Tự đồng cấu luỹ linh trong không gian tuyến tính

Tổng liên đoàn lao Bộ giáo dục vàđộng đàoviệt tạonam Tr-ờng đạiđại học công đoàn Tr-ờng học vinh - Phan thÞ đạI học công đoàn Tự đồng cấu lũy linh không gian tuyến tính Ngành: tài kế toán Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số Mà số: 60.46.05 đề tài: Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-íng dÉn khoa häc: Pgs.ts ngun thµnh quang Vinh - 2009 Hà Nội, tháng 5/ 2007 Mở đầu Vào năm 1762, Lagrange nghiên cứu lý thuyết hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, khái niệm tổng quan giá trị riêng tự đồng cấu xuất Từ Toán học đ-ợc trang bị thêm đối t-ợng nghiên cứu, sở quan trọng để phát triển ngành Đại số tuyến tính theo nghĩa đại Trong luận văn này, với mục đích nghiên cứu lý thuyết tự đồng cấu không gian vectơ, trình bày theo cách riêng cấu trúc tự ®ång cÊu, ®ã cã líp c¸c tù ®ång cÊu lũy linh Mỗi tự đồng cấu f đ-ợc đặt t-ơng øng víi mét ma trËn A mét c¬ së không gian vectơ Mục đích luận văn tìm cho tự đồng cấu (trong tr-ờng hợp đ-ợc) sở, cho sở tự đồng cấu có ma trận đơn giản, cụ thể gần ma trận chéo tốt Cho V không gian vectơ tr-ờng K Tự đồng cấu f: VV chéo hóa đ-ợc có sở gồm toàn vectơ riêng, đồng cấu có ma trận chéo A, có số giá trị riêng đôi khác b»ng dimV, f cã tÝnh chÊt f2 = f, ®a thức đặc tr-ng f có đủ nghiệm tr-ờng K, rank(A-iidV) = n ‟ si (víi i = 1,…m), si bội i Tuy nhiên, tự đồng cấu chéo hóa đ-ợc, tự đồng cấu kể trên, số lại tìm cách đ-a ma trận dạng gần với dạng chéo, dạng chuẩn Jordan Đối với tự đồng cấu, dạng đ-ợc xác định nhÊt, sai kh¸c thø tù c¸c khèi kh¸c đ-ờng chéo Trong khuôn khổ luận văn này, tập trung nghiên cứu lớp tự ®ång cÊu f mµ ma trËn cđa nã mét sở có dạng chéo khối đơn giản, lớp tự đồng cấu luỹ linh Sau ®ã më réng cho mét tù ®ång cÊu f bất kỳ, không thiết phải lũy linh cách xây dựng cho f ma trận gồm khối cã d¹ng: J s , k  k 0 1  k   k    0 0   0  0  0   0 ,     k   Luận văn gồm hai ch-ơng với phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Ch-ơng 1: Trình bày tự đồng cấu không gian vectơ Ch-ơng 2: Trình bày vỊ tù ®ång cÊu lịy linh, ma trËn Jordan cđa tự đồng cấu, định lý Cayley Hamilton, đa thức tối tiểu tự đồng cấu f không gian vectơ V tập ứng dụng Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo h-ớng dẫn đà dành cho tác giả h-ớng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Khoa Toán Khoa Đào tạo Sau đại học - Tr-ờng Đại học Vinh đà tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập Mặc dù đà cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận đ-ợc bảo quý thầy cô giáo bạn học viên Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Phan Thị Thanh Ch-ơng Về tự đồng cấu không gian tuyến tính 1.1 Các kiến thức sở tự đồng cấu không gian vectơ Mục đích ch-ơng tìm cho tự đồng cấu (trong tr-ờng hợp đ-ợc) sở không gian, cho sở tự đồng cấu có ma trận đơn giản Giả sử V không gian vectơ tr-ờng K, f:VV tự đồng cấu V Việc nghiên cứu f toàn không gian V gặp khó khăn V lớn Ng-ời ta muốn tránh điều cách hạn chế f lên số không gian U ®ã cđa V Nh-ng ®Ĩ cho h¹n chÕ ®ã vÉn tự đồng cấu V không gian phải có tính chất đặc biệt nói định nghĩa sau đây: 1.1.1 Định nghĩa Không gian vectơ U V đ-ợc gọi không gian ổn định f (hay không gian f- ổn định) f(U) U Đôi ng-êi ta cịng nãi cho gän r»ng U lµ mét không gian ổn định, f đà rõ Thuật ngữ không gian bất biến f dùng để không gian sau đây: Vf: = {vV| f(v) = v} Đối với tự đồng cấu f:VV bất kỳ, không gian sau f- ổn định: {0}, V, Kerf, Imf Nếu có không gian f- ổn định U1 U2 cho V = U1 U2, th× f1 = f|U1 f2 = f|U2đều tự đồng cấu Mỗi vectơ vV viết d-ới dạng: v = u1+ u2, u1U1, u2U2 f(v) = f(u1) + f(u2) Khi việc nghiên cứu tự đồng cÊu f trªn V cã thĨ qui vỊ viƯc nghiªn cứu tự đồng cấu f Ui (i = 1, 2) Nãi râ h¬n, nÕu f1 cã ma trËn A c¬ së (e1, e2, …, em) cđa U1, f2 có ma trận B sở (em+1, …, en) cđa U2 th× f cã ma trËn A | 0      c¬ së (e , e , …,e , e , , e ) cña V m m+1 n    | B  Nh- thÕ det f = det f1.det f2 Nói riêng, f đẳng cÊu tuyÕn tÝnh nÕu vµ chØ nÕu f vµ f2 đẳng cấu tuyến tính Tuy vậy, không gian ổn định nói chung phần bù tuyến tính không gian ổn định Sau ví dụ Giả sử V không gian vectơ chiều K với sở gồm hai vectơ Tự đồng cấu f:VV đ-ợc xác định f() = 0, f() = Khi U = L() không gian f- ổn định chiều V Một câu hỏi đ-ợc đặt làm để tìm không gian ổn định tự đồng cấu đà cho? Đáng tiếc ph-ơng pháp chung để làm điều tr-ờng hợp tổng quát Sau ta xét tr-ờng hợp riêng đặc biệt, có nhiều ứng dụng Vật lý Cơ học Đó tr-ờng hợp không gian ổn định chiều Giả sử L không gian f- ổn định chiều Giả sử L vectơ Khi () sở L Vì f(L) L, có mét v« h-íng   K cho f() = , L = L() không gian f- ổn định chiều Ta tới định nghĩa sau 1.1.2 Định nghĩa Giả sử f đồng cấu K- không gian vectơ V Nếu có vectơ vô h-ớng K cho f() = , đ-ợc gọi giá trị riêng f đ-ợc gọi vectơ riêng f ứng với giá trị riêng Nh- việc tìm không gian ổn định chiều t-ơng đ-ơng với việc tìm vectơ riêng Nhận xét rằng: vectơ riêng f ứng với giá trị riêng với vectơ lập nên không gian vectơ ker(f - idV) 1.1.3 Định nghĩa Giả sử giá trị riêng tự đồng cấu f:VV Không gian vectơ ker(f - idV) gồm vectơ tất vectơ riêng f ứng với giá trị riêng đ-ợc gọi không gian riêng f ứng với giá trị riêng Vấn đề đặt làm để tìm giá trị riêng vectơ tự đồng cấu? Nhận xét giá trị riêng f ker(f-idV) Điều t-ơng đ-ơng với det(f - XidV) = Nói cách khác, nghiệm đa thức det(f - XidV) = với ẩn X 1.1.4 Định nghĩa Đa thøc bËc n cđa mét Èn X víi hƯ sè K: Pf(X)= det(f - XidV) đ-ợc gọi đa thức đặc tr-ng tự đồng cấu f Đa thức bËc n cđa mét Èn X víi hƯ sè K: PA(X) = det(A - XidV) đ-ợc gọi đa thức đặc tr-ng ma trận A Nghiệm đa thức đ-ợc gọi giá trị riêng A Trong thực hành, để tìm giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu f ng-ời ta có thuật toán nh- sau: B-ớc 1: Tìm ma trận A f mét c¬ së tïy ý (e1, …, en) V B-ớc 2: Tính đa thức đặc tr-ng det(A - XEn) B-ớc 3: Giải ph-ơng trình đa thức bậc n ®èi víi Èn X: det(A - XEn) = B-ớc 4: Giả sử nghiệm ph-ơng trình Giải ph-ơng trình tuyến tính suy biÕn (A - En)x = Gi¶ sư x0 = (x10, , xn0)t nghiệm không tầm th-ờng hệ Khi đó, = x10e1 ++ xn0en vectơ riêng f ứng với giá trị riêng 1.1.5 Dùng phần mềm Maple để tìm giá trị riêng vectơ riêng Cho ma trận M = (aij)n x n, dùng câu lệnh eigenvects để tìm giá trị riêng vectơ riêng: > with(linalg) : >M: = matrix(n, n, [a11, a12,…, ann]): >vp: = eigenvects(M); KÕt qu¶ Vp : = [1, s1, 1], …,[n, sn, n], giá trị riêng i có bội si, vectơ riêng t-ơng ứng i, i = 1, 2, …n a  a  b  VÝ dô: Cho ma trËn M =  b , dùng eigenvects để tìm giá trị a b a riêng vectơ riêng nh- sau: > with(linalg) : >M: = matrix(3, 3, [a+b, 0, a, 0, b, 0, a, 0, a+b]): >vp: = eigenvects(M); KÕt qu¶ Vp : = b, 2, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 2a+b, 1, 1, 0, 1 Nh- vËy ma trận M có giá trị riêng : b (bội 2) ứng với vectơ riêng (-1; 0; 1), (0; 1; 0) 2a+b (bội 1) ứng với vectơ riêng (1; 0; 1) 1.1.6 Mệnh đề Giả sử U không gian vectơ ổn định với tự đồng cÊu f:VV Gäi f : V / U  V / U , f     f  đồng cấu cảm sinh f Khi đó, đa thức đặc tr-ng f tích đa thức đặc tr-ng f U f Chøng minh Chän mét c¬ së bÊt kú (e1, …, em) U bổ sung để nhận đ-ợc mét c¬ së (e1, …, em, …, en) cđa V Vì U không gian ổn định f ma trận f sở nói có dạng B C , B ma trận f|U së (e1, …, em) V× e1 = A   0 D  …= em = U/V D ma trận f së (em+1, …, en) Râ rµng det(A - XEn) = det(B - XEm).det(D - XEn-m), nãi c¸ch kh¸c, ta cã : Pf  X   Pf  X Pf  X  U 1.2 Kh«ng gian ỉn định tự đồng cấu thực phức Trong phần này, ta xét hai tr-ờng hợp đặc biệt, K tr-ờng số thực hay tr-ờng số phức, để có thêm thông tin bổ sung nghiệm đa thức với hệ số tr-ờng Vì đa thức hệ số phức có nghiệm phức, nên ta có định lý sau 1.2.1.Định lý Mỗi tự đồng cấu không gian vectơ phức có giá trị riêng, có không gian ổn định chiều Chứng minh Giả sử tự đồng cấu f:VV không gian vectơ phức V có ma trận A sở (e1, , em) V Vì C tr-ờng đóng đại số nên ph-ơng trình đa thức với hệ số phøc Pf(X) = det(A XEn) = cã Ýt nhÊt nghiệm phức, ký hiệu Xét hệ ph-ơng trình tuyến tính (A - En )x = 0, x ẩn vectơ cột gồm n thành phần phức Vì det(A - En ) = nên hệ nói nghiệm tầm th-ờng x0 = (x10,…,xn0)t  Cn Khi ®ã    in1 xi0 ei vectơ riêng ứng với giá trị riêng Các đa thức hệ số thực có thĨ kh«ng cã nghiƯm thùc, nh-ng lu«n cã nghiƯm phøc Điều sở định lý sau đây: 1.2.2 Định lý Mỗi tự đồng cấu không gian vectơ thực có không gian ổn định hai chiều Chứng minh Giả sử V không gian vectơ thực, tự đồng cấu f:VV có ma trận A = (akj) sở (e1,en) V Khi đa thức đặc tr-ng Pf(X) = det(A - XEn)là đa thức với hệ số thực Nếu ph-ơng tr×nh det(A - XEn) = cã mét nghiƯm thùc f có vectơ riêng, có không gian ổn định chiều Trái lại, giả sử ph-ơng trình det(A - XEn) = nghiệm thùc Gäi  = a + ib lµ mét nghiƯm phức không thực nó, i đơn vị ảo, a, b R, b Ta xét hệ ph-ơng trình tuyến tính suy biến hƯ sè phøc (A - XEn)z = 0, ®ã z ẩn vectơ cột gồm n thành phần Gọi z0 = (z10,,zn0) Cn nghiệm không tầm th-ờng hệ Giả sử zj0 = xj0 + iyj0, (j = 1, 2, …, n) Ta cã  j a kj x 0j  a k0  by k0   j 1 akj z  z   j 1 akj ( x  iy )   ( x  iy ), (k  1, n)   a y  bx  ay  j kj j k k n j k n j j k k Đặt j x0j e j ,    j 1 y 0j e j V Các hệ thức t-ơng đ-ơng với n n  f ( )  a  b   f (  )  b  a Nghĩa L = L(, ) không gian ổn định f Ta khẳng định dim L(, ) =2 Giả sử trái lại dim L(, ) Vì z0 Do L(, ) = Nh- L không gian f - ổn định chiều, nói cách khác f có giá trị riêng thực Điều mâu thuẫn với giả thiết ph-ơng trình đặc tr-ng det(A-XEn) = nghiệm thực 1.2.3 Mệnh đề Mỗi tự đồng cấu không gian vectơ thực số chiều lẻ có không gian ổn định chiều Chứng minh Nếu không gian vectơ V có số chiều n lẻ, đa thức đặc tr-ng Pf(X) tự đồng cấu f có bậc lẻ, cụ thể n Do đa thøc nµy cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thùc ThËt vËy, giả sử trái lại Pf(X) nghiệm thực nµo NhËn xÐt r»ng: nÕu z = a + ib nghiệm Pf(X) liên hợp phức z = a-ib Hai nghiệm phân biệt, z không số thực Nh- vậy, n nghiệm phức Pf(X) đ-ợc ghép thành cặp liên hợp với Vì n số chẵn Điều mâu thuẫn với giả thiết Ta đà chứng minh đa thức đặc tr-ng Pf(X) có mét nghiƯm thùc VËy f cã Ýt nhÊt mét gi¸ trị riêng thực Do đó, có không gian ổn định chiều Ví dụ: Phép quay mặt phẳng R2 xung quanh gốc toạ độ gãc  cã  cos   sin   Đa thức đặc tr-ng sin cos ma trận sở tắc lµ: A   phÐp quay nµy lµ: cos   X sin   sin   (cos   X )  sin   X  X cos   cos   X BiÖt thøc ’ = cos2 - = -sin2 < nÕu   k V× thÕ, phép quay mặt phẳng R2 xung quanh gốc toạ độ góc vectơ riêng k Tuy nhiên, ta xét tự đồng cấu f C2 có ma trận A sở tắc, đa thức đặc tr-ng f đa thức nói Vậy f có hai giá trị riêng phức 1,2= cos isin Dễ thấy vectơ i riêng f ứng với giá trị riêng nói 24 số nguyên không âm k, ta có Ak = C-1JkC Từ đó, h(X) ®a thøc bÊt kú víi hƯ sè K th× h(A) = C-1h(J)C Cho nên h(A) = chØ nÕu h(J) = NhËn xÐt r»ng nÕu ma trận dạng chuẩn Jordan J có phân tích khối J = J1Jr, Ji khối Jordan, h(J) = h(J1) … h(Jr) Theo nhËn xÐt ë phÇn đầu chứng minh đa thức cấp nhỏ nhất, víi hƯ sè cao nhÊt b»ng 1, triƯt tiªu trªn J chÝnh lµ: h(X) = (X - 1 ) s1 (X- m ) sm , si cấp cao khối Jordan A với i đ-ờng chéo Hệ sau tiện lợi thực hành 2.3.7 Hệ Ma trận vuông AM(n x n, K) (t-ơng ứng, tự đồng cấu f K không gian vectơ V) chéo hoá đ-ợc (trên K) hai điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn: (i) Đa thức đặc tr-ng A (t-ơng ứng f) có đủ nghiệm Kkể bội (ii) Nếu 1,, m tất giá trị riêng khác A (t-ơng ứng f) ®a thøc (X - 1)…(X - m) triƯt tiªu trªn A (t-ơng ứng f) Chứng minh Ta chứng minh hệ cho ma trận, từ suy kết luận cho tự đồng cấu Nếu A chéo hoá đ-ợc K đ-ơng nhiên đa thức ®Ỉc tr-ng cđa nã cã ®đ nghiƯm K kĨ bội Hơn nữa, đa thức tối tiểu A A(X) = (X - 1)(X - m) Ng-ợc lại, giả sử hai điều kiện (i) (ii) đ-ợc nghiƯm ®óng Do ®iỊu kiƯn (i) ma trËn A ®-a đ-ợc dạng chuẩn Jordan Theo định lý 2.2.6 đa thøc tèi tiĨu cđa A chia hÕt cho ®a thøc (X - 1)…(X - m) V× thÕ, theo (ii) 25 định nghĩa đa thức tối tiểu, (X - 1)(X - m) đa thức tối tiểu A Nh- vËy cÊp cña mäi khèi Jordan cña A Nói cách khác, A chéo hoá đ-ợc Nhận xét: Hệ phát biểu d-ới dạng Ma trận A (tương ứng, tự đồng cấu f) chéo hoá đ-ợc K ®a thøc tèi tiĨu cđa nã cã ®đ nghiƯm vµ nghiệm đơn K" Tuy thế, ta ch-a biết cách tìm đa thức tối tiểu mà không dùng dạng chuẩn Jordan Nếu biết dạng chuẩn Jordan vấn đề chéo hoá đà đ-ợc trả lời t-ờng minh Cho nên, dạng vừa đ-ợc phát biểu hệ 2.3.8 khó áp dụng thực hành 2.4 Các tập áp dụng Bài tập Giả sử đa thức đặc tr-ng ma trận A vuông cấp n với phân tử số phức tuỳ ý có nghiệm bội s > , r hạng, d = n - r lµ sè khut cđa ma trËn A - 0I a Chøng minh r»ng 1< n r < s b Nêu ví dụ ma trận vuông cấp n mà d=1 d=s c Chứng minh A không suy biến đa thức đặc tr-ng ma trận nghịch đảo A-1 có nghiệm ®Ỉc tr-ng 0-1 béi s d Chøng minh r»ng ®a thức đặc tr-ng ma trận Ap có nghiệm đặc tr-ng 0p bội s Giải a Đặt B = A -  I ThÕ th× B  I  A  0I  I  A  (   )I VËy nÕu B  I cã nghiƯm  béi s th× A  I cã nghiƯm 0  0 béi s ThÕ th× B  I = ()n  C1 ()n 1   C n, Ck tổng định thức chÝnh cÊp k cña ma trËn B NÕu rank B = r th× C k = 0, k  r Do ®ã B  I cã nghiƯm béi s n - r Vậy theo điều kiện A  I 26 nghiÖm 0 béi  n  r Vậy n - r s Mặt khác, |B|=|A|-0I=0 nên rank B = r < n Do n  r   0 b LÊy A     0 a12 a13 a1n  a 23 a 2n   , ®ã ai,i+10, víi mäi i=1, …n   0  ThÕ th× rank B = rank(A-0I)=n-1, ®ã d =    LÊy A      0     , ®ã cã s phân tử đ-ờng chéo phân tử khác không, B=A-0I có hạng n - s, d = s c Ta cã A 1  I  () n A 1 A  I , A có nghiệm đặc tr-ng bội s A-1 có nghiệm đặc tr-ng 01 béi s d hiƯu k  cos Gi¶ sư 2k 2k  isin , p p A  I  (1  )(  ) ( n  ) (k = 0, , p Ký - 1) XÐt ®ã ta cã: A  k I  (1  k )(  k ) ( n   k ) ThÕ th×: p1 p 1 k 0 k 0  A  k I   1   k    k  n   k V× Ap   p I  (1P   p )( P2   p ) ( Pn   p ) Trong đẳng thức thay p ta cã: Ap  I  (1P   p )( P2   p ) ( nP   p ) VËy ma trËn Ap cã nghiÖm 0p béi s nÕu ma trËn A cã nghiƯm lµ  bội s Từ kết ta 27 suy Ap=0 số nguyên d-ơng p nghiệm đặc tr-ng A Bài tập Ma trận B nhận đ-ợc từ ma trận A cách đổi chỗ hàng i j đồng thời đổi chỗ cột i j Chứng minh A đồng dạng với B Giải Ma trận A vuông cấp n đ-ợc gọi đồng dạng với ma trận vuông B cấp n tồn ma trận không suy biến T cho B = T-1AT Việc đổi chỗ dòng thứ i dòng thứ j ma trận A thu đ-ợc cách nhân bên trái A với ma trận Pij, ®ã Pij = (pij) víi pkk = nÕu k  1, pij = pji = 1, cßn phần tử khác pij T-ơng tự, việc đổi chỗ cột thứ i cột thứ j ma trận A thu đ-ợc cách nhân bên phải A với ma trận Pij Dễ thấy Pij-1 = Pij, B thu đ-ợc từ A cách đổi chỗ dòng thứ i với dòng thứ j đổi chỗ cột thứ i với cột thứ j B = PijAPij nên B đồng dạng với A Bài tập Tìm ma trận đồng dạng với Giải Ma trận A đồng dạng với tồn ma trận không suy biến T cho A = T-1AT hay AT = TA LÊy T = Tij, i  j, ®ã Ti j= I + Iij, với I ma trận đơn vị, Iij ma trận mà giao điểm dòng thứ i cột thứ j 1, vị trí khác không Đẳng thức ATi j= TijA cho ta aii = aji aji = ( cách so sánh phần tử nằm dòng i cột j hai vế, phần tử nằm dòng i cột i hai vế) Vậy A = aI ma trận đồng dạng với Bài tập Chứng minh hệ số đa thức đặc tr-ng ma trận A mô tả nh- sau: A XE  ( X )n  c1 ( X )n1  c2 ( X )n2   cn , ck tổng tất định thøc chÝnh cÊp k cđa ma trËn A Gi¶i Đa thức đặc tr-ng ma trận A A  XE  f (X ) , ®ã f ( x)  ( X ) n  c1 ( X ) n1   cn Ta thÊy hệ số ck (-X)n-k tổng 28 định thức A XE chứa k phần tử đ-ờng chéo với X=0 Đó định thức cấp k ma trận A Bài tập Ta định nghĩa khối Jordan thuộc phần tử 0 lµ ma trËn Jordan cã  0  d¹ng J k    0 0   0   , chøng minh r»ng hai ma trËn Jordan ®ång  0  0 0  dạng chúng có khối Jordan nh- (không kể tính thứ tự) Giải Hai ma trận Jordan J J đồng dạng với JI J-I tương đương Điều xảy J J có nhân tử bất biến trùng Do theo J J có khối Jordan nh- Bµi tËp Chøng minh r»ng ma trËn A đồng dạng với ma trận Jordan đa thức đặc tr-ng ma trận A có nghiệm thuộc tr-ờng sở K Giải Nếu ma trận A đồng dạng với ma trận Jordan J đa thức đặc tr-ng A I J  I cã cïng nghiƯm Nh-ng c¸c nghiƯm cđa J I phần tử nằm đ-ờng chéo J, chúng thuộc tr-ờng sở K Đảo lại, A I có nghiệm thuộc tr-ờng sở K giả sử nhân tư bÊt biÕn kh¸c cđa ma trËn A  I En(),,En-k() :|A-I) = (-1)n En()En-1() En-k() phân tích đ-ợc thành nhân tử tuyến tính, chẳng hạn : E n ( )  (  1 ) n1 (  2 ) m1 E n 1 ( )  (  1 ) n2 (  2 ) m2  E n  k ( )  (  1 ) nk 1 (  2 ) mk 29 số ni , mi  0, ni  ni 1 , m j  m j 1 LËp ma trËn Jordan nh- sau: øng víi nh©n tư (  1 ) n lËp khèi Jordan cÊp n1 thc ph©n tư 1, øng víi nh©n tư (  2 ) m lËp khèi Jordan cÊp m1 thc ph©n tư 2 ThÕ A-I t-ơng đ-ơng với J - I Do A J đồng dạng Bài tập Tìm dạng chuẩn Jordan bình ph-ơng khối Jordan cấp n phụ thuộc phần tử không Giải Nếu n > cấp khối Jordan A phụ thuộc phần tử không , dạng chuẩn Jordan ma trận A2 gồm hai khối Jordan phụ thuộc phần tử không, khối có cấp t-ơng ứng t-ơng ứng n n chẵn; khối có cấp n n n lẻ 2 Bài tập Chứng minh đa thức đặc tr-ng ma trËn vu«ng cÊp n cã n nghiƯm thùc (kĨ bội số) ma trận đ-a đ-ợc dạng chuẩn Jordan Giải Giả sử A ma trận vuông cấp n A I ( 1 ) m1 (  t ) mt , m1 mt n Xét không gian Wk j NÕu   i  Wi hệ vectơ i | i 1, r độc lập tuyến tính Ta chứng minh toán ph-ơng pháp qui nạp Thật vậy, với r=1, điều khẳng định r Giả sử điều khẳng định víi r-1 vµ s  i 1 i i  (1) Vì f k r id lũy linh nên tồn q cho f k r id q  r   Hơn f k r id tự đơn cÊu cđa Wi j v× nÕu f  k r id   r   th× f ( i )  k r  i  (k i  k r ) i  , nh-ng k i  k r nªn  i  , nghĩa f k r id đơn cấu Tác động f k r id q vào hai vế r (1) ta đ-ợc si  i  , ®ã  i  f  k r id q  i   Theo gi¶ thiÕt qui i 1 30 r nạp si=0, i=1, , r-1.Thay vào (1) suy s1=0 Từ suy W i i tổng trực r tiếp Vì dimWi=mi n=m1++ mr nên V Wi Đối với sở gồm i hệ vectơ xyclic đà chọn cho Wi ta đ-ợc sở V mà ma trận f có dạng chuẩn Jordan Bài tập Ma trận A có vô h-ớng a1, a2,,an nằm đ-ờng chéo thứ hai (theo thứ tự từ hàng tới hàng n) tất phần tử khác Tìm điều kiện để A chéo hoá đ-ợc Giải Giả sử A ma trận vuông đà cho có dạng chuẩn Jordan B B1   i  , víi c¸c khèi Jordan Bi      Bk i B2 2,,k, A=TBT-1 Giả sư H i  víi Bi vµ H  H1   H2                i     , i=1, i lµ ma trận vuông cấp Khi Bi=Hi-1BiHi Do B=H-1BH Hk nên A=T-1H-1BHT=T-1H-1T-1ATHT= C-1AC, C = THT ma trận đối xứng không suy biến Nếu đặt D = CA D=AC-1= C-1ACC-1=D, nghĩa D ma trận đối xứng A = CD Bài tập 10 Tìm dạng chuẩn Jordan ma trận sau đây: 31 0  0  0   0 0  A   1   0 0  1  0 Giải Đa thức đặc tr-ng  1 0 1  det  A  I   0  0 0  1 1  0  0 0  (1) n (1   ) n 1 Đa thức đặc tr-ng có ®đ n nghiƯm thùc 1  2   n nên A đồng dạng với ma trËn Jordan 1 1  0 J   0  0 0  0 0 0 1 0   0 0 0  0  1 Bµi tập 11 Tìm giá trị riêng ma trận cấp n sau đây: A=    0 0  1 0   0    0 0  Gi¶i.Tr-íc hÕt ta gi¶i toán tổng quát sau: 32 y Tìm giá trị riêng ma trận A y   y  y y x x x a x x x x x  x x  y x    y y a x ya a x Tính định thức: Dn  y y a x  y y y a x x 0 y  a a  x ya x 0 ax  (1) n 1 x(y  a) n 1  (a  x)D n 1  (1) 2n x(a  y) n 1  (a  x)D n 1  x(a  y) n 1  (a  x)D n 1  x(a  y) n 1  (a  x)  x(a  y) n 2  (a  x)D n 2   x(a  y) n 1  x(a  x)(a  y) n 2  (a  x) D n 2  x (a  y) n 1  (a  x)(a  y) n 2  (a  x) (a  y) n 3  n 3  (a  x) n 3 D  x (a  y) n 1  (a  x)(a  y) n 2  (a  x) (a  y) n 3   (a  x) n 1   (a  x) n x(a  y) n  (a  x) n x(a  y) n  y(a  x) n n   (a  x)  xy xy Tìm giá trị riêng: (bằng cách thay a = - vào công thức trên) x  y  y    x  det  (A        x( + y)n = y( + x)n xy n n x x x x   n   K , (k  0,1 ,n  1)   y y y y   ya k  x (k  0,1 n  1)   k 33 Thay x = -1, y = ta cã  k  n 1 n  1 (k = 0, 1, , n - 1).Vectơ riêng t-ơng ứng: x = (u, u + v, v, v) = (u, u, 0, 0) + (0, v, v, v)  Mét sở không gian riêng là: = (1; 1; 0; 0); 2 = (0; 1; 1; 1) - Với 2= ta có hệ ph-ơng trình x1    x1  x   x     Vect¬ riêng t-ơng (A 2I)x x  x  x     x1  x  x  x   x  x øng x = (0; 0; u; u) = u(0; 0; 0; 1) Một sở không gian riêng 3= (0; 0; 0; 1) 1 T 0  0 0 0 1 0   1 0 1  T  0 1 1 0   1 1  0 1 1 0 1 B  T AT   0  0 0   0  1 0 0 0  0  0 Bài tập 12 Giả sử V1,Vk không gian riêng tự đồng cấu f : V V ứng với giá trị riêng đôi kh¸c 1 , k Chøng minh r»ng tỉng V1 ++ Vk tổng trực tiếp Giải Tr-ớc hết ta chứng minh toán phụ sau đây: Giả sử , , k vectơ riêng cđa tù ®ång cÊu f : V  V øng với giá trị riêng đôi khác , , k Khi đó, véctơ , ,  k ®éc lËp tuyÕn tÝnh 34 ThËt vậy, toán đ-ợc chứng minh quy nạp theo k Với k=1, vectơ riêng , nên hệ gồm vectơ độc lập tuyến tính Giả sử quy nạp định lý đà đ-ợc chứng minh cho hệ gồm k-1 vectơ Bây ta giả sư cã mét rµng bc tun tÝnh a11   ak k  , ®ã a1 , ak K Tác động f vào hai vế đẳng thức trên, ta nhận đ-ợc a1 f (1 )  ak f ( k )  a111  ak k k Nhân đẳng thức thứ với k trừ vào đẳng thức thø hai, ta cã: a1 (1  k )1   ak 1 (k 1  k ) k Theo giả thiết quy nạp, vectơ , , k độc lập tuyến tÝnh, cho nªn: a1 (1  k ) ak 1 (k 1  k )  Tõ ®ã, i  k  0(i  1, , k 1) nªn a1 = … = ak-1 = Thay giá trị vào đẳng thức đầu tiên, ta thu đ-ợc ak k Vì vectơ riêng k nên ak = Tóm lại a1 == ak-1 = ak = Điều chứng tỏ hệ vectơ , , k hệ độc lập tuyến tính áp dụng toán ta có Vi V j   0 , víi mäi i = 1,…,k VËy tỉng  j i  V1 + …+ Vk lµ tổng trực tiếp Bài tập 13 Tự đồng cÊu f : V  V cã tÝnh chÊt f2 = f Chứng minh f chéo hoá đ-ợc Giải Đặt U = Imf vµ W = kerf Ta sÏ chøng minh r»ng V=U  W vµ f = prU lµ phép chiếu từ V lên U theo ph-ơng W Tr-ớc hết, nhắc lại U W không gian f-ổn định Giả sử U W Vì W , nên f ( ) Mặt khác U imf nên f ( ) với thuộc V Ta cã f ( )  f ( f ( ))  f ( )  f ( )  Kết hợp hai kiện trên, ta có   f ( )  VËy U W ỗi vectơ V có thĨ ph©n 35 tÝch   f ( )  (  f ( )), ®ã f ( ) U vµ   f ( ) W ThËt vËy, f( f()) = f() ‟ f2() = f() ‟ f() = óm lại, ta đà chứng minh V=U W Giả sử (e1,,em) sở U, (ở m = U = {0}) Trong phần ta f |U id u Vì vectơ e1, , em vectơ riêng f ứng với giá trị riêng Giả sử (em+1,, en) sở W, (ở n - m = W={0}) Vì W = Kerf, nên vectơ em+1,, en vectơ riêng f ứng với giá trị riêng 0.Bởi V=U W, (e1,,em, em+1,, en) sở V gồm toàn vec tơ riêng f Điều có nghĩa f chéo hoá đ-ợc 36 Kết luận Luận văn sâu tìm hiểu số vấn đề cấu trúc tính chất tự đồng cấu không gian tuyến tính nh-: - Tù ®ång cÊu lịy linh - Ma trËn chn Jordan tự đồng cấu - Định lý Cayley Hamiltơn, đa thức tối tiểu ma trận ứng dụng Luận văn tìm tòi số ứng dụng vấn đề nêu hệ thống tập có liên quan Luận văn thực số tính toán minh họa Maple ma trận tự đồng cấu không gian tuyến tính 37 Tài liệu tham kh¶o TiÕng viƯt [1] G Birkhoff, S Maclane (1979), Tổng quan đại số đại (Bản dịch tiếng Việt), NXB ĐH THCN, Hà Nội [2] Đoàn Quỳnh, (1996), Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Ngô Thúc Lanh, (1970), Đại số tuyến tính, NXB ĐH THCN, Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Việt H-ng, (2001), Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [5] R Hartshorne (1977), Algebra Geometry, Springer [6] S Lang, (1965), Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Massachusetts [7] Van der Waerden, (1955), Algebra, Springer, Berlin 38 Mục lục Mở đầu Ch-ơng Về tự đồng cấu không gian tuyến tính 1.1 Các kiến thức sở tự đồng cấu không gian vectơ 1.2 Không gian ổn định tự đồng cấu thực phức Ch-ơng Tự đồng cấu luỹ linh 10 2.1 Tù ®ång cÊu lịy linh 10 2.2 Ma trËn chuÈn Jordan cđa tù ®ång cÊu 13 2.3 Định lý Cayley Hamilton 20 2.4 Các tËp øng dông 25 KÕt luËn 36 Tµi liƯu tham kh¶o 37 ... Ch-ơng Về tự đồng cấu không gian tuyến tính 1.1 Các kiến thức sở tự đồng cấu không gian vectơ 1.2 Không gian ổn định tự đồng cấu thực phức Ch-ơng Tự đồng cấu luỹ linh 10... sở tự đồng cấu không gian vectơ Mục đích ch-ơng tìm cho tự đồng cấu (trong tr-ờng hợp đ-ợc) sở không gian, cho sở tự đồng cấu có ma trận đơn giản Giả sử V không gian vectơ tr-ờng K, f:VV tự đồng. .. Ch-ơng 1: Trình bày tự đồng cấu không gian vectơ Ch-ơng 2: Trình bày tự đồng cấu lũy linh, ma trận Jordan tự đồng cấu, định lý Cayley Hamilton, đa thức tối tiểu tự đồng cấu f không gian vectơ V tập