Tổng trực tiếp các môđun baer đối ngẫu và điều kiện cấu xạ

Tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngẫu và điều kiện cấu xạ...10 CÁC KÝ HIỆU Các ký hiệu được đưa ra trong luận văn chủ yếu dựa theo D.. Mục đích chính của luận văn là sử dụng bài báo [10

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

CÁC KÝ HIỆU 2

MỞ DẦU 3

Chương 1 Kiến thức cơ sở 7

1.1 Định lý đồng cấu 7

1.2 Phần tử lũy đẳng 7

1.3 Linh hóa tử 7

1.4 Môđun chính quy và vành chính quy 8

1.5 Môđun con tối đại 8

1.6 Căn Jacobson 8

1.7 Môđun con bé 8

1.8 Mô đun nửa đơn và vành nửa đơn 8

1.9 Mô đun A- nội xạ 9

Chương 2 Tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngẫu và điều kiện cấu xạ 10

CÁC KÝ HIỆU

Các ký hiệu được đưa ra trong luận văn chủ yếu dựa theo D K Tu-tuncu and R Tribak [11], w K Nicholson and Sanchez Campos [6], [7]

rri

Rad(M)

© Mi

i=l

:A là mỗđun con của B.

:Căn Jacobson của M.

:Tổng trực tiếp các môđun Mi, i G ỉ.

:Linh hóa tử trái của mô đun M trên I.

MỞ ĐẦU

Khái niệm vành Baer xuất hiện từ sự kết hợp giữa các chuyên ngành

giải tích hàm, c* - đại số và đại số Von - Neumann Trong thập niên

50 của thế kỷ 20, khái niệm vành Baer được đưa ra bởi hai tác giả I.Kaplansky và s K Berberian Năm 1967, J Clark đã mỏ rộng khái niệmvành Baer và đưa ra khái niệm vành tựa Baer Lớp vành Baer và tựaBaer đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết vành và nhận được sự quantâm của nhiều tác giả Năm 2004, s T Rizvi và c s Roman đã đưa

ra khái niệm môđun Baer và tựa Baer (xem [8]), đặt nền móng cho việcchuyển hướng nghiên cứu từ cấu trúc vành sang cấu trúc môđun Năm

2010, hai tác giả D K Tutuncu và R Tribak đã sử dụng tư tưởng đốingẫu để đưa ra khái niệm môđun Baer đối ngẫu (xem [10])

Vành cấu xạ xuất hiện lần đầu tiên trong một bài báo năm 1976 của

G Erlich (xem [4]) Năm 2004, w K Nicholson và s Campos đưa rađiều kiện tương đương và nhờ điều kiện tương đương này, việc nghiên cứuvành cấu xạ thuận tiện hơn (xem [6]) Sau đó năm 2007, w K Nicholson

và V Camillo mở rộng thành vành tựa cấu xạ(xem [2],[3]), và một số tácgiả khác cũng nghiên cứu các mở rộng của vành cấu xạ như Q Hưang và

J L Chen (xem [5]), H Zhư và N Ding (xem [11]) Trước đó năm 2005,hai tác giả w K Nicholson và s Campos chuyển từ nghiên cứu vànhsang nghiên cứu môđun và đưa ra khái niệm môđun cấu xạ (xem [7]).Trong Seminar tại trường Dại học Vinh, các tác giả Lê Văn An, Trần

Giang Nam, Ngô Sỹ Tùng đã mỏ rộng khái niệm môđun cấn xạ và đưa

ra khái niệm môđun tựa cấu xạ (xem [1])

Mục đích chính của luận văn là sử dụng bài báo [10] làm sáng tỏ một

số kết quả về tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngẫu và thiết lập mốiliên hệ giữa điều kiện Baer và điều kiện cấu xạ Nội dung của luận vănđược trình bày trong hai chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tôi trình bày

các kiến thức cơ bần có liên quan đến đề tài như: Phần tử lũy đẳng, linhhóa tử, môđun chính quy và vành chính quy, môđun nửa đơn và vành

nửa dơn , môđun A- nội xạ

Chương 2 Tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngẫu và điều kiện cấu xạ Nội dung của chương 2 được trình bày trong hai mục:

2.1 Tổng trực tiếp các môđun Baer đối ngầu Chúng tôi giới

thiệu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của mốđun Baer đối ngẫu,chứng minh hai môđun Baer đối ngẫu d - lẫn nhau có tính nội xạ thìtổng trực tiếp của hai môđun đó cùng là Baer đối ngẫu, chứng minh bamôđun Baer đối ngầu d - lẫn nhau có tính nội xạ thì tổng trực tiếp củahai môđun Baer đối ngẫu với mô đun còn lại là môđun d - lẫn nhau Từ

và vành cấu xạ tổng quát, vành Baer, vành 7T- cấu xạ và thể Mối liên hệnày được chúng tôi chứng minh trong Định lý 2.2.4 và Định lý 2.2.5 vàđây là các kết quả mới.

Luận văn được thực hiện bắt đầu từ tháng 11 năm 2012 và được hoànthành với sự giúp đỡ và tạo điều kiện của các Thầy Cô giáo Bộ môn Dại

số Khoa toán Trường Dại học Vinh Với tất cả tình cảm của mình, tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới:

- Ban Giám hiệu trường Dại học Vinh, Phòng đào tạo Sau đại họcVinh, quý Thầy giáo , Cô giáo Bộ môn Dại số, khoa Toán học

- Quý Thầy giáo, Cô giáo trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tác giả, tạonhiều điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành khóa học

- Dặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết Ơ11 sâu sắc tới thầy giáo hướngdẫn TS Lê Văn An, người dã dặt bài toán, định hướng nghiên cứu, tậntình giúp dở, thường xuyên quan tâm tạo diều kiện thuận lợi, cùng vớinhững lời động viên khích lệ giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

Nhân dịp này, tác giả cũng xin gửi lời cám ơn chân thành tới các anh,

mong nhận được những sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy giáo, cố giáo và

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC cơ SỞ

Trong chương này, chúng tôi chỉ trình bày những khái niệm và tínhchất cơ bản nhằm hỗ trợ cho chương sau Các khái niệm, định nghĩa,tính chất cơ bản chúng tôi dựa vào các tài liệu: w K Nicholson and E.Sanchez Campos, D K Tutuncu and R Tribak

Các vành luôn được hiểu là vành kết hợp có đơn vị và các môđun là

R- môđun phải unitar trên vành R nào đó (nếu không nói gì thêm).

1.3 Linh hóa tử

Cho R là một vành bất kỳ.

1.4 Môđun chính quy và vành chính quy

1) Môđun M được gọi là môđun chính quy (reguỉar moduỉe) nếu với

mọi 1Ĩ1Ôđun con cyclic A của M thì A là hạng tử trực tiếp của M

2) Vành R được gọi là vành chính quy (regular ving) nếu Ru (tương

ứng ỊỊR) là môđun chính quy.

1.5 Môđun con tối đại

Môđun con A của M được gọi là môđun con tối đại nếu A ỹ^M và nó không chứa trong một môđun con thực sự nào của M, nghĩa là A

và Ả c tí M thì A = tí.

1.6 Căn Jacobson

Ta gọi giao của tất cả những môđun con tối đại củaM là căn Jacob$on

(hay đơn giản là căn) của môđun M và ký hiệu là RadỢVỈ).

Mệnh đề Nếu R là vành chính quy thì Rad(R) =0.

1.7 Môđun con bé

Môđun con N của môđun M là môđun con bé, ký hiệu N « M nếu

1.9 Môđun A- nội xạ (A- injective modules)

1.9.1 Định nghĩa Cho A là H- môđun Một môđun iV được gọi là

777,

A- nội xạ nếu mọi X c A thì mọi đồng cấu (p : X — đ ề u mỏ rộng tới

đồng cấu lị) : A — t h ỏ a mãn ĩpi =ip (với ỉ : X —>A là phép nhúng

đồng nhất)

1.9.2 Bổ đề Cho N ỉà A~ nội xạ Khi đó mọi đơn cấu f : N —>A

là chẻ ra, tức dãy khớp ngắn:

CHƯƠNG 2 TỔNG TRựC TIEP CÁC MÔĐUNBAER ĐỐI NGẪU VÀ ĐIÊU KIỆN CÀU XẠ2.1 TỎNG TRựC TIẾP CÁC MÔĐUN BAER Đối NGẪU

Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm liên quanđến môđun Baer đối ngẫu và các tính chất liên quan đến tổng trực tiếpcủa môđun Baer đối ngầu, từ đó tìm hiểu mối liên hệ giữa rnôđuri Baerđối ngẫu và điều kiện cấu xạ

3) Môđun M được gọi là có SSSP nếu tổng của một họ những hạng

tử trực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp của M.

4) Môđun M được gọi là không phân tích được (indecomposable) nếu

0 và M là những hạng tử trực tiếp duy nhất trong M.

2.1.2 Bổ đề Cho N là rriôđun con của môđun M Khi đó N là hạng

tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu tồn tại lũy đẳng e của s sao cho

e (M ) = N.

Chứng minh Diều kiện cần Giả sử N là hạng tử trực tiếp của M thì M = N © N' Như vậy với mỗi m G M, m được phân tích một cách duy nhất dưới dạng m =71 -\-n'(n <E N,n' G N') Xét đồng cấu

p : M —> N xác định bởi p(m) =p(n H-n7) =n, khi đó p là toàn cấu

và i : N —> M xác định bởi i(n) =n, i là đơn cấu Khi đó e =i o p:

M —> M,m =n -\-n' I—>n là đồng cấu thỏa mãn e2 =e và e ( M ) = N

Diều kiện đủ Từ e H-(l— e) =1, suy ra e(M)+(l— e)(M) = M Mà e(M)n(l— e)(M) =Onên M =e(M)® (1— e)(M) Hay e(M) là hạng

2.1.3 Định lý Dối với môđun M các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là Baer đối ngẫu;

(ũ) Với mỗi tập con A của S: y^ĩm/ = e ( M ) với e =e2 G S;

/eA

e ( M ) là mỗđun con của N Với mỗi / G Ả ta có / G Đ ( N ) = e S (do

cách đặt N = y^ĩiri/') Suy ra / Ge S Như vậy với mỗi / GẨ, tồn tại

s G 5 sao cho / = es Khi đó với mọi ị/ GM và với mọi / G A, ta có

/(y) = es(ỉ/) =e(s(y)) Ge(Ẩf) (do s(y) GM) Suy ra A/ là mỗđun con

của e(M) Vậy V =e(M) với e =e2 GS Hay Im/ =e(M)

( l i ) =>(iv) Với mỗi (/? G 5 thì ta có Im/? = e ( M ) (với e = e2 G5)

(theo (ii)) Suy ra, Im/? là hạng tử trực tiếp của Ải (theo Bổ đề 2.1.2)

(iv) =>(m) Cho / là iđêan của 5, ta sẽ chứng minh y^Irr/ =e(M)

với e =e2 GS Thật vậy, với môi / G/ c 5 nên theo (re), Im/ là hạng

tử trực tiếp của M Suy ra iV = y/ĩm/' là hạng tử trực tiếp của M (do

/e/với e =e2 G5

(m) =>(í) Cho V là môđun con của M, ta sẽ chứng minh D ( N ) =

e S , với e = e2 G 5 Do / = D ( N ) = {</? |Im/? c V} là iđêan của

5 nên theo giả thiết, /Im/ =e(M) với e = e2 G 5 Với mọi / G /

Hay e ( M ) là môđun con của A/ Hay e ( M ) là môđun con của N Khi

đó e G Đ ( N ) và do đó e*s c D ( N ) Mặt khác, y/Im/ =e(M) nên với

mỗi / G/ thì Im/ là môđun con của e(M) Hơn nữa s = e S ệJ3(l — e)5

nên ta có / Gi : / = esi H-(l — e)s2(si, 52 G 6) Suy ra /(M) =esi(M) +(1— e)s2(M) c e(M)

Mặt khác ta có:

e(M)n(l-e)(M)=0 ì

esi(M) c e(M) > =>esi(M) n(l — e)s2(M) =0

(l-e>2(M) C (l-e)(M) J

Vậy từ esi(M)+(l—e)s2(M) c e(M) ta suy ra (1—e)s2(M) =0 Khi

đó / =esi hay / GeS Do đó D ( N ) c e5 Vậy D ( N ) =eS với e =e2 G

2.1.4 Hệ quả Môđun M là Baer đối ngẫu không phân tích được nếu

và chỉ nếu với mọi (f GS và 7^0, V? /ồ íoồn cấu.

D Ợ M ) =iS Suy ra M là mỗđun Baer đối ngẫu.

Bây giờ ta chứng minh M không phân tích được Giả sử M = N © N\N 7^ (3) Vì N là hạng tử trực tiếp của M nên tồn tại lũy đăng

O^e Gs sao cho e(M) = N Mặt khác o^e Gổ nên e là toàn cấu hay

2.1.5 Bổ đề Cho môđun M và N là hạng tử trực tiếp của M Khi

đó:

(i) Nếu M có SSP thì N củng có SSP.

(ii) Nếu M có SSSP thì N củng có SSSP.

Chứng minh, Nhận xét: Nếu A là hạng tử trực tiếp của N thì A cũng

là hạng tử trực tiếp của M Thật vậy, A là hạng tử trực tiếp của N nên

iV A\ và N là hạng tử trực tiếp của M nên M =N © N' Như

vậy ta có M =A 0 A' 0 N' hay A là hạng tử trực tiếp của M.

(i) Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp của N, ta sẽ chứng minh

A -\-B là hạng tử trực tiếp của N Thật vậy, vì N là hạng tử trực tiếp

của M nên theo nhận xét ta có A và B là hạng tử trực tiếp của M Vì M

có SSP nên A -\-B là hạng tử trực tiếp của M Dặt M = (A H-JB) © c Khi đó, A A-B là môđun con của N nên áp dụng luật Môđula ta có:

hạng tử trực tiếp của M cũng là Baer đối ngẫu.

Chứng minh Giả sử N là hạng tử trực tiếp của M, ta chứng minh

N là môđun Baer đối ngẫu Thật vậy, vì M có S S S P nên theo Bổ

đề 2.1.5 thì N cũng có S S S P Dặt M = N ® N' và xét tự đồng cấu / : N —> N , ta sẽ chứng minh Im/ là hạng tử trực tiếp của N Xét đồng

cấu / 0 ƠN: N ® N' —* N © N' xác định bởi / ® ơN(n -\-n') = f ( n ) +0,

ta có / ® Ơ N < E s nên Im(/ H-CỊy) là hạng tử trực tiếp của M Với mọi

m G M = N © N ' ta c ó m = n -\-n' trong đó n G N và n' G N suy ra / © c/v(m) =/ © c/v(n H-n') = f ( n ) Suy ra / © t/v(M) = f ( N ) Vậy ta

có Im/ là hạng tử trực tiếp của M và đặt M = ỉmf(BK Khi đó Im/ là

môđun con của nên áp dụng luật Môđula ta có:

N =M nN = ựmf © K) nN = I m f © (.K n N )

Vậy Im/ là hạng tử trực tiếp của N nên theo Định lý 2.1.3, suy ra A/

2.1.7 Mệnh đề Nếu M là mỏđun chính quy Baer đối ngẫu thì M

là nửa đơn.

Chứng minh Cho N là mõđun con của M ta có N = ^ 2 x R Vì M

2.1.8 Mệnh đề Nếu Ru là Baer đối ngẫu thì R, là vành chính quy.

Chứng minh Cho bất kỳ iđêan phải ỉ =aR của R, ta sẽ chứng minh

aR là hạng tử trực tiếp của R Xét tự đồng cấu / : Ru—>Ru xấc định bởi /(r) = a r Khi đó Im/ = a R = L Mà RR\& niôđun Baer đối ngẫu nên Im/ là hạng tử trực tiếp của Ru Suy ra aR là hạng tử trực tiếp của

2.1.9 Định lý Đối với vành R, các điều kiện sau là tương đương:

(%) Ru là Baer đối ngẫu;

(li) Ru là nửa đơn;

(Hi) uH là Baer đối ngẫu;

(iv) uR là nửa đơn.

Chứng minh, (i) =>(ii) Vì Ru là Baer đối ngẫu nên theo Mệnh đề 2.1.8, R là vành chính quy, tức là Ru là mô đun chính quy, suy ra Ru là

nửa đơn theo Mệnh đề 2.1.7

(ii) =>(i) Xét tự đồng cấu (p : Ru —> RR- Ta có Imv? là môđun (m) =>(iv) Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên.

(ii) =>(iv) Ta có R f t \ h nửa đơn nếu và chỉ nếu RR là nửa đơn □

2.1.10 Bo đề Cho L = x R là mỏđun xycỉic trên vành giao hoán R Khi đó L là môđun Baer đối ngẫu nếu và chỉ nếu L là nửa đơn.

Chứng minh

* Diều kiện cần Lấy y GL Khi đó tồn tại r Gi? sao cho y =xr.

Xét tự đồng cấu / : L —> L xác định bởi /( x a ) = y a với xa G L ánh

xạ / hoàn toàn xác định được vì R là vành giao hoán Vì L là rnôđuri Baer đối ngẫu nên theo Định lý 2.1.3 suy ra y R là hạng tử trực tiếp của

L Lại theo Định lý 2.1.3, L có SSSP nên mỗi mỗđun con của L là một hạng tử trực tiếp Do đó L là nửa đơn.

2.1.11 Bố đề Giả sử R là vành giao hoán, R không nửa đơn, M là môđun không phân tích được chỉ bao gồm phần tửx sao cho X Rad (M )

và Ann fỉ(x) =0 thì M không là mỏđun Baer đối ngẫu.

Chứng minh, Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.