơn vành nửa dơn , môđun A- nội xạ Chương Tổng trực tiếp môđun Baer đối ngẫu điều kiện cấu xạ Nội dung chương trình bày hai mục: 2.1 Tổng trực tiếp môđun Baer đối ngầu Chúng giới... CÁC MÔĐUN BAER ĐỐI NGẪU VÀ ĐIÊU KIỆN CÀU XẠ 2.1 TỎNG TRựC TIẾP CÁC MÔĐUN BAER Đối NGẪU Trong chương trình bày lại số khái niệm liên quan đến môđun Baer đối ngẫu tính chất liên quan đến tổng trực