Một số vấn đề về hàm ma trận và đạo hàm ma trận

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ĐẠO MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM MA TRẬN VÀ ĐẠO HÀM MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ĐẠO MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM MA TRẬN VÀ ĐẠO HÀM MA TRẬN Ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 Người hướng dẫn: PGS.TS LÊ CƠNG TRÌNH Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình PGS TS Lê Cơng Trình, Trường Đại học Quy Nhơn Do đó, tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống kê, Khoa Sư phạm quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Toán khoá 23, gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Bình Định, ngày 28 tháng năm 2022 Học viên Nguyễn Thị Đạo Mục lục MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khai triển Taylor khai triển Maclaurin 1.2 Một số kiến thức ma trận 1.2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan 1.2.2 Ma trận chéo hoá 1.2.3 Phổ giá trị riêng 1.2.4 Vết định thức 1.2.5 Ma trận dương 1.2.6 Một số bất đẳng thức ma trận 1.2.7 Chuẩn ma trận hàm số 3 5 9 10 11 MỘT SỐ HÀM MA TRẬN 12 2.1 Hàm mũ ma trận 12 2.2 Một số hàm ma trận khác 23 ĐẠO HÀM MA TRẬN 3.1 Đạo hàm hàm mũ hàm logarit 3.2 Đạo hàm hàm vết 3.3 Đạo hàm Fréchet 28 28 30 36 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU i Cho A ∈ Mn (C) ma trận vuông phức cấp n p(x) = m i=1 ci x đa thức biến hệ số phức Khi giá trị p(A) định nghĩa cách tự nhiên m ci Ai p(A) = i=1 Tổng quát với f hàm chỉnh hình với khai triển Taylor f (z) = ∞ k k=0 ck (z − a) , A ∈ Mn (C) cho toán tử ∥A − aI∥ bé bán kính hội tụ f , người ta định nghĩa hàm f (A) sau: ∞ ck (A − aI)k f (A) := k=0 Có thể định nghĩa giá trị ma trận hàm số sau: Với A ∈ Mn (C) ma trận vuông phức cấp n tự liên hợp với giá trị riêng thuộc khoảng (a; b) ⊆ R f : (a; b) −→ R hàm số, ma trận f (A) định nghĩa thơng qua phân tích phổ phép chéo hoá A, tức là, A = ki=1 αi Pi phân tích phổ A A = U Diag(α1 , , αk )U ∗ phép chéo hố A, k f (αi )Pi = U Diag(f (α1 ), , f (αk ))U ∗ f (A) = i=1 Theo cách ta thực tính tốn giải tích ma trận, chẳng hạn, ta nghiên cứu phép đạo hàm ma trận Phép tính đạo hàm ma trận sử dụng thống kê, đặc biệt để phân tích thống kê phân phối nhiều biến, phân phối chuẩn nhiều biến phân phối eliptic khác ([2], [5], [4]) Phép tính đạo hàm ma trận cịn có nhiều ứng dụng giải tích nhiều biến ([1], 2012) Do đó, chúng tơi chọn đề tài "Một số vấn đề hàm ma trận đạo hàm ma trận" để nghiên cứu trình bày luận văn Mục tiêu luận văn nhằm tìm hiểu số hàm ma trận đạo hàm số hàm ma trận đó, đặc biệt đạo hàm Fréchet Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương, cụ thể Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tích cổ điển số kiến thức ma trận liên quan đến chương sau luận văn Chương Một số hàm ma trận Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến giá trị ma trận hàm số: hàm mũ, hàm luỹ thừa, hàm logarit, Chương Đạo hàm ma trận Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến đạo hàm ma trận số hàm thường gặp như: hàm mũ, hàm logarit, , đặc biệt đạo hàm Fréchet Mặc dù thân cố gắng lực thân thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý Thầy, cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tích cổ điển số kiến thức ma trận liên quan đến chương sau luận văn Các kết liên quan đến khai triển Taylor hàm số tìm giáo trình Giải tích cổ điển Các khái niệm kết ma trận chương tham khảo chương tài liệu [3] 1.1 Khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm số Định lý 1.1.1 Cho P (x) đa thức đại số bậc n với hệ số thực n ak xk n P (x) = a0 + a1 x + + an x = k=0 Khi với x0 ∈ R đa thức P (x) biểu diễn dạng n P (x) = k=0 P (k) (x0 ) (x − x0 )k , k! P (k) (x0 ) kí hiệu cho đạo hàm P x = x0 Công thức gọi công thức Taylor với tâm x0 đa thức P (x) Đối với hàm khả vi cấp n x0 ∈ R, ta có Định nghĩa 1.1.2 Cho f : I −→ R hàm khả vi cấp n x0 ∈ I Đa thức n f (k) (x0 ) Tn (f ; x) = (x − x0 )k k! k=0 gọi đa thức Taylor với tâm x0 hàm f khả vi cấp n x0 Đặt Rn (f ; x) = f (x) − Tn (f ; x) Khi cơng thức f (x) = Tn (f ; x) + Rn (f ; x) gọi công thức Taylor với tâm x0 hàm f Trong trường hợp x0 = công thức gọi công thức Maclaurin Đại lượng Rn (f ; x) gọi phần dư công thức Taylor Định lý 1.1.3 (Taylor) Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n − δ− lân cận Vδ (x0 ) x0 có đạo hàm hữu hạn cấp n x0 Khi f biểu diễn dạng n f (k) (x0 ) (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) k! f (x) = k=0 x −→ x0 Công thức gọi công thức Taylor (dạng địa phương) với phần dư P eano Định lý 1.1.4 (Taylor) Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n (a; b) có đạo hàm cấp n + x ∈ (a; b) trừ điểm x0 ∈ (a; b) Khi x0 x ∈ (a; b) tồn c cho n f (x) = k=0 f (n) (x0 ) (x − x0 )k + Rn+1 (f ; x), k! (1.1) R(n+1) (f ; x) = n!p x − x0 x−c p (x − c)n+1 f (n+1) (c), p ∈ R, p > Công thức (1.1) gọi công thức Taylor hàm f với phần dư Rn+1 dạng Schomilch - Roche Sau công thức Maclaurin số hàm số sơ cấp (1) Hàm số f (x) = ex có đạo hàm cấp R f (n) (x) = ex , ∀n nên ta có x2 xn e =1+x+ + + + eθx xn+1 , θ ∈ (0; 1) 2! n! (n + 1)! x (2) Hàm số f (x) = sin x có đạo hàm cấp R f (n) (x) = π sin x + n , ∀n nên ta có π 2n+1 sin θx + (2n + 1) x 2n−1 x n−1 x sin x = x − + + (−1) + 3! (2n − 2)! (2n + 1)! với θ ∈ (0; 1) (3) Hàm số f (x) = cos x có đạo hàm cấp R nên ta có cos x = − 2(n−1) x x x + − + (−1)n−1 + 2! 4! [2(n − 1)]! cos θx + (2n) π 2n x (2n)! với θ ∈ (0; 1) (4) Hàm số f (x) = ln(1 + x) có đạo hàm cấp x > −1 ta có x2 xn−1 ln(1 + x) = x − + + (−1)n + Rn (x) n−1 1.2 Một số kiến thức ma trận Trong tồn luận văn, kí hiệu Mn := Mn (C) cho tập hợp ma trận vuông phức cấp n 1.2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan Một khối Jordan ma trận có dạng  a  0 a  Jk (a) =  0 a   0   0  0 ,   a a ∈ C Đây ma trận tam giác Jk (a) ∈ Mk Chúng ta thường sử dụng kí hiệu Jk := Jk (0) Khi Jk (a) = aIk + Jk Ik Jk giao hốn Ví dụ 1.2.1 Ma trận Jk xác định (Jk )ij = j = i + 1, cịn lại Do (Jk )ij (Jk )jk = j = i + k = i + 2, lại Suy (Jk2 )ij = j = i + 2, lại Nhận thấy luỹ thừa Jk tăng, dòng chứa dịch chuyển lên cao Cụ thể Jkk = Các ma trận Jkm (0 ≤ m ≤ k − 1) độc lập tuyến tính Nếu a ̸= det Jk (a) ̸= Jk (a) khả nghịch Ta tìm nghịch đảo phương trình dạng   k−1 cj Jkj  = Ik (aIk + Jk )  j=0 Phương trình viết lại sau k−1 (acj + cj−1 Jkj ) = Ik ac0 Ik + j=1 Ta tìm cj = −(−a)−j−1 (0 ≤ j ≤ k − 1) Đặc biệt, với k = 3, ta có  −1   a a−1 −a−2 a−3     a−1 −a−2  0 a 1 =  0 a 0 a−1 □ 27 tương đương T r(log A − log B) − T r(A − B) ≥ Vế trái lượng tử entopy tương đối S(A∥B) ma trận xác định dương A, B Nếu T rA = T rB S(A∥B) gọi entropy tương đối Umegaki: S(A∥B) = T r(log A − log B) Điều cho ta đánh giá tốt Nếu T rA = T rB = tất giá trị riêng nằm đoạn [0; 1] Tức là, với ξ ∈ (x, y) 1 −η(x) + η(y) + (x − y)η ′ (y) = − (x − y)2 η ′′ (ξ) ≥ (x − y)2 2 x, y ∈ [0; 1] Theo Định lý 2.2.3, ta có T rA(log A − log B) ≥ T r(A − B)2 (2.4) Bất đẳng thức Streater (2.4) có hệ A = B entropy tương đối Tốt hơn, bất đẳng thức mạnh gọi bất đẳng thức Pinsker : Nếu T rA = T rB T rA(log A − log B) ≥ ∥A − B∥21 , ∥A − B∥1 := T r|A − B| chuẩn vết A − B □ 28 Chương ĐẠO HÀM MA TRẬN Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến đạo hàm ma trận số hàm thường gặp như: hàm mũ, hàm logarit, Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày đạo hàm hàm vết đạo hàm Fréchet Các kết chương chúng tơi tổng hợp trình bày lại từ sách Hiai Petz [3] 3.1 Đạo hàm hàm mũ hàm logarit Mệnh đề 3.1.1 Với ma trận A ∈ Mn (R), xét hàm ma trận R → Mn (C), t → etA , ∀t ∈ R Khi d tA (e ) = AetA dt (3.1) Chứng minh Ta có d tA d 1 (e ) = I + tA + t2 A2 + t3 A3 + dt dt 2! 3! 1 = A + tA2 + t2 A3 + t3 A4 tA = Ae Mệnh đề 3.1.2 Cho A ∈ Mn ma trận khả nghịch dương Khi A+tT khả nghịch dương với T ∈ Msa n số thực nhỏ t Khi ∞ log(A + tT ) = (x + 1)−1 I − (xI + A + tT )−1 dx; d log(A + tT ) = dt ∞ (xI + A)−1 T (xI + A)−1 dx; 29 d2 log(A + tT ) = −2 dt2 ∞ (xI + A)−1 T (xI + A)−1 T (xI + A)−1 dx Hơn nữa, ta có khai triển Taylor ∞ log(A + tT ) = log A + t (x + A)−1 T (x + A)−1 dx ∞ −t2 (x + A)−1 T (x + A)−1 T (x + A)−1 dx + −1 n ∞ = log A − ∞ (x + A) n=1 (−t) −1 −1 −1 ×((x + A) T (x + A) )n (x + A) dx Để chứng minh Mệnh đề 3.1.2, cần kết sau đạo hàm cấp cao hàm (A + tT )−1 Bổ đề 3.1.3 Cho A ∈ Mn ma trận khả nghịch Khi A + tT khả nghịch với T ∈ Mn , t số thực nhỏ Hơn d (A + tT )−1 = −(A + tT )−1 T (A + tT )−1 ; dt d2 (A + tT )−1 = 2(A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 ; dt d3 (A + tT )−1 = −6(A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 dt Từ ta có khai triển Taylor (A + tT )−1 = A−1 − tA−1 T A−1 + t2 A−1 T A−1 T A−1 − t3 A−1 T A−1 T A−1 T A−1 + = ∞ n −1 n=0 (−t) A −1 A TA −1 n −1 A2 Chứng minh Ta có (A + tT )−1 − A−1 = (A + tT )−1 (A − (A + tT ))A−1 = −t(A + tT )−1 T A−1 Do (A + tT )−1 − A−1 = −A−1 T A−1 t→0 t Nói cách khác, đạo hàm hàm (A + tT )−1 t = tính −AT −1 A−1 Với t ̸= nhỏ, A + tT khả nghịch lim d (A + tT )−1 = −(A + tT )−1 T (A + tT )−1 dt 30 Tương tự d2 (A + tT )−1 = 2(A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 dt2 d3 (A + tT )−1 = −6(A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 T (A + tT )−1 dt3 Do khai triển Taylor hàm (A + tT )−1 (A + tT )−1 = A−1 − tA−1 T A−1 + t2 A−1 T A−1 T A−1 − t3 A−1 T A−1 T A−1 T A−1 + = ∞ n −1 (−t) A2 n=0 −1 A TA −1 n −1 A2 Chú ý (A + tT )−1 = A −1 −1 I + tA T A −1 −1 A −1 nên ta nhận khai triển Taylor hàm (A + tT )−1 từ chuỗi −1 Neumann I + tA T A 3.2 −1 −1 Đạo hàm hàm vết Định lý 3.2.1 Cho A, B ∈ Mn (C) ma trận tự liên hợp t ∈ R Cho f : (α, β) −→ R hàm khả vi liên tục giả sử giá trị riêng A + tB thuộc (α, β) với t − t0 nhỏ Khi d T rf (A + tB) dt t=t0 = T r(Bf ′ (A + t0 B)) (3.2) Chứng minh Nếu f đa thức, dễ dàng kiểm tra trực tiếp T r(A+ tB)n đa thức theo biến t Ta quan tâm đến hệ số t tính T r(An−1 B + An−2 BA + + ABAn−2 + BAn−1 ) = nT rAn−1 B Do định lý cho trường hợp f đa thức Do hàm khả vi liên tục xấp xỉ dãy đa thức nên ta có kết định lý 31 Ví dụ 3.2.2 Cho f : (α, β) −→ R hàm tăng liên tục phổ ma trận tự liên hợp A C nằm (α, β) Ta sử dụng Định lý 3.2.1 để chứng minh A ≤ C =⇒ T rf (A) ≤ T rf (C) (3.3) Giả sử f hàm trơn Vì A ≤ C nên B ≥ với B = C − A Đạo hàm T rf (A + tB) T r(Bf ′ (A + tB)) T r(Bf ′ (A + tB)) dương (vì vết tích hai tốn tử dương) Ngồi ra, ta chứng minh cơng thức (3.3) cách sử dụng Định lý 1.2.11: Cho giá trị riêng A, C cho λk (A) ≤ λk (C)(1 ≤ k ≤ n) T rf (A) = k f (λk (A)) ≤ k f (λk (C)) = T rf (C) □ Định lý 3.2.3 Cho f : (α, β) −→ R hàm thuộc lớp C A =Diag (t1 , t2 , , tn ) với α < ti < β(1 ≤ i ≤ n) Nếu B = B ∗ đạo hàm hàm t → f (A + tB) tích Schur: d f (A + tB) dt = D ◦ B, (3.4) t=t0 D ma trận sai phân:    f (ti ) − f (tj ) ti − tj Dij =  f ′ (t ) i ti − tj ̸= 0, ti − tj = Chứng minh Ta có f (A + tB) = 2πi β f (z)(zI − (A + tB))−1 dz (3.5) α Đạo hàm hàm f (A + tB) d X := f (A + tB) dt t=0 = 2πi β f (z)(zI − A)−1 B(zI − A)−1 dz (3.6) α Từ công thức (3.6) công thức Frobenius suy 2πi β α f (z) f (ti ) − f (tj ) dz = (z − ti )(z − tj ) ti − tj (tức f ′ (ti ) ti = tj ) Do Xij = 2πi β f (z) α Định lý chứng minh f (ti ) − f (tj ) 1 Bij dz = Bij z − ti z − tj ti − tj 32 Như vậy, hàm thuộc lớp C đạo hàm xấp xỉ đa thức Cho f : (α, β) −→ R hàm liên tục Khi f gọi đơn điệu ma trận A≤C suy f (A) ≤ f (C) phổ ma trận tự liên hợp A C thuộc (α, β) Ta có f (x) = −1/x hàm đơn điệu ma trận Tính đơn điệu ma trận nghĩa f (A + tB) hàm tăng B ≥ Tính tăng tương đương với tính dương đạo hàm Chúng ta sử dụng Định lý 3.2.3 trước để chứng √ minh hàm f (x) = x đơn điệu ma trận √ Hệ 3.2.4 Hàm số f : (0; +∞) −→ R, f (x) = x, ∀x ∈ (0; +∞) đơn điệu ma trận Chứng minh Giả sử A > 0√là ma trận đường chéo A = Diag(t1 , t2 , , tn ) Khi đạo hàm hàm A + tB D ◦ B , Dij = √ 1√ ti + tj √ ti ti − tj ̸= 0, ti − tj = Đây ma trận Cauchy dương Nếu B dương D ◦ B √ dương Vì đạo hàm dương nên f (x) = x đơn điệu ma trận Định nghĩa 3.2.5 Tập K ⊂ Mn lồi với A, B ∈ K với số thực < λ < λA + (1 − λ)B ∈ K Hàm số F : K −→ R lồi A, B ∈ K với số thực < λ < ta có bất đẳng thức F (λA + (1 − λ)B) ≤ λF (A) + (1 − λ)F (B) Bất đẳng thức tương đương với tính lồi hàm G : [0, 1] −→ R, G(λ) := F (B + λ(A − B)) Ta biết tính lồi liên quan đến đạo hàm cấp Định lý sau chứng tỏ tính lồi hàm vết tương ứng với hàm lồi 33 Định lý 3.2.6 Cho K tập hợp ma trận tự liên hợp cấp n với phổ nằm khoảng (α, β) Giả sử hàm f : (α, β) −→ R hàm lồi thuộc lớp C Khi phiếm hàm A → T rf (A) lồi K Chứng minh Tính lồi phiếm hàm A → T rf (A) tương đương với tính lồi hàm số t → T rf (tX1 + (1 − t)X2 ) = T r(X2 + t(X1 − X2 )) (t ∈ [0, 1]) Do ta cần chứng minh đạo hàm cấp hai hàm số t → T rf (A+tB) dương t = Đạo hàm cấp hàm t → T rf (A + tB) T rf ′ (A + tB)B Để tính đạo hàm cấp hai ta lấy đạo hàm hàm f ′ (A + tB) Giả sử A ma trận đường chéo đạo hàm t = Sử dụng (3.4) ta có d ′ f (A + tB) dt t=0 i,j f ′ (ti ) − f ′ (tj ) = Bij ti − tj Do d2 T rf (A + tB) dt2 d ′ f (A + tB) B t=0 dt d ′ f (A + tB) Bki i,k t=0 ik dt f ′ (ti ) − f ′ (tk ) Bik Bki i,k ti − tk ′′ i,k f (sik )|Bik | , = Tr t=0 = = = sik nằm ti tk Tính lồi f suy f ′′ (sik ) ≥ 0, d2 T rf (A + tB) dt2 > t=0 Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.2.7 Hàm số η(x) = −x log x x > 0, x = liên tục lõm R+ Với ma trận dương D ≥ 0, S(D) := T r η(D) 34 gọi entropy von Neumann Theo định lý trên, S(D) hàm lõm theo D Chú ý ta khơng thể áp dụng định lý, η khơng có đạo hàm Do ta nên áp dụng định lý với f (x) := η(x + ε), với ε > cho ε −→ □ Ví dụ 3.2.8 Cho H ma trận tự liên hợp Trạng thái hệ lượng tử mô tả ma trận mật độ D với tính chất D ≥ T rD = Trạng thái cân xác định cách cực tiểu F (D) = T rDH − S(D), β β số dương Để tìm cực tiểu, ta giải phương trình ∂ F (D + tX) ∂t =0 t=0 với ma trận tự liên hợp X thoả mãn T rX = Phương trình 1 T rX H + logD + I β β =0 1 H + logD + I β β phải cI Do cực tiểu e−βH D= , T re−βH □ gọi trạng thái Gibbs Bổ đề sau sử dụng để chứng minh Định lý 2.1.15 −1 Bổ đề 3.2.9 Cho A0 , B0 ∈ Msa n A0 > Định nghĩa A = A0 −1/2 −1/2 B = A0 B0 A0 t ∈ R Với p, r ∈ N dr T r(A0 + tB0 )−p r dt t=0 r p r d = (−1) r T r(A + tB)p+r p+r dt (3.7) t=0 Chứng minh Bằng quy nạp ta chứng minh dr T r(A+tB)p+r = r! r dt 0≤i i2 (A + tB)i1 B(A + tB) B(A + tB)ir+1 ir+1 ≤p j ij =p 35 Lấy vết t = ta có dr K1 := r T r(A + tB)p+r dt T rAi1 BAi2 BAir+1 = r! t=0 0≤i1 ir+1 ≤p j ij =p Hơn nữa, lập luận tương tự ta có dr −p dtr (A0 + tB0 ) −i2 (A0 + tB0 )−i1 B0 (A0 + tB0 ) = (−1)r r! .B0 (A0 + tB0 )−ir+1 1≤i1 ir+1 ≤p j ij =p+r Lấy vết t = sử dụng tính lặp lại ta có dr T rAAi1 BAi2 BAir+1 = r! K2 := r T r(A0 + tB0 )−p t=0 dt 0≤i i ≤p−1 r+1 j ij =p−1 Ta cần chứng minh p (−1)r K1 p+r Để thấy điều ta viết lại K1 theo cách sau đây: Định nghĩa p + r ma trận Mj K2 = B A Mj = với ≤ j ≤ r với r + ≤ j ≤ r + p Giả sử Sn ký hiệu nhóm phép {1, , n} Khi K1 = p! π∈S p+r Tr Mπ(j) j=1 p+r Vì tính tuần hồn vết ta xếp tích cho Mp+r có vị trí vết Vì có p + r vị trí thích hợp cho Mp+r xuất tích tất tích nhau, ta có p+r−1 p+r K1 = p! π∈S T rA Mπ(j) j=1 p+r−1 Mặt khác, K2 = (−1) (p − 1)! π∈S r p+r−1 ta điều phải chứng minh p+r−1 T rA Mπ(j) , j=1 36 3.3 Đạo hàm Fréchet Cho f hàm nhận giá trị thực (a; b) ⊂ R, kí hiệu Msa n (a; b) sa tập tất ma trận A ∈ Mn với σ(A) ⊂ (a; b) Trong mục chúng tơi trình bày tính khả vi hàm ma trận A → f (A) A ∈ Msa n (a; b) Trường hợp n = tương ứng với phép tính đạo hàm giải tích cổ điển Giả sử x1 , x2 , điểm phân biệt (a, b) Khi ta định nghĩa f [0] [x1 ] := f (x1 ), f [1] [x1 , x2 ] := f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 cách truy hồi n = 2, 3, , f [n−1] [x1 , x2 , , xn ] − f [n−1] [x2 , x3 , , xn+1 ] f [x1 , x2 , , xn+1 ] := x1 − xn+1 [n] Các hàm số f [1] , f [2] f [n] tương ứng gọi sai phân cấp một, cấp hai, cấp n f Chú ý tính đối xứng f [n] khơng rõ ràng từ định nghĩa truy hồi Nếu f hàm số thuộc lớp C n , ta có f [n] [x0 , x1 , , xn+1 ] = f (n) (t0 x0 + t1 x1 + + tn xn )dt1 dt2 dtn , (3.8) S tích phân lấy tập S := {(t1 , , tn ) ∈ Rn : ti ≥ 0, i=1 ti ≤ 1} t0 = − ni=1 ti Tính đối xứng f [n] công thức thể rõ ràng x0 = x1 = = xn = x f [n] [x0 , x1 , , xn ] = f (n) (x) n! Tiếp đến giới thiệu khái niệm đạo hàm Fréchet Định nghĩa 3.3.1 Cho ánh xạ F : Mm −→ Mn xác định lân cận A ∈ Mm Đạo hàm ∂F (A) : Mm −→ Mn ánh xạ tuyến tính cho ∥ F (A + X) − F (A) − ∂F (A)(X) ∥2 −→ ∥ X ∥2 X ∈ Mm X −→ 0, ∥ ∥2 chuẩn Hilbert - Schmidt Đây định nghĩa tổng quát đạo hàm Fréchet hàm F 37 Bây ta xét hàm số f : (a, b) −→ R A ∈ Msa n (a, b) Khi đạo sa hàm Fréchet hàm số f ánh xạ tuyến tính ∂f (A) : Msa n −→ Mn cho ∥ f (A + X) − f (A) − ∂f (A)(X) ∥2 −→ ∥ X ∥2 với X ∈ Msa n X −→ 0, tương đương f (A + X) = f (A) + ∂f (A)(X) + o(∥ X ∥2 ) Vì tính khả vi Fréchet suy tính khả vi Gâtaux, ta đạo hàm f (A + tX) theo tham số t f (A + tX) − f (A) −→ ∂f (A)(X) t t −→ Khái niệm tính khả vi Fréchet cho f (A) mở rộng cách quy m sa nạp Để làm điều này, ta kí hiệu B((Msa n ) , Mn ) tập tất sa sa sa m sa ánh xạ tuyến tính từ (Msa n ) := Mn × Mn × × Mn (m lần) đến Mn m sa xét chuẩn Φ ∈ B((Msa n ) , Mn ) ∥Φ∥:= sup ∥Φ(X1 , , Xm )∥2 : Xi ∈ Msa n , ∥Xi ∥2 ≤ 1, ≤ i ≤ m (3.9) Định nghĩa 3.3.2 Giả sử m ∈ N với m ≥ giả sử đạo hàm m−1 , Msa Fréchet cấp m − ∂ m−1 f (B) ∈ B((Msa n ) tồn với n ) sa sa B ∈ Mn (a, b) lân cận A ∈ Mn Ta nói f (B) khả vi Fréchet cấp m A ∂ m−1 f (B) khả vi Fréchet lần A tức tồn sa m−1 sa m sa ∂ m f (A) ∈ B(Msa , Msa n , B((Mn ) n )) = B((Mn ) , Mn ) cho ∥∂ m−1 f (A + X) − ∂ m−1 f (A) − ∂ m f (A)(X)∥ −→ ∥ X ∥2 sa m−1 X ∈ Msa , n X −→ 0, tương ứng với chuẩn (3.9) B((M)n ) sa m Mn ) Khi ∂ f (A) gọi đạo hàm Fréchet cấp m f A sa m sa Chú ý chuẩn Msa n B((Mn ) , Mn ) không ảnh hưởng đến định nghĩa đạo hàm Fréchet chuẩn không gian vectơ hữu hạn chiều tương đương; ta sử dụng chuẩn Hilbert - Schmidt 38 Ví dụ 3.3.3 Xét hàm số f (x) = xk với k ∈ N Khi (A + X)k khai triển ∂f (A)(X) có dạng k−1 Au XAk−1−u ∂f (A)(X) = u=0 Để tính đạo hàm Fréchet cấp hai f , ta đặt A + Y thay cho A ∂f (A)(X) ∂ f (A)(X, Y ) k−1 u−1 k−1 v = u−1−v A YA u=0 k−1−u XA v=0 k−2−u u + Av Y Ak−2−u−v A A u=0 v=0 Ta viết lại cách thuận tiện ∂ f (A)(X1 , X2 ) = Au Xπ(1) Av Xπ(2) Aw u+v+w=n−2 π u, v, w ≥ π biểu thị hoán vị {1, 2} □ Định lý 3.3.4 ([3, Theorem 3.33]) Cho m ∈ N giả sử f : (a, b) −→ R hàm thuộc lớp C m Khi khẳng định sau đúng: (1) f (A) khả vi Fréchet m lần A ∈ Msa n (a, b) Nếu phép chéo sa hoá A ∈ Mn (a, b) A = U Diag(λ1 , λ2 , , λn )U ∗ đạo hàm Fréchet cấp m ∂ m f (A) xác định  n m ∂ f (A)(X1 , , Xm ) = U  f [m] [λi , λk1 , , λkm−1 , λj ] k1 , ,km−1 =1 n ′ ′ ′ ′ (Xπ(1) )ik1 (Xπ(2) )k1 k2 (Xπ(m−1) )km−2 km−1 (Xπ(m) )km−1 j × π∈Sm U∗ i,j=1 ′ ∗ với Xi ∈ Msa n với Xi = U Xi U (1 ≤ i ≤ m) (2) Ánh xạ A → ∂ m f (A) ánh xạ liên tục theo chuẩn từ Msa n (a, b) m sa đến B((Msa n ) , Mn ) sa (3) Với A ∈ Msa n (a, b) X1 , Xm ∈ Mn , ∂m ∂ f (A)(X1 , Xm ) = f (A + t1 X1 + + tm Xm ) |t1 = =tm =0 ∂t1 ∂tm m 39 Ví dụ 3.3.5 Cho f hàm thuộc lớp C (a, b) A = Diag(λ1 , , λn ) ma trận đường chéo Msa n (a, b) Khi đạo hàm Fréchet ∂f (A) A tính ∂f (A)(X) = f [1] (λi , λj ) n i,j=1 ◦ X, với ◦ tích Schur (Xem Định lý 3.2.3) Nếu f hàm thuộc lớp C (a, b), đạo hàm Fréchet cấp hai ∂ f (A) A = Diag(λ1 , , λn ) ∈ Msa n (a, b) tính n n f [2] (λi , λk , λj )(Xik Ykj + Yik Xkj ) ∂ (A)(X, Y ) = k=1 i,j=1 □ Ví dụ 3.3.6 Nếu f hàm chỉnh hình khai triển Taylor ∞ f (A + X) = f (A) + k=1 k ∂ f (A)(X, , X ) k! m tính 2πi f (A + X) = f (z)(zI − A − X)−1 dz Γ Vì −1 −1 −1 zI − A − X = (zI − A) (I − (zI − A) X(zI − A) )(zI − A) , nên ta có khai triển (zI − A − X)−1 −1 −1 −1 −1 = (zI − A) (I − (zI − A) X(zI − A) )−1 (zI − A) = (zI − A) −1 −1 ∞ n=0 (zI − A) X(zI − A) −1 n (zI − A) −1 = (zI − A)−1 + (zI − A)−1 X(zI − A)−1 +(zI − A)−1 X(zI − A)−1 X(zI − A)−1 + Do f (A + X) = 2πi + 2πi f (z)(zI − A)−1 dz Γ f (z)(zI − A)−1 X(zI − A)−1 dz + Γ = f (A) + ∂f (A)(X) + 2!1 ∂ f (A)(X, X) + Đây khai triển Taylor □ KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp, xếp, trình bày lại làm rõ số kết hàm ma trận đạo hàm ma trận Cụ thể luận văn đạt kết sau: Giới thiệu định nghĩa kết mô tả giá trị ma trận hàm mũ (Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.10, Hệ 2.1.11, Định lý 2.1.15) Trình bày số kết liên quan đến hàm vết hàm ma trận(Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3) Trình bày đạo hàm hàm mũ hàm logarit ma trận (Mệnh đề 3.1.1, Mệnh đề 3.1.2) Trình bày số kết đạo hàm hàm vết hàm ma trận (Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.3, Bổ đề 3.2.9); tính lồi ma trận hàm vết hàm lồi (Định lý 3.2.6) Trình bày khái niệm mơ tả đạo hàm Fréchet cấp cấp cao hàm ma trận (Định lý 3.3.4) Tài liệu tham khảo [1] P.S Dwyer, Some Applications of Matrix Derivatives in Multivariate Analysis, Journal of the American Statistical Association 62 (2012), 607-625 [2] K.-T Fang, Y.-T Zhang, Generalized multivariate analysis, Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (Berlin), 1990 [3] F Hiai and D Petz, Introduction to matrix analysis and applications, Springer, Cham, 2014 [4] T Kollo, D von Rosen, Advanced multivariate statistics with matrices, Dordrecht: Springer, 2005 [5] J Pan, K Fang, Growth curve models and statistical diagnostics Beijing: Science Press, 2007 ... SỐ HÀM MA TRẬN 12 2.1 Hàm mũ ma trận 12 2.2 Một số hàm ma trận khác 23 ĐẠO HÀM MA TRẬN 3.1 Đạo hàm hàm mũ hàm logarit 3.2 Đạo hàm hàm vết... hàm mũ, hàm luỹ thừa, hàm logarit, Chương Đạo hàm ma trận Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến đạo hàm ma trận số hàm thường gặp như: hàm mũ, hàm logarit, , đặc biệt đạo hàm. .. Chương ĐẠO HÀM MA TRẬN Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến đạo hàm ma trận số hàm thường gặp như: hàm mũ, hàm logarit, Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày đạo hàm hàm vết đạo hàm