Một số tính chất của môđun bất biến tự đồng cấu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN BẤT BIẾN - TỰ ĐỒNG CẤU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 6/2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN BẤT BIẾN - TỰ ĐỒNG CẤU Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 84 60 104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đinh Đức Tài Nghệ An, 6/2018 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Môđun π- bất biến đầy đủ Một số tính chất mơđun bất biến - tự đồng cấu 13 2.1 Môđun bất biến - tự đồng cấu 14 2.2 Một số kết đặc trưng vành qua lớp môđun bất biến - tự đồng cấu 19 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 MỞ ĐẦU Năm 1969, [5] Dickson Fuller nghiên cứu môđun bất biến tự đồng cấu bao nội xạ chúng Lớp môđun vành kết hợp Lee Zhou tiếp tục nghiên cứu [10] lớp môđun gọi lớp mơđun bất biến - tự đồng cấu Do đó, mơđun M gọi môđun bất biến - tự đồng cấu (automorphism - invariant) bất biến tự đồng cấu bao nội xạ Hay nói cách khác, mơđun M gọi mơđun bất biến - tự đồng cấu đẳng cấu hai mơđun cốt yếu M mở rộng thành tự đồng cấu M Như vậy, môđun tựa nội xạ giả nội xạ môđun bất biến - tự đồng cấu Đối ngẫu với khái niệm môđun bất biến - tự đồng cấu Surjeet Singh Ashish K Srivastava đưa năm 2012 [13]: Môđun M gọi bất biến tự - đồng cấu đối ngẫu (dual automorphism - invariant) với K1 , K2 mơđun bé M tồn cấu f : M/K1 → M/K2 với Ker(f ) M/K1 nâng thành đồng cấu f : M → M Trong thời gian gần đây, lớp môđun bất biến - tự đồng cấu lớp môđun đối ngẫu chúng nhiều nhà nghiên cứu quan tâm như: Singh Srivastava [14]; Surjeet Singh, Ashish K Srivastava [13]; Noyan Er, Surjeet Singh, Ashish K Srivastava [11]; Trên sở tài liệu tham khảo [11], lựa chọn đề tài "Một số tính chất mơđun bất biến - tự đồng cấu" nhằm có thêm hiểu biết lớp môđun số ứng dụng chúng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm chương bố cục sau: Chương Kiến thức sở Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm, tính chất nhằm phục vụ nội dung Chương Chương Một số tính chất mơđun bất biến - tự đồng cấu Nôi dung chương trình bày phần: 2.1 Mơđun bất biến - tự đồng cấu Nội dung phần dành để trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất lớp mơđun bất biến - tự đồng cấu ứng dụng 2.2 Một số kết đặc trưng vành qua lớp môđun bất biến - tự đồng cấu Trong mục 2.2 giới thiệu số kết đặc trưng số lớp vành thơng qua tính chất lớp mơđun bất biến - tự đồng cấu Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Đinh Đức Tài Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Thầy giáo, Cô giáo Bộ môn Đại số (Viện Sư phạm Tự nhiên), Trường Đại học Vinh; Phịng Đào tạo Sau đại học; gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tinh thần lẫn vật chất, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Nghệ An, tháng năm 2018 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU Z : Vành số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực C : Trường số phức A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A − B A ≤e B: A môđun cốt yếu B A B : A môđun bé B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn này, khơng nói thêm, vành R ln hiểu vành kết hợp, có đơn vị = R-môđun xét môđun unita phải trái 1.1 Các khái niệm Trước hết, trình bày số khái niệm, tính chất Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm tính chất giới thiệu nhiều tài liệu khác nhau, chủ yếu tham khảo tài liệu [16] Trên vành R, R- môđun phải M gọi môđun đơn (simple) M = khơng có mơđun khác ngoại trừ Mơđun M gọi môđun nửa đơn (semisimple) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Mọi môđun M tổng môđun đơn M tổng môđun đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M Định nghĩa 1.1.1 Một cặp đồng cấu M →f M →g M ” gọi khớp (exact) M Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng → M →f M →g M ” → gọi dãy khớp ngắn (short exact sequence) Định nghĩa 1.1.2 Nếu f : M → N , f : N → M đồng cấu thỏa mãn f ◦ f = 1N ta nói f tồn cấu chẻ (split epimorphism) f đơn cấu chẻ (split monomorphism) Dãy khớp ngắn → M →f M →g M ” → gọi dãy khớp ngắn chẻ (split exact) f đơn cấu chẻ g toàn cấu chẻ Trong lý thuyết vành, lớp iđêan đặc biệt linh hóa tử Nhiều tính chất lớp vành đặc trưng chúng nghiên cứu thông qua lớp iđêan Định nghĩa 1.1.3 Cho vành R A ⊂ R tập khác rỗng Linh hóa tử (annihilator) phải (trái) tập A R tập hợp r(A) := {b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tương ứng, l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}) Một cách tự nhiên có linh hóa tử phần tử a trường hợp đặc biệt tập A = {a} linh hóa tử tập A tập hợp thỏa mãn tính chất linh hóa tử hai phía trái phải Cho M R-mơđun phải Một phần tử m ∈ M gọi phần tử suy biến phải M iđêan phải rR (m) − RR Tập hợp phần tử suy biến M gọi môđun suy biến M kí hiệu Z(MR ) Như có Z(MR ) = {m ∈ M |mI = 0, với I iđêan phải cốt yếu R } hay nói cách khác Z(MR ) = {m ∈ M |rR (m) − RR } Chúng ta kí hiệu Zr (R) Zl (R) iđêan phải, trái suy biến R Môđun M môđun suy biến Z(M ) = M Nếu Z(M ) = 0, ta gọi M môđun không suy biến Chúng ta lưu ý rằng, môđun M -suy biến M ∼ = A/B, B mơđun cốt yếu A Phần tử x vành R gọi lũy linh (nilpotent) tồn số tự nhiên m > cho xm = Khi số nguyên dương nhỏ n cho xn = gọi số lũy linh x Tập A vành R gọi lũy linh tồn số tự nhiên n > cho với dãy x1 , x2 , , xn ∈ A ta có x1 x2 xn = Tập A vành R gọi iđêan lũy linh phần tử phần tử lũy linh Iđêan phía A vành R gọi T-lũy linh (T-nilpotent) trái (phải) tồn số tự nhiên n cho với dãy a1 , a2 , , an ∈ A ta có a1 a2 an = (tương ứng, an a1 = 0) Như T-lũy linh iđêan lũy linh điều ngược lại khơng hồn tồn Phần tử x ∈ R gọi phần tử lũy đẳng x2 = x Giả sử I iđêan vành R g + I phần tử lũy đẳng R/I Ta nói phần tử lũy đẳng nâng tới modulo I hay lũy đẳng nâng modulo I tồn lũy đẳng e ∈ R cho g + I = e + I Đặc biệt, I iđêan lũy linh, nghĩa phần tử I lũy linh (xn = 0, ∀n ∈ N ), phần tử lũy đẳng R/I lũy đẳng nâng Cặp phần tử lũy đẳng e1 , e2 vành R gọi trực giao (orthogonal) e1 e2 = e2 e1 = Một phần tử lũy đẳng e ∈ R gọi lũy đẳng nguyên thủy (primitive idempotent) e = với cặp lũy đẳng trực giao e1 , e2 thỏa mãn e = e1 + e2 e1 = e2 = Một iđêan phải (trái) vành R gọi iđêan nguyên thủy có dạng eR (tương ứng, Re) với lũy đẳng nguyên thủy e ∈ R Vành R gọi vành nguyên tố (prime ring) R thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (a) Mọi iđêan phải (trái) khác không I iđêan trung thành, nghĩa r(I) = (tương ứng, l(I) = 0); (b) Với cặp iđêan I1 , I2 = ta có I1 I2 = 0; (c) Với x, y ∈ R thỏa mãn xRy = ta có x = y = Iđêan P vành R gọi iđêan nguyên tố R/P vành nguyên tố Hay nói cách khác, P nguyên tố với x, y ∈ R thỏa mãn xRy ⊆ P x ∈ P y ∈ P Giao tất iđêan nguyên tố vành R gọi nguyên tố (prime radical /lower nil radical) vành R, kí hiệu N (R) Vành R gọi nửa nguyên tố (semiprime) N (R) = Môđun NR gọi sinh MR (MR - sinh) tồn toàn (Λ) cấu f : MR → NR , với tập số Λ Nếu tập số Λ hữu hạn ta nói NR hữu hạn sinh MR (hữu hạn MR - sinh) Môđun NR gọi hữu hạn R- sinh tồn hữu hạn phần tử x1 , x2 , , xk cho NR = x1 R + x2 R + + xk R Môđun thương MR gọi môđun M - xyclic Môđun M - xyclic không đẳng cấu với M gọi môđun M - xyclic thực (proper M-xyclic) Môđun NR gọi Λ- sinh, Λ tập số bất kỳ, tồn tồn cấu f : R(Λ) → NR Kí hiệu σ[M ] phạm trù đầy đủ Mod-R, vật tập tất R-mơđun môđun MR - sinh Đế phải MR , kí hiệu Soc(MR ), tổng mơđun đơn MR , giao tất môđun cốt yếu M Nếu MR không chứa mơđun đơn Soc(MR ) = Căn MR , kí hiệu Rad(MR ), giao tất môđun tối đại MR , tổng tất môđun bé MR Nếu MR không chứa môđun tối đại ta định nghĩa Rad(MR ) = M Đặc biệt, biết Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R) Do khơng sợ nhầm lẫn, ta ln kí hiệu J(R) để Jacobson vành R Radical RR Nếu MR mơđun hữu hạn sinh Rad(MR ) MR 13 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN BẤT BIẾN - TỰ ĐỒNG CẤU Năm 1969, Dickson Fuller [5] nghiên cứu lớp môđun bất biến tự đồng cấu bao nội xạ chúng Lớp môđun vành kết hợp Lee Zhou [10] tiếp tục nghiên cứu chúng gọi lớp môđun bất biến - tự đồng cấu Môđun M gọi môđun bất biến - tự đồng cấu (automorphism - invariant) bất biến tự đồng cấu bao nội xạ Hay nói cách khác, mơđun M gọi môđun bất biến - tự đồng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng thành tự đồng cấu M Như vậy, môđun tựa nội xạ giả nội xạ môđun bất biến - tự đồng cấu Dickson Fuller chứng minh rằng, R đại số hữu hạn chiều trường có nhiều phần tử R môđun bất biến phải R- mơđun phải khơng phân tích mơđun bất biến - tự đồng cấu Tiếp theo, nhắc lại câu hỏi báo Lee Zhou [10], Clack Huynh [4], Singh Srivastava [14] sau: (Q1): Vành R có phải vành đơn hay không R- môđun giả nội xạ phải môđun tựa nội xạ phải [4]? (Q2): Vành R có phải vành đơn hay không R- môđun bất biến - tự đồng cấu môđun tựa nội xạ phải [14]? 14 (Q3): Cấu trúc vành mơđun xiclic phải mơđun bất biến - tự đồng cấu? Như biết, môđun M gọi môđun giả nội xạ (pseudo-injective) môđun A M , đơn cấu từ A đến M mở rộng thành phần tử End(M ) Lee Zhou [10] chứng minh rằng, môđun M môđun bất biến - tự đồng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng thành phần tử End(M ) Như vậy, môđun giả nội xạ môđun bất biến - tự đồng cấu Vậy điều ngược lại có khơng, có câu hỏi đặt ra: (Q4): Một môđun bất biến - tự đồng cấu có phải mơđun giả nội xạ hay khơng? Chúng ta tìm lời giải đáp (phần nào) cho câu hỏi 2.1 Môđun bất biến - tự đồng cấu Để phục vụ việc chứng minh kết sau, có tính chất mơđun bất biến - tự đồng cấu, kết trình bày Lemma 7, [14] Bổ đề 2.1.1 Nếu M môđun bất biến - tự đồng cấu với bao nội xạ E(M ) = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 , E1 ∼ = E2 , M = (M ∩ E1 ) ⊕ (M ∩ E2 ) ⊕ (M ∩ E3 ) Chứng minh Ta đặt E(M ) = E Ta có E = E1 ⊕E2 ⊕E3 Xét đẳng cấu σ : E1 → E2 phép chiếu: π1 : E → E1 ; π2 : E → E2 ; π3 : E → E3 Khi M ∩ E1 ⊆ π1 (M ), M ∩ E2 ⊆ π2 (M ) M ∩ E3 ⊆ π3 (M ) Đặt η = σ −1 , xét ánh xạ λ1 : E → E, xác định sau λ1 (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , σ(x1 ) + x2 , x3 ) Rõ ràng, λ1 tự đồng cấu E Do M môđun bất biến - tự đồng cấu nên M bất biến ánh xạ λ1 15 IE Suy ra, M bất biến ánh xạ λ1 −IE (λ1 −IE )(M ) ⊆ M Tiếp theo xét ánh xạ λ2 : E → E, xác định λ2 (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + η(x2 ), x2 , x3 ) Lập luận tương tự ta có (λ2 − IE )(M ) ⊆ M Đặt x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ M Khi đó, (λ1 − IE )(x) = (0, σ(x1 ), 0) ∈ M Tương tự ta có (λ2 − IE )(x) = (η(x2 ), 0, 0) ∈ M Suy (λ1 − IE )(η(x2 ), 0, 0) = (0, ση(x2 ), 0) = (0, x2 , 0) ∈ M , π2 (M ) ⊆ M Lập luận tương tự, (λ2 − IE )(0, σ(x1 ), 0) = (ησ(x1 ), 0, 0) = (x1 , 0, 0) ∈ M , π1 (M ) ⊆ M Điều chứng tỏ (0, 0, x3 ) ∈ M hay π3 (M ) ⊆ M Vậy π1 (M ) ⊕ π2 (M ) ⊕ π3 (M ) ⊆ M π1 (M ) ⊕ π2 (M ) ⊕ π3 (M ) = M Điều chứng tỏ M = (M ∩ E1 ) ⊕ (M ∩ E2 ) ⊕ (M ∩ E3 ) Như biết, môđun K M gọi đóng M K khơng có mở rộng cốt yếu thực M Tiếp theo có kết mơđun đóng mơđun bất biến - tự đồng cấu Bổ đề 2.1.2 Nếu M môđun bất biến - tự đồng cấu A, B mơđun đóng M thỏa mãn A ∩ B = A B môđun nội xạ lẫn Hơn nữa, đơn cấu h : A → M với A ∩ h(A) = 0, h(A) môđun đóng M Chứng minh Trước hết giả sử K, T phần bù lẫn M Khi đó, E(M ) = E1 ⊕E2 , E1 = E(K) E2 = E(T ) Đặt f : E1 → E2 đồng cấu Khi ánh xạ g : E(M ) → E(M ) xác định sau: g(x1 + x2 ) = x1 + x2 + f (x1 ), (xi ∈ Ei ) tự đồng cấu cho f (K) = (g − 1E(M ) )(K) ⊆ M Do f (K) ⊆ E2 ∩ M = T , suy T K nội xạ Bây giờ, A B mơđun đóng M thỏa mãn A ∩ B = 0, theo kết ta có A nội xạ lẫn với phần bù C A có chứa B Do A B nội xạ 16 Cuối cùng, xét h : A → M môt đơn cấu với h(A) ∩ A = 0, chọn môđun đóng cốt yếu K h(A) Do A K nội xạ theo lập luận ta có h−1 : h(A) → A mở rộng thành đơn cấu t : K → A Do có h(A) = K Tiếp theo xét tính chất khác lớp mơđun bất biến - tự đồng cấu Định lý 2.1.3 Cho M môđun bất biến - tự đồng cấu Khi ta có: (i) M = X ⊕ Y , X môđun tựa nội xạ Y môđun tự trực giao (Y trực giao với X) Trong trường hợp này, X Y nội xạ lẫn (ii) Nếu M mơđun khơng suy biến với hai môđun D1 , D2 Y với D1 ∩ D2 = 0, ta có Hom(D1 , D2 ) = (iii) Nếu M môđun không suy biến Hom(X, Y ) = = Hom(Y, X) Chứng minh (i): Đặt Γ = {(A, B, f ) : A, B M, A ∩ B = f : A → B đẳng cấu } Trên Γ ta định nghĩa sau: (A, B, f ) (A , B , f ) A ⊆ A , B ⊆ B f mở rộng f Khi đó, Γ tập thứ tự Γ tồn phần tử tối đại, ta giả sử phần tử (A, B, f ) Đặt C phần bù A ⊕ B M , C mơđun tự trực giao Ngược lại, tồn môđun khác không X, Y C thỏa mãn X ∩ Y = φ : X → Y đẳng cấu Khi đó, A ⊕ X, B ⊕ Y, f ⊕ φ phần tử tối đại Γ, điều mâu thuẩn với tính chất tối đại (A, B, f ) Vậy C môđun tự trực giao Bây định nghĩa g : A ⊕ B ⊕ C → A ⊕ B ⊕ C , g(a + b + c) = f −1 (b) + f (a) + c(a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ) Do M môđun bất biến - tự đồng cấu nên đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng thành tự đồng cấu M , g mở rộng 17 thành tự đồng cấu g M Xét A mơđun đóng, cốt yếu M chứa A Nếu A chứa thực A g |A mâu thuẩn với giả thiết tối đại Do A mơđun đóng M Từ tính chất bảo tồn mơđun đóng tự đồng cấu ta có B mơđun đóng M Sử dụng kết Bổ đề 2.1.1 ta có M = (E(A) ∩ M ) ⊕ (E(B) ∩ M ) ⊕ (E(C ) ∩ M ) Ta có M = A ⊕ B ⊕ C Mặt khác ta có, hạng tử trực tiếp môđun bất biến - tự đẳng cấu môđun bất biến - tự đẳng cấu nên ta có A ⊕ B mơđun bất biến - tự đẳng cấu Tiếp theo sử dụng kết Bổ đề 2.1.2 ta có A B nội xạ lẫn Từ A ∼ = B ta có A ⊕ B môđun tựa nội xạ A ⊕ B C mơđun nội xạ lẫn Với lập luận tương tự trên, có đơn cấu tối đại t : B → B, B mơđun C Từ giả thiết B C nội xạ ta thấy t mở rộng thành đơn cấu tới mơđun đóng, cốt yếu C chứa B Sử dụng tính chất tối đại t ta có B đóng C Hơn nữa, C B nội xạ, t−1 mở rộng đơn cấu tới mơđun đóng, cốt yếu D t(B ) Do B cốt yếu ảnh D, suy t(B ) đóng B Từ B tựa nội xạ, t(B ) hạng tử trực tiếp B Từ B C nội xạ, t(B ) C nội xạ suy B môđun C nội xạ C Do C = B ⊕ C, với C Bây chứng minh B C trực giao với Giả sử rằng, C B có đẳng cấu khác khơng mơđun C1 B1 Theo tính chất tự trực giao C , C1 B môđun trực giao, suy B1 t(B ) trực giao, B1 ∩ t(B ) = Điều mâu thuẩn với tính tối đại đơn cấu t Do C B trực giao C A ⊕ B ⊕ B trực giao Hơn nữa, A ⊕ B ⊕ B tựa nội xạ Lấy X = A ⊕ B ⊕ B Y = C có điều phải chứng minh (ii) Đặt f : D1 → D2 đồng cấu khác khơng Sử dụng tính 18 chất khơng suy biến M ta có Ker(f ) đóng D1 tồn mơđun L = D1 thỏa mãn Ker(f ) ∩ L = Mặt khác, L∼ = f (L) ⊆ D2 Điều mâu thuẩn với tính chất tự trực giao Y , ta có điều cần chứng minh (iii) Chứng minh tương tự (ii) Môđun N môđun M gọi môđun bất biến đầy đủ với tự đồng cấu f M , f (N ) ⊆ N Tiếp theo có số tính chất lớp mơđun tự trực giao Định lý 2.1.4 Giả sử M môđun tự trực giao khơng suy biến, có: (i) Mọi mơđun đóng M mơđun bất biến đầy đủ M (ii) Nếu M mơđun bất biến - tự đồng cấu với họ {Ki : i ∈ I} môđun đóng M , tổng mơđun Σi∈I Ki môđun bất biến - tự đồng cấu Chứng minh (i) Trước hết giả sử M môđun tự trực giao không suy biến Giả sử K mơđun đóng M T phần bù K M Giả sử f ∈ End(M ) với f (K) K Đặt π : E(M ) → E(T ) phép chiếu với Ker(π) = E(K) Do K không cốt yếu f (K) + K, có π(K + f (K)) = 0, điều suy π(f (K)) = 0, hay N = T ∩ π(f (K)) = Do với N = {x ∈ K : πf (x) ∈ T }, có Hom(N , N ) = Điều mâu thuẩn, suy mơđun đóng M mơđun bất biến đầy đủ M (ii) Giả sử M môđun bất biến - tự đồng cấu Đặt {Ki : i ∈ I} họ mơđun đóng M , g tự đồng cấu E(Σi∈I Ki ) Hiển nhiên thấy, g mở rộng thành tự đồng cấu g E(M ) Do M môđun bất biến tự đồng 19 cấu nên có g (M ) ⊆ M Mặt khác theo (i), mơđun đóng M mơđun bất biến đầy đủ M nên ta có: g(Ki ) = g (Ki ) ⊆ Ki , ∀i ∈ I Điều chứng tỏ rằng: Nếu M môđun bất biến - tự đồng cấu với họ {Ki : i ∈ I} mơđun đóng M , tổng môđun Σi∈I Ki môđun bất biến - tự đồng cấu 2.2 Một số kết đặc trưng vành qua lớp môđun bất biến - tự đồng cấu Trước hết tìm hiểu số tính chất lớp vành bất biến tự đồng cấu khơng suy biến, đồng thời tìm câu trả lời cho câu hỏi Singh Srivastava [14], Clark Huynh [4] trường hợp vành bất biến tự đồng cấu (hoặc vành giả nội xạ) vành tự nội xạ Định lý 2.2.1 Nếu R vành không suy biến phải, bất biến - tự đồng cấu phải R ∼ = S × T , S T vành thỏa mãn: (i) S vành tự nội xạ phải, (ii) TT môđun tự trực giao, (iii) tổng iđêan phải đóng T iđêan hai phía T - mơđun bất biến - tự đồng cấu, (iv) với iđêan nguyên tố P T không cốt yếu TT , T P vành thương Chứng minh Theo Định lý 2.1.3 ta có R = eR ⊕ (1 − e)R với e ∈ R phần tử lũy đẳng Khi đó, eR môđun tựa nội xạ, (1 − e)R môđun tự trực giao Hom(eR, (1 − e)R) = = Hom((1 − e)R, eR) S = eR T = (1 − e)R iđêan Sử dụng kết Định lý 2.1.4 ta có (i),(ii) (iii) 20 Bây ta chứng minh (iv) Giả sử P iđêan nguyên tố T (P không iđêan phải cốt yếu T ) Lấy phần bù N P TT Nếu N khơng mơđun có hai iđêan phải đóng khác khơng X Y N thỏa mãn X ∩ Y = Nhưng điều mâu thuẩn với tính chất nguyên tố P Vậy N iđêan phải T Ta lưu ý rằng, P mơđun đóng TT , P mở rộng cốt yếu P P N = 0, suy P = P Do P đóng TT , P phần bù N TT Từ N ⊕P P cốt yếu T P, suy T P vành phải Hơn nữa, N T - môđun không suy biến, bất biến - tự đồng cấu, đồng cấu khác khơng hai môđun đẳng cấu mơđun cốt yếu mở rộng thành tự đồng cấu N Suy N T P - môđun đều, khơng suy biến tựa nội xạ End(N ) vành thương Do không suy biến N ⊕P P T P cốt yếu có chứa iđêan phải nên End(N ) vành khơng suy biến phải, phải vành nguyên tố (do vành Goldie phải, nguyên tố phải) với N ⊕P P nên N ⊕P P iđêan cốt yếu, tựa nội xạ phải Mặt khác ta có, nội xạ nên P ⊕ N = T Thêm nữa, End T (N ) vành thương P T P vành thương N iđêan phải đơn P iđêan phải tối đại T Tiếp theo, có kết mối liên hệ vành tự nội xạ phải với lớp vành không suy biến, nguyên tố bất biến - tự đồng cấu phải Định lý 2.2.2 Nếu R vành không suy biến, nguyên tố bất biến - tự đồng cấu phải R vành tự nội xạ phải Chứng minh Giả sử R vành không suy biến, nguyên tố bất biến - tự đồng cấu phải, sử dụng kết Định lý 2.2.1 tính chất nguyên tố R cần xét trường hợp RR môđun tự trực 21 giao: Nếu RR khơng có tồn hai iđêan phải đóng A B khác không thỏa mãn A ∩ B = Nhưng, A B iđêan nên AB = 0, mâu thuẫn với tính chất ngun tố Vậy RR mơđun đều, không suy biến môđun bất biến - tự đồng cấu Sử dụng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.1 chứng minh R vành tự nội xạ phải Ví dụ sau cho ta thấy, Định lý 2.2.2 khơng cịn xác thay điều kiện R vành nguyên tố điều kiện nửa nguyên tố Ví dụ 2.2.3 Đặt S = n∈N Z2 R = {(xn )n∈N : tập tất hữu hạn xn phần tử a ∈ Z2 } Khi đó, S vành giao hoán, tự nội xạ với S = E(RR ) tự đồng cấu Do đó, R vành khơng suy biến, nửa ngun tố vành bất biến - tự đồng cấu R không vành tự nội xạ Trong [15], Teply xây dựng ví dụ thứ mơđun giả nội xạ không môđun tựa nội xạ Vành R xây dựng ví dụ ví dụ vành giả nội xạ không vành tựa nội xạ Từ kết Định lý 2.2.2 có Hệ 2.2.4 câu trả lời cho câu hỏi Singh Srivastava [14] Hệ 2.2.4 Mọi vành đơn, bất biến - tự đồng cấu phải vành tự nội xạ phải Tiếp theo Hệ 2.2.5 câu trả lời cho câu hỏi Clark Huynh Remark 3.4, [4] Hệ 2.2.5 Mọi vành đơn, giả nội xạ phải vành tự nội xạ phải Tiếp theo tìm hiểu số kết lớp vành mà môđun xiclic môđun bất biến - tự đồng cấu 22 Như biết, đặc trưng vành thơng qua tính chất đồng cấu mơđun xiclic vấn đề đặc biệt quan tâm nghiên cứu 50 năm qua Chúng ta tìm thấy kết liên quan [9] đặc biệt gần kết P Aydogdu, N Er N.O Ertas [3] Một câu hỏi khác S.Singh A.K Srivastava đưa [14]: Cấu trúc vành R mơđun xiclic phải mơđun bất biến - tự đồng cấu Kết sau câu trả lời cho câu hỏi Định lý 2.2.6 Cho R vành R - mơđun phải xiclic môđun bất biến - tự đồng cấu Khi đó, R ∼ = S × T , đó: S vành nửa đơn Artin, T vành tự trực giao phải cho với hai iđêan phải đóng X Y T thỏa mãn X ∩ Y = 0, Hom(X, Y ) = Đặc biệt, lũy đẳng T lũy đẳng tâm Chứng minh Trước hết sử dụng cách chứng minh Định lý 2.1.3, có phân tích RR = A ⊕ B ⊕ B ⊕ C, A ∼ = B, B đẳng cấu với môđun B, C môđun tự trực giao, A ⊕ B ⊕ B C trực giao với Giả sử Z iđêan phải A, theo giả thiết R ∼ = A ⊕ B ⊕ B ⊕ C môđun bất biến - tự Z Z đồng cấu Sử dụng kết Bổ đề 2.1.2, A Z môđun A - nội xạ Tương tự ta có A Z môđun B - nội B C B Z , Z , Z xạ suy môđun A - nội xạ Mặt khác, A môđun xiclic xạ ảnh vói tất mơđun thương A - nội xạ Sử dụng kết Hệ 9.3 (ii) ([7]) ta có A = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un , Ui mơđun Lấy U môđun xiclic khác không Ui , với i Do U tổng môđun thương A, B, B , C nên U có chứa mơđun thương khác khơng chúng, giả sử U Lập luận tương tự trên, U A - nội xạ chẻ Ui Suy ra, U = U = Ui hay Ui 23 mơđun đơn A ⊕ B ⊕ B mơđun nửa đơn Điều chứng tỏ khơng tồn đồng cấu khác không chúng Suy ra, A ⊕ B ⊕ B C iđêan có tổng trực tiếp R = S ⊕ T , S = A ⊕ B ⊕ B T = C Bây ta xét X Y iđêan phải đóng T cho X ∩ Y = xét f : X → Y đồng cấu Đặt Y = f (X), f : X K → Y đẳng cấu, K = Ker(f ) Dễ dàng thấy T K U Chọn K mơđun đóng X K Hơn nữa, TT môđun tự trực giao X Y ⊕K T K ⊕ K K Theo T X ∼ giả thuyết, từ K môđun bất biến - tự đồng cấu K = Y K⊕K =Y ∼ T Sử dụng kết (theo kết Bổ đề 2.1.2), suy Y K⊕K đóng K T X U Bổ đề 2.1.1, K =K ⊕ Y K⊕K ⊕ K Từ Y ∩ (X + U ) ⊆ Y ∩ K = chúng nên K cốt yếu X phần bù ta có T = Y ⊕ (X + U ) Do Y mơđun xạ ảnh f chẻ Thêm nữa, K cốt yếu X nên f = 0, Hom(X, Y ) = Đặc biệt, TT = X ⊕ Y XY = Y X = X Y iđêan Tiếp theo có kết khác Mệnh đề 2.2.7 Giả sử M môđun thỏa mãn điều kiện sau: (i) M môđun xiclic với tất môđun thương bất biến - tự đồng cấu môđun thương xiclic hữu hạn sinh, (ii) M mơđun bất biến - tự đồng cấu môđun thương - sinh môđun bất biến - tự đồng cấu Khi M = X ⊕ Y , X mơđun nửa đơn, Y môđun tự trực giao, X Y trực giao với Chứng minh Trước hết lưu ý rằng, chứng minh Định lý 2.1.3 có phân tích M = A ⊕ B ⊕ B ⊕ C, A∼ = B, B nhúng B, C môđun tự trực giao, C trực giao với A ⊕ B ⊕ B 24 (i) Giả sử M môđun xiclic với tất môđun thương bất biến - tự đồng cấu mơđun thương xiclic hữu hạn sinh, cách lập luận tương tự phần chứng minh đầu Định lý 2.2.6, tất môđun thương môđun B (∼ = A), B C môđun A nội xạ Đặt A môđun thương A, D môđun xiclic A Do D sinh M , D = D1 + D2 + + Dn , Di mơđun thương B, B C Do D1 A - nội xạ (do A - nội xạ), D1 ⊕ D1 = A với D1 môđun A Đặt π : D1 ⊕ D1 → D1 phép chiếu, có D = D1 ⊕ (π(D2 ) + π(D3 ) + + π(Dn )) Trong đó, π(Dk ) lại môđun thương B, B C chúng mơđun Anội xạ suy D1 - nội xạ Chúng ta thấy rằng, D tổng trực tiếp môđun xiclic A - nội xạ Do đó, D A - nội xạ Bây chứng minh rằng, môđun thương xiclic A A - nội xạ Thật vậy, theo Hệ 7.14, [7], A môđun nửa đơn, A ⊕ B ⊕ B mơđun nửa đơn Bây đặt X = A ⊕ B ⊕ B Y = C, ta có điều phải chứng minh (ii) Giả sử M môđun bất biến - tự đồng cấu mơđun thương - sinh môđun bất biến - tự đồng cấu Đặt D ⊆ L L D môđun xiclic, T L ⊕ T môđun bất thiết, D môđun A với môđun xiclic B Theo giả biến - tự đồng cấu, suy L D T - nội xạ Vậy, môđun thương xiclic A B - nội xạ A - nội xạ Tiếp tục sử dụng Hệ 7.14, [7] ta có A mơđun nửa đơn Tiếp tục lập luận chứng minh phần (i) ta có điều cần chứng minh 25 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo [11], luận văn tìm hiểu chứng minh chi tiết kết sau đây: (1) Tìm hiểu chứng minh chi tiết số tính chất lớp mơđun bất biến - tự đồng cấu: Bổ đề 2.1.1, Bổ đề 2.1.2, Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.4 (2) Tìm hiểu chứng minh chi tiết số kết đặc trưng vành qua lớp môđun bất biến - tự đồng cấu: Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.6 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [2] A Alahmadi, N Er, S.K Jain, Modules which are invariant under monomorphisms of their injective hulls, J Aust Math Soc, 79 (2005), pp 349-360 [3] P Aydogdu, N Er, N.O Ertas, Rings whose cyclic modules are direct sums of extending modules, Glasg Math J 54 (3)(2012), pp 605-617 [4] J Clark, D.V Huynh, Simple rings with injectivity conditions on one-sided ideals, Bull Aust Math Soc 76 (2007), pp 315320 [5] S.E Dickson, K.R Fuller, Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelop, Pacific J Math 31 (3)(1969), pp 655 - 658 [6] H.Q Dinh, A note on pseudo-injective modules, Comm Algebra 33 (2005), pp 361-369 [7] N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith, R Wisbauer, Extending Modules, Pitman Res Notes Math Ser., vol 313, 1994 27 [8] S.K Jain, S Singh, On quasi-injective and pseudo-injective modules, Canad Math Bull 18 (1975), pp 359-366 [9] S.K Jain, A.K Srivastava, A.A Tuganbaev, Cyclic Modules and the Structure of Rings, Oxford Math Monogr., Oxford Univ Press, 2012 [10] T.K Lee, Y Zhou, Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls, J Algebra Appl 12 (2) (2013) [11] Noyan Er, Surjeet Singh, Ashish K Srivastava, Rings and modules which are stable under automorphism their injective hulls, Journal of Algebra 379(2013), pp 223 - 229 [12] S.H Mohamed, B.J Mỹller, Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Note Ser., vol 147, Cambridge Univ Press, 1990 [13] Surjeet Singh, Ashish K Srivastava, Dual automorphism - invariant modules, Journal of Algebra 371(2012), pp 262 - 275 [14] S.Singh, ule Type A.K and Srivastava, Rings of Invariant Automorphism-Invariant Modules, ModCon- temp Math., Amer Math Soc., in press; available on http://arxiv.org/pdf/1207.5370.pdf [15] M Teply, Pseudo-injective modules which are not quasi-injective, Proc Amer Math Soc 49 (1975), pp 305-310 [16] R Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading 1991 ... 1.2 Môđun ? ?- bất biến đầy đủ Một số tính chất môđun bất biến - tự đồng cấu 13 2.1 Môđun bất biến - tự đồng cấu 14 2.2 Một số kết đặc trưng vành qua lớp môđun bất biến. .. bất biến - tự đồng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng thành tự đồng cấu M Như vậy, môđun tựa nội xạ giả nội xạ môđun bất biến - tự đồng cấu Đối ngẫu với khái niệm môđun bất biến - tự đồng. .. lớp môđun gọi lớp môđun bất biến - tự đồng cấu Do đó, mơđun M gọi môđun bất biến - tự đồng cấu (automorphism - invariant) bất biến tự đồng cấu bao nội xạ Hay nói cách khác, mơđun M gọi môđun bất