Tính Chính Qui Lyapunov Của Phương Trình Vi Phân Đại Số Có Chỉ Số 1.Pdf

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn này là của riêng tôi, các kết quả, số liệu đều trích dẫn và có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả nghiên cứu là trung thực, và bản luận văn này chƣa đƣợc công bố ở[.]

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn riêng tôi, kết quả, số liệu trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng, kết nghiên cứu trung thực, luận văn chƣa đƣợc cơng bố cơng trình Ngƣời cam đoan Chu Thị Lan ii LỜI CẢM ƠN Luận văn đƣợc hoàn thành Khoa khoa học Tự nhiên trƣờng Đại học Hồng Đức dƣới hƣớng dẫn TS Hoàng Nam - Trƣờng đại học Hồng Đức Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy hƣớng dẫn nhiệt tình, chu đáo hƣớng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phòng Quản lý đào tạo sau đại học, mơn Giải tích Khoa Khoa học Tự nhiên trƣờng đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng cám ơn đến Ban giám hiệu trƣờng THPT Lê Văn Linh trƣờng THPT Thƣờng Xuân 3- Thanh Hóa tạo điều kiện thời gian cho đƣợc yên tâm học tập, nghiên cứu, hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến đồng nghiệp động viên, tạo điều kiện cho đƣợc yên tâm học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn tốt nghiệp Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc ý kiến góp ý thầy giáo, cô giáo, anh chị em đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Chu Thị Lan iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Dự kiến kết đạt đƣợc Nội dung nghiên cứu cấu trúc luận văn Chƣơng PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Số mũ Lyapunov 1.1.1 Khái niệm số mũ Lyapunov hàm số 1.1.2 Số mũ Lyapunov hàm ma trận 1.2 Chỉ số ma trận 1.3 Phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính 12 Chƣơng PHỔ LYAPUNOV CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 24 TUYẾN TÍNH CĨ CHỈ SỐ 24 2.1 Số mũ Lyapunov nghiệm phƣơng trình vi phân đại số 24 2.2 Hệ chuẩn tắc phƣơng trình vi phân đại số 26 Chƣơng TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CĨ CHỈ SỐ 32 3.1 Phƣơng trình vi phân đại số liên hợp 32 3.2 Tính qui Lyapunov phƣơng trình vi phân đại số 37 3.3 Một số tính chất phƣơng trình vi phân đại số qui 51 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN   A, B  - Số mũ Lyapunov phƣơng trình A t  x  B  t  x    x  - Số mũ đặc trƣng x (Số mũ Lyapunov)  X - Tổng số mũ Lyapunov phƣơng trình vi phân đại số ma trận nghiệm chuẩn tắc X A - Ma trận liên hợp ma trận A  A, B - cặp ma trận A B  m  - Tập ma trận hàm liên tục cấp m xác định C   , m  - Tập véc tơ hàm liên tục xác định C i   , L  m   - Tập ma trận hàm khả vi liên tục cấp i xác C    ,L  m m định C1    ,  m  - Tập ma trận hàm khả vi liên tục m xác định det A - Định thức ma trận A deg f  t  - Bậc đa thức f  t  diag A1, A2 , , An - ma trận chéo ma trận vuông A1, , An G :  A  BQ; B0 :  B  AP; A1 :  A  B0Q H - chuẩn ma trận H I - Ma trận đơn vị (vuông) im  A - Ảnh ma trận A ind A - Chỉ số ma trận A ind  A, B  - Chỉ số cặp ma trận  A, B  ker A - Không gian không ma trận A v L  m  : L  m , m  - Tập tốn tử tuyến tính liên tục m rank A - Hạng ma trận A P - Phép chiếu lên ker A Ps : A11P A1 Ps : I  Qs - Phép chiếu tắc lên S (t ) dọc N (t ) Q - Phép chiếu trực giao lên N (t ) Qs : I  Ps Qs  QA11B  QG 1B - Phép chiếu tắc lên N (t ) dọc S (t ) traceA - Vết ma trận A span  s1, s2 , , sn  - Bao tuyến tính  s1, , sr   S  t  : z  m  : B  t  z  im A  t  U  t   u1  t  , , um  t  - Ma trận U (t ) đƣợc tạo véctơ cột MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong khoa học ứng dụng thực tiễn nay, có nhiều vấn đề, nhiều tốn, chẳng hạn nhƣ mơ tả động lực, mơ tả hệ thống mạng điện, vấn đề lý thuyết điều khiển, đòi hỏi phải quan tâm giải hệ phƣơng trình vi phân đại số, dạng: Ax ' Bx  , A, B ma trận với hệ số thực ma trận hàm liên tục cấp m với det A  Ngay từ cuối năm 70 kỉ XX có nhiều nhà tốn học giới quan tâm nghiên cứu phƣơng trình vi phân đại số, số nhà toán học thuộc Đại học Humbodt Berlin, nhà toán học Nga, Mỹ, Ba Lan,… Ở nƣớc ta, vào năm 90 kỉ XX có số nhà toán học thuộc trƣờng đại học sƣ phạm Hà Nội, đại học khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Viện Toán học quan tâm nghiên cứu phƣơng trình vi phân đại số Đối với phƣơng trình vi phân đại số, cách phân lớp khác cho phƣơng trình vi phân đại số dựa vào khái niệm số chúng, phƣơng trình vi phân thƣờng ( det A  ) đƣợc đặc trƣng số Phƣơng trình vi phân đại số đƣợc đặc trƣng số 1,2, Phƣơng trình vi phân đại số “chuyển đƣợc” có số lớp phƣơng trình vi phân đại số đơn giản Để nghiên cứu phƣơng trình vi phân đại số có số cao, ta dùng phƣơng pháp hạ số để quy phƣơng trình vi phân đại số có số thấp hơn, hƣớng nghiên cứu phƣơng trình vi phân đại số chủ yếu nghiên cứu phƣơng trình vi phân đại số có số 2, dạng tuyến tính A(t ) x ' B(t ) x  , t t0 ;   (*) với ma trận hệ số A(t ) suy biến với t t0 ;   Trong thời gian qua có nhiều kết thu đƣợc phƣơng trình vi phân đại số, chẳng hạn nhƣ kết nghiệm, tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ phƣơng trình vi phân đại số có số thấp (có số 1, 2), tính ổn định hệ có nhiễu nhỏ phƣơng trình vi phân đại số,… Đối với phƣơng trình vi phân đại số, với số điều kiện định ta chuyển hệ, gồm hệ phƣơng trình vi phân thƣờng hệ phƣơng trình đại số Điều đáng ý hệ phƣơng trình vi phân đại số quy có số với điều kiện định hệ tính ổn định tiệm cận hay ổn định tiệm cận mũ nghiệm hệ lại hoàn toàn tƣơng ứng với tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận mũ hệ phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng ứng hệ Đã có nhiều nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận mũ nghiệm phƣơng trình vi phân đại số nói chung Tuy nhiên luận văn này, muốn tập trung nghiên cứu sâu thêm tính qui Lyapunov phƣơng trình vi phân đại số có số 1, chúng tơi chọn đề tài “ Tính qui Lyapunov phương trình vi phân đại số có số 1” Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài luận văn nghiên cứu tính qui Lyapunov cho phƣơng trình vi phân đại số có số nhờ khái niệm số mũ Lyapunov (đặc trƣng) nghiệm hệ phƣơng trình vi phân đại số có số Phƣơng pháp nghiên cứu đại số tuyến tính lý thuyết phƣơng trình vi phân Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu phƣơng trình vi phân đại số, phƣơng trình vi phân đại số liên hợp, số mũ Lyapunov lý thuyết ma trận Dự kiến kết đạt đƣợc - Các kết tính qui phƣơng trình vi phân đại số có số - Một số tính chất phƣơng trình vi phân đại số có số qui Lyapunov Nội dung nghiên cứu cấu trúc luận văn Nội dung nghiên cứu luận văn này, chủ yếu sâu nghiên cứu tính qui Lyapunov phƣơng trình vi phân đại số có số Luận văn đƣợc cấu trúc nhƣ sau: - Mở đầu - Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân đại số - Chƣơng 2: Phổ Lyapunov phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính có số - Chƣơng 3: Tính qui Lyapunov phƣơng trình vi phân đại số có số - Kết luận - Tài liệu tham khảo Chƣơng PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Số mũ Lyapunov Năm 1982 luận án cơng bố kết nghiên cứu tính ổn định, A M Lyapunov đƣa sử dụng hai phƣơng pháp sau: Phƣơng pháp số mũ Lyapunov phƣơng pháp hàm Lyapunov Ở quan tâm tới phƣơng pháp thứ Lyapunov, phƣơng pháp số mũ Lyapunov Sau nhắc lại số khái niệm 1.1.1 Khái niệm số mũ Lyapunov hàm số Xét hàm số thực f  t   et ,  số thực Thừa số  đặc trƣng cho tăng trƣởng hàm số et ;   rõ ràng et   t     et  t   Số  đƣợc gọi số mũ đặc trƣng hàm et Trong trƣờng hợp tổng quát, ta xét hàm số phức f  t   f1  t   if t 2 , với biến số thực t , xác định khoảng t0 ,   Mô đun hàm f  t  biểu diễn dạng mũ f  t   e (t).t ,   t   ln f  t  t đóng vai trị thừa số với t Để nghiên cứu tăng trƣởng hàm f  t  , điều cần thiết phải xem xét giá trị cực đại hàm   t  Định nghĩa 1.1 Giả sử f   hàm nhận giá trị thực khoảng J  t0 ,   Số ( giá trị  ) đƣợc xác định công thức   f  : limsup ln f  t  t t  đƣợc gọi số mũ đặc trưng hay gọi số mũ Lyapunov số mũ hàm số f   Nói chung số mũ Lyapunov hữu hạn vô hạn, nhƣng sau chủ yếu xét trƣờng hợp số mũ Lyapunov hữu hạn Ta qui ƣớc ln   f  t     f    Số mũ Lyapunov hàm vectơ x   J, theo định nghĩa số mũ Lyapunov chuẩn   x   limsup ln x  t  , t t  x  t  chuẩn hàm vectơ x  t  , chuẩn đƣợc lấy theo ba chuẩn sau x, x ,  xi max xi i i chuẩn tƣơng đƣơng nghĩa tỷ số chúng bị chặn theo x Nhận thấy  số mũ Lyapunov hữu hạn hàm f  t  , với   , hàm f  t  e(  ) t không bị chặn, hàm 47  ui     ur  ,   v1      vr  ,  uk     vk   , với k  1, ,m Với U V ta tìm đƣợc ma trận nghiệm chuẩn tắc tƣơng ứng X   x1, , xr  phƣơng trình vi phân đại số (3.1)   1, ,r  phƣơng trình liên hợp (3.4) (3.1), cho chúng thỏa mãn hệ thức   xi    i   0, i  1, , r , Vậy (3.1) qui Lyapunov Ví dụ 3.1 Xét phƣơng trình vi phân đại số ( ) ( ) , 1  A t     0 e t 0 1    , B t    e t    0 0  ,t   1 Xét phép chiếu lên ker A  t  : 0  Q t     0 0 1 0    0  ,P  I Q    ,    1 0 0 giả thiết Định lý 3.4 đƣợc thỏa mãn Phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng ứng 2 t  u1   1 e    et  u2        u3   0   u1      u2      u3   48 Có số mũ Lyapunov:  u1   1;  u2    u3   Phƣơng trình liên hợp  v1      2t  v2    e     v3   0 et 0   v1      v2      v3  Có số mũ Lyapunov:   v1   1;   v2     v3   , hệ phƣơng trình vi phân thƣờng qui Lyapunov Mặt khác, số mũ Lyapunov nghiệm phƣơng trình vi phân đại số   x1   1;   x2   , phƣơng trình liên hợp  A  B   * ' * phƣơng trình vi phân đại số có  1   1,  2   ,   xi    i   0, i  1,2 Vậy phƣơng trình vi phân đại số qui Lyapunov Định lý 3.4 rõ tính qui Lyapunov phƣơng trình vi phân đại số phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng ứng nhƣ Tuy nhiên, giả thiết “không gian N  t  (3.1) hằng” chặt Giả thiết đƣợc sử dụng việc chứng minh định lý, cụ thể sử dụng giả thiết để chứng minh Định lý 2.5 Liệu kết luận Định lý 3.4 có cịn không trƣờng hợp N  t  phụ thuộc vào t Bây 49 lớp rộng phƣơng trình vi phân đại số trƣờng hợp N  t  phụ thuộc vào t , mà kết luận Định lý 3.4 Ta thực phép biến đổi x  Fx phƣơng trình (3.1)  F:  L m  m  m ma trận khơng suy biến bị chặn có ma trận nghịch đảo đạo hàm bị chặn  Khi phƣơng trình vi phân đại số (3.1) biến đổi thành phƣơng trình vi phân đại số tƣơng đƣơng sau A  t  x  B  t  x  0, (3.12) A t  : A t  F t  , B t  : B t  F t   A t  F  t  Nhận thấy (3.12) phƣơng trình vi phân đại số có số 1, với hệ số bị chặn, kết phổ Lyapunov tính qui Lyapunov đƣợc áp dụng cho phƣơng trình (3.12) Ta phép biến đổi khơng làm thay đổi tính qui Lyapunov phƣơng trình vi phân đại số có số (3.1) Định lý 3.5 [1,9], Giả sử (3.1) phương trình vi phân đại số có số Giả thiết thêm ma trận A, B, A11 bị chặn  F m  m - ma trận hàm khả vi, bị chặn khơng suy biến có ma trận nghịch đảo đạo hàm bị chặn  Khi phương trình vi phân đại số (3.1) qui Lyapunov phương trình vi phân đại số (3.12) nhận nhờ phép đổi biến x  Fx phương trình (3.1) qui Lyapunov Chứng minh Xét phƣơng trình liên hợp (3.1) 50  A    B   * * (3.4) phƣơng trình liên hợp (3.12) ( A* )  B*  (3.13) Giả sử  nghiệm (3.4), nhân vào bên trái (3.4) với F * ta có  F *  A*   F * B*   F * A*   F * A*  F * B*         AF      BF  AF     AF    F * B*  F * A*  * * *   A*   B*  Nhƣ vậy,  nghiệm (3.13) Ngƣợc lại,  nghiệm (3.13), nghiệm (3.4) Do không gian nghiệm (3.4) (3.13) trùng nhau, phổ Lyapunov chúng trùng Do (3.12) nhận đƣợc từ phƣơng trình (3.1) nhờ phép đổi biến x  Fx , F F 1 bị chặn  , từ suy phổ Lyapunov (3.1) (3.12) trùng Nhƣ vậy, theo định nghĩa 3.3 phƣơng trình vi phân đại số (3.1) qui Lyapunov phƣơng trình (3.12) qui Lyapunov Nhận thấy định lý 3.4 3.5 cho ta tiêu chuẩn qui Lyapunov phƣơng trình vi phân dại số có số 1thơng qua phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng ứng Tiêu chuẩn đƣợc áp dụng cho lớp rộng phƣơng trình vi phân đại số có số với ker A  t  phụ thuộc vào t mà phƣơng trình qui phƣơng trình vi phân đại số với ker A  t  51 số phép biến đổi không suy biến khả vi bị chặn F có nghịch đảo bị chặn Rõ ràng ta sử dụng lớp lớn phép biến đổi ta ln qui đƣợc phƣơng trình vi phân đại số có số đƣợc viết dạng chuẩn tắc Kronecker có ker A  t  khơng phụ thuộc vào t Tuy nhiên, lớp phép biến đổi nói đến Định lý 3.5 bé so với lớp phép biến đổi mà cần [1] để biến đổi phƣơng trình vi phân đại số tổng quát dạng chuẩn tắc Kronecker Sự hạn chế có lý ta áp dụng lý thuyết phổ Lyapunov tính qui Lyapunov phƣơng trình vi phân đại số phƣơng trình vi phân thƣờng với hệ số bị chặn Mặt khác ta dễ thấy khơng địi hỏi giả thiết bị chặn F nhƣ Định lý 3.5 phƣơng trình vi phân đại số qui đơn giản (chẳng hạn, dạng chuẩn tắc Kronecker với hệ số hằng) ta biến đổi phƣơng trình vi phân đại số với hệ số không bị chặn, nhƣ định lý không áp dụng đƣợc Nhận xét điều kiện tồn phép biến đổi F  t  định lý 3.5 tƣơng đối ngặt điều làm giảm bớt ý nghĩa định lý Vấn đề đặt nên giảm nhẹ điều kiện định lý 3.5 để áp dụng đƣợc kết định lý định lý 3.4 cho lớp lớn phƣơng trình vi phân đại số số với ker A  t  không hằng, khó khăn mà luận án cịn chƣa vƣợt qua Tuy nhiên, phải nhận xét ràng buộc lên ker A  t  ngồi tính trơn khó mong đợi kế luận định lý 3.4 Định lý 3.5 cịn 3.3 Một số tính chất phƣơng trình vi phân đại số qui Xét phƣơng trình vi phân đại số có số A  t  x  B  t  x  (3.1) 52 A, B  C    , L m  bị chặn  , dim  imA  t    r  m phƣơng trình liên hợp  A    B   * * (3.4) Giả sử X ,  ma trận nghiệm tùy ý tƣơng ứng (3.1) (3.4), theo Định lý 3.2 ta có  AX   AX  C, đó, C ma trận Nếu x, tƣơng ứng vectơ cột nghiệm (3.1) (3.4), ta có  *Ax=const (3.14) Chú ý không gian nghiệm (3.1) (3.4) imPs t  imPs t  chúng có số chiều r Theo định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân đại số (xem [1]), nghiệm x  t  (3.1)   t  (3.4) đƣợc xác định giá trị đầu chúng x    imPs     0  imPs  0 Do ma trận nghiệm (3.1) (3.4) đƣợc tạo nên nghiệm nên chúng đƣợc xác định giá trị ban đầu chúng Sau đƣa số khái niệm phƣơng trình (3.1) Định nghĩa 3.4 [1,9], Hai ma trận nghiệm X   x1 , , x r ,0, ,0    1 , ,r ,0, ,0 tƣơng ứng (3.1) (3.4) đƣợc gọi liên kết với 53 i*Ax i  với i  1, , r (3.15) Chú ý cặp ma trận nghiệm lien kết (3.1) (3.4) tồn theo Hệ [8] với cặp X ,  ma trận nghiệm maximum (3.1) (3.4) đƣợc chuẩn hóa 0, ta có *AX=A  0 ,   vậy, rank  * AX  r Từ (3.15) ta suy X  ma trận nghiệm liên kết, A bị chặn với i  1, , r , ta có   xi    i   0, i  1, , r Định nghĩa 3.5 [1,9], Số    X ,   : max   xi    i  1i  r , đƣợc gọi defect cặp ma trận liên kết X ,  Định nghĩa 3.6 [1,9], Số      X ,   , minimum đƣợc lấy tƣơng ứng với tất cặp liên kết X ,  ma trận nghiệm (3.1) (3.4) đƣợc gọi hệ số phi qui (3.1) Định nghĩa 3.7 [1,9], Số  : max i  i , i  1,2, , r , 1 , , r 1, , r lần lƣợt phổ Lyapunov (3.1) (3.4) đƣợc theo thứ tự tăng giảm dần, đƣợc gọi hệ số Perron (3.1) 54 (3.4) Bổ đề 3.1 [1,9], Đối với hệ số  ,    phương trình (3.1) (3.4) ta có bất đẳng thức sau (i)   , (ii)      r Từ Bổ đề 3.1 Định nghĩa 3.3 ta suy định lý sau Định lý 3.6 [1, 9], Phươngtrình vi phân đại số (3.1) qui Lyapunov hệ số phi qui hệ số Perron      Chú ý Định lý 3.6 ta không giả thiết kerA  t  Định lý 3.7 [1,9], Giả sử giả thiết định lý 3.4 thỏa mãn Nếu phương trình vi phân đại số tuyến tính (3.1) qui Lyapunov nghiệm (3.1) có số mũ Lyapunov Chứng minh Theo Định lý 3.4, từ điều kiện (3.1) qui suy phƣơng trình vi phân thƣờng (3.2) qui, nghiệm (3.2) có số mũ Giả sử x  t  nghiệm tùy ý (3.1) Khi u t  : P t  x t  nghiệm (3.2) x t   Ps t  u t  Từ giả thiết định lý ta có phép chiếu P, Ps bị chặn  , tồn số C  cho  P  C,1  Ps  C Khi với t   ta có bất đẳng thức u  t   P  t  x  t   C x t  55 x t   Ps t  u t   C u t  , C 1 u t   x t   C u t  Vậy x  t  có số mũ Lyapunov u  t  có số mũ Lyapunov Định lý đƣợc chứng minh Chú ý sử dụng Định lý 3.5 ta có kết nhƣ lớp rộng phƣơng trình vi phân đại số với kerA  t  phụ thuộc vào t Chẳng hạn, giả sử phƣơng trình vi phân đại số (3.1) biến đổi phƣơng trình vi phân đại số thỏa mãn giả thiết Định lý 3.4 phép đổi biến x  Fx , F m  m ma trận hàm khả vi không suy biến bị chặn với F 1 F  , (3.1) qui Lyapunov nghiệm (3.1) có số mũ Lyapunov Định lý 3.8 [1,9], Giả sử giả thiết Định lý 3.4 thỏa mãn Phương trình vi phân đại số tuyến tính (3.1) qui Lyapunov nếu: (1) tồn giới hạn 11 S  lim  trace(P ' PA11B0 ) t1  dt1 , t  t (2) đẳng thức Lyapunov r  X     xi   S , i 1 X   x1, , xr  ma trận nghiệm chuẩn tắc (3.1), nghiệm Chứng minh Giả sử (3.1) qui Lyapunov Theo Định lý 3.4, phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng ứng (3.2) (3.1) qui Lyapunov Vì tồn giới hạn 56 11 S  lim  trace( P  PA11B0 ) t1  dt1 , t  t m  U     ui   S , U  u1 , ,u m  ma trận nghiệm chuẩn i 1 tắc (3.6) Mặt khác, từ Định lý 2.5, 2.6 Định lý 3.3 suy  U   X ,  X  U  S Ngƣợc lại, giả sử tồn giới hạn 11 S  lim  trace( P  PA11B0 ) t1  dt1 , t  t r  X     xi   S i 1 Do N  ker A  t  không phụ thuộc vào t A, B, A11 bị chặn, ta có  X   U , U ma trận nghiệm chuẩn tắc (3.2) Vậy  U  S Do phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng ứng (3.2) (3.1) qui Lyapunov, điều kéo theo (3.1) qui Lyapunov Bây xét phƣơng trình vi phân đại số   A t x B t x 0 (3.16) ( ) ma trận , ( ) /, ( ) ( () () () ), () khả nghịch có cấp r m  r ma trận hàm liên tục bị chặn  Định lý 3.9 [1.9], Phương trình vi phân đại số (3.16) qui Lyapunov phương trình vi phân thường 57 u1  W1 ( B12 B221B21  B11 )u1 (3.17) qui Lyapumov Chứng minh Rõ ràng , N  ker A t   ( mr không phụ thuộc vào t Ta xét phép chiếu ) lên /, phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng ứng (dƣới phép chiếu ) (3.16) u1 ( ( ) ) (3.18) hoặc, tƣơng đƣơng với, u   W 1 ( B B 1 B  B )u  12 22 21 11    u2  / u1  r mr , u2  Rõ ràng rằng, tính qui (3.17) (3.18) tƣơng đƣơng Theo Định lý 3.4, tính qui Lyapunov (3.16) (3.18) tƣơng đƣơng Vậy tính qui Lyapunov (3.16) (3.17) tƣơng đƣơng Định nghĩa 3.10 [1,9], Phƣơng trình (3.1) đƣợc gọi khả qui tồn cặp m  m ma trận hàm E, F  C   , L m  , E ma trận không suy biến F ma trận Lyapunov (nghĩa F khả vi, khả nghịch F , F , F 1 bị chặn  ) cho, phép biến đổi x  Fx phép nhân trái với E , phƣơng trình (3.1) qui phƣơng trình Ax  Bx  , (3.19) 58 A  EAF , B  EAF   EBF ma trận Định nghĩa3.8.[1,9], Giả sử phƣơng trình (3.1) khả qui (3.19) phƣơng trình biến đổi (3.1) với hệ số hằng, nghiệm phƣơng trình   det  A  B  đƣợc gọi giá trị riêng (3.1) Chú ý (i) Nếu (3.1) có số 1thì (3.19) có số (ii) Nếu (3.1) khả qui, giá trị riêng khơng phụ thuộc vào việc chọn cặp ma trận E, F (iii) Trong trƣờng hợp (3.1) khả qui, phần thực giá trị riêng phổ Lyapunov hệ (3.1) (xem [1]) Định lý 3.11 [1,9], Giả sử (3.1) phương trình vi phân đại số có số có hệ số A, B  C   , L m  bị chặn  Nếu (3.1) khả qui (3.1) qui Lyapunov Chứng minh Giả sử (3.1) khả qui, tồn E, F nhƣ Định nghĩa 3.9 để (3.1) biến đổi phƣơng trình (3.19) với hệ số Phƣơng trình (3.19) qui Lyapunov sử dụng phép chiếu vng góc xuống ker A ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân thƣờng tƣơng ứng (3.19) phƣơng trình vi phân thƣờng với hệ số nên qui Lyapunov Do (3.19) sai khác với (3.12) phép nhân trái tồn phƣơng trình với ma trận khả nghịch E  t  nên dễ thấy ma trận (3.12) qui Lyapunov Vì F  t  thỏa mãn điều kiện Định lý 3.5 nên từ tính qui (3.12) ta suy (3.1) qui Lyapunov 59 KẾT LUẬN Trên sở [9] sau thời gian tìm tịi, nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo Hồng Nam, tơi hồn thành luận văn thạc sỹ theo kế hoạch đề Luận văn thu đƣợc số kết sau Nghiên cứu số mũ Lyapunov nghiệm tầm thƣờng phƣơng trình vi phân đại số có số Nghiên cứu tính qui phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính chuyển đƣợc có số Nghiên cứu số tính chất phƣơng trình vi phân đại số có số qui Đề tài cịn nhiều hƣớng nghiên cứu mở tiếp tục nghiên cứu, nghiên cứu tiêu chuẩn ổn định tiệm cận phƣơng trình vi phân đại số bậc cao, phƣơng trình vi phân đại số với phi tuyến, phƣơng trình vi phân đại số có nhiễu khác nhau,… Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong thầy cô bạn góp ý để luận văn đƣợc hồn thiện 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hoàng Nam (2005), Số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số tuyến tính qui số 1, Luận án tiến sỹ Toán học Tiếng Anh B Ph Bylov, E R Vinograd, D.M Grobman, and V V Nemytxki, Theory of Lyapunov exponents, Nauka, Moscow, 1966 (in Russian) C Tischendorf (1994), “On the stability of solutions of autonomous index1 tractable and quasilinear index-2 tractable DAEs”, Circuits Systems Signal Process 13, pp 139-154 E Griepentrog and R Marz (1986), “Differential-algebraic equations and their numerical treatment”, Teubner Texte Math 88, Leipzig K Balla and Marz (2000), Linear differential algebraic equations of index and their adjoint equations, Results Math 37 (2000), 13-35 Lamour R., Marz R., Winkler R., How Floquet-theory applies to diferential-algebraic equations Preprint Nr 96-15, Humboldt-Univer Berlin, 1996 Marz R (1997), Criteria for the trivial solutions of Differential algebraic equations with small nonlinearities to be asymtotically stable Preprint Nr 97 - 13, Humboldt – Univer Berlin, 1997 N D Cong and Hoang Nam (2004), Lyapunov’s inequality for linear differential algebraic equation, Acta Mathematica Vietnam 28 (2003), 73-88 N D Cong and Hoang Nam (2004), Lyapunov regularity of linear differential algebraic equations of index 1, Acta Mathematica Vietnam., Volume 29, Number 1, 2004, pp 1-21 10 Tatyana Shtykel, On the criterion of asymptotical stability for index-1 61 tractable DAEs, Preprint Nr 98-6, Humboldt-Universitat zu Berlin, 1998 11 V.F Chistyakov, Algebro – differential operators with finite – dimensional kernels, Nauka, Novosibirsk 1996 (in Russian)