Một số tính chất của lớp môđun nội xạ trực tiếp

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm sở 1.2 Môđun nội xạ tính chất 1.3 Môđun cốt yếu điều kiện Ci 11 Môđun nội xạ trực tiếp 15 2.1 Mơđun nội xạ trực tiếp tính chất 15 2.2 Một số kết đặc trưng vành 20 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 LỜI NÓI ĐẦU Cùng với lớp môđun xạ ảnh, môđun nội xạ lớp mơđun đóng vai trị quan trọng góp phần hình thành hai trụ cột nghiên cứu lý thuyết vành Theo thời gian nhu cầu việc nghiên cứu chuyên sâu, khái niệm đến mở rộng theo nhiều hướng khác như: nội xạ chính, giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ, nội xạ, Một hướng mở rộng khác khái niệm nội xạ giới thiệu [4]: Cho R vành, R - môđun phải MR gọi nội xạ trực tiếp (direct injective) với hạng tử trực tiếp N M , đơn cấu g : N → M tồn tự đồng cấu f R - môđun M cho f ◦ g = iN Như vậy, khái niệm nội xạ trực tiếp mở rộng khái niệm nội xạ Với định nghĩa tương tự môđun nội xạ, nhiên có thay mơđun hạng tử trực tiếp đồng cấu đơn cấu Rõ ràng, nội xạ suy nội xạ trực tiếp, nhiên điều ngược lại khơng hồn tồn Mục đích đề tài tìm hiểu số vấn đề sau: Tính chất mơđun nội xạ trực tiếp Một số ứng dụng lớp môđun nội xạ trực tiếp Từ lý nêu trên, đề tài chúng tơi có tựa đề: "Một số tính chất lớp mơđun nội xạ trực tiếp" Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương kiến thức sở có liên quan đến nội dung chương Đặc biệt kiến thức môđun nội xạ tính chất có liên quan Chương Môđun nội xạ trực tiếp Nội dung chương trình bày phần: 2.1 Mơđun nội xạ trực tiếp tính chất Phần chủ yếu trình bày khái niệm nội xạ trực tiếp tính chất nó, đồng thời có so sánh khái niệm nội xạ nội xạ trực tiếp 2.2 Một số kết đặc trưng vành Trong phần giới thiệu số kết đặc trưng lớp vành nửa đơn vành di truyền thông qua lớp môđun nội xạ trực tiếp Luận văn bắt đầu thực từ tháng năm 2010 hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn trân trọng sâu sắc tới Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nghiêm khắc suốt thời gian qua Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo, Cô giáo Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Mặc dù cố gắng trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu tiếp thu ý kiến đóng góp, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp q Thầy, Cơ bạn Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả Nguyễn Nam Cao CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn, vành giả thiết vành kết hợp có đơn vị Các mơđun vành ln hiểu unita phải (nếu khơng nói thêm) Nội dung chương trình bày khái niệm bản, kết biết có liên quan đến nội dung chương sau Các khái niệm, tính chất ký hiệu tham khảo tài liệu [1], [2] [5] 1.1 Khái niệm sở Trước hết có khái niệm mơđun đơn mơđun nửa đơn 1.1.1 Định nghĩa • Trên vành R, R- môđun phải M gọi mơđun đơn (simple) M = khơng có mơđun khác ngoại trừ Môđun M gọi môđun nửa đơn (semisimple) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Mọi môđun M tổng môđun đơn M tổng môđun đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M • Tổng tất môđun đơn R- môđun phải M gọi đế phải môđun MR Ký hiệu Soc(MR ) Sr (M ) 5 1.1.2 Định nghĩa Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn n + môđun M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = gọi dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) Mi−1 /Mi đơn Liên quan đến dãy hợp thành sở việc hình thành khái niệm độ dài mơđun, có định lý Jordan- Hăolder: 1.1.3 nh lý Nu mụun M cú s phân tích thành dãy hợp thành có độ dài hữu hạn cặp dãy hợp thành có độ dài 1.1.4 Định nghĩa Một mơđun M có phân tích thành dãy hợp thành gọi mơđun có độ dài hữu hạn độ dài dãy hợp thành gọi độ dài M Ký hiệu lg(M ) length(M ) Sau định nghĩa số tính chất dãy khớp 1.1.5 Định nghĩa Một cặp đồng cấu M →f M →g M ” gọi khớp (exact) M Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng → M →f M →g M ” → gọi dãy khớp ngắn (short exact sequence) Đối với dãy khớp có số tính chất sau: 1.1.6 Mệnh đề Cho M N R-môđun f : M → N đồng cấu Khi ta có: → M →f N dãy khớp f đơn cấu M →f N → dãy khớp f toàn cấu → M →f N → dãy khớp f đẳng cấu 1.1.7 Định nghĩa Nếu f : M → N , f : N → M đồng cấu thỏa mãn f f = 1N ta nói f toàn cấu chẻ (split epimorphism) f đơn cấu chẻ (split monomorphism) Dãy khớp ngắn → M →f M →g M ” → gọi dãy khớp ngắn chẻ (split exact) f đơn cấu chẻ g toàn cấu chẻ 6 Trong lý thuyết vành, lớp iđêan đặc biệt linh hóa tử Nhiều tính chất lớp vành đặc trưng chúng nghiên cứu thông qua lớp iđêan 1.1.8 Định nghĩa Cho vành R A ⊂ R tập khác rỗng Linh hóa tử (annihilator) phải (trái) tập A R tập hợp r(A) := {b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tư., l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}) Một cách tự nhiên có linh hóa tử phần tử a trường hợp đặc biệt tập A = {a} linh hóa tử tập A tập hợp thỏa mãn tính chất linh hóa tử hai phía trái phải Đối với linh hóa tử ta có số tính chất sau: 1.1.9 Bổ đề Cho A tập khác rỗng vành R Khi ta có: Linh hóa tử trái l(A) iđêan trái R Tương tự linh hóa tử phải r(A) Nếu A tập Z(R) (tâm vành R) l(A) = r(A) iđêan vành R Nếu A iđêan trái (phải) vành R l(A) (r(A) iđêan vành R) Vào cuối năm thập kỷ hai mươi, E Noether E Artin giới thiệu khái niệm ACC DCC Từ đây, Artin chứng minh định lý mô tả cấu trúc lớp vành nửa đơn gọi định lý Wedderburn - Artin, đánh dấu cho việc phát triển lý thuyết vành cách có hệ thống 1.1.10 Định nghĩa • Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending Chain Condition) với dãy tăng môđun M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ , tồn số n cho Mn+i = Mn với i = 1, 2, • Mơđun M gọi thỏa mãn điều kiện DCC (Descending Chain Codition) với dãy giảm môđun M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇ Mn ⊇ , tồn số n cho Mn+i = Mn với i = 1, 2, 1.1.11 Định nghĩa • Mơđun M gọi môđun Artin (Noether) M thõa mãn điều kiện DCC (ACC) • Vành R gọi vành Artin (Noether) phải RR môđun Artin (Noether) Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho vành Artin (Noether) trái 1.2 Mơđun nội xạ tính chất Trong phần tập trung giới thiệu lớp mơđun nội xạ số tính chất lớp môđun 1.2.1 Định nghĩa R-môđun N gọi M -nội xạ với môđun X M , đồng cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Môđun N gọi tựa nội xạ N N nội xạ Môđun N gọi môđun nội xạ N A-nội xạ với A Mod-R 1.2.2 Nhận xét Như có, mơđun N nội xạ N RR -nội xạ Môđun N nội xạ thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Với môđun A với môđun X A, đồng cấu f : X → N mở rộng thành đồng cấu từ A → N ; (Tiêu chuẩn Baer ) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I R tới N mở rộng thành đồng cấu từ R tới N ; Với R-môđun M , đơn cấu f : N → M chẻ Nghĩa là, Im f hạng tử trực tiếp M ; R-môđun N khơng có mở rộng cốt yếu thực Chúng ta có số tính chất mơđun nội xạ 1.2.3 Mệnh đề Tích trực tiếp hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ 1.2.4 Định lý Cho Q R- môđun phải Các điều kiện sau tương đương (i) Q môđun nội xạ; (ii) Mỗi đơn cấu ϕ : Q → B chẻ (nghĩa Im(ϕ) hạng tử trực tiếp B ); (iii) Với đơn cấu α : A → B , ánh xạ Hom(α, 1Q ) : HomR (B, Q) → HomR (A, Q) tồn cấu 1.2.5 Định nghĩa Mơđun P gọi M -xạ ảnh với toàn cấu g : M → N đồng cấu f : P → N tồn đồng cấu h : P → M cho f = gh Môđun P gọi xạ ảnh P M -xạ ảnh với mơđun M thuộc Mod-R Nhóm aben Q gọi chia (divisible) Q có dạng nQ với n số nguyên khác không Một số kết sau mối liên hệ lớp nhóm với mơđun nội xạ 1.2.6 Bổ đề Nhóm aben Q chia Q Z- môđun nội xạ 1.2.7 Bổ đề Nếu Q nhóm aben chia R- mơđun trái HomZ (RR , Q) nội xạ 9 1.2.8 Mệnh đề Mọi R- mơđun phải (trái) nhúng R- môđun nội xạ phải (trái) Từ Định lý 1.2.4 ta có đặc trưng lớp vành nửa đơn 1.2.9 Hệ Vành R nửa đơn R- môđun nội xạ 1.2.10 Định nghĩa Hai R-môđun M N gọi nội xạ lẫn M N -nội xạ ngược lại Về tính chất nội xạ lẫn ta có số kết sau 1.2.11 Bổ đề Cho G = ⊕i∈I Gi M R-môđun phải Khi G M- nội xạ Gi M-nội xạ với i ∈ I 1.2.12 Bổ đề Nếu G M- nội xạ N ⊆ M G N- nội xạ (M/N )- nội xạ Kết sau biết đến với tên gọi bổ đề Azumaya (Azumaya’s Lemma) 1.2.13 Bổ đề Nếu G M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn R-môđun phải G M- nội xạ G Mi - nội xạ với i = 1, 2, , n 1.2.14 Bổ đề Môđun G M- nội xạ λ(M ) ⊆ G với đồng cấu λ : E(M ) → E(G) 1.2.15 Định nghĩa Nếu N môđun cốt yếu mơđun nội xạ E E gọi bao nội xạ hay R-bao nội xạ mơđun N Kí hiệu E(N ) Một khái niệm quan trọng mơđun nội xạ bao nội xạ (xem Định nghĩa 1.2.15) Ví dụ từ Q chia Z- mơđun Q Z- nội xạ Mặt khác đồng cấu bao hàm i : Z → Q đồng cấu cốt yếu (Q, i) bao nội xạ Z Định lý sau kết khẳng định tồn bao nội xạ môđun 10 1.2.16 Định lý Mọi R- môđun phải MR (trái R M ) có bao nội xạ E(MR ) (E(R M )) tồn theo nghĩa sai khác đẳng cấu Giữa tính chất khác bao nội xạ ta có bổ đề sau 1.2.17 Mệnh đề Trong phạm trù R- mơđun phải (trái) vành R ta có: M nội xạ M = E(M ) Nếu M ⊂∗ N E(M ) = E(N ) Nếu M ⊂◦ Q, với Q nội xạ, Q = E(M ) + E Nếu ⊕A E(Mα ) nội xạ, với A tập hữu hạn số, E(⊕A Mα ) = ⊕A E(Mα ) Như có Mệnh đề 1.2.3, hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ Vấn đề đặt là, liệu tổng trực tiếp môđun nội xạ có mơđun nội xạ hay khơng Điều số trường hợp cụ thể Chẳng hạn có câu trả lời mệnh đề sau 1.2.18 Mệnh đề Trên vành R, điều kiện sau tương đương: Mọi tổng trực tiếp R- môđun nội xạ phải (trái) môđun nội xạ phải (trái) Nếu (Mα )α∈A họ R- mơđun phải (trái) E(⊕A Mα ) = ⊕A E(Mα ) R vành Noether phải (trái) Một kết khác mối liên hệ tính chất nội xạ tính chất noether: 1.2.19 Định lý Trên vành R, phát biểu sau tương đương: 11 R vành Noether phải; Mọi R-môđun phải nội xạ tổng trực tiếp mơđun khơng phân tích được; Mọi R-mơđun phải nội xạ M có phân tích thành hạng tử trực tiếp bù, tối đại 1.3 Môđun cốt yếu điều kiện Ci 1.3.1 Định nghĩa Môđun A R- môđun M gọi môđun cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (tương ứng A ⊂◦ M ) với môđun U ⊂ M , A ∩ U = ⇒ U = (tương ứng A + U = M ⇒ U = M ) Nếu A ⊂∗ M M gọi mở rộng cốt yếu A Ta có số tính chất mơđun cốt yếu môđun bé: 1.3.2 Bổ đề A ⊂◦ M ⇔ ∀U ⊂ M ta có A + U ⊂ M A ⊂∗ M ⇔ ∀0 = U ⊂ M ta có A ∩ U = A ⊂◦ M = ⇒ A = M A ⊂∗ M = ⇒ A = ⊂◦ M M ⊂∗ M với R- môđun M Nếu K môđun môđun M , sử dụng bổ đề Zorn, tồn môđun tối đại C M thỏa mãn C ∩ K = Khi C gọi mơđun bù (complement) K M Do đó, K ⊂∗ M bù K Tiếp theo số tính chất mơđun bù 12 1.3.3 Mệnh đề Cho C môđun môđun M Các điều kiện sau tương đương: C đóng M; Nếu C ⊂∗ N ⊆ M C = N ; Nếu C ⊆ N ⊂∗ M N/C ⊂∗ M/C ; Nếu D môđun bù C M C mơđun bù D M Bổ đề sau gọi bổ đề cốt yếu (Essential Lemma) 1.3.4 Bổ đề Giả sử K môđun môđun M Nếu C môđun bù K M thì: K ⊕ C ⊂∗ M (K ⊕ C)/C ⊂∗ M/C 1.3.5 Định nghĩa Môđun P gọi M -xạ ảnh với toàn cấu g : M → N đồng cấu f : P → N tồn đồng cấu h : P → M cho f = gh Môđun P gọi xạ ảnh P M -xạ ảnh với môđun M thuộc Mod-R 1.3.6 Định nghĩa Cho MR R- môđun phải Ta định nghĩa điều kiện sau: • (C1 ) : Mọi môđun MR cốt yếu hạng tử trực tiếp MR Hay nói cách khác, mơđun đóng MR hạng tử trực tiếp MR • (C2 ) : Nếu A B môđun MR đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp MR B hạng tử trực tiếp MR 13 • (C3 ) : Nếu A B hạng tử trực tiếp MR A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp MR • (1 − C1 ) : Nếu U mơđun đóng, MR U hạng tử trực tiếp MR Điều kiện (1 − C1 ) mở rộng điều kiện C1 từ điều kiện C2 suy điều kiện C3 1.3.7 Định nghĩa Môđun MR gọi CS-môđun (extending module) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) Môđun MR gọi liên tục (continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) Môđun MR gọi tựa liên tục (quasi-continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) Môđun MR gọi (1 − C1 )- môđun (uniform extending) MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ) Từ định nghĩa có dãy kéo theo sau đây: Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) Sử dụng khái niệm cho vành R xét R R-mơđun có khái niệm tương ứng 1.3.8 Định nghĩa Vành R gọi CS (liên tục, tựa liên tục) vành phải RR CS (liên tục, tựa liên tục) mơđun phải Tương tự có khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái vành tựa liên tục trái Tiếp theo có số tính chất 1.3.9 Mệnh đề R- mơđun phải (trái) có tính chất (C1 ) mơđun đóng M hạng tử trực tiếp Môđun M gọi môđun (uniform) giao hai môđun khác không M môđun khác không Một mối liên hệ lớp môđun tựa liên tục lớp môđun thể bổ đề sau 14 1.3.10 Mệnh đề Mơđun M khơng phân tích có tính chất (C1 ) M Mọi môđun M môđun tựa liên tục Chúng ta có hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ Mệnh đề sau kết tương tự lớp môđun thỏa mãn điều kiện (Ci )3i=1 1.3.11 Mệnh đề Các điều kiện (Ci )3i=1 có tính chất di truyền hạng tử trực tiếp Đặc biệt, hạng tử trực tiếp môđun liên tục (tựa liên tục) môđun liên tục (tương ứng tựa liên tục) 15 CHƯƠNG MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP Mơđun nội xạ lớp mơđun đóng vai trò quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Theo thời gian nhu cầu việc nghiên cứu chuyên sâu, khái niệm đến mở rộng theo nhiều hướng khác như: nội xạ chính, nội xạ, giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ, Trong phần tập trung giới thiệu lớp môđun nội xạ trực tiếp, hướng mở rộng khác lớp môđun nội xạ 2.1 Môđun nội xạ trực tiếp tính chất Trước hết có định nghĩa mơđun nội xạ trực tiếp 2.1.1 Định nghĩa Một R- môđun M gọi nội xạ trực tiếp (direct injective) với hạng tử trực tiếp N M đồng cấu bao hàm iN : N → M Mọi đơn cấu g : N → M tồn tự đồng cấu f ∈ End(M ) cho f g = iN 2.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa môđun nội xạ trực tiếp ta thấy: Dễ nhận thấy môđun nội xạ nội xạ trực tiếp Thật vậy, M mơđun nội xạ với đơn cấu g : N → M , với hạng tử trực tiếp N tồn tự đồng cấu f : M → M cho f iN = g Chọn f = (f )−1 ta có (f ) −1 g = f g = iN M mơđun nội xạ trực tiếp Điều ngược lại nhận xét khơng hồn toàn trường hợp tổng quát Chẳng hạn, Z- môđun Z4 môđun nội xạ trực tiếp 16 không môđun nội xạ Nếu M môđun nội xạ trực tiếp f (M ) hạng tử trực tiếp M , với f ∈ End(M ) Chúng ta có dấu hiệu để nhận biết môđun nội xạ trực tiếp 2.1.3 Định lý Cho M R- môđun Các điều kiện sau tương đương: M môđun nội xạ trực tiếp; Với môđun A hạng tử trực tiếp N M Một đơn cấu g : M/N → A tồn đồng cấu f : A → M cho f g = h, h : M/N → M đồng cấu bao hàm; Với A môđun N N hạng tử trực tiếp M Mọi dãy khớp → N → A chẻ Chứng minh Ta chứng minh theo lược đồ sau: (1) ⇔ (2) (1) ⇔ (3) • (1) ⇔ (2) Điều kiện (2) ⇒ (1) hiển nhiên ta cần chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử M môđun nội xạ trực tiếp N hạng tử trực tiếp M Nếu h : M/N → M đồng cấu bao hàm g : M/N → A đơn cấu tồn tự đồng cấu u ∈ End(M ) cho uig = h, i đồng cấu bao hàm từ A đến M Đặt ui = f : A → M ta có f g = uig = h Vậy ui = f đồng cấu cần tìm • (1) ⇔ (3) Để chứng minh điều kiện cần giả sử M = N ⊕ B p : M → N phép chiếu, i : N → M đồng cấu bao hàm Giả sử g : A → M h : N → A đơn cấu Từ giả thiết M môđun nội xạ trực tiếp, tồn tự đồng cấu u ∈ End(M ) cho ugh = i Đặt f = pug f đồng cấu từ A đến N thỏa mãn f h = iN Để chứng minh chiều ngược lại ta giả sử M = N ⊕ B , đặt h : N → M , 17 i : N → M đơn cấu đồng cấu bao hàm Theo giả thiết, dãy khớp → N → M chẻ tồn đồng cấu f : M → N cho f h = iN Bây định nghĩa u : M → M sau: u|N = f u|B = Khi uh = iN hiển nhiên M môđun nội xạ trực tiếp Trong Mệnh đề 1.2.3, hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ Đối với lớp mơđun nội xạ trực tiếp tính chất thể kết sau 2.1.4 Mệnh đề Mọi hạng tử trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp Chứng minh Xét M môđun nội xạ trực tiếp N hạng tử trực tiếp M Giả sử A hạng tử trực tiếp N Đặt i : N → M , i : A → N đồng cấu bao hàm h : A → N đơn cấu Khi g = hi : A → M đơn cấu Theo giả thiết, M môđun nội xạ trực tiếp nên tồn f ∈ End(M ) cho ii = f g Khi i = f h, f đồng cấu cảm sinh f Vậy N môđun nội xạ trực tiếp Từ kết Định lý 2.1.3 Mệnh đề 2.1.4 ta có hệ sau: 2.1.5 Hệ Dãy khớp ngắn → N → M → T → chẻ N ⊕ M môđun nội xạ trực tiếp Chứng minh Thật vậy, giả sử N ⊕ M môđun nội xạ trực tiếp, theo Mệnh đề 2.1.4 ta có M mơđun nội xạ trực tiếp Sử dụng Định lý 2.1.3 ta có dãy khớp → N → A chẻ ra, với A mơđun N ⊕ M Chọn A = M ta có dãy khớp → N → M → T → chẻ Tiếp theo số tính chất liên hệ mơđun nội xạ môđun nội xạ trực tiếp 18 2.1.6 Định lý Xét dãy khớp ngắn → N → M → T → 0, M mơđun nội xạ Các tính chất sau tương đương: N ⊕ M môđun nội xạ trực tiếp; N môđun nội xạ; N ⊕ M môđun nội xạ Chứng minh Ta chứng minh theo lược đồ (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1) • (1) ⇒ (2) Giả sử N ⊕ M môđun nội xạ trực tiếp Xét dãy khớp ngắn: → N →f M → M/Im(f ) → Theo Hệ 2.1.5, N ⊕ M môđun nội xạ trực tiếp nên dãy khớp ngắn chẻ ta có M = N ⊕ M/Im(f ) Mặt khác, theo giả thiết M môđun nội xạ, kết hợp Mệnh đề 1.2.3 ta có N mơđun nội xạ • (2) ⇒ (3) Điều dễ nhận thấy M N mơđun nội xạ nên N ⊕ M mơđun nội xạ • (3) ⇒ (1) Vì N ⊕ M mơđun nội xạ nên hiển nhiên mơđun nội xạ trực tiếp Như giới thiệu Định nghĩa 1.3.6 có điều kiện (C1 ) từ có khái niệm CS- mơđun (Định nghĩa 1.3.7) Sử dụng tính chất (C1 ) cho lớp mơđun nội xạ trực tiếp ta có khái niệm CS- nội xạ trực tiếp 2.1.7 Định nghĩa Một môđun nội xạ trực tiếp gọi CS- nội xạ trực tiếp (extending direct injective) thỏa mãn điều kiện (C1 ) 2.1.8 Mệnh đề Mọi môđun tựa nội xạ môđun CS- nội xạ trực tiếp 19 Chứng minh Giả sử N môđun môđun tựa nội xạ M Khi E(M ) = E(N ) ⊕ M với M mơđun E(M ), E(N ) bao nội xạ M N Theo luật modular ta có E(M ) = (E(N ) ∩ M ) ⊕ (M ∩ M ) Mặt khác theo giả thiết, M môđun tựa nội xạ nên M = E(M ) M = E(M ) = (E(N ) ∩ M ) ⊕ (M ∩ M ) Do E(N ) bao nội xạ N nên ta có N ⊂∗ E(N ) N ⊂∗ E(N ) ∩ M Vậy M thỏa mãn tính chất (C1 ) Hơn nữa, môđun tựa nội xạ nội xạ trực tiếp M CS- nội xạ trực tiếp 2.1.9 Nhận xét Chúng ta có lược đồ sau: • Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) • Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ CS- nội xạ trực tiếp ⇒ Nội xạ trực tiếp Tương tự kết lớp môđun nội xạ nội xạ trực tiếp, lớp môđun CS- nội xạ trực tiếp có tính chất di truyền cho hạng tử trực tiếp 2.1.10 Định lý Mọi hạng tử trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp Chứng minh Giả sử M = M1 ⊕ M2 môđun CS- nội xạ trực tiếp N môđun M1 Theo giả thiết, M CS- nội xạ trực tiếp nên M có tính chất (C1 ) tồn hạng tử trực tiếp N ∗ M cho N ⊂∗ N ∗ Theo định lý Krull- Schmidt ta có M = N ∗ ⊕ K1 ⊕ M2 M1 = K2 ⊕ (M1 ∩ (N ∗ ⊕ M2 )) Đặt = x ∈ M1 ∩ (N ∗ ⊕ M2 ), suy x = n + m2 , n ∈ N ∗ m2 ∈ M Từ n = 0, tồn phần tử r R cho nr = nr ∈ N Khi đó, xr − nr = m2 r ∈ M1 ∩ M2 Do N cốt yếu M1 ∩ (N ∗ ⊕ M2 ) Điều có nghĩa M1 có tính chất (C1 ) (*) Mặt khác, theo Mệnh đề 2.1.4, M môđun nội xạ trực tiếp nên M1 môđun nội xạ trực tiếp (∗∗) Từ (∗) (∗∗) ta có M1 mơđun CS- nội xạ trực tiếp 20 2.2 Một số kết đặc trưng vành Trong phần tìm hiểu đặc trưng số lớp vành thơng qua tính chất môđun nội xạ trực tiếp Vành R gọi di truyền phải (right hereditary) iđêan phải iđêan xạ ảnh Các tính chất lớp vành tìm thấy [2] bổ đề sau tính chất quan trọng sử dụng chứng minh sau 2.2.1 Bổ đề ([2]) Cho vành R, điều kiện sau tương đương: R vành di truyền phải; Mọi môđun thương R- môđun nội xạ phải môđun nội xạ; Mọi môđun R- môđun xạ ảnh phải mơđun xạ ảnh Chúng ta có kết lớp vành di truyền 2.2.2 Định lý Các điều kiện sau tương đương vành R: R vành di truyền phải; Mọi môđun thương R- môđun nội xạ phải môđun nội xạ trực tiếp; Mọi tổng hai môđun nội xạ R- môđun nội xạ trực tiếp; Mọi tổng hai môđun nội xạ đẳng cấu với môđun nội xạ trực tiếp Chứng minh Trước hết ta chứng minh (1) ⇔ (2) Do R vành di truyền phải nên điều kiện cần hiển nhiên Chúng ta cần chứng minh điều kiện đủ Giả sử E R- môđun nội xạ N môđun Chúng ta chứng minh E/N môđun nội xạ sử dụng Bổ đề 2.2.1 để R vành di truyền phải Đặt p : E → E/N tồn cấu tự nhiên 21 E(E/N ) ⊕ E → E(E/N ) ⊕ (E/N ) toàn cấu Theo điều kiện giả thiết, E(E/N ) ⊕ (E/N ) môđun nội xạ trực tiếp Sử dụng Lemma 2, [8] ta có E/N mơđun nội xạ Dễ thấy (3) ⇒ (4) hiển nhiên ta cần chứng minh (2) ⇒ (3) (4) ⇒ (2) (2) ⇒ (3) Giả sử E1 , E2 hai môđun R- môđun nội xạ phải M Từ E1 ⊕ E2 môđun nội xạ tồn toàn cấu E1 ⊕ E2 → E1 + E2 , theo giả thiết điều kiện (2), E1 + E2 môđun nội xạ trực tiếp (4) ⇒ (2) Xét R- môđun phải nội xạ E mơđun N Đặt U = E ⊕ E , V = {(n, n) ∈ U |n ∈ N }, U = U/V , E1 = {(e, 0) ∈ U |e ∈ E} E2 = {(0, e) ∈ U |e ∈ E} Khi U = E1 + E2 Ei ∼ = E, (i = 1, 2), theo giả thiết U môđun nội xạ trực tiếp Suy tồn đẳng cấu E/N ∼ = U /E1 qua phép chiếu e + N → (0, e) + E1 E/N mơđun nội xạ trực tiếp Trong [7], Koehler đưa đặc trưng vành nửa đơn thông qua lớp môđun tựa nội xạ Sử dụng kết có kết tương tự thơng qua lớp môđun nội xạ trực tiếp 2.2.3 Định lý Các điều kiện sau tương đương vành R: R vành nửa đơn; Mọi R- môđun nội xạ trực tiếp; R- môđun phải RR nội xạ trực tiếp tổng hai môđun nội xạ trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp Chứng minh Trước hết lưu ý vành nửa đơn lớp vành cổ điển có nhiều tính chất, chẳng hạn như: Trên vành nửa đơn R, R- môđun môđun nội xạ, R- môđun môđun xạ ảnh, Do điều kiện (1) ⇒ (2) ⇒ (3) hiển nhiên Chúng ta cần chứng minh (3) ⇒ (1) Thật vậy, M R- môđun 22 nội xạ trực tiếp E(M ) ⊕ M mơđun nội xạ trực tiếp (vì theo giả thiết, tổng hai môđun nội xạ trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp) Theo Lemma ([8]) ta có M môđun nội xạ Như chứng minh môđun nội xạ trực tiếp mơđun nội xạ, theo kết Corollary 2.4 ([6]) ta có R vành nửa đơn 23 KẾT LUẬN Trên sở kết báo [3] [4] Luận văn tập trung tìm hiểu vấn đề sau đây: Tìm hiểu khái niệm môđun nội xạ trực tiếp số tính chất Các nội dung liên quan đến vấn đề trình bày 2.1 Một số kết đặc trưng vành thông qua lớp môđun nội xạ trực tiếp như: vành di truyền (Định lý 2.2.2); vành nửa đơn (Định lý 2.2.3) 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành , NXB Giáo dục B Tiếng Anh [2] F.W Anderson and K.R Furler (1974), Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin [3] Chang Woo Han and Su Jeong Choi (1999), Some properties of direct injective module, J Korea Soc Math Educ Ser B: Pure Appl Math 6, No 1, - 12 [4] Chen Zhizhong (1993), Direct Injective Modules, Acta Mathematica Sinica, New Series, Vol 9, No 3, pp 307-310 [5] S.H Mohamed and B.J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Note Ser Vol 147, Cambridge University Press [6] A Koehler (1970), Quasi- projective covers and direct sums, Proc Amer Math Soc 24, 655-658 [7] A Koehler (1970), Rings for which every cyclic module is quasiinjective, Math Ann 189, 311-316 [8] W Xue (1993), Characterization of rings using direct projective modules and direct injective modules, J Pure Appl Algebra 87, 99-104  ... trực tiếp Tương tự kết lớp môđun nội xạ nội xạ trực tiếp, lớp mơđun CS- nội xạ trực tiếp có tính chất di truyền cho hạng tử trực tiếp 2.1.10 Định lý Mọi hạng tử trực tiếp môđun nội xạ trực tiếp môđun. .. M môđun nội xạ trực tiếp Trong Mệnh đề 1.2.3, hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ Đối với lớp môđun nội xạ trực tiếp tính chất thể kết sau 2.1.4 Mệnh đề Mọi hạng tử trực tiếp môđun nội. .. như: nội xạ chính, nội xạ, giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ, Trong phần tập trung giới thiệu lớp môđun nội xạ trực tiếp, hướng mở rộng khác lớp môđun nội xạ 2.1 Môđun nội xạ trực tiếp tính chất