Dạng chuẩn tắc jordan của tự đồng cấu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN CỦA TỰ ĐỒNG CẤU Họ tên: Lê Thuý An Lớp: K21 - ĐHSP Toán Ngành đào tạo: ĐHSP Toán MSSV: 1861010008 GVHD: TS Lê Xuân Dũng Thanh Hoá, tháng năm 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN CỦA MỘT TỰ ĐỒNG CẤU Họ tên: Lê Thuý An Lớp: K21 - ĐHSP Toán Ngành đào tạo: ĐHSP Toán MSSV: 1861010008 GVHD: TS Lê Xuân Dũng Thanh Hoá, tháng năm 2022 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lê Xuân Dũng tận tình bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện để em hồn thành khóa luận Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức dạy bảo cho em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập vừa qua Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 07 tháng 06 năm 2022 Sinh viên Lê Thúy An i Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận kết trình làm việc nghiêm túc, cố gắng, nỗ lực từ thân hướng dẫn, bảo tận tình thầy TS Lê Xuân Dũng Trong q trình thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục tài liệu tham khảo Thanh Hóa, ngày 07 tháng 06 năm 2022 Sinh viên Lê Thúy An ii Mục lục Mục lục iii Mở đầu 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Chương Kiến thức sở 1.1 1.2 1.3 Ánh xạ tuyến tính 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Hạt nhân, ảnh ánh xạ tuyến tính Cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính 1.2.1 Giá trị riêng vectơ riêng, đa thức đặc trưng 1.2.2 Không gian bất biến 11 1.2.3 Tự đồng cấu chéo hoá 12 1.2.4 Tự đồng cấu lũy linh 17 Dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu 20 Chương Một số dạng tập dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu 29 iii 2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu không gian vectơ chiều 29 2.2 Dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu không gian vectơ chiều 43 2.3 Dạng chuẩn tắc Jordan số tự đồng cấu đặc biệt 53 2.4 Mô tả dạng chuẩn Jordan tự đồng cấu cho trước đa thức cực tiểu 61 2.5 Ứng dụng kiểm tra tính đồng dạng ma trận 65 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 iv MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu lí chọn đề tài Việc nghiên cứu đồng cấu, đặc biệt tự đồng cấu, đóng vai trị quan trọng việc làm rõ cấu trúc không gian vectơ Để việc nghiên cứu tự đồng cấu dễ dàng ta cần tìm ma trận biểu diễn đơn giản có tự đồng cấu Kiến thức ma trận Đại số tuyến tính giữ vai trị quan trọng, gốc rễ cần phải biết Ma trận đường chéo ma trận đơn giản, tự đồng cấu có ma trận với sở ma trận dạng chéo gọi tự đồng cấu chéo hóa Nhưng khơng phải tự đồng cấu chéo hóa Vì ta cần tìm ma trận có dạng gần với ma trận dạng chéo Ma trận dạng chuẩn tắc Jordan ma trận đặc biệt, gồm khối khác khơng đường chéo chính, khối ma trận có phần tử nằm đường chéo giống nhau, phần tử nằm (dưới) đường kề với đường chéo 1, phần tử lại Đối với tự đồng cấu xác định dạng chuẩn tắc Jordan sai khác thứ tự khối Jordan đường chéo Dạng chuẩn tắc Jordan coi dạng ma trận biểu diễn đơn giản tự đồng cấu Chính ý thức tầm quan trọng vấn đề nên chọn đề tài "Dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu" để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: Hệ thống lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu Phạm vi nghiên cứu: Hệ thống sơ lược lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp Xây dựng giải chi tiết hệ thống tập dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương sau Chương I: Kiến thức sở Chương II: Một số dạng tập dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Dạng chuẩn tắc Jordan xem dạng ma trận biểu diễn đơn giản tốn tử tuyến tính Đối với tốn tử tuyến tính ln xác định dạng chuẩn tắc Jordan Trong chương này, khóa luận trình bày, hệ thống sơ lược khái niệm ánh xạ tuyến tính, cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu dựa tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1 Ánh xạ tuyến tính Trong mục này, khóa luận trình bày, hệ thống sơ lược khái niệm ánh xạ tuyến tính, hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính dựa tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho V, W hai không gian vectơ trường K Ánh xạ ϕ : V → W gọi ánh xạ tuyến tính ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β) ϕ(kα) = kϕ(α) với α, β ∈ V k ∈ K Ánh xạ tuyến tính cịn gọi đồng cấu tuyến tính, hay cách vắn tắt đồng cấu Kí hiệu: Hom(V, W) tập ánh xạ tuyến tính từ V vào W Ví dụ 1.1.2 a) Ánh xạ khơng : V → W cho bởi: 0(α) = 0, ∀α ∈ V ánh xạ tuyến tính b) Ánh xạ đồng idV : V → W mà idV (α) = α, ∀α ∈ V ánh xạ tuyến tính c) Ánh xạ đạo hàm d dx : R[x] → R[x] cho bởi: d (an xn + + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + + a1 dx ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Giả sử V, W K không gian vectơ ϕ, φ : V → W hai ánh xạ tuyến tính Ta gọi tổng ϕ φ ánh xạ, kí hiệu ϕ + φ xác định ϕ+φ:V →W α 7→ (ϕ + φ)(α) = ϕ(α) + φ(α) với λ ∈ K ϕ : V → W ánh xạ tuyến tính, ta gọi tích ánh xạ ϕ với vô hướng λ ánh xạ, kí hiệu λϕ xác định bởi: λϕ : V → W α 7→ (λϕ)(α) = λϕ(α) Định lý 1.1.4 Giả sử V không gian vectơ n - chiều Khi đó, ánh xạ tuyến tính từ V vào W hoàn toàn xác định ảnh sở Nói rõ hơn, giả sử (ε) = {ε1 , ε2 , , εn } sở V (β) = {β1 , β2 , , βn } n vectơ W Khi có ánh xạ tuyến tính ϕ : V → W cho ϕ (εi ) = βi , i = 1, 2, , n Chứng minh ˆ Sự tồn Nếu α = x1 · ε1 + x2 · ε2 + + xn · εi ∈ V , ta đặt: ϕ(α) = x1 · β1 + x2 · β2 + + xn · βn ∈ W Khi ϕ : V → W ánh xạ tuyến tính ϕ (εi ) = βi , i = 1, 2, , n ˆ Sự Nếu tồn ánh xạ f : V → W thỏa mãn định lí ϕ (εi ) = f (εi ) = βi , i = 1, 2, , n P với α = ni=1 xi · εi ta có: ! n n n X X X ϕ(α) = ϕ xi · εi = xi ϕ (εi ) = xi f (εi ) = f i=1 i=1 i=1 Suy ϕ = f Vậy ϕ tồn n X i=1 ! x i εi = f (α) 1 − t −5 = (t + 1)3 −6 − t 29 Tiếp theo tìm đa thức   (A + I) =  1 cực tiểu A, ta có   −15 0    −5   , (A + I) =  0 −5 0     Do đó, ta có đa thức cực tiểu A gA (t) = (t + 1)2 Đa thức có nghiệm thực t = −1 Vậy ma trận A đồng dạng trường số thực với ma trận Jordan J Các khối Jordan ma trận J có phần tử đường chéo −1 Ứng với t = −1, cấp , số khối rank(A + I) − 2rank(A + I)2 + rank(A + I)3 (∗)       −15 0 0 0        − 2rank  0  + rank  0  =rank  −5       −5 0 0 0 Biến đổi để tìm hạng ma trận trên, ta có    −15 0   −d3 +d2   −−−−→  0 A=  −5  − −3d3 +d1  −5 −5     Suy ra, rankA = Thay vào (∗), ta có số khối Jordan ứng với t = −1, cấp − 2.0 + = Tương tự vậy, khối Jordan ứng với t = −1, cấp , số khối rank(A + I)0 − 2rank(A + I) + rank(A + I)2      −15 0 0          = rank    − 2rank  −5  + rank  0 0 0 0 1 −5 (∗∗)     =3 − 2.1 + = Tóm lại, ma trận Jordan tạo thành từ khối cấp khối cấp 30 với phần tử đường chéo −1 Ma trận   −1 0    J =  −1  0 −1 Bài tập 2.1.2 Cho tự đồng cấu f : R3 → R3 , f (x; y; z) = (9x + 6y − 2z; 18x − 12y − 3z; 18x − 9y − 6z) Tìm dạng chuẩn tắc Jordan f Giải: Trước hết chọn sở tắc {e1  = (1; 0; 0), e2 =  (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1)} −6 −2    Ta có ma trận tắc f A =  18 −12 −3   18 −9 −6 Tìm đa thức đặc trưng, ta có: − t −6 −2