Một số vấn đề về hàm ma trận và đạo hàm ma trận

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ĐẠO MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM MA TRẬN VÀ ĐẠO HÀM MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ĐẠO MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM MA TRẬN VÀ ĐẠO HÀM MA TRẬN Ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 Người hướng dẫn: PGS.TS LÊ CƠNG TRÌNH Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình PGS TS Lê Cơng Trình, Trường Đại học Quy Nhơn Do đó, tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống kê, Khoa Sư phạm quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Toán khoá 23, gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Bình Định, ngày 28 tháng năm 2022 Học viên Nguyễn Thị Đạo Mục lục MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khai triển Taylor khai triển Maclaurin 1.2 Một số kiến thức ma trận 1.2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan 1.2.2 Ma trận chéo hoá 1.2.3 Phổ giá trị riêng 1.2.4 Vết định thức 1.2.5 Ma trận dương 1.2.6 Một số bất đẳng thức ma trận 1.2.7 Chuẩn ma trận hàm số 3 5 9 10 11 MỘT SỐ HÀM MA TRẬN 12 2.1 Hàm mũ ma trận 12 2.2 Một số hàm ma trận khác 23 ĐẠO HÀM MA TRẬN 3.1 Đạo hàm hàm mũ hàm logarit 3.2 Đạo hàm hàm vết 3.3 Đạo hàm Fréchet 28 28 30 36 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU P i Cho A ∈ Mn (C) ma trận vuông phức cấp n p(x) = m i=1 ci x đa thức biến hệ số phức Khi giá trị p(A) định nghĩa cách tự nhiên m X p(A) = ci Ai i=1 Tổng quát với f hàm chỉnh hình với khai triển Taylor f (z) = P∞ k k=0 ck (z − a) , A ∈ Mn (C) cho tốn tử ∥A − aI∥ bé bán kính hội tụ f , người ta định nghĩa hàm f (A) sau: f (A) := ∞ X ck (A − aI)k k=0 Có thể định nghĩa giá trị ma trận hàm số sau: Với A ∈ Mn (C) ma trận vuông phức cấp n tự liên hợp với giá trị riêng thuộc khoảng (a; b) ⊆ R f : (a; b) −→ R hàm số, ma trận f (A) định nghĩa thông qua phân tích phổ phép P chéo hố A, tức là, A = ki=1 αi Pi phân tích phổ A A = U Diag(α1 , , αk )U ∗ phép chéo hoá A, f (A) = k X f (αi )Pi = U Diag(f (α1 ), , f (αk ))U ∗ i=1 Theo cách ta thực tính tốn giải tích ma trận, chẳng hạn, ta nghiên cứu phép đạo hàm ma trận Phép tính đạo hàm ma trận sử dụng thống kê, đặc biệt để phân tích thống kê phân phối nhiều biến, phân phối chuẩn nhiều biến phân phối eliptic khác ([2], [5], [4]) Phép tính đạo hàm ma trận cịn có nhiều ứng dụng giải tích nhiều biến ([1], 2012) Do đó, chọn đề tài "Một số vấn đề hàm ma trận đạo hàm ma trận" để nghiên cứu trình bày luận văn Mục tiêu luận văn nhằm tìm hiểu số hàm ma trận đạo hàm số hàm ma trận đó, đặc biệt đạo hàm Fréchet Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương, cụ thể Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tích cổ điển số kiến thức ma trận liên quan đến chương sau luận văn Chương Một số hàm ma trận Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến giá trị ma trận hàm số: hàm mũ, hàm luỹ thừa, hàm logarit, Chương Đạo hàm ma trận Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến đạo hàm ma trận số hàm thường gặp như: hàm mũ, hàm logarit, , đặc biệt đạo hàm Fréchet Mặc dù thân cố gắng lực thân thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q Thầy, bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tích cổ điển số kiến thức ma trận liên quan đến chương sau luận văn Các kết liên quan đến khai triển Taylor hàm số tìm giáo trình Giải tích cổ điển Các khái niệm kết ma trận chương tham khảo chương tài liệu [3] 1.1 Khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm số Định lý 1.1.1 Cho P (x) đa thức đại số bậc n với hệ số thực n P (x) = a0 + a1 x + + an x = n X ak xk k=0 Khi với x0 ∈ R đa thức P (x) biểu diễn dạng P (x) = n X P (k) (x0 ) k=0 k! (x − x0 )k , P (k) (x0 ) kí hiệu cho đạo hàm P x = x0 Công thức gọi công thức Taylor với tâm x0 đa thức P (x) Đối với hàm khả vi cấp n x0 ∈ R, ta có Định nghĩa 1.1.2 Cho f : I −→ R hàm khả vi cấp n x0 ∈ I Đa thức n X f (k) (x0 ) Tn (f ; x) = (x − x0 )k k! k=0 gọi đa thức Taylor với tâm x0 hàm f khả vi cấp n x0 Đặt Rn (f ; x) = f (x) − Tn (f ; x) Khi cơng thức f (x) = Tn (f ; x) + Rn (f ; x) gọi công thức Taylor với tâm x0 hàm f Trong trường hợp x0 = công thức gọi công thức Maclaurin Đại lượng Rn (f ; x) gọi phần dư công thức Taylor Định lý 1.1.3 (Taylor) Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n − δ− lân cận Vδ (x0 ) x0 có đạo hàm hữu hạn cấp n x0 Khi f biểu diễn dạng f (x) = n X f (k) (x0 ) k! k=0 (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) x −→ x0 Công thức gọi công thức Taylor (dạng địa phương) với phần dư P eano Định lý 1.1.4 (Taylor) Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n (a; b) có đạo hàm cấp n + x ∈ (a; b) trừ điểm x0 ∈ (a; b) Khi x0 x ∈ (a; b) tồn c cho f (x) = n X f (n) (x0 ) k=0 k! (x − x0 )k + Rn+1 (f ; x), (1.1) R(n+1) (f ; x) = n!p  x − x0 x−c p (x − c)n+1 f (n+1) (c), p ∈ R, p > Công thức (1.1) gọi công thức Taylor hàm f với phần dư Rn+1 dạng Schomilch - Roche Sau công thức Maclaurin số hàm số sơ cấp (1) Hàm số f (x) = ex có đạo hàm cấp R f (n) (x) = ex , ∀n nên ta có x2 xn e =1+x+ + + + eθx xn+1 , θ ∈ (0; 1) 2! n! (n + 1)! x (2) Hàm số f (x) = sin x có đạo hàm cấp R f (n) (x) = π sin x + n , ∀n nên ta có h π i 2n+1 sin θx + (2n + 1) x 2n−1 x3 n−1 x sin x = x − + + (−1) + 3! (2n − 2)! (2n + 1)! với θ ∈ (0; 1) (3) Hàm số f (x) = cos x có đạo hàm cấp R nên ta có h π i 2n cos θx + (2n) x 2(n−1) x2 x4 n−1 x cos x = − + − + (−1) + 2! 4! [2(n − 1)]! (2n)! với θ ∈ (0; 1) (4) Hàm số f (x) = ln(1 + x) có đạo hàm cấp x > −1 ta có x2 xn−1 ln(1 + x) = x − + + (−1)n + Rn (x) n−1 1.2 Một số kiến thức ma trận Trong tồn luận văn, kí hiệu Mn := Mn (C) cho tập hợp ma trận vuông phức cấp n 1.2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan Một khối Jordan ma trận có dạng  a  0 a  Jk (a) =  0 a   0   0  0 ,   a a ∈ C Đây ma trận tam giác Jk (a) ∈ Mk Chúng ta thường sử dụng kí hiệu Jk := Jk (0) Khi Jk (a) = aIk + Jk Ik Jk giao hốn Ví dụ 1.2.1 Ma trận Jk xác định ( j = i + 1, (Jk )ij = cịn lại Do ( (Jk )ij (Jk )jk = j = i + k = i + 2, lại Suy ( (Jk2 )ij = j = i + 2, lại Nhận thấy luỹ thừa Jk tăng, dòng chứa dịch chuyển lên cao Cụ thể Jkk = Các ma trận Jkm (0 ≤ m ≤ k − 1) độc lập tuyến tính Nếu a ̸= det Jk (a) ̸= Jk (a) khả nghịch Ta tìm nghịch đảo phương trình dạng   k−1 X (aIk + Jk )  cj Jkj  = Ik j=0 Phương trình viết lại sau ac0 Ik + k−1 X (acj + cj−1 Jkj ) = Ik j=1 Ta tìm cj = −(−a)−j−1 (0 ≤ j ≤ k − 1) Đặc biệt, với k = 3, ta có  −1   a a−1 −a−2 a−3     a−1 −a−2  0 a 1 =  0 a 0 a−1 □ 21 Chú ý rằng, công thức Lie - Trotter mở rộng cho nhiều ma trận:   k   X Pk n A +A + +A Ak A1 A2 k ≤  ∥Aj ∥ e n+2 e j=1 ∥Aj ∥ n − e n e n e n n j=1 Định lý 2.1.12 Với ma trận A, B ∈ Mn , khai triển Taylor hàm t 7→ eA+tB , t ∈ R ∞ X tk Ak (1) k=0 A0 (s) = esA Z s Z t1 Z Ak (s) = dt1 dt2 0 tk−1 dtk e(s−t1 )A Be(t1 −t2 )A B Betk A với s ∈ R Chứng minh Ta viết lại sau: Z s Z s Ak (s) = e(s−t1 )A BAk−1 (t1 )dt1 = esA e−t1 A BAk−1 (t1 )dt1 0 với k ≥ Do Z Z s s d d sA e−t1 A BAk−1 (t1 )dt1 e−t1 A BAk−1 (t1 )dt1 + esA ds Ak (s) = Ae ds 0 = AAk (s) + BAk−1 (s) Suy ∞ X F (s) := Ak (s) k=0 thoả mãn phương trình vi phân F ′ (s) = (A + B)F (s), F (0) = I Do F (s) = es(A+B) Nếu s = ta thay B tB , ta có khai triển eA+tB Hệ 2.1.13 Z ∂ A+tB e euA Be(1−u)A du = t=0 ∂t 22 Một công thức quan trọng khác hàm mũ công thức BarkerCampbell-Hausdorff :   t t etA etB = exp t(A + B) + [A, B] + ([A, [A, B]] − [B, [A, B]]) + O(t4 ) 12 [A, B] := AB − BA Định nghĩa 2.1.14 Một hàm f : R+ = [0, ∞) −→ R gọi đơn điệu hoàn toàn (completely monotone) đạo hàm cấp n f có dấu (−1)n R+ , với n ∈ N Định lý 2.1.15 Cho A, B ∈ Msa n t ∈ R Khi phát biểu sau tương đương: (i) Đa thức t 7→ T r (A + tB)p có hệ số dương với A, B ≥ p ∈ N (ii) Với ma trận tự liên hợp A, B ≥ 0, hàm t 7→ T r e(A−tB) đơn điệu hoàn toàn [0; ∞) (iii) Với A > 0, B ≥ p ≥ 0, hàm t 7→ T r (A + tB)−p đơn điệu hoàn toàn [0; ∞) Chứng minh (i) =⇒ (ii) : Ta có (A−tB) Tr e =e −∥A∥ ∞ X T r (A + ∥A∥I − tB)k k! k=0 Theo Định lý Bernstein với giả thiết (i), vế phải biến đổi Laplace độ đo dương với giá [0; +∞) (ii) =⇒ (iii) : Từ phương trình ma trận Z ∞ −p e−u(A+tB) up−1 du, (A + tB) = Γ(p) ta suy dấu đạo hàm (iii) =⇒ (i): Ta cần giả thiết (iii) với p ∈ N Với A khả nghịch, ta thấy đạo hàm cấp r T r(A0 + tB0 )−p t = tương ứng với hệ số tr T r(A + tB)p cơng thức (3.7), A, A0 , B, B0 có mối liên hệ Bổ đề 3.2.9 Vế trái cơng thức (3.7 ) có dấu (−1)r đạo hàm hàm đơn điệu hồn tồn Do vế phải có dấu phát biểu (i) Trường hợp A không khả nghịch suy cách lập luận tương tự 23 Nhắc lại, phép biến đổi Laplace độ đo µ R+ Z ∞ f (t) = e−tx dµ(x) (t ∈ R+ ) Định lý Bernstein phát biểu độ đo µ tồn f hàm đơn điệu hoàn toàn 2.2 Một số hàm ma trận khác Trước tiên với đa thức biến p(x), ta định nghĩa đa thức ma trân p(X) với X ∈ Mn Xét phân tích Jordan chuẩn tắc X sau   Jk1 (λ1 )     −1 J (λ ) k 2  S = SJS −1 X =S     0 Jkm (λm ) Khi  p(Jk1 (λ1 ))   p(Jk2 (λ2 )) p(X) = S    0    −1  S = Sp(J)S −1   p(Jkm (λm )) Ta cần tính (Jk (λ))m Vì Jk (λ) = λIn + Jk (0) = λIn + Jk tổng ma trận giao hốn, nên ta tính luỹ thừa bậc m cách sử dụng công thức nhị thức: ! m X m λm−j Jkj (Jk (λ))m = λm In + j j=1 Các luỹ thừa Jk tính cách chi tiết Với m > 3, ta có   m−2 m(m−1)(m−2)λm−3 m m−1 m(m−1)λ λ mλ 2! 3!   m(m−1)λm−2 m m−1   λ mλ m  2! J4 (λ) =   0 m m−1 λ mλ   m 0 λ 24 Do  ′ p′′ (λ) 2! ′  p(3) (λ) 3! p′′ (λ)   2!   ′ p(λ) p (λ)   p(λ) p (λ) p(J4 (λ)) =   0 p(λ) p (λ)   0 p(λ) Từ suy ta biết dạng chuẩn tắc Jordan X , ta tính f (X), với f đa thức hàm trơn Định lý 2.2.1 Với X ∈ Mn , ta ln có det eX = e(T rX) Ví dụ 2.2.2 Xét ma trận tự liên hợp # " # " + z x − yi 1+z w X= = w 1−z x + yi − z x, y, z ∈ R Xét đa thức đặc trưng p(λ) = det(X − λI) Khi p(λ) = ⇔ λ2 − 2λ + − (x2 + y + z ) = ⇔ (λ − 1)2 − (x2 + y + z ) = Do X có hai giá trị riêng λ1 = + R λ2 = − R p với R = x2 + y + z Nếu R < X dương khả nghịch Hai vectơ riêng # " # " R−z R+z u2 = u1 = w −w Đặt " ∆= # " # 1+R R+z R−z , S= 1−R w −w 25 Ta có " XS = 1+z w w 1−z #" R+z R−z w −w # " R + z + Rz + R2 R − z + zR − R2 = w(1 + R) −w(1 − R) " # (R + 1)(R + z) (1 − R)(R − z) = w(1 + R) −w(1 − R) " S∆ = R+z R−z w −w #" 1+R 0 1−R # # " # (R + 1)(R + z) (1 − R)(R − z) = w(1 + R) −w(1 − R) Do XS = S∆ hay X = S∆S −1 Để tính S −1 ta dùng cơng thức " # " #−1 d −b a b = ad − bc −c a c d Do " S −1 = # w R−z 2wR w −R − z Suy " X t = at # bt + z w , w bt − z (1 + R)t − (1 − R)t (1 + R)t + (1 − R)t at = , bt = 2R (1 + R)t − (1 − R)t Ma trận X/2 ma trận mật độ có ứng dụng lí thuyết lượng tử □ Nhắc lại rằng, với f : I −→ R hàm liên tục I ⊆ R với P A ∈ Mn (C), giả sử A = ri=1 λi pi phân tích phổ A (λi giá trị riêng pi phép chiếu trực giao lên không gian vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λi ) Khi r X f (A) = f (λi )pi i=1 26 Định lý 2.2.3 Nếu fk gk hàm số (α, β) −→ R cho với ck ∈ R X ck fk (x)gk (y) ≥ k với x, y ∈ (α, β), X ck T rfk (A)gk (B) ≥ k với A, B ma trận tự liên hợp với phổ nằm (α, β) P P Chứng minh Giả sử A = i λi Pi B = j µj Qj phân tích phổ A B Khi P P P c T rf (A)g (B) = ck T rPi fk (λi )gk (µj )Qj k k k k Pk i,j P = i,j T rPi Qj k ck fk (λi )gk (µj ) ≥ P Trong định lý, giả sử k ck fk (x)gk (y) = x = y Khi P ta chứng minh k ck T rfk (A)gk (B) = A = B Từ P chứng minh ta có k ck T rfk (A)gk (B) = T rPi Qj > suy λi = µj Từ tính chất suy X Qj AQj = λi Qj Pi Qj = µj Qj , i tương tự Qj A2 Qj = µ2j Qj Do (AQj − µj Qj )∗ (AQj − µj Qj ) = Qj A2 Qj − 2µj Qj AQj + µ2j Qj = AQj = µj Qj = BQj với j , suy A = B Điều ngược lại hiển nhiên Ví dụ 2.2.4 Xét f hàm lồi, f : I −→ R Khi f (x) − f (y) − (x − y)f ′ (y) ≥ T rf (A) ≥ T rf (B) + T r(A − B)f ′ (B) Thay f hàm số −η(t) = t log t ta có T rA log A ≥ T rB log B + T r(A − B) + T r(A − B) log B 27 tương đương T r(log A − log B) − T r(A − B) ≥ Vế trái lượng tử entopy tương đối S(A∥B) ma trận xác định dương A, B Nếu T rA = T rB S(A∥B) gọi entropy tương đối Umegaki: S(A∥B) = T r(log A − log B) Điều cho ta đánh giá tốt Nếu T rA = T rB = tất giá trị riêng nằm đoạn [0; 1] Tức là, với ξ ∈ (x, y) 1 −η(x) + η(y) + (x − y)η ′ (y) = − (x − y)2 η ′′ (ξ) ≥ (x − y)2 2 x, y ∈ [0; 1] Theo Định lý 2.2.3, ta có T rA(log A − log B) ≥ T r(A − B)2 (2.4) Bất đẳng thức Streater (2.4) có hệ A = B entropy tương đối Tốt hơn, bất đẳng thức mạnh gọi bất đẳng thức Pinsker : Nếu T rA = T rB T rA(log A − log B) ≥ ∥A − B∥21 , ∥A − B∥1 := T r|A − B| chuẩn vết A − B □ 28 Chương ĐẠO HÀM MA TRẬN Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến đạo hàm ma trận số hàm thường gặp như: hàm mũ, hàm logarit, Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày đạo hàm hàm vết đạo hàm Fréchet Các kết chương chúng tơi tổng hợp trình bày lại từ sách Hiai Petz [3] 3.1 Đạo hàm hàm mũ hàm logarit Mệnh đề 3.1.1 Với ma trận A ∈ Mn (R), xét hàm ma trận R → Mn (C), t 7→ etA , ∀t ∈ R Khi d tA (e ) = AetA dt (3.1) Chứng minh Ta có   d tA d 2 3 (e ) = I + tA + t A + t A + dt dt 2! 3! 1 = A + tA2 + t2 A3 + t3 A4 tA = Ae Mệnh đề 3.1.2 Cho A ∈ Mn ma trận khả nghịch dương Khi A+tT khả nghịch dương với T ∈ Msa n số thực nhỏ t Khi Z ∞ log(A + tT ) = (x + 1)−1 I − (xI + A + tT )−1 dx; d log(A + tT ) = dt Z ∞ (xI + A)−1 T (xI + A)−1 dx; 29 d2 log(A + tT ) = −2 dt2 Z ∞ (xI + A)−1 T (xI + A)−1 T (xI + A)−1 dx Hơn nữa, ta có khai triển Taylor R∞ log(A + tT ) = log A + t (x + A)−1 T (x + A)−1 dx R∞ −t2 (x + A)−1 T (x + A)−1 T (x + A)−1 dx + R P −1 n ∞ = log A − ∞ (x + A) n=1 (−t) −1 −1 −1 ×((x + A) T (x + A) )n (x + A) dx Để chứng minh Mệnh đề 3.1.2, cần kết sau đạo hàm cấp cao hàm (A + tT )−1 Bổ đề 3.1.3 Cho A ∈ Mn ma trận khả nghịch Khi A + tT khả nghịch với T ∈ Mn , t số thực nhỏ Hơn d (A + tT )−1 = −(A + tT )−1 T (A + tT )−1 ; dt d2 (A + tT )−1 = 2(A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 ; dt d3 (A + tT )−1 = −6(A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 dt Từ ta có khai triển Taylor (A + tT )−1 = A−1 − tA−1 T A−1 + t2 A−1 TA−1 T A−1 − t3 A−1 T A−1 T A−1 T A−1 +  P −1 −1 n −1 n −1 2 TA = ∞ (−t) A A A2 n=0 Chứng minh Ta có (A + tT )−1 − A−1 = (A + tT )−1 (A − (A + tT ))A−1 = −t(A + tT )−1 T A−1 Do
(A + tT )−1 − A−1 = −A−1 T A−1 t→0 t Nói cách khác, đạo hàm hàm (A + tT )−1 t = tính −AT −1 A−1 Với t ̸= nhỏ, A + tT khả nghịch lim d (A + tT )−1 = −(A + tT )−1 T (A + tT )−1 dt 30 Tương tự d2 (A + tT )−1 = 2(A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 dt2 d3 (A + tT )−1 = −6(A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 dt3 Do khai triển Taylor hàm (A + tT )−1 (A + tT )−1 = A−1 − tA−1 T A−1 + t2 A−1 TA−1 T A−1 − t3 A−1 T A−1 T A−1 T A−1 +  P −1 −1 n −1 n −1 2 TA 2 = ∞ (−t) A A A n=0 Chú ý −1 (A + tT ) =A −1  −1 I + tA T A −1 −1 A −1 nên ta nhận khai triển Taylor hàm (A + tT )−1 từ chuỗi   −1 −1 −1 Neumann I + tA T A 3.2 Đạo hàm hàm vết Định lý 3.2.1 Cho A, B ∈ Mn (C) ma trận tự liên hợp t ∈ R Cho f : (α, β) −→ R hàm khả vi liên tục giả sử giá trị riêng A + tB thuộc (α, β) với t − t0 nhỏ Khi d T rf (A + tB)