ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC HÀ THỊ THÙY LIÊN KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHỈ SỐ 2 Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ[.]
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC HÀ THỊ THÙY LIÊN KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CĨ CHỈ SỐ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hồng Nam THANH HĨA, NĂM 2013 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình khoa học cơng bố Người cam đoan Hà Thị Thùy Liên ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa tự nhiên trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Hoàng Nam - trường đại học Hồng Đức Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phận quản lý đào tạo sau đại học thuộc phòng Đào tạo, mơn Giải tích Khoa tự nhiên trường đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng cám ơn đến đồng nghiệp tạo điều kiện thời gian cho tơi n tâm học tập, nghiên cứu, hồn thành luận văn tốt nghiệp Thanh Hóa, tháng 11 năm 2013 Tác Giả Hà Thị Thùy Liên iii MỤC LỤC Mở đầu Chương Phương trình vi phân đại số 1.1 Chỉ số ma trận 1.2 Nghịch đảo suy rộng 1.3 Phương trình vi phân đại số 11 Chương Khơng gian tuyến tính phương trình vi phân đại số có số 19 2.1 Chỉ số phương trình liên hợp 19 2.2 Phép chiếu Πcan Π∗can 28 2.3 Nghiệm phương trình vi phân đại số có số 29 2.3.1.Khơng gian tuyến tính phương trình vi phân đại số có số 29 2.3.2 Khơng gian tuyến tính phương trình vi phân đại số có số khơng 34 2.3.3 Sự biểu diễn imΠcan 36 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iv MỘT SỐ KÍ HIỆU L(Rm ) := L(Rm , Rm )-Tập tốn tử tuyến tính liên tục Rm im(A) - Ảnh ma trận A ker(A) - Không gian không A detA - Định thức ma trận A indA - Chỉ số ma trận A rankA - Hạng ma trận A ind(A, B) - Chỉ số cặp ma trận (A, B) C(R+ , L(Rm ))-Tập ma trận hàm liên tục cấp m xác định R+ C(R+ , Rm )-Tập véctơ hàm liên tục Rm xác định R+ C i (R+ , L(Rm ))-Tập ma trận hàm Rm khả vi liên tục cấp i xác định R+ C (R+ , Rm )-Tập ma trận hàm khả vi liên tục Rm xác định R+ Qs - Phép chiếu tắc lên N (t) dọc S(t) Ps := I − Qs - Phép chiếu tắc lên S(t) dọc N (t) U (t) = [u1 (t), , um (t)] - Ma trận U (t) tạo vecto cột hs, vis := hSz, vi - Tích vơ hướng 1/2 |z|s := hz, zis - Chuẩn véctơ z diag{A1 , A2 , , An } - Ma trận chéo ma trận vuông A1 , , An Πcan (t): Phép chiếu tắc phương trình đại số có số lên S1 (t) dọc theo N1 (t) MỞ ĐẦU Trong thực tiễn nay, có nhiều vấn đề, chẳng hạn mô tả hệ động lực, hệ thống mạng điện, hay vấn đề lý thuyết điều khiển, đòi hỏi phải quan tâm giải hệ phương trình vi phân đại số dạng Ax0 + Bx = A, B ma trận hệ số thực ma trận hàm liên tục cấp m với detA = Chính mà phương trình vi phân đại số hướng nghiên cứu mở, nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm gần Ngay từ cuối năm 70 đầu năm 80 kỉ XX có nhiều nhà tốn học giới nghiên cứu phương trình vi phân đại số, số nhà tốn học thuộc Đại học Humbodt Berlin CHLB Đức, nhóm nhà tốn học Nga, Ba Lan, Mỹ số nước khác Ở nước ta, vào năm 90 kỉ XX có số nhà tốn học thuộc Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam nghiên cứu phương trình vi phân đại số Một cách phân lớp khác phương trình vi phân đại số dựa vào khái niệm số chúng, phương trình vi phân thường (detA 6= 0), ta đưa dạng x0 = A−1 Bx đặc trưng số Những phương trình vi phân đại số đặc trưng số 1,2, Phương trình vi phân đại số “chuyển được” có số lớp phương trình vi phân đại số đơn giản nhất, phương trình cách sử dụng số phép chiếu ta phân rã chúng hệ gồm nhiều phương trình vi phân thường phương trình đại số Để nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số cao, ta dùng phương pháp hạ số để quy phương trình vi phân đại số có số thấp hơn, hướng nghiên cứu phương trình vi phân đại số chủ yếu nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số 2, dạng A(t)x0 + B(t)x = 0, t ∈ [t0 , +∞) (1) với ma trận hệ số A(t) suy biến với t ∈ [t0 , +∞) Trong thời gian qua có nhiều kết thu phương trình vi phân đại số Chẳng hạn kết nghiệm, tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ phương trình vi phân đại số có số thấp (phương trình vi phân đại số có số 1, 2), tiêu chuẩn ổn định phương trình vi phân đại số có số 1, tính ổn định hệ có nhiễu nhỏ, tính nhị phân phương trình vi phân đại số, Đối với phương trình vi phân đại số, với số điều kiện định ta chuyển hệ, gồm hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình đại số Đã có nhiều nghiên cứu nghiệm, khơng gian nghiệm phương trình vi phân đại số có số 1,2 Trong luận văn muốn tập trung nghiên cứu sâu thêm khơng gian tuyến tính phương trình vi phân đại số có số 2, tơi chọn đề tài "Khơng gian tuyến tính phương trình vi phân đại số có số 2" Nội dung nghiên cứu luận văn này, chủ yếu sâu nghiên cứu khơng gian nghiệm tuyến tính phương trình vi phân đại số có số Luận văn cấu trúc sau - Mở đầu; - Chương I: Phương trình vi phân đại số; - Chương II: Khơng gian tuyến tính phương trình vi phân đại số có số 2; - Kết luận; - Tài liệu tham khảo Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Chỉ số ma trận Định nghĩa 1.1.1 Phép chiếu P ∈ L(Rm , Rm ) (viết gọn P ∈ L(Rm )) m × m-ma trận P cho P = P Đối với phép chiếu P ta ln có hệ thức imP ⊕ kerP = Rm Ngược lại, với phân tích Rm thành tổng trực tiếp hai không gian Rm = U ⊕ V tồn phép chiếu P cho im(P ) = U ker(P ) = V Khi phép chiếu P gọi phép chiếu lên U dọc V Q = I˘P phép chiếu lên V dọc U Với ma trận A ∈ L(Rm ), ta có im(A) + ker(A) ⊂ Rm Ngồi ra, im(A) ∩ ker(A) = {0} im(A) + ker(A) = im(A) ⊕ ker(A) = Rm Với số tự nhiên k ta ln có ker(Ak ) ⊇ ker(Ak−1 ) im(Ak ) ⊆ im(Ak−1 ) Ngoài ra, với k ∈ N, ker(Ak−1 ) ⊆ ker(Ak ) ker(Al−1 ) ⊆ ker(Al ) với l ∈ N, l ≥ k Khi đó, với k ∈ Rm : ker(Ak−1 ) = ker(Ak ) ⇔ dim(ker(Ak−1 )) = dim(ker(Ak )) Ngược lại, im(Ak ) ∈ im(ak−1 ) nên hệ thức ker(Ak−1 ) = ker(Ak ) ⇔ im(Ak−1 ) = im(Ak ) Do A0 = I, ta có hệ thức sau Rm = im(A0 ) ⊃ im(A1 ) ⊃ im(A2 ) ⊃ ⊃ im(Ak ) = im(Ak+1 ) = {0} = ker(A0 ) ⊂ ker(A1 ) ⊂ ker(A2 ) ⊂ ⊂ ker(Ak ) = ker(Ak+1 ) = Định nghĩa 1.1.2 Với (m × m)- ma trận A, số ma trận A số tự nhiên k ∈ R nhỏ cho ker(Ak ) = ker(Ak+1 ) Hay là, ma trận A gọi có số k k số tự nhiên bé thỏa mãn imC k = imC k+1 Ký hiệu ind(A) = min{k : ker(Ak ) = ker(Ak+1 )} Ta có im(Al ) + ker(Al ) ⊂ Rm , với < < ind(A), l ∈ R im(Ak ) + ker(Ak ) = im(Ak ) ⊕ ker(Ak ) = Rm , với k ≥ indA Với cặp ma trận (A, B) ta xét hàm η(z) := det(zA + B) Rõ ràng η đa thức z deg(det(zA + B)) ≤ rank(A) Định nghĩa 1.1.3 Cặp ma trận (A, B) gọi quy tồn z ∈ R cho det(zA + B) 6= Trong trường hợp ngược lại ta gọi cặp (A, B) suy biến Chú ý: Nếu cặp ma trận (A, B) quy det(cA + B) 6= 0, với hầu hết giá trị c ∈ R Định nghĩa 1.1.4 [4] Nếu cặp ma trận (A, B) quy det(cA+B) 6= ind((cA + B)−1 A) gọi số cặp ma trận (A, B) Kí hiệu: ind(A, B) := ind((cA + B)−1 A) 24 thỏa mãn điều kiện (I − Πcan (t))y(t) = q T Π y(t) can = Để tính biểu thức Πcan = Πcan P = Πcan A+ A, phương trình cuối biểu diễn dạng sau φT0 A(t)y(t) = 0, (2.5) đó, φT0 = q T Πcan (t)A+ (t) Rõ ràng phương trình (2.1) kéo theo Q∗ By = Bởi = QT∗1 AT∗1 = QT∗1 (A − Q∗ B), nên QT∗1 Ay = QT∗1 Q∗ By = Phương trình (2.5) viết lại sau T φT0 A(t)y(t) = φT0 P∗1 (t)A(t)y(t) T = φT0 P∗1 P∗ (t)A(t)y(t) = φT0 Π∗can (t)A(t)y(t) = Giả sử φ(t0 ) := Π∗can φ0 Mỗi vectơ cột φ(t0 ) giá trị ban đầu phù hợp phương tình liên hợp (2.2) Như vậy, cột φ cịn lại phải độc lập tuyến tính I với nghiệm y ∈ CA1 := {y ∈ C\(P y) ∈ C } (2.1) φ (2.2) Ta có (φT (t)A(t)y(t))0 = (φ(t)T A(t))0 P (t)y(t) + φ(t)T A(t)(P (t)y(t))0 = φT (t)B(t)P (t)y(t) − φT (t)(B(t) − A(t)P (t))y(t) = −φT (t)B(t)Q(t)y(t) + φT (t)A(t)P (t)y(t) = −(φT (t)A(t))0 Q(t)y(t) + φT (t)A(t)P (t)y(t) = φT (t)A(t)Q0 (t)y(t) + φT (t)A(t)P (t)y(t) = 25 Do đó, φT Ay ≡ Đối với suy luận trực tiếp khác chứng minh, ta giả thiết khơng gian tuyến tính M hàm φ với tính chất (i) − (iii) cho trước Khi đó, φ = Π∗can φ AT φ nghiệm phương trình vi phân (AT φ)0 − B T Π∗can AT + AT φ = Do đó, rankφT ≡ K, M (t) có kích thước k với t ∈ I Với thời gian t cố định ta xét sở {y (t), y (t), , y k (t)} M (t) Mỗi vectơ sở giá trị ban đầu phù hợp đồi với phương trình vi phân đại số (2.1) Tập hợp tuyến tính bao gồm nghiệm giá trị đầu chứa chiều khoảng nghiệm Do đó, M (t) = span{y (t), y (t), , y k (t)}, với t, nghĩa M = span{y , , y k } ♦ Hệ 2.3.2 Với (I − Πcan )y = 0, điều kiện sau tương đương (i) P P1 y = 0, T (ii) P∗1 P∗ AP P1 y = 0, (iii) ΠT∗can AP P1 y = Nhận xét Giả sử Q∗ B ∈ C Q∗1 (t) phép chiếu khả vi tùy ý lên N1 (t) Khi đó, khơng gian M (t) mơ tả dễ dàng nghiệm hệ phương trình φT (t)A(t)y(t) = Q∗ (t)B(t)y(t) = QT∗1 (t)[P∗ (t)B(t) − (Q∗ (t)B(t))0 ]y(t) = 26 A1 (t) = A(t) + B0 (t)Q(t), B0 (t) = B(t) − A(t)P (t), N (t) = ker A(t), S(t) = {Z ∈ C m : B(t)Z ∈ imA(t)}, N1 (t) = ker A1 (t), S1 (t) = {Z ∈ C m : B(t)P (t)Z ∈ imA1 (t)}, Q(t) phép chiếu lên N (t) = ker A(t), ∀t ∈ I, P (t) = I − Q(t) Ví dụ Xét phương trình 0 x x 0 1 1 0 t x02 + 0 0 x2 = x03 0 x3 0 0 0 với A(t) = 0 t , B(t) = 0 0 0 0 Ta có A(t) ∈ C1 (I, L(C3 )), B(t) ∈ C(I, L(C3 )) + N (t) = ker A(t) = {x ∈ C3 : A(t)x = 0}, ta có 0 x1 x1 x1 A(t) = 0 t x2 = tx3 = 0 ⇒ tx 0 x3 0 ⇒ N (t) = {(0, x2 , 0)T } + S(t) = {z ∈ C3 : Bz ∈ imA} ⇒ ∃x ∈ C3 : Bz = Ax, =0 =0 ⇒ x1 =0 x =0 27 x 0 z 0 1 1 ⇔ 0 0 z2 = 0 t x2 x3 0 z3 0 x z 1 ⇔ z2 = tx3 ⇒ z3 = z3 T T ⇒ S(t) = {(x 6= {0}} , x2 , 0) } x2 , 0) ⇒ N (t) ∩ S(t) = {(0, 0 0 + Chọn Q = 0 1 ⇒ P = I − Q = 0 −1 0 0 Bằng tính tốn ta có kếtquả sau 0 + B0 = B(t) − A(t)P (t) = 0 0 0 0 ⇒ A1 (t) = A(t) + B0 (t)Q(t) = 0 t + 1 0 + N1 (t) = {x ∈ C : A1 (t)x = 0} = ker A1 (t) 0 x x1 1 + A1 (t)x = 0 t + 1 x2 = x2 + (t + 1)x3 0 0 x3 0 x1 =0 ⇔ ⇒ N1 (t) = {(0, −(t + 1)x3 , x3 )T } x (t + 1)x = 0 + S1 (t) = {zz ∈ C : B(t)x ∈ imA1 (t)}, ta có B(t)P (t) = 0 −1 0 28 x 0 z 0 1 1 ⇒ ∃x ∈ C3 : 0 −1 z2 = 0 t + 1 x2 x3 0 z3 0 x1 z ⇔ −z2 = x2 + (t + 1)x3 ⇒ z3 = z3 ⇒ S1 (t) = {(x1 , x2 , 0)T } ⇒ N1 (t) ∩ S1 (t) = {0} phương trình ban đầu có số 2.3.2 Khơng gian tuyến tính phương trình vi phân đại số có số khơng Tương tự hệ phương trình nhất, ta xét phương trình vi phân đại số khơng có số Ay + by = f (2.6) Phương trình vi phân đại số hóa [3] ta áp dụng Định lý trường hợp đặc biệt A B −f ˆy + B ˆ yˆ0 = 0; Aˆ = ˆ= ;B Aˆ 0 (2.7) Vectơ y¯ có kích thước lớn vectơ y, điều có nghĩa chúng có kích thước (m + 1) Phương trình vi phân đại số (2.6) (2.7) tương đương với theo nghĩa sau, nghiệm (2.7) trường hợp nghiệm (2.6) ngược lại Để áp dụng Định lý 2, ta tính phép chiếu ma trận P A , Aˆ1 = Pˆ = 1 29 ˆ1 = Q Q1 −Q1 G−1 f ˆ2 = ;G G2 −B0 P Q1 G−1 f , Từ suy −1 −1 −1 Π QP1 G2 f + (QQ1 G2 f ) + (I − (QQ1 ) )P Q1 G2 f ˆ can = can Π ˆ (k + 1)-không gian nghiệm phương trình vi phân đại số Giả sử M hóa (2.7) Theo Định lý 2, tồn hàm φˆ với đặc ˆ Giả sử φˆT = (φT \ − h) tính đề cập định lý đó, K = K nghiệm phương trình liên hợp với phương trình vi phân đại số hóa (2.7) Khi φˆT = (φT \ − h) thỏa mãn phương trình vi phân AT φ0 − (B T − AT )φ = h0 − φT f = Khi đó, yˆ nghiệm (2.7) −1 0 −1 (I − Πcan )y = QP1 G−1 f + (QQ1 G2 f ) + (I − (QQ1 ) )P Q1 G2 f Những điều kiện để lại biến đổi hệ khơng hóa (2.6) I − Πcan )y = QP1 G−1 f ym+1 , φT Ay = hym+1 ˆ ym+1 ≡ k Sử dụng tính tốn ym+1 ≡ nghĩa không gian M chiều, ta thu kết sau Định lí 2.3.3 [8] M khơng gian afin k chiều nghiệm phương trình (2.6) tồn (m × k)- hàm giá trị ma trận φ, K = rankP P1 − k hàm vecto h xác định I cho 30 rankφ(t) ≡ K với t ∈ I, ta có M (t) = {ξ ∈ Rm |φT (t)A(t)ξ = h(t) −1 0 −1 (I − Πcan (t))ξ = (QP1 G−1 f + (QQ1 G2 f ) + (I − (QQ1 ) )P Q1 G2 f )(t)} φ h thỏa mãn hệ phương trình sau AT φ0 − (B T − AT φ) = h0 − φT f = Nhận xét Nếu Q∗ B, Q∗ f ∈ C1 Q∗1 (t) phép chiếu khả vi lên N1 (t), đó, tập hợp M (t) dễ dàng biểu diễn thông qua Định lý 13 Chú ý 14, nghiệm hệ phương trình φT (t)A(t)y(t) = h(t), Q∗ (t)B(t)y(t) = Q∗ (t)f (t) QT∗1 (t)[P∗ (t)B(t) − (Q∗ (t)B(t))0 ]y(t) = QT∗1 (t)[P∗ (t)f (t) − (Q∗ (t)f (t))0 ] 2.3.3 Sự biểu diễn imΠcan Rõ ràng rằng, AT∗1 ma trận hệ số đầu sau giản ước phương trình (1) giúp cho việc chứng minh định lý giản ước sau Định lí 2.3.4 [8] Giả sử Q∗ B QT∗1 [P∗ B − (Q∗ B)0 ] khả vi Khi đó, phương trình vi phân đại số Ay + By = 31 tương đương với phương trình vi phân thường qui tường minh (A − Q∗ B − QT∗1 [P∗ B − (Q∗ B)0 ])y + T +(P∗1 (Q∗ B)0 ) − (2.8) (QT∗1 [P∗ B 0 − (Q∗ B) ] )y = với điều kiện QT∗1 (t¯)[P∗ (t¯)B(t¯) − (Q∗ (t¯)B(t¯))0 ]y(t¯) = 0, t¯ ∈ I (2.9) Q∗ (t¯)B(t¯)y(t¯) = 0, t¯ ∈ I (2.10) Chứng minh Theo Định lí 2.1.1, phương trinh vi phân đại số (2.2) AT φ0 − (B T − AT )φ = có số Nhân phương trình vi phân đại số Ay + By = với Q∗ , từ vế trái ta có Q∗ By = Q∗ B0 y = 0, (A − Q∗ B)y + (P∗ B − (Q∗ B)0 )y = (2.11) Q∗ (tˆ)B(tˆ)y(tˆ) = với tˆ ∈ I Một biến đổi tương đương khác phương trình (2.1) ta nhân vào bên trái phương trình vi phân đại số (2.11) với Q∗ (Q∗ By)0 = Q0∗ Q∗ By Theo điều kiện (2.10), thời điểm tˆ Q∗ By ≡ thu phương trình vi phân đại số cho (xem [5]) Ma trận đầu phương trình (2.11) AT∗1 Nhân với QT∗1 phương trình (2.9) cuối cùng, ta có hệ tương đương (A − Q∗ B − QT∗1 [P∗ B − (Q∗ B)0 ])y + 32 T + (P∗1 (P∗ B − (Q∗ B)0 ) − (QT∗1 )[P∗ B − (Q∗ B)0 ]0 )y = 0, QT∗1 (tˆ)[P∗ B(tˆ) − (Q∗ (tˆ)B(tˆ))0 ]y(tˆ) = 0, Q∗ (tˆ)B(tˆ)y(tˆ) = 0, với tˆ ∈ I Sự tương đương tương tự Còn lại, ta phải G∗2 = AT − B T Q∗ − (B T P∗ − (B T Q∗ )0 )Q∗1 khơng suy biến Ta có G∗2 = AT − B T Q∗ − (B T P∗ − (B T Q∗ )0 )Q∗1 = G∗2 + (B T Q∗ )0 Q∗1 − AT P∗ Q∗1 = G∗2 − A0∗1 Q∗1 + AT P∗0 Q∗1 = G∗2 + A∗1 Q0∗1 Q∗1 + AT P∗0 Q∗1 = G∗2 (I + P∗1 (Q0∗1 + P∗ P∗0 )Q∗1 ) Hai ma trận kết không suy biến, G∗2 khơng suy biến Phương trinh vi phân (2.8) phương trình vi phân qui ♦ cho dạng tường minh Hệ 2.3.5 Với giả thiết tính trơn tương tự, phương trình vi phân đại số AT φ0 − (B T − AT )φ = tương đương với phương trinh vi phân thường cho dạng tường minh (AT + QB0T + QT1 [P (B T − AT ) − (QB0T )0 ])− 0 −(P1T P (B T − AT ) − (QB0T )0 ) − (QT1 [P (B T − AT ) − (QB0T )0 ])0 φ = 0, (2.12) 33 với điều kiện QT1 (tˆ)[P (tˆ)(B T (tˆ) − AT (tˆ)) − (Q(tˆ)B0T (tˆ))0 ]φ(tˆ) = 0, tˆ ∈ I, Q(tˆ)(B T (tˆ) − AT (tˆ))φ(tˆ) = 0, tˆ ∈ I Chứng minh Rõ ràng (B − A0 )Q = B0 Q Các bước chứng minh khác thực Định lý 2.3.4 ♦ Chú ý Các phương trình (2.9) (2.10) xem phương trình bổ sung thay cho điều kiện đầu Chúng xác định đa tạp mà nghiệm phương trình (2.8) thuộc đa tạp Để xác định đa tạp, giả thiết làm yếu nghĩa cần Q∗ B ∈ C1 đủ Bổ đề 2.3.6 Một mệnh đề tương tự áp dụng cho phương trình liên hợp (2.2) điều kiện P∗ P∗1 y0 = P P1 y , (2.13) QT1 [P∗ Q − (Q∗ B)0 ]y = 0, (2.14) Q∗ By0 = 0, (2.15) tập hợp đầy đủ giá trị ban đầu phương trình vi phân (2.8) Bao gồm phương trình xác định không mâu thuẫn với Mặt khác, điều giá trị ban đầu phù hợp phương trình (2.1), nghĩa y0 = Πcan y (tất hàm ma trận ta bỏ thời gian t) 34 Chú ý Một trình bày tương từ áp dụng với tốn liên hợp (2.2) điều kiện P∗ P∗1 φ0 = P P1 φ0 , QT1 [P (B T − AT ) − (Q∗ B0T )0 ]φ0 ≡ Q(B T − AT )φ0 = Chứng minh Từ Q∗ P y0 = 0, kéo theo By0 ∈ imP∗ = imAA+ , Q1 y0 = Xét phương trình thứ hai (2.14) cơng Bổ đề 2.3.6 QT1 [P∗ B − (Q∗ B)0 ]y = T T ⇔ [P∗ B − (Q∗ B)0 ]y ∈ imP∗1 = imAT∗1 G−1T ∗2 = imA∗1 ⇔ P∗ By0 − (Q∗ B)0 y0 = Az − Q∗ Bz, z ∈ Rm P∗ By0 = Az ⇔ Q (Q B)0 y = Q Bz ∗ ∗ ∗ y0 = Az ⇔ (Q B)0 y = Q Bz ∗ ∗ Theo biểu thức G−1 BQ = Q + P1 P P Q mà chúng phát sinh, ta kết luận rằng, biểu thức Qy0 + P1 P P Qy0 + G−1 BP y0 = P1 P z By0 = Az Nhân phương trình với QP1 bên trái, sau số kỹ thuật biến đổi ta Qy0 − (QQ1 )0 Qy0 + QP1 G−1 BP y0 = −QQ1 z 35 Ta xét vế phải phương trình −1 −QQ1 z = −QQ1 G−1 B0 z = −QQ1 G2 Q∗ Bz −1 0 = −QQ1 G−1 (Q∗ B) y0 = (QQ1 G2 Q∗ B) y0 = −(QQ1 ) y0 Chèn vào phương trình Qy0 = −QP1 G−1 BP y0 − (QQ1 ) P y0 , y0 = Πcan y0 = Πcan P P1 y0 = Πcan y Tương tự, điều thể phương trình phương trình liên hợp có hạng đầy đủ Cịn lại, ta cịn phải phương trình (2.13)-(2.15) khơng mâu thuẫn với tốn khác Nó điều kiện đủ để ta biểu thị rankP P1 + rankQ∗1 + rankQ∗ = m Tổng có m Giả sử lớn hơn, đó, rankP∗ P∗1 + rankQ∗1 + rankQ∗ = m, rankP P1 > rankP∗ P∗1 Vì rankQ = m − rankA = rankQ∗ nên rankQ1 < rankQ∗1 Rõ ràng rankP∗ P∗1 + rankQ1 + rankQ = rankP∗ P∗1 + rankQ1 + rankQ∗ ≥ m Mâu thuẫn với rankP∗ P∗1 + rankQ∗1 + rankQ∗ = m rankQ1 < rankQ∗1 ♦ 36 Định lí 2.3.7 [8] Giả sử ˆ T∗1 (t)(P∗ (t)B(t) − (Q∗ (t)B(t))0 ))} Sˆ1 (t) := {ξ ∈ ker Q∗ (t)B(t) ∩ ker(Q Khi đó, Sˆ1 (t) = imΠcan Chứng minh Sˆ1 (t) ⊆ imΠcan suy trực tiếp từ chứng minh Bổ đề 2.3.6 Mặt khác, từ Bổ đề 2.3.6 biểu thức (2.4) suy Sˆ1 + ker Πcan = Rm , dimSˆ1 ≥ m − dim ker Πcan Ta có imΠcan ⊕ ker Πcan = Rm , dim(imΠcan ) + dim(ker Πcan = m, ) dimimΠcan = m − dim ker Πcan Số chiều Sˆ1 imΠcan trùng Như vậy, khơng gian nghiệm phương trình vi phân đại số có số (2.1) biểu thị không gian ảnh phép chiếu Πcan , tương ứng với hạt nhân phép chiếu (I − Πcan ), tập nghiệm hệ phương trình hạt nhân ma trận tương ứng ♦ Chú ý ˆ ∗1 (t) phép chiếu khả vi khác Q∗1 (t) lên N∗1 (t) = Giả sử Q ˆ ∗1 Q∗1 = Q∗1 Q∗1 Q ˆ ∗1 = Q ˆ ∗1 mệnh đề Bổ đề ker A∗1 (t) Bởi Q ˆ ∗1 (t) 2.3.6 Định lí 2.3.7 với Q Các trình tương ứng với việc hạ số xét [4] 37 KẾT LUẬN Dựa báo [8] sau thời gian tìm tịi, nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo tiến sĩ Hồng Nam, tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp theo kế hoạch đề Luận văn thu số kết sau Nghiên cứu phép chiếu Πcan Π∗ can , biểu diễn imΠcan số tính chất chúng Nghiên cứu khơng gian tuyến tính (khơng gian nghiệm) phương trình vi phân đại số có số khơng lấy số ví dụ minh họa Đề tài nhiều hướng nghiên cứu mở tiếp tục nghiên cứu, nghiên cứu khơng gian nghiệm cho phương trình vi phân đại số có số cao nghiệm phương trình vi phân đại số có nhiễu, Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong thầy cô bạn góp ý để luận văn hồn thiện Tài liệu tham khảo [1] E.A Coddington, N Levinson, Theory of ordinary differential equations.Mc Graw Hill, New York, 1995 [2] K Balla, R Marz,A unified approach to linear differential algebraic equations and their adjoints.Volume (2002), No 3, 1-19 [3] K.Balla, R Marz: Linear spaces for index DAEs Results Math 35 (2002), 7-18 [4] E Griepentrog, R Marz,Differential - Algebraic Equations and their Numerical Treatment Leipzig, Teubner Verlag, 1986 [5] R Marz, Extra-ordinary differential equations Attempts to an analysis of differential-algebraic systems.In: European Congress of Mathematics, Budapest, July 22.26, 1996, Vol Serie "Progress in Mathematics" Vol 168 Birkhauser Verlag, p 313-334, 1998 [6] R Marz,The index of linear diifferential algebraic equations with properly stated leading terms Preprint Berlin: Humboldt-Univ./Inst Math., Preprint Nr 2001-7, 30pp.; Results Math (to appear) [7] G A Kurina, Singular perturbation of control problems with equation of state not solved for the derivative (A survey) Intern J Computer and Systems Sci 31(1993), 17-45 [8] T.Petry, Linear spaces for index diferential-equations., 1995 38