Dạng chuẩn tắc jordan của ma trận

MỤC LỤC MỤC LỤC i THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ii MỞ ĐẦU 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lƣợc ma trận 1.2 Véctơ riêng, giá trị riêng 1.3 Chéo hóa ma trận 1.4 Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ 13 DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN CỦA MA TRẬN 13 2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp 13 2.2 Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp 23 2.3 Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận đặc biệt 31 2.4 Mô tả dạng chuẩn Jordan ma trận cho trƣớc đa thức cực tiểu 38 2.5 Ứng dụng kiểm tra tính đồng dạng ma trận 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 i THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU - Thông tin chung Tên đề tài: Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận Mã số: Thời gian thực hiện: tháng ( từ tháng 10/2021 đến tháng năm 2022) Cấp quản lí: Cấp sở Cơ quan quản lí đề tài: Trường Đại học Hồng Đức Đơn vị chủ trì đề tài: Khoa Khoa học Tự nhiên Sinh viên thực hiện: Lê Thúy An Đơn vị: Khoa Khoa học Tự nhiên - SĐT: 0389153186 Email: Lethuyan070500@gmail.com Mục tiêu Dựa tài liệu tham khảo, hệ thống lại kiến thức, đưa dạng chuẩn tắc Jordan ma trận; sưu tầm, hệ thống giải chi tiết số dạng tập liên quan đến dạng chuẩn tắc Jordan ma trận Kết nghiên cứu Kết nghiên cứu đề tài đạt là: - Hệ thống kiến thức ma trận chéo hóa được, ma trận đồng dạng dạng chuẩn tắc Jordan ma trận - Xây dựng giải chi tiết hệ thống tập dạng chuẩn tắc Jordan ma trận Hiệu quả, phƣơng thức chuyên giao kết nghiên cứu khả ứng dụng Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán trình đào tạo quan tâm đến vấn đề nghiên cứu đề tài ii MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu lí chọn đề tài Việc nghiên cứu đồng cấu, đặc biệt tự đồng cấu, đóng vai trị quan trọng việc làm rõ cấu trúc không gian vectơ Để việc nghiên cứu tự đồng cấu dễ dàng ta cần tìm ma trận biểu diễn đơn giản có tự đồng cấu Kiến thức ma trận Đại số tuyến tính giữ vai trị quan trọng, gốc rễ cần phải biết Ma trận đường chéo ma trận đơn giản, tự đồng cấu có ma trận với sở ma trận dạng chéo gọi tự đồng cấu chéo hóa Nhưng khơng phải tự đồng cấu chéo hóa Vì ta cần tìm ma trận có dạng gần với ma trận dạng chéo Ma trận dạng chuẩn tắc Jordan ma trận đặc biệt, gồm khối khác không đường chéo chính, khối ma trận có phần tử nằm đường chéo giống nhau, phần tử nằm (trên) đường chéo 1, phần tử lại Đối với tự đồng cấu xác định dạng chuẩn tắc Jordan sai khác thứ tự khối Jordan đường chéo Dạng chuẩn tắc Jordan coi dạng ma trận biểu diễn đơn giản tự đồng cấu Chính ý thức tầm quan trọng vấn đề nên chọn đề tài “ Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận” để nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu dạng chuẩn tắc Jordan ma trận Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: Hệ thống lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận Phạm vi nghiên cứu: Hệ thống sơ lược lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp Xây dựng giải chi tiết hệ thống tập dạng chuẩn tắc Jordan ma trận Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nghiên cứu gồm chương sau Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Một số dạng toán dạng chuẩn tắc Jordan ma trận CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Dạng chuẩn tắc Jordan xem dạng ma trận biểu diễn đơn giản toán tử tuyến tính Đối với tốn tử tuyến tính xác định dạng chuẩn tắc Jordan Trong chương này, đề tài trình bày, hệ thống sơ lược khái niệm ma trận, hạng ma trận, véctơ riêng, giá trị riêng, ma trận chéo hóa dạng chuẩn tắc Jordan ma trận dựa tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Sơ lƣợc ma trận Trong mục này, đề tài đưa định nghĩa đơn giản ma trận, dạng ma trận quen thuộc, hạng ma trận dựa tài liệu [3], [4] Định nghĩa 1.1.1: Ma trận A cấp m  n bảng số hình chữ nhật gồm m dòng n cột biểu diễn sau  a11 a12 a a22 A   21    am1 am Trong đó: aij  a1n  a2 n    aij  , i  1, m, j  1, n mn   amn  gọi phần tử thuộc dòng i cột j ma trận A, m số dòng ma trận A, n số cột ma trận A,  ai1 , , , ain  dòng  a1 j  a  2j thứ i ma trận A,   cột thứ j ma trận A Kí hiệu M mn  R  tập      amj  hợp cấp m  n 1.1.1 Các dạng đặc biệt ma trận  Ma trận dịng: Ma trận dịng ma trận có dịng n cột Kí hiệu A   a1, a2 , , an   Ma trận cột: Ma trận cột ma trận có m dịng cột Kí hiệu  a1  a  A         am   Ma trận không: Ma trận không ma trận có tất phần tử Kí hiệu  0mn  Ma trận cấp n : Ma trận vuông cấp n ma trận có số dịng số cột n Kí hiệu  a11 a12 a a22 A   21    an1 an a1n  a2 n    aij  , i  1, n, j  1, n nn   ann  Tập ma trận vng cấp n kí hiệu A  M n  R  Đường thẳng qua phần tử a11, a22 , , ann gọi đường chéo ma trận A Đường thẳng qua phần tử a1n , a2 n1 , , an1 gọi đường chéo phụ ma trận A  Ma trận tam giác: Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo Tương tự, ma trận tam giác ma trận có phần tử nằm phía đường chéo  Ma trận chéo: Ma trận chéo ma trận vng có phần tử nằm bên ngồi đường chéo  Ma trận đơn vị cấp n : Ma trận đơn vị cấp n ma trận chéo có phần tử nằm đường chéo Kí hiệu I  I n  Ma trận chuyển vị: Chuyển vị ma trận A ma trận có từ A cách viết hàng ma trận A theo thứ tự thành cột Kí hiệu At  Ma trận đối xứng: Ma trận vuông A   aij  gọi ma trận đối xứng n aij  a ji , i, j  1, n , tức A  At 1.1.2 Hạng ma trận Định nghĩa 1.1.2: Cho A  M mn  R  B ma trận bậc thang nhận từ A số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp Khi số dịng ( số cột) khác B gọi hạng A , kí hiệu rank  A r  A 1.2 Véctơ riêng, giá trị riêng Trong mục này, đề tài trình bày vấn đề chéo hóa ma trận bao gồm giá trị riêng, véctơ riêng, đa thức đặc trưng, nghiệm đặc trưng cách tìm giá trị riêng, véctơ riêng ma trận dựa tài liệu [3], [4] Định nghĩa 1.1.3 : Cho f : V  V phép biến đổi tuyến tính trường K Véctơ  v  V gọi véctơ riêng f k  K cho f  v   kv Khi k gọi giá trị riêng f ứng với véctơ riêng v Định nghĩa 1.1.4: Cho A ma trận vuông cấp n ma trận ánh xạ tuyến tính j Véctơ X  gọi véctơ riêng ma trận A k  K cho A X  k X Ta nói k giá trị riêng ma trận A Nhận xét: - Mỗi véctơ riêng v ứng với giá trị riêng k - Ngược lại, giá trị riêng k ứng với nhiều véctơ riêng - Tập tất véctơ riêng ứng với giá trị riêng k với véctơ lập thành khơng gian V Định nghĩa 1.1.5: Đa thức đặc trƣng nghiệm đặc trƣng Cho A ma trận vuông cấp n Khi đa thức A  kI gọi đa thức đặc trưng ma trận A ( đa thức bậc n ẩn k ) Lúc phương trình A  kI  gọi phương trình đặc trưng Cách tìm véctơ riêng, giá trị riêng ma trận Bước 1: Lập đa thức đặc trưng A  kI Bước 2: Tìm nghiệm phương trình đặc trưng A  kI  Bước 3: Gọi X   x1, , xn  véctơ riêng, theo định nghĩa 1.1.3 ta ln có A X  k X Khi đó, ta có  x1  AX  kX   A  kI  X    A  kI     0(*)    xn  Giải hệ phương trình (*) ta véctơ riêng X 1.3 Chéo hóa ma trận Trong mục này, đề tài trình bày định nghĩa ma trận chéo hóa làm rõ điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa dựa tài liệu [3], [4] Định nghĩa 1.1.6: Giả sử cho hai ma trận A   aij  B  bij  , có aij  0, bij   i  j  Hai ma trận A B cấp gọi đồng dạng tồn ma trận khả nghịch P cho B  P A.P 1 Ma trận vng A gọi chéo hóa A đồng dạng với ma trận đường chéo D ( Kí hiệu: A D ), nghĩa tồn ma trận khả nghịch P cho A  P.D.P 1 Việc tìm ma trận P, D thỏa mãn A  P.D.P 1 gọi chéo hóa ma trận A Chú ý 1.1.7: Có ma trận chéo hóa được, có ma trận khơng chéo hóa Điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa đƣợc: Định lí 1.1.8: Ma trận vng A cấp n chéo hóa thỏa mãn điều kiện sau i  A  kI đa thức tách được, (có đủ n nghiệm)  ii  Ứng với giá trị riêng k khơng gian riêng Vk có số chiều số bội nghiệm k đa thức đặc trưng ( hiểu dimVk  n ) Hệ 1.1.9: Nếu đa thức đặc trưng ma trận vng A cấp n có n nghiệm phân biệt A chéo hóa 1.4 Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận Dạng chuẩn tắc Jordan xem dạng ma trận biểu diễn đơn giản tốn tử tuyến tính Đối với tốn tử tuyến tính ln xác định dạng chuẩn tắc Jordan Trong mục này, đề tài trình bày, hệ thống định nghĩa, định lí, hệ thuật tốn tìm dạng chuẩn tắc Jordan ma trận dựa tài liệu [1], [2] Định nghĩa 1.1.10 : Ma trận đồng hành đa thức g  tm  c t m1   c t  c m1 ma trận 0 1  Jg     0  0 c0  c1  c2    cm1  Ta gọi Jordan Nếu g đa thức bất khả quy bậc m p số tự nhiên, ta nói ma trận vng cấp mp có dạng ma trận khối sau khối Jordan liên kết với g p Jgp  Jg O  1m J g  O1m    0   0  0 ,  0  J g  J g O1m ma trận vuông cấp m O1m ma trận vng cấp m có phần tử 1,m  1, cịn lại tồn Ví dụ 1.1.11: Nếu g  t  c J g   c  khối Jordan  t  c  ma p trận tam giác cấp p J t c p   Nói riêng, khối Jordan c 1    0 c 0 0    c có dạng Ví dụ 1.1.12: Nếu g  t   t     4 khơng phần tử phương    p , J g   , khối Jordan  t   t    ma     trận vuông cấp p sau Jgp      0  0    0 0  0 0  Nói riêng, khối Jordan 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0   0 0  0  0   0    0  0       có dạng dạng VD1 Định nghĩa 1.1.13: Đa thức cực tiểu Cho tốn tử tuyến tính  không gian véctơ V Đa thức cực tiểu  đa thức chuẩn ( tức có hệ số đầu 1) g  K t  có bậc nhỏ cho g    Đa thức cực tiểu kí hiệu g Đơi ta gọi đa thức cực tiểu  đa thức cực tiểu V , lúc ta ngầm hiểu  xác định Tương tự, đa thức cực tiểu ma trận vuông A đa thức đơn ( tức có hệ số đầu 1) g  t   K t  có bậc nhỏ cho g  A  Đa thức cực tiểu A kí hiệu g A Định nghĩa 1.1.14: Khơng gian xích Cho  tốn tử tuyến tính không gian véctơ hữu hạn chiều V   v  V Khi Z  v   f   v  ; f  t   K t  không gian bất biến bé chứa v Ta nói khơng gian U V khơng gian xích (  ) tồn v  V để U  Z  v  Khi v gọi phần tử sinh U Ta có B ma trận tồn 0, trừ đường chéo thứ nằm đường chéo   b   i  j   với  ij Bằng quy nạp, ta chứng minh B k  A2 k  bij   bij  1  i  j   ma trận toàn 0, trừ đường chéo thứ 2k nằm đường chéo với  bij   i  j  2k    i  Thật vậy,  b   i  j  k     ij - Với k  ta thấy B1  bij  ma trận toàn 0, trừ đường chéo thứ nằm đường chéo  b   i  j  2k0   - Giả sử với k  k0 , tức B k0  bij  với  ij Ta b   i  j  k     ij cần chứng minh  i  với k  k0  Thật vậy, B k0 1  B k0 B  cij  Ta có  n  cij     bis asj  Ở vị trí thứ  s 1  i, j    j   k0  1 , j    j  2k0  2, j  n c j 2 k0 2 j   b j 2 k0 2s asj  b j 2k0 21.a1 j   b j 2k0 2 j 2 a j 2 j   b j 2k0 2n anj s 1  b j 2 k0 2 j 2 a j 2 j  Tương tự, vị trí thứ  i, j    j  2k0  2, j  cij  (điều phải chứng minh) Lúc này, theo cách xác định Bk , ta dễ dàng rank  B k   n  2k Giả sử, n lẻ n  2m   m   Suy B m1  hay đa thức cực tiểu g B  t   t m1 Do đó, ta tính số khối Jordan cấp m  ứng với t  rank  B m   2rank  B m1   rank  B m2   n  2m  2.0   Tiếp theo, ta tính số khối Jordan cấp m ứng với t  rank  B m1   2rank  B m   rank  B m1   n   m  1   n  2m    n  2m     34 Tương tự vậy, giả sử n chẵn n  2m  m   Suy B m  hay đa thức cực tiểu g B  t   t m Do đó, ta tính số khối Jordan cấp m ứng với t  rank  B m1   2rank  B m   rank  B m1   n   m  1  2.0   n  2m   Vậy tóm lại, n lẻ ma trận Jordan tạo thành từ khối cấp m  ứng với t  khối cấp m ứng với t  Nếu n chẵn thì ma trận Jordan tạo thành từ khối cấp m ứng với t  Bài 2.3.4: Tìm dạng chuẩn tắc Jordan ma trận lũy đẳng A ( tức ma trận với tính chất A2  A ) Giải: Theo giả thiết A2  A nên A2  A  hay A A  I   Áp dụng định lí Cauley – Haminton, ta ln chứng minh đa thức đặc trưng có giá trị riêng t  t  Vậy đa thức đặc trưng ma trận A có dạng A  tI   1 t m. t  1 với n  m  p Từ đó, ta tìm đa thức cực tiểu n p g A  t   t  t  1 Ta tính số khối Jordan ứng với t  , cấp rank  A  I   2rank  A  I   rank  A  I   rank I n  2rank A  rank A  n   n  m    n  m   m Tương tự, ta tính số khối Jordan ứng với t  , cấp rank  A  I   2rank  A  I   rank  A  I  Lại có  A  I   A2  A  I  I  A Suy rank  A  I   2rank  A  I   rank  A  I   rank  A  I   2rank  A  I   rank  I  A   rank I n  2rank  A  I   rank  I  A  n   n  p    n  p   p Vậy tóm lại, dạng chuẩn tắc Jordan ma trận lũy đẳng A tạo thành từ p khối cấp có phần tử nằm đường chéo m khối cấp có phần tử nằm đường chéo 35 Bài 2.3.5: Tìm dạng chuẩn tắc Jordan ma trận sau  1  1  0 A  0 0  0 0 0 0  0   1  1 Giải: Trước tiên, tìm đa thức đặc trưng A ta có  t 1 0  t 1 f A t   0  t 1 0 0 0 0 n n n 0  1  t    1  t  1 1 t Vì t  nghiệm đa thức đặc trưng nên  1  0 1  0 0 A I   0 0  0 0 0 0  0   1  0 Tiếp theo tìm đa thức cực tiểu A ta có g A  t    t  1 , với k  n , k A I k  1  0 1  0 0   0 0  0 0 0  1 0   0 1 0  0   1 0  0  0 0   1 0  0   0 1 0  0   0 0        1  0 1    0   0 0  Đặt B   A  I    aij  , ta có B ma trận tồn 0, trừ đường chéo thứ   a   j  i  1 nằm đường chéo hay  ij Bằng quy nạp, a    j  i     ij  36 ta chứng minh Bk   A  I   bij  ma trận toàn 0, trừ đường chéo thứ k k k  bij   1  j  i  k   nằm đường chéo với B  bij  hay   ii  b   j  i  k     ij k Thật - Với k  ta thấy Bk   A  I   bij  ma trận toàn 0, trừ đường chéo k thứ nằm đường chéo k  bij   1  j  i  k0   - Giả sử với k  k0 , tức B  bij  với  b   j  i  k   0  ij k0 Ta cần chứng minh  ii  với k  k0  Thật vậy, B k0 1  B k0 B  cij  Ta n có cij    bis asj Ở vị trí thứ  i, j    i, i  k0  1 s 1 cii k0 1  bi1.a1i k0 1  bi a2i k0 1   bin ani k0 1 k 1  bii k0  ai k0 i k0 1   1  1   1 k Tương tự, vị trí thứ  i, j    i, i  k0  1 cij  Vậy tóm lại đa thức cực tiểu ta tìm đa thức đặc trưng Hay g A  t    t  1 Lúc này, theo cách xác định Bk , ta dễ dàng n rank  B k   n  k Ta tính số khối Jordan ứng với t  , cấp n rank  B n1   2rank  B n   rank  B n1   n   n  1    Vậy dạng chuẩn tắc Jordan J tạo thành từ khối cấp n có phần tử đường chéo Ma trận 1 1  0 J   0  0 1 0 37 0 0 0 1 0  0   0  1 2.4 Mô tả dạng chuẩn Jordan ma trận cho trƣớc đa thức cực tiểu Trong mục này, đề tài hệ thống giải chi tiết số tập mô tả dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cho trước đa thức cực tiểu Bài 2.4.1: Hãy mô tả dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp có đa   thức cực tiểu  t  1 t  Giải: Ta thấy ma trận ban đầu ma trận cấp nên dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp Gọi J1, J , J khối Jordan liên kết với t  1 , t  1 , t   ( có cấp 1, 2, 2) Vì  t   đa thức bất  2  khả quy, nên khối Jordan liên kết với  t   có dạng J      Khi đó, dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp có khả sau TH1: diag  J , J , J   1 0  1 0   0 1 J   0 1 0 0  0 0 0 0 0  0  0 2   0 TH2: diag  J , J , J   1  1  0 J  0 0  0 TH3: diag  J1, J1, J , J  38 0 0 2 0 0 0 0 0  0  0 2   0  1 0  1 0   0 1 J   0 1 0 0  0 0 0 0 0  0  0 2   0 Bài 2.4.2: Hãy mô tả dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp có đa thức cực tiểu  t  a  Giải: Ta thấy ma trận ban đầu ma trận cấp nên dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp Gọi J1, J  t  a  , t  a  khối Jordan liên kết với ( có cấp 1, 2) Khi đó, dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp có khả sau TH1: diag  J , J  a 1 J  0  0 a 0 0 a 0  0  a a 1 J  0  0 a 0 0 a 0  0  a TH2: diag  J , J1, J1  Bài 2.4.3: Hãy mô tả dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp có đa thức cực tiểu  t  1  t  4t  1 Giải: Ta thấy ma trận ban đầu ma trận cấp nên dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp Gọi J1, J , J khối Jordan liên kết với t  1 , t  1 , t  4t  1 (có cấp 1, 2, 2) Vì  t  4t  1 đa 39 thức bất khả quy, nên khối Jordan liên kết với t  4t  1 có dạng  1  J3    Khi đó, dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp có khả    sau TH1: diag  J , J , J   1 0  1 0   0 1 J   0 1 0 0  0 0 0 0 0  0  0 1   4  TH2: diag  J , J , J   1  1  0 J  0 0  0 0 0 0 1 4 0 0 0 0  0  0 1   4   1 0  1 0   0 1 J   0 1 0 0  0 0 0 0 0  0  0 1   4  TH3: diag  J1, J1, J , J  Bài 2.4.4: Hãy mô tả dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp n có đa thức cực tiểu  t  a  n Giải: Áp dụng tập 2.3.5, ta có dạng chuẩn tắc Jordan J tạo thành từ khối cấp n có phần tử đường chéo a Ma trận 40 a 1  0 J   0  0 a 0 0 a 0 0 a 0  0   0  a 2.5 Ứng dụng kiểm tra tính đồng dạng ma trận Mỗi ma trận có dạng chuẩn tắc Jordan Hai ma trận gọi đồng dạng với chúng có dạng chuẩn tắc Jordan Trong mục này, đề tài hệ thống giải chi tiết tập ứng dụng dạng chuẩn tắc Jordan để kiểm tra tính đồng dạng ma trận Bài 2.5.1: Chứng minh hai ma trận vuông cấp n sau đồng dạng với  1  1  0 A  0 0  0 0 0 0  0   1  1 1 0  B0   0  1 1 1      Giải: Trước tiên, tìm đa thức đặc trưng A ta có  t 1 0  t 1 f A t   0  t 1 0 0 0 0 n n n 0  1  t    1  t  1 1 t Vì t  nghiệm đa thức đặc trưng nên  1  0 1  0 0 A I   0 0  0 0 41 0 0  0   1  0 Tiếp theo tìm đa thức cực tiểu A ta có g A  t   1  t  với k  n Trong đó, k A I k  1  0 1  0 0   0 0  0 0 0  1 0   0 1 0  0   1 0  0  0 0   1 0   0 1 0   0     1  0   0   0 0  0   1  0 Đặt B   A  I    aij  , ta có B ma trận tồn 0, trừ đường chéo thứ   a   j  i  1 nằm đường chéo hay  ij Bằng quy nạp, a    j  i     ij  ta chứng minh Bk   A  I   bij  ma trận toàn 0, trừ đường chéo thứ k k nằm đường chéo với B k  bij  hay k  bij   1  j  i  k   iii  Thật vậy:  b   j  i  k     ij - Với k  ta thấy Bk   A  I   bij  ma trận toàn 0, trừ đường chéo k thứ nằm đường chéo k  bij   1  j  i  k0   - Giả sử với k  k0 , tức B  bij  với  b   j  i  k    ij  k0 Ta cần chứng minh  iii  với k  k0  Thật vậy, B k  B k0 B  cij  Ta có n cij    bis asj Ở vị trí thứ  i, j    i, i  k0  1 s 1 cii k0 1  bi1.a1i k0 1  bi a2i k0 1   bin ani k0 1 k 1  bii k0  ai k0 i k0 1   1  1   1 k Tương tự, vị trí thứ  i, j    i, i  k0  1 cij  k  n Vậy tóm lại đa thức cực tiểu ta tìm đa thức đặc trưng Hay g A  t    t  1 n 42 Bằng cách làm tương tự, ta tìm đa thức đặc trưng đa thức cực tiểu ứng với ma trận B f B  t   1  t  g B  t    t  1 n n Kết luận: Hai ma trận cho có đa thức đặc trưng đa thức cực tiểu Vậy chúng đồng dạng với (điều phải chứng minh) Bài 2.5.2: Xét xem ma trận đồng dạng với nhau:  15  A   5   4     3  B   2 6 13   1 4     13 70 119  C   4 19 34   4 20 35    Giải: Trước hết, tìm đa thức đặc trưng ma trận trên, ta có 4t f A t   3t 1 t f B  t   2 1 15 5  1  t  , 4  t 3 3 6  t 13  1  t  , 4 8t 13  t fC  t   4 4 70 119 19  t 34  1  t  20 35  t Tiếp theo, ta tìm đa thức cực tiểu ma trận sau g A  t    t  1 , g B  t    t  1 , gC t   t  1 3 Ta thấy, ma trận A ma trận C ma trận vng cấp 3, có đa thức đặc trưng đa thức cực tiểu Do đó, chúng có dạng chuẩn tắc Jordan Vậy ma trận A ma trận C đồng dạng với Bài 2.5.3: Hai ma trận sau có đồng dạng với hay không?  5  A   10   3     20 34  B   32 51   20 32    Giải: Trước hết, tìm đa thức đặc trưng ma trận trên, ta có 43 3t 5 6t 20 34 3 f A  t    t 10    t   , f B  t   32  t 51    t   3  t 20 32  t Tiếp theo, tìm đa thức cực tiểu ma trận trên, ta có g A  t    t  2 g B t   t  2 Vì ma trận cho ma trận cấp 3, chúng có đa thức đặc trưng đa thức cực tiểu Do đó, hai ma trận A B đồng dạng với Bài 2.5.4: Chứng minh hai ma trận vuông cấp đồng dạng với chúng có đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng Nếu trùng đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng có cịn khơng? Giải: Giả sử ma trận vng cấp có dạng: A   aij  B  bij  với i  j  chúng có đa thức đặc trưng, đa thức cực tiểu Các trường hợp xảy TH1: - Đa thức đặc trưng: f A  t   f B  t    t  x  t  y t  z  - Đa thức cực tiểu: g A  t   g B  t    t  x  t  y  t  z  Do đó, dạng chuẩn tắc Jordan  x 0 J   y  0 z   TH2: - Đa thức đặc trưng: f A  t   f B  t    t  x   t  y  - Đa thức cực tiểu: g A  t   g B  t    t  x   t  y  Do đó, dạng chuẩn tắc Jordan  x 0 J   x  0 y   44 TH3: - Đa thức đặc trưng: f A  t   f B  t    t  x  - Đa thức cực tiểu: g A  t   g B  t   t  x  g A  t   g B  t   t  x  Do đó, dạng chuẩn tắc Jordan  x 0  x 0 J   x  J   x  0 x  0 1     Lấy phản chứng từ TH3, ta thấy: Giả sử hai ma trận vng cấp có đa thức đặc trưng f A  t   f B  t    t  3 , nhiên lại có đa thức cực tiểu g A  t    t  3 g B  t    t  3 Do đó, ta tìm dạng chuẩn tắc Jordan hai ma trận  0  0   J A    J B     3  0 3     Kết luận: Hai ma trận vuông cấp đồng dạng với chúng có đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng Nếu trùng đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng khơng thể khẳng định Bài 2.5.5: Hai ma trận vuông cấp có đồng dạng với khơng chúng có đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng? Giải: Giả sử ma trận vng cấp có dạng: A   aij  B  bij  với i  j  chúng có đa thức đặc trưng, đa thức cực tiểu f A  t   f B  t    t  x  g A  t   g B  t    t  x  Vì ma trận cho ma trận vng cấp 4, nên dạng chuẩn tắc Jordan ma trận vng cấp Vậy trường hợp xảy 45  x 0 0  x 0 0 0 x 0 1 x 0    J   J 0 x 0 0 x 0     0 x 0 x Kết luận: Ta khẳng đỉnh hai ma trận vng cấp đồng dạng với chúng có đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng Bài 2.5.6: Chứng minh hai ma trận vuông A AT đồng dạng với Giải: Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng đa thức cực tiểu sau - Đa thức đặc trưng: f A  t   A  tI   1  x  t1  n - Đa thức cực tiểu: g A  t    x  t1  . x  ts  m1  x  t2  p2 . x  ts  s , p1  x  t2  m1  x  t2  m2 ms p pi  mi , i  1, s Ta có A  tI  A  tI Suy T f AT  t   f A  t    1  x  t1  n Ta cần chứng minh: g AT  t   g A  t    x  t1  g AT  t    AT  t1I   A p1 T p1 m2 . x  ts  s  x  t2  m p2 . x  ts  s Ta có p p2 ps  t2 I   AT  t s I    Áp dụng cơng thức chuyển vị tích  A.B   BT AT , ta T  AT  t I  p1  AT  t I  p2  AT  t I  ps  s   T T   AT  ts I    AT  ts 1I       ps   x  ts  ps  x  ts1  ps 1 ps 1 T T  AT  t1I     p1 . x  t1   g A t  p Sau biến đổi ta thấy ma trận A AT có đa thức đặc trưng đa thức cực tiểu Vậy chúng đồng dạng với ( điều phải chứng minh) 46 KẾT LUẬN Việc nghiên cứu dạng chuẩn tắc Jordan ma trận việc làm cần thiết Nó tảng phục vụ cho việc nghiên cứu tự đồng cấu cách dễ dàng Bởi vì, dạng chuẩn tắc Jordan coi dạng ma trận biểu diễn đơn giản tự đồng cấu Trong nhiều tháng qua, tơi tham khảo tài liệu, chắt lọc nội dung, phân tích tổng hợp viết nên đề tài Những nội dung đạt - Hệ thống kiến thức ma trận chéo hóa được, ma trận đồng dạng dạng chuẩn tắc Jordan ma trận - Xây dựng giải chi tiết hệ thống tập dạng chuẩn tắc Jordan ma trận Do thân nhiều hạn chế kiến thức nên đề tài chắn nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý độc giả để đề tài nghiên cứu tơi hồn thiện 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia, 2021 [2] Lê Tuấn Hoa Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB Đại học Quốc gia, 2014 [3] Nguyễn Tiến Quang - Lê Đình Nam Cơ sở Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục Việt Nam, 2014 [4] Nguyễn Tiến Quang - Phạm Thị Cúc Bài tập Đại số tuyến tính, NXB Khoa học Kĩ thuật, 2020 [5] Jean – Marie Monier Cours de mathesmatiques 5, Algebra 1, Dunod, Pais, 1996 48