Vành địa phương và vành các tự đồng cấu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ TẤN PHƢỚC VÀNH ĐỊA PHƢƠNG VÀ VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Trang Mục lục Mở đầu………………………………………………………… ……… Ký hiệu…………………………………………………………………… Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các phần tử đặc biệt vành………………………….………….5 1.2 Vành tự đồng cấu môđun….……………………………… Chƣơng 2: VÀNH ĐỊA PHƢƠNG 2.1 Định nghĩa vành địa phương…………………………………… … 10 2.2 Đặc trưng vành địa phương… … …………………………… 10 2.3 Ví dụ………………………………………………………………… 15 Chƣơng : VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 3.1 Vành tự đồng cấu mơđun khơng phân tích được… …….… 17 3.2 Vành tự đồng cấu môđun nội xạ…………………………… 24 Kết luận… …………………………………………………………….29 Tài liệu tham khảo…………………………………………………….…30 MỞ ĐẦU Cho R vành, A tập tất phần tử không khả nghịch R Vành R gọi vành địa phương A đóng kín phép cộng Ký hiệu End(M) vành tự đồng cấu môđun M Trong tài liệu [1] người ta chứng minh kết sau: Nếu End(M) vành địa phương M khơng phân tích Từ câu hỏi đặt điều ngược lại có khơng? Cụ thể: Nếu M khơng phân tích End(M) có vành địa phương không? Để trả lời cho câu hỏi ta cần phản ví dụ để chứng tỏ điều khơng đúng: mơđun khơng phân tích End( ) không vành địa phương Vậy End(M) vành địa phương? Câu trả lời câu hỏi trình bày cụ thể luận văn : Nếu M  môđun không phân tích có độ dài hữu hạn End(M) địa phương phần tử không khả nghịch End(M) lũy linh Mục đích luận văn tìm hiểu vành địa phương vành tự đồng cấu, đặc biệt vành tự đồng cấu mơđun khơng phân tích vành tự đồng cấu mơđun nội xạ Luận văn ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn trình bày ba chương Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị phần tử đặc biệt vành vành tự đồng cấu mơđun Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ vành địa phương đặc trưng vành địa phương Chương 3: Trình bày vành tự đồng cấu mơđun khơng phân tích vành tự đồng cấu môđun nội xạ Luận văn hồn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, thầy cô giáo môn Đại số Lý thuyết số, thầy cô giáo phản biện quan tâm dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tạo điều kiện để giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Trong trình học tập, nghiên cứu viết luận văn cố gắng nổ lực Song thời gian kiến thức cịn hạn chế nên chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong góp ý chân thành thầy bạn để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 09 năm 2014 LÊ TẤN PHƯỚC CÁC KÝ HIỆU : tập hợp số tự nhiên * : tập hợp số tự nhiên khác : tập hợp số nguyên * : tập hợp số nguyên khác : tập hợp số hữu tỉ * : tập hợp số hữu tỉ khác : tập hợp số thực * : tập hợp số thực khác : tập hợp số phức * : tập hợp số phức khác CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn luận văn, vành ln hiểu vành có đơn vị, ký hiệu môđun môđun phải unita 1.1 CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT TRONG VÀNH 1.1.1 Các phần tử đặc biệt vành a Định nghĩa Cho vành R r  R Phần tử r gọi nghịch đảo trái tồn r '  R để r ' r  Phần tử r gọi nghịch đảo phải tồn r ''  R để rr ''  Phần tử r gọi khả nghịch tồn u  R để ur  ru  Cho vành R , ký hiệu U ( ) tập tất phần tử khả nghịch Khi đó: Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành số nguyên U ( )  1;1 Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành số hữu tỉ U( )  * Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành số thực U( )  * * Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành số phức U( )  là Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành đa thức [ x] U ( [ x])  1;1 Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành đa thức K [ x] với K trường U ( K[ x])  K * b Định nghĩa Phần tử r gọi luỹ linh tồn n Ví dụ: Trong vành * để r n  phần tử 2, 4, luỹ linh c Định nghĩa Phần tử r gọi luỹ đẳng r  r Ví dụ: Tập hợp số nguyên với phép cộng số thơng thường có tập hợp luỹ đẳng là: E  ( ,)   Tập hợp số tự nhiên với phép nhân thơng thường có tập hợp luỹ đẳng là: E  0;1 ( ,)   1.1.2 Một số tính chất phần tử đặc biệt Cho vành R r  R r vừa khả nghịch trái, r vừa khả nghịch phải  r khả nghịch Nếu r luỹ linh  r không khả nghịch  r khả nghịch Nếu r luỹ đẳng   r luỹ đẳng Nếu r luỹ đẳng r khả nghịch  r  Chứng minh () Với r  R Giả sử r khả nghịch trái khả nghịch phải Khi tồn r '  R : r ' r  tồn r ''  R : rr ''  Ta chứng minh r '  r " Thật vậy, ta có r '  r '.1  r '(rr ")  (r ' r )r "  r "  r '  r "   Hiển nhiên (Theo định nghĩa phần tử khả nghịch, phần tử r khả nghịch r khả nghịch trái r khả nghịch phải) Chứng minh Giả sử r khả nghịch u  R cho: ur  ru  (1) Do r luỹ linh nên tồn số tự nhiên n để r n  Nhân vế (1) cho r n1 ta urr n1  1r n1  ur n  r n1   r n1 Tiếp tục nhân vế (1) cho r n2 ta được: r n2  Tiếp tục thực r   (vô lý) Mặt khác, r n  nên   r n  (1  r )(1  r  r   r n1)   r khả nghịch phải Tương tự ta có  r khả nghịch trái Vậy  r khả nghịch Chứng minh Giả sử r luỹ đẳng  r  r Ta có: (1  r )(1  r )   r  r  r   r  r  r   r   r luỹ đẳng Chứng minh Giả sử r vừa luỹ đẳng vừa khả nghịch Khi đó: r  r tồn r '  R : rr '  Khi ta có: r  r1  r.rr '  r 2r '  rr '  Vậy r  1.2 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN 1.2.1 Bổ đề: Cho M môđun vành R , ta định nghĩa End (M ) : {f : M  M f tự đồng cấu} f , g  End (M ); x  M ta xác định phép toán cộng “+”, nhân “.” sau:  Phép cộng " ": f  g:M  M x  Phép toán nhân “.”: (f  g )( x)  f ( x)  g ( x) fg : M  M x (fg )( x)  f [g ( x)] Khi End(M) vành Chứng minh : Ta chứng minh f  g  End (M ) nghĩa chứng minh f + g tự đồng cấu Thật vậy, f , g  End (M ), x, y  M , r  R  Ta có: ( f  g )( x  y)  f ( x  y)  g ( x  y) f g tự đồng cấu nên  ( f  g )( x  y)  f ( x)  f ( y)  g ( x)  g ( y)  ( f  g )( x  y)  ( f  g )( x)  ( f  g )( y)  Mặt khác ( f  g )( xr )  f ( xr )  g ( xr )  f ( x)r  g ( x)r  [f ( x)  g ( x)]r  ( f  g )( xr )  [(f  g )( x)]r  r[(f  g )( x)]  f  g  End(M ) Dễ dàng kiểm tra ( End (M ), ) nhóm Abel  Phần tử khơng ( End (M ), ) đồng cấu xác định sau: 0: M  M x 0M  Phần tử đối f  ( End (M ), ) đồng cấu –f xác định sau: f :M  M ( f )( x)   f ( x) x Ta chứng minh fg  End (M ) nghĩa chứng minh fg tự đồng cấu Thật vậy, f , g  End (M ), x, y  M  Ta có: ( fg )( x  y)  f [g ( x  y)] g tự đồng cấu nên  ( fg )( x  y)  f [g ( x)  g ( y)]=f [g ( x)]  f [ g ( y)] (do f đồng cấu vành)  ( fg )( x  y)  ( fg )( x)  ( fg )( y)  Mặt khác  fg ( xr )  f [ g ( xr )]  f [ g ( x)r ]  f [ g ( x)]r  [ fg ( x)]r  fg  End(M ) Dễ dàng kiểm tra ( End (M ),.) nửa nhóm  Phần tử đơn vị ( End (M ),.) đồng cấu đồng 1M : M  M x x  Phép nhân phân phối phép cộng: f , g , h  End (M ), x  M  Ta chứng minh f ( g  h)  fg  fh Thật vậy, [f ( g  h)]( x)  f [( g  h)( x)]  f [ g ( x)  h( x)]  f [ g ( x)]  f [h( x)]  ( fg )( x)  ( fh)( x)  ( fg  fh)( x)  f ( g  h)  fg  fh  Ta chứng minh (f  g )h  fh  gh hoàn toàn tương tự Kết luận: End ( M ) : {f : M  M f tự đồng cấu} với hai phép toán cộng nhân xác định vành có đơn vị 1.2.2 Định nghĩa Vành End (M ) : {f : M  M f R - tự đồng cấu} với phép toán bổ đề 1.2.1 gọi vành tự đồng cấu mơđun M 10 A = {phần tử không khả nghịch trường} = {0} mà + = đóng kín Vành số ngun khơng địa phương 2, (-3) không khả nghịch + (-3) = - khả nghịch  A khơng đóng kín Vành đa thức [ x] (hệ số thực) không địa phương f ( x)  1 x, g ( x)  x không khả nghịch (tức thuộc A) mà f ( x)  g ( x)  khả nghịch  A Do A khơng đóng kín 17 CHƢƠNG VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 3.1 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MƠĐUN KHƠNG PHÂN TÍCH ĐƢỢC 3.1.1 Định lý Cho RR  Ai phân tích R_môđun phải R theo iI iđêan phải Ai , i  I (a) Khi ta có: (1) Tồn I hữu hạn I  I để i  I , Ai  RR  Ai iI I  1, , n (2) Tồn họ luỹ đẳng trực giao ei i  I  , tức ei ei  ei i  1, n  ei e j  i  j n với   ei Ai  ei R i  1, n (3) Nếu Ai , i  I iđêan hai phía R ei thuộc tâm R (b) Ngược lại: Nếu R có họ luỹ đẳng trực giao ei 1 n n  e  i 1 i n (1) RR   ei R i 1 (2) Nếu ei , i  1, n thuộc tâm R Ai iđêan hai phía R Chứng minh (a) (1) *) Do R có đơn vị ký hiệu 1 Ai nên ta có biểu thị iI  a1  a2   an ,  Ai , i  1, n (1') 18 r  R ta có r  a1r  a2r   anr  a1R  a2R   an R  R  a1R  a2 R   an R (2') *) Ta chứng minh R  Ai - Do  Ai  R  Ai - Lấy bi  Ai , nhân với (1') ta được: bi  a1bi  a2bi   aibi   anbi Mà bi  Ai , a1bi  A1, a2bi  A2 , aibi  Ai , anbi  An Và A trực tiếp nên biểu thị iI i  a1bi  0, a2bi  0, , anbi  0, bi  aibi  R  bi  R  Ai  R Vậy R  Ai Từ (2') Ai  R nên ta có R  A1  A2   An  Lấy I  1; 2; ; n  ta có I hữu hạn I  I để i  I , Ai  RR  Ai I  1, , n iI (2) Trong (1') ký hiệu ei  , i  1, n Khi ta có:  e1  e2   en (3') ei nhân (3') với ei , i  1, n  ei  e1ei  e2ei   eiei   enei Mà ei  Ai , e1ei  A1, eiei  Ai , enei  An Do biểu thị  e1ei  0, enei  ei ei  ei 19 ei  ei Vậy:  ei e j  0, i  j  ei 1 họ luỹ đẳng trực giao n n Vậy có:   ei Ai  ei R i  1, n Tức tồn họ luỹ đẳng trực giao ei 1 n  ei ei  ei i  1, n     ei e j  i  j    n Mà   ei Ai  ei R i  1, n (3) Ta chứng minh ei r  rei , r  R, i  1, n Do ei  Ai mà Ai R iđêan hai phía R  ei r  Ai rei  Ai Từ (3') nhân với r , ta có: r  e1r  e2r   ei r   enr  re1  re2   rei   ren Do biểu diễn suy ra: ei r  rei Từ ta có: Nếu Ai , i  I iđêan hai phía R ei thuộc tâm R (b) Ngược lại: (1) Do  e1  e2   en r  R nhân hai vế với r , ta có: r  e1r  e2r   ei r   enr  R  e1R  e2 R   en R (a ') n Ta chứng minh: ek R   ei R  0, k  1, n i1 ik 20 n Nếu x  ek R   ei R i 1 ik  x  ek r  x  ek r  n   x  e R   i     x  e1r1  e2r2   enrn (không có thành phần k ) i 1 ik  ek x  ek r  ek r  x  ek x  ek e1r1  ek e2r2   ek en rn ( ek e1r1  0; ek e2r2  0; ek enrn  (do ei e j  0, i  j ))  ek x  ek r  ek r  x   ek x  ek e1r1  ek e2r2   ek enrn  (do khoâng có thành phần k )  ek x   x  n  ek R   ei R  0, k  1, n (b ') i 1 ik n Từ (a ') (b ') ta suy R  e1R  e2 R   en R Vậy ta có RR   ei R i 1 (2) Cho ei  Z ( R) Ta chứng minh ei R R +) Hiển nhiên ta có: nhóm ei R()  R() +) x  R, ei r  ei R , ta có: x(ei r )  ei ( xr )  ei R (ei r ) x  ei (rx)  ei R Vậy ei R R 3.1.2 Định nghĩa Môđun M R gọi không phân tích A  M, B  M  A B    A  0, B  M 3.1.3 Hệ Các mệnh đề sau tương đương vành R : 21 (1) RR khơng phân tích (2) R R khơng phân tích (3) R có hai lũy đẳng Chứng minh Ta cần chứng minh (1)  (3) , ( (2)  (3) tương tự) (1)  (3) Giả sử e lũy đẳng R , suy họ e,1  e lũy đẳng trực giao 1  e    e e 1  e   e  e2  Và  e   e Suy theo định lý phân tích vành (chiều ngược lại), có R  eR  1  e  R Do giả thiết (1) RR không phân tích suy ra: eR   e    e R    e   e     Suy R có hai lũy đẳng (3)  (1) Giả sử RR  A  B , ( A, B RR ) Theo định lý phân tích vành tổng quát A, B sinh lũy đẳng, A  eR, e2  e e   A  0, B  R Do giả thiết (3) suy   e   A  R, B  Suy RR khơng phân tích Vậy có (1) 3.1.4 Định lý Cho mơđun M R hay M S : End (M R ) phát biểu sau tương đương: 22 (1) M R khơng phân tích (2) S S khơng phân tích (3) S S khơng phân tích (4) S có hai lũy đẳng Chứng minh Theo Hệ 7.4.2 [1] (2)  (3)  (4) Ta cần chứng minh (1)  (4) +) (1)  (4) Giả sử e phần tử lũy đẳng S ( e2  e ), suy  e phần tử lũy đẳng S  Khi có M  e(M )  (1  e)M Bởi - Mọi x  M có x  e( x)  x  e( x)  e( x)  (1  e)( x) , mà e( x)  e(M ), (1  e)( x)  (1  e)(M )  x  e( y ) - Nếu x  e(M )  (1  e)(M )    x  (1  e)( z )  e( x )  e ( y )  e( y )  x   (do e2  e )  e( x)  e(1  e)( z )  e( z )  e ( z )  Suy x   Do giả thiết (1), M R khơng phân tích e( M )   e  suy  (1  e)( M )    e   e  Ta có (4) +) (4)  (1) Giả sử MR  A  B Xét phép chiếu 23 e: M  A B  M  A B ab a Suy :  e đồng cấu M  M  e  End (M )  e2  e e2  a  b   e  e(a  b)   e(a)  a  e(a  b) Vậy e lũy đẳng S  End (M ) e   A  Theo giả thiết (4) suy  e   A  M Vậy suy M khơng phân tích Hay ta có (1)  3.1.5 Hệ Nếu vành End ( M R ) vành địa phương M R khơng phân tích Chứng minh Đặt S  End (M R ) Để chứng minh M R không phân tích ta cần chứng minh S có hai lũy đẳng Ta lấy e phần tử luỹ đẳng S , suy  e phần tử luỹ đẳng S Giả sử e  0, e    e  1 e 1 Theo Hệ 7.2.2 [1] ta suy e  e không khả nghịch Mà e,1  e  S  End (M R ) vành địa phương nên tập A = {các phần tử không khả nghịch R} khép kín phép cộng Do e  1  e  khơng khả nghịch Suy không khả nghịch (điều vô lý) 24 Vậy ta phải có e  e  Hay M R khơng phân tích 3.1.6 Định lý Cho M  mơđun có độ dài hữu hạn khơng phân tích được, End (M ) vành địa phương phần tử không khả nghịch End (M ) lũy linh Chứng minh   End (M ) tồn số tự nhiên n cho: M  im n  ker n (do M hữu hạn), M khơng phân tích nên ker n  im n  Trường hợp 1: ker n   ker    đơn cấu   tự đẳng cấu   khả nghịch Trường hợp 2: im n    n    phần tử lũy linh    khả nghịch (theo Hệ 7.2.2 [1])    End (M )  khả nghịch   khả nghịch Do End (M ) vành địa phương (theo Định lý 7.1.1 [1])    End (M ) giả sử  không khả nghịch   lũy linh (trường hợp 2) Ngược lại  lũy linh (theo Hệ 7.2.2 [1])  khơng khả  nghịch 3.2 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MƠĐUN NỘI XẠ 3.2.1 Định nghĩa Mơđun gọi môđun nội xạ với môđun M, với môđun X M, với đồng cấu f : X  đồng cấu f  : M  tồn để biểu đồ sau giao hoán: X i M f f 25  tức f i  f i nhúng đồng 3.2.2 Định lí (Tiêu chuẩn Baer) Mơđun Q nội xạ với iđêan phải I R, với đồng cấu f : I  Q tồn a  Q để f ( x)  ax với x  I 3.2.3 Hệ Q nội xạ Q R - nội xạ, tức với iđêan phải I R, với đồng cấu f : I  Q tồn đồng cấu f  : R  Q để biểu đồ sau giao hoán I i RR f tức f i  f f  3.2.4 Định nghĩa Nhóm Abel A gọi chia n.x  a n  N  , phương trình  ln có nghiệm x  A, a  A hay n  N : nA  A 3.2.5 Định lí Nhóm thương nhóm Abel chia nhóm chia Chứng minh Lấy A nhóm chia được, H  A Ta cần chứng minh A H nhóm chia Xét phương trình: nx  a  H (*) , n  , a  H  A H Do a  A mà A chia nên phương trình: n.x  a có nghiệm x0  A , tức ta có nx0  a, x0  A Khi ta có: 26 n( x0  H )  nx0  H  a  H Vậy phương trình (*) có nghiệm x = x0  H  A H 3.2.6 Định lí Tổng trực tiếp nhóm Abel chia chia Chứng minh Cho  iI  Ai iI họ nhóm Abel chia Ta chứng minh Ai nhóm chia  Lấy n  N , a   iI Ai bất kì, ta có a  (a , a , , an ),  Ai , i  I Xét phương trình: n.x  a Do  Ai , i  I , mà Ai chia nên phương trình nxi  a có nghiệm x  xi  Ai , i  I Khi ta lấy b  ( x , x , , xn )   iI Ai thì: nb  (nx , nx , , nxn )  (a , a , , an ) 2 Vậy b nghiệm phương trình n.x  a , nên  iI Ai chia Trong trường hợp đặc biệt Ai  Aj   , i, j  I tương tự ta có iI Ai nhóm chia 3.2.7 Định lí Trên vành số ngun -mơđun nội xạ -môđun chia 27 Chứng minh    Cho A -môđun nội xạ (Nhóm Abel A nội xạ), ta chứng minh A chia Thật vậy, xét phương trình:  nx  a, n  , a  A Xét biểu đồ i nZ  Z f f A f xác định là: f (n)  f (n.1)  a Do A nội xạ nên theo hệ tiên đề tiêu chuẩn Baer tồn f:  A để f i  f Ta có f i(n.1)  f (n.1)  nf *(1) b  f  (1)  A Đặt Khi ta có f i(n.1)  f (n.1)  a Vậy a  nf  (1)  nb tức phương trình n.x  a có nghiệm x  b  f  (1)  A , hay A chia 28    Ngược lại cho A chia ta chứng minh A nội xạ Ta dùng tiêu chuẩn Baer Xét biểu đồ i nZ  Z f f A i nhúng đồng nhất, f đồng cấu Gọi a  f (n)  f (n.1)  A Do phương trình nx = a có nghiệm x  x0  A Khi ta chọn: f  :  A, f (1)  x Khi f  đồng cấu ( f  xác định qua sở ) f i(n.1)  f (n.1)  nf (1)  n.x0  a  f (n.1)  f i  f 29 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung đặc trưng vành địa phương, tính chất vành địa phương tìm hiểu vành tự đồng cấu môđun M vành địa phương Cụ thể hồn thành nội dung sau: Khái niệm vành tự đồng cấu môđun số tính chất Trình bày điều kiện để vành tự đồng cấu vành địa phương Tìm hiểu vành tự đồng cấu mơđun khơng phân tích vành tự đồng cấu môđun nội xạ 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F Kasch (1982), Modules and Rings Academic press, London - NewYork [2] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết vành môđun, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS-môđun, Luận án PTS Toán Lý, ĐH Vinh 31 ... biệt vành vành tự đồng cấu mơđun Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ vành địa phương đặc trưng vành địa phương Chương 3: Trình bày vành tự đồng cấu mơđun khơng phân tích vành tự đồng cấu mơđun... nội dung đặc trưng vành địa phương, tính chất vành địa phương tìm hiểu vành tự đồng cấu môđun M vành địa phương Cụ thể chúng tơi hồn thành nội dung sau: Khái niệm vành tự đồng cấu mơđun số tính... 1.1 Các phần tử đặc biệt vành? ??……………………….………….5 1.2 Vành tự đồng cấu môđun….……………………………… Chƣơng 2: VÀNH ĐỊA PHƢƠNG 2.1 Định nghĩa vành địa phương? ??………………………………… … 10 2.2 Đặc trưng vành địa phương? ??