Một số tính chất của môđun nội xạ

tr-ờng đại học vinh Khoa toán - - Nguyễn Xuân Hùng Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành khoa học toán Chuyên ngành : đại số Ng-ời h-ớng dẫn khoa học : Th.s Nguyễn Quốc Thơ Sinh viên thực Lớp Nguyễn Xuân Hïng : : Vinh, năm 2008 44 E2 – khoa Toán Bảng ký hiệu Các ký hiệu sử dụng luận văn, dựa theo ký hiệu nhà Toán Học nghiên cứu lý thuyết vành môđun hay sử dụng NM : N tập hợp M N M : N môđun M N M : N môđun cốt yếu M N M : N môđun đối cốt yếu M N M : N hạng tử trực tiếp M Lời nói đầu Cùng với phát triển toán học đại, Lý thuyết môđun đà có b-ớc phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lĩnh vực khác toán học, đặc biệt việc nghiên cứu lý thuyết Vành Trong phát triển lớp môđun nội xạ đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu cho kết phong phú.Trong phạm vi luận văn sâu vào nghiên cứu số tính chất Môđun A nội xạ Môđun nội xạ Khoá luận đ-ợc trình bày theo hai ch-ơng: Ch-ơng I Các kiến thức sở Nội dung ch-ơng gồm hai phần là: 1.1 Các khái niệm : Trong mục trình bày số kiến thức lý thuyết môđun, cần cho việc nghiên cứu sau này: định nghĩa môđun, môđun cốt yếu, nửa đơn, đối cốt yếu, CS môđun, môđun liªn tơc 1.2 Mét sè tÝnh chÊt: Néi dung cđa mục trình bày số tính chất môđun con, môđun cốt yếu, ảnh tạo ảnh toàn phần môđun cốt yếu qua đồng cấu môđun Ch-ơng II Môđun nội xạ Nội dung ch-ơng gồm hai phần là: 2.1 Môđun A nội xạ: Trong phần nghiên cứu, tìm hiểu môđun A - nội xạ chứng minh số tính chất nó: định nghĩa môđun A nội xạ, tổng trực tiếp họ Ai - nội xạ 2.2 Môđun nội xạ Trong phần nghiên cứu tìm hiểu môđun nội xạ trình bày chứng minh số tính chất Luận văn đ-ợc thực hoàn thành Tr-ờng Đại Học Vinh, d-ới h-ớng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Quốc Thơ; Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến giúp đỡ thầy Tác giả xin trân trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo Tổ Đại sổ nói riêng thầy cô giáo Khoa Toán đà tạo điều kiện giúp đỡ suốt trình học tập Khoa trình tác giả hoàn thành Khoá luận Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận đ-ơc giúp đỡ bảo thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp Vinh, ngày tháng năm Tác giả CHƯƠNG I: CáC KIếN THứC sở Nội dung ch-ơng này, tìm hiểu, chọn lọc trình bày cách có hệ thống khái niệm tính chất có liên quan đến luận văn 1.1.Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa a Môđun A môđun M đ-ợc gọi môđun thực A môđun tầm th-ờng M, nghĩa A A M b Một R-môđun M đ-ợc gọi môđun đơn M không chứa môđun thực nào, nghĩa M có hai môđun M c Một R-môđun M đ-ợc gọi môđun nửa đơn môđun M hạng tử trực tiếp 1.1.2.Định nghĩa a Môđun N R- môđun M đ-ợc gọi môđun cèt u cđa M vµ kÝ hiƯu lµ N M với môđun khác không K M ta ®Ịu cã K  N≠0 Khi ®ã ta nãi M lµ më réng cèt u cđa N b Nếu môđun khác môđun M cốt yếu M đ-ợc gọi môđun 1.1.3 Hệ quả: Nếu m môđun nửa đơn, K môđun M K môđun cèt u cđa M vµ chØ K=M 1.1.4 Định nghĩa 5 a Môđun N đ-ợc gọi đóng M N mở rộng cốt yếu thực Nói khác N gọi đóng M với môđun K M mà N K K = N b Môđun K M đ-ợc gọi bao đóng môđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K 1.1.5 Hệ a) Nếu A môđun đóng M hạng tử trực tiếp A đóng M b) Nếu A môđun đóng hạng tử trực tiếp M A đóng M c) Nếu A môđun đóng X X đóng M A môđun đóng M 1.1.6 Định nghĩa a) Cho M R môđun Môđun K M đ-ợc gọi đối cốt yếu (hay môđun bé) M với môđun X M mà X M K + X M Nói cách khác, môđun K đ-ợc gọi môđun bé M với môđun X M mà K + X = M X = M Khi ta ký hiệu : K M b) Nếu môđun môđun M bé M đ-ợc gọi môđun trống 1.1.7 Định nghĩa Cho M R môđun Ta xét điều kiện sau: (C1) Mọi môdun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M, hay nói cách khác môđun đóng M hạng tử trực tiếp M (C2) Nếu A B môđun M đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tư trùc tiÕp cđa M (C3) NÕu A vµ B hạng tử trực tiếp M A M = A B hạng tử trực tiếp M 1.1.8 Định nghĩa a) Một môđun M đ-ợc gọi CS môđun, M thoả mÃn (C1) 6 b) Một môđun M đ-ợc gọi liên tục M thoả mÃn điều kiện (C1) (C2) c) Một môđun M đ-ợc gọi tựa liên tục M thoả mÃn điều kiện (C1) (C3) d) Một môđun M đ-ợc gọi (1-C1) môđun môđun M cèt u mét h¹ng tư trùc tiÕp cđa M, hay môđun đóng M h¹ng tư trùc tiÕp 1.2 Mét sè tÝnh chÊt M, N 1.2.1 Bổ đề Nếu M R môđun, K KN M : N 1.2.2 Bổ đề Cho A môdun môđun M R Khi A M với phần tử m M tån t¹i r  R cho  mr A 1.2.3 Hệ Cho A môđun môđun M R Khi đó: M Rx  A  0, víi  x  M A 1.2.4 Mệnh đề Cho f: M N đồng cấu môđun A 1.2.5.Mệnh đề Cho A N th× f   M NÕu B A B 1 (A) M A B 1.2.6 Bổ đề a) Nếu môđun M có dÃy môđun A A M th× B b) NÕu A i M M B C C n M, i=1,2,…, n th×  Ai M i 1 Bi (i  1,2, , n), Ai , Bi M 1.2.7 Mệnh đề Nếu Ai n A i i 1 n B i i n Đặc biệt Ai M M Ai i 1 1.2.8 HƯ qu¶ Cho M = M iT i  T , ®ã Ai i , A = Ai, Ai Mi môđun M với iT Mi Khi tồn  Mi vµ A iT  Mi iT 1.2.9 Mệnh đề: Nếu M R môđun, K môđun cốt yếu M, với a M tồn L môđun cốt yếu R ®Ĩ aL K 1.2.10 Bỉ ®Ị a) NÕu M có dÃy môđun A theo A B C th× B C kÐo M n b) NÕu Ai M, i=1,2,…, n th×  Ai M i 1 c) Nếu f: M N đồng cấu môđun A M Thì f(A) N 1.2.11 Mệnh đề Đối với a thuộc MR môđun aR không đối cốt yếu M tồn môđun tối đại K cho a không phụ thuộc K Ch-ơng II môđun nội xạ 2.1 môđun a nội xạ 2.1.1.Định nghĩa: Môđun M R đ-ợc gọi A nội xạ với môđun X đồng cấu f: X M cã thĨ më réng tíi ®ång cÊu i X f*: A  M cho f: = f*.i, nghÜa A f f* biểu đồ sau giao hoán, với i: X  A lµ mét phÐp nhóng M Mét môđun M đ-ợc gọi nội xạ M A - nội xạ với A 2.1.2 Định nghĩa: Cho R môđun phải M, ta gọi bao nội xạ M môđun nội xạ E tồn đơn cấu cốt yếu f: M E tức là: f(M) E Bao nội xạ môđun M tồn ký hiệu E(M) 2.1.3 Định nghĩa: Cho M, N môđun Khi đó: a) Đơn cấu f: M N đ-ợc gọi chẻ N = Imf A A môđun N b) Toàn cấu f: M N đ-ợc gọi chẻ M = Kerf B B môđun M 8 2.1.4 Bổ đề Nếu môđun N A nội xạ đơn cấu f: N A chẻ Hơn nữa, A không phân tích đ-ợc f đẳng cấu 2.1.5 Mệnh đề Cho N A môđun nội xạ Nếu B A N B - nội xạ N A B - nội xạ 2.1.6 Mệnh đề Môđun N A nội xạ N aR nội xạ, với a A 2.1.7 Mệnh đề Một môđun N ( A i ) nội xạ N A i - néi x¹, iI víi  i  I 2.1.8 MƯnh đề M A nội xạ nÕu vµ chØ nÕu M  lµ A – néi xạ với 2.1.9 Định lý Cho họ môđun {M : } điều kiện sau t-ơng đ-ơng: i) M A nội xạ M i A nôi xạ với tập đếm đ-ợc I A ii) I iii) M A nội xạ, với cách chọn m i M  ( i  N) víi i  cho  m i0  a , ®ã I A dÃy tăng i m i0 (n N) dừng i n 2.1.10 Hệ   i 1 M i lµ A – néi xạ M i A nội xạ, i N cách chọn m i  M i cho   m i0 a với a A, dÃy tăng i 1  m i0 (n  N) i n dõng Cho hä R – néi x¹ {M  : } Ta có điều kiện sau: (A ) Mäi c¸ch chän    (i N) m i M dÃy tăng i m i0 (n N) dừng i n (A ) Mäi c¸ch chän d·y x  M  (    ) vµ m i  M  , víi  i   (i  N) cho i m i0  x dÃy tăng i n m i0 (n N) dõng i (A ) Mäi c¸ch chän  i   (i  N) vµ m i  M  , nÕu d·y m i0 lµ d·y tăng i dÃy dừng Rõ ràng (A )  (A )  (A ) 2.1.11 MƯnh ®Ị Cho M =  M  Khi M( - ) M  - néi x¹ víi mäi    nÕu vµ chØ nÕu M  lµ M  - nội xạ với thoà m·n (A ) 2.1.12 MƯnh ®Ị    M nội xạ M - nội xạ thoả mÃn (A ) 2.1.13 Định lý Tổng trực tiếp họ môđun A nội xạ A nội xạ môđun xyclic A Noether Đặc biệt, tổng trực tiếp họ môđun nội xạ R nội xạ R Noether phải 2.2 Môđun nội xạ Chúng ta biết rằng, môđun M đ-ợc gọi nội xạ M A nội xạ với A Từ đó, nghiên cứu số tính chất môđun nội xạ 2.2.1 Bổ đề Nếu đơn cấu : M A chẻ với môđun A M nội xạ 2.2.2 Định lý Cho M môđun phải vành R Khi M nội xạ iđêan phải I R f Hom M (I,M) tồn a M cho: f(r)= a r,  r  I 2.2.3 Mệnh đề: Một môđun A nội xạ A hạng tử trực tiếp môđun chứa 2.2.4 Mệnh đề: Mọi hạng tử trực tiếp môđun nội xạ R nội xạ 2.2.5 Mệnh đề Mọi tích trực tiếp môđun nội xạ R nội xạ 2.2.6 Định lý Với môđun tuỳ ý X R tự đồng cấu đồng i:X X phát biểu sau t-ơng đ-ơng: a) X nội xạ .f g b) Mọi dÃy khớp ngắn:  U  V  X   nh÷ng môđun R chẻ c) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun nội xạ R 10 d) Với đơn cấu g:A  B, ta cã: g* = Hom(g,i): Hom(B,X)   Hom(A,X) lµ mét toµn cÊu .f g e) Víi mäi d·y khíp ng¾n: :  B  C  A môđun R dÃy: g f 0 Hom(B,X)  Hom(A,X)   Hom(C,X)   0, víi f* = Hom(f,i) * * vµ g* = Hom(g,i) dÃy khớp ngắn 2.2.7 Định nghĩa Một nhóm Aben X đ-ợc gọi chia đ-ợc với phần tử x X số nguyên n 0, tồn mét phÇn tư a  X cho n.a= x 2.2.8 Thí dụ: a) Q Z môđun chia đ-ợc ph-ơng trình n.x = a Q cã nghiÖm x  Q, x  Q, a  Q vµ n  N* b) Z lµ Z – môđun không chia đ-ợc ph-ơng trình n.x = a có nghiệm x Z với a Z n N*, (chẳng hạn với ph-ơng trình 3x = nghiệm Z) 2.2.9 Mệnh đề Một Z môđun D chia đ-ợc D nội xạ 2.2.10 Mệnh đề: Nếu Z môđun D chia đ-ợc (nội xạ) Homz (R,D) R môđun phải nội xạ 2.2.11 Định lý: Mỗi môđun M nhúng đẳng cấu vào môđun nội xạ 2.2.12 Định lý: (tiêu chuẩn Bear) Một môđun Q nội xạ iđêan phải U R đồng cấu f : U Q tồn ®ång cÊu h: R   Q cho h i = f , i phép nhúng U vào R 2.2.13 Hệ Mọi môđun M R nhúng vào dÃy khớp ngắn: f g  X  L   M  Các môđun R, X nội xạ 2.2.14 Mệnh đề Nếu M M bao nội xạ môđun A phép đồng A mở rộng thành phép đẳng cấu từ M vào M 11 2.2.15 Định lí (Papp and Bass) Vành R Noether phải tổng trực tiếp R môđun phải nội xạ nội xạ Kết luận Luận văn đà đạt đ-ợc số kết nh- sau: Nghiên cứu, tìm hiểu môđun A nội xạ chứng minh mét sè tÝnh chÊt cđa nã Nghiªn cøu, tìm hiểu chứng minh số tính chất môđun nội xạ Trong trình hoàn thành luận văn, nhận thấy số tính chất môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ chuyển qua vành tựa nội xạ Khi vành tựa nội xạ dùng để đặc tr-ng cho lớp vành nh- nửa đơn, nửa hoàn chỉnh, quy, Đây vÊn ®Ị hÊp dÉn, huy väng nÕu ®iỊu kiƯn cho phép nghiên cứu thời gian tới Một lần nữa, tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo h-ớng dẫn, thầy giáo, cô giáo tổ Đại Số, Khoa Toán tất bạn bè, đồng nghiệp đà động viên giúp đỡ tác giả để luận văn hoàn thành kế hoạch Luận văn chắn khó tránh khỏi vấn đề tồn sai sót Kính mong đ-ợc góp ý bảo thầy giáo, cô giáo bạn 12 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt H-ng, Đại số đại c-ơng, NXBGD (1998) [2] Nguyễn Tự C-ờng, Giáo trình đại số đại, NXB Đại học quốc gia Hà Nội (2003) [3] Ngun TiÕn Quang – Ngun Duy Thn, C¬ sở lí thuyết môđun Vành, NXBGD (2001) [4] Võ Mạnh Thắng, môđun Vành tựa nội xạ (luận văn Th¹c sü) (2006) [5] Anderson F W and Fuller K R (1994), Rings and Categories of Modules, Gvaduate Texs in Math N0 13, Springer – Verlag, New York, Heidelberg, Berlin [6] Hai Quang Dinh and Dinh Van Huynh, Sone results on Self – injective Rings and  - CS Rings, Canm Algebra (to appear) [7] Dung N V, Huynh D V, Smith P F and Wisbaues R, (1994), Extending Modules, Pitman, London  ... tổng trực tiếp họ môđun nội xạ R nội xạ R Noether phải 2.2 Môđun nội xạ Chúng ta biết rằng, môđun M đ-ợc gọi nội xạ M A nội xạ với A Từ đó, nghiên cứu số tính chất môđun nội xạ 2.2.1 Bổ đề Nếu... Cho N A môđun nội xạ Nếu B A N B - nội xạ N A B - nội xạ 2.1.6 Mệnh đề Môđun N A nội xạ N aR nội xạ, với a A 2.1.7 Mệnh đề Một môđun N ( A i ) nội xạ nÕu vµ chØ nÕu N lµ A i - néi xạ, iI... môđun phải nội xạ nội xạ Kết luận Luận văn đà đạt đ-ợc số kết nh- sau: Nghiên cứu, tìm hiểu môđun A nội xạ chứng minh số tính chất Nghiên cứu, tìm hiểu chứng minh số tính chất môđun nội xạ Trong