Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 9460104 : Phản biện thứ : GS.TSKH Phùng Hồ Hải Phản biện thứ hai : PGS.TS Trương Công Quỳnh Phản biện thứ ba : PGS.TS Mai Hoàng Biên TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU TS LÊ THANH HIẾU Bình Định - 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết quả, nội dung luận án “Nghiệm đại số số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” thực hướng dẫn thầy giáo TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các nội dung kết sử dụng Luận án có trích dẫn thích nguồn gốc, kết trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng Nếu có điều gian lận, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước pháp luật Quy Nhơn, ngày 02 tháng 11 năm 2021 Người thực Hà Trọng Thi ii Lời cảm ơn Luận án hồn thành q trình học tập nghiên cứu Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các thầy bảo tận tình hướng dẫn tơi từ bước đầu làm nghiên cứu Các thầy hướng dẫn nghiêm túc ln tạo tình cảm thân thiện suốt thời gian học tập Trước tiên, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Ngơ Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học tạo điều kiện tốt để học tập Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Tốn Thống kê thầy giáo Khoa ủng hộ, động viên suốt thời gian tham gia học tập trường Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Bình Định, đồng nghiệp bạn bè ủng hộ, động viên tạo điều kiện tốt để tham gia học tập Trân trọng iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Kiến thức sở đại số 1.1.1 Mở rộng trường 1.1.2 Kết thức Đại số vi phân 11 1.2.1 Trường vi phân 12 1.2.2 Nghiệm đa thức vi phân 17 Đường cong đại số hữu tỷ 22 Phép biến đổi tương đương phương trình vi phân đại số cấp 25 2.1 Phép biến đổi tương đương 25 2.2 Phộp bin i Măobius 30 Nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp 38 3.1 Nghiệm đại số 38 3.2 Một số tính chất bảo tồn nghiệm 42 iv 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số 45 Sự tương đương phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ 4.1 50 Phương trình vi phân đa thức 51 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b 51 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw 57 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b 58 4.2 Phương trình vi phân Riccati 4.3 Phương trình vi phân Abel 67 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ 72 4.5 Nghiệm tổng quát đại số phương trình tham số hữu tỷ thuộc lớp autonom Kết luận 64 78 87 Danh mục công trình tác giả liên quan đến Luận án 90 Tài liệu tham khảo 91 v BẢNG CÁC KÝ HIỆU C trường số phức i số phức đơn vị ảo C(x) trường vi phân hàm hữu tỷ theo biến x K bao đóng đại số trường K K[x] vành đa thức n biến x = (x1 , , xn ) với hệ số K deg(f ) bậc đa thức f K{y} vành đa thức vi phân theo biến y trường K prem(P, F ) phần dư phép chia đa thức vi phân P cho đa thức vi phân F res(f, g, x) kết thức f g theo biến x disc(f ) biệt thức đa thức biến f δF bậc tổng thể vi phân đa thức vi phân F (1) AODE K M ΦM tập phương trình vi phân đại số cấp trường K au + b phộp bin i Măobius trờn K ; M (u) = cu + d ánh xạ hữu t tng ng vi phộp bin i Măobius M ; ΦM (u, v) = M (u), ∂M∂x(u) + ∂M (u) ∂u v vi (1) GK nhóm phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM • tác động nhóm GK lên AODE K Tc ánh xạ tịnh tiến theo c (1) (1) MỞ ĐẦU Một phương trình vi phân đại số cấp có dạng F (y, y ) = 0, F ∈ C(x)[y, y ] F có chứa biến đạo hàm y Nếu F ∈ C[y, y ] ta nói phương trình F (y, y ) = autonom (tức hệ số F số) Việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số cấp cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 với cơng trình tiêu biểu L Fuchs [14], H Poincaré [27] J Malmquist [19] Một nghiệm chung F (y, y ) = ∂ F (y, y ) = gọi nghiệm kỳ dị Các nghiệm kỳ dị ∂y phương trình F (y, y ) = ln nghiệm đại số có hữu hạn nghiệm kỳ dị vậy, đồng thời việc tìm nghiệm kỳ dị đơn giản Tuy nhiên, việc xác định liệu phương trình F (y, y ) = có nghiệm tổng qt đại số hay khơng đưa thuật tốn tính tốn tường minh nghiệm tổng quát đại số vấn đề khó Cho đến nay, vấn đề tìm nghiệm tổng qt đại số phương trình vi phân cấp giải cách có hệ thống cho trường hợp phương trình vi phân autonom Trong trường hợp tồn nghiệm đại số không tầm thường định tồn nghiệm tổng quát đại số Câu hỏi tự nhiên đặt liệu có cịn lớp phương trình khác rộng có tính chất hay khơng? Vấn đề tương tự cho phương trình vi phân cấp không autonom (non-autonomous) giải cho số trường hợp đặc biệt; lớp nghiệm hình thức phương trình F (y, y ) = quan tâm nghiên cứu nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số, nghiệm liouville, Hiện thuật toán hữu hiệu để tìm kiếm dạng nghiệm nói giới hạn phương trình vi phân đặc biệt (hoặc có bậc thấp phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Clairaut, phương trình Riccati, phương trình Abel) Vic s dng cỏc phộp bin i Măobius trỡnh bày báo [22, 23] lớp phương trình vi phân đại số cấp khơng autonom biến đổi cách tương đương phương trình autonom có nghiệm tổng quát đại số Như cần nghiên cứu lý thuyết cho vấn đề Bên cạnh đó, dựa vào chặn bậc cho nghiệm đại số khơng tầm thường phương trình vi phân đại số cấp autonom, ta suy chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số Vấn đề mở rộng cho phương trình vi phân cấp khơng autonom câu hỏi mở cần nghiên cứu Một nghiệm phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = trường mở rộng vi phân K C(x) phần tử η ∈ K cho F (η, η ) = 0, “ ” phép đạo hàm K mở rộng phép đạo hàm thông thường C(x) Nếu F đa thức bậc theo y phương trình vi phân tương ứng viết dạng hữu tỷ y = P (z, y)/Q(z, y), 79 phương trình autonom đại diện Trong phần chúng tơi đưa cách khác để xác định nghiệm tổng quát đại số lớp phương trình tương đương autonom đồng thời tham số hữu tỷ Các kết phần trình bày dựa vào báo [5] Định lý 4.26 Cho F (y, y ) = phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ tương đương với phương trình vi phân autonom Khi tồn phép tham số hữu tỷ thực F (y, y1 ) = để phương trình vi phân liên kết với có dạng dt v(t) = ∈ C(t), dx u (t) u(t), v(t) ∈ C(t) hàm hữu tỷ theo t Chứng minh Vì phương trình F (y, y ) = tương đương với phương trình autonom nên tồn phép biến đổi ΦM để (ΦM • F )(y, y ) = phương trình autonom Vì đường cong F (y, y1 ) = tham số hữu tỷ nên đường cong (ΦM • F )(y, y1 ) = tham số hữu tỷ Giả sử Q(t) = (u(t), v(t)) phép tham số hữu tỷ thực xác định C (ΦM • F )(y, y1 ) = Khi phương trình vi phân liên kết dt v(t) (ΦM • F )(y, y ) = tương ứng với Q(t) = Theo Định lý 4.23, dx u (t) phương trình vi phân liên kết F (y, y ) = tương ứng với phép tham số hữu tỷ ΦM −1 (Q(t)) Trong [5, Theorem 3.1], đưa điều kiện đủ để phương trình vi phân đại số cấp autonom tham số hữu tỷ có nghiệm tổng quát liouville mà nghiệm tổng quát đại số trường hợp riêng Chúng tơi tổng qt kết khía cạnh nghiệm tổng quát 80 đại số cho lớp tương đương autonom phương trình tham số hữu tỷ định lý sau Định lý 4.27 Cho F (y, y ) = phương trình vi phân đại số cấp C(x) tham số hữu tỷ thuộc lớp tương đương autonom Giả sử (u(t), v(t)) phép tham số hữu tỷ thực F (y, y1 ) = u (t) u (t) ∈ C(t) Nếu dt hàm hữu tỷ phương trình cho v(t) v(t) F (y, y ) = có nghiệm tổng quát đại số Chứng minh Chú ý Định lý 4.26 tồn phép tham số u (t) ∈ C(t) Giả sử hữu tỷ thực (u(t), v(t)) để v(t) u (t) A(t) dt = v(t) B(t) hàm hữu tỷ Khi phương trình vi phân liên kết F (y, y ) = tương ứng với (u(t), v(t)) có nghiệm tổng quát đại số xác định A(t) = B(t)(x + C), với C số tùy ý Từ suy nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = xác định kết thức sau res (A(t) − B(t)(x + C), yQ(t) − P (t), t) , u(t) = P (t) Q(t) Vấn đề biểu diễn tích phân hàm hữu tỷ hàm sơ cấp J Liouville (1809-1882) nghiên cứu Trong [29], R H Risch (1969) đưa thuật tốn xác định tính biểu diễn tích phân hàm hữu tỷ hàm sơ cấp Nói riêng, dựa vào thuật tốn Risch ta u (t) xác định dt hàm hữu tỷ v(t) 81 Trong [5, Proposition 3.1] chúng tơi chứng minh tính giải liouville phương trình vi phân liên kết khơng phụ thuộc vào việc chọn phép tham số hữu tỷ thực đường cong Nói riêng, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 4.28 Giả sử (u(t), v(t)) phép tham số hữu tỷ thực u (t) dt đường cong F (y, y1 ) = Khi tính hữu tỷ tích phân v(t) không phụ thuộc vào việc chọn phép tham số hữu tỷ thực đường cong F (y, y1 ) = Chứng minh Thật vậy, giả sử (˜ u(t), v˜(t)) phép tham số hữu tỷ thực khác F (y, y1 ) = Khi đó, theo Định lý 1.61, tồn hàm hữu tỷ t˜ = ϕ(t) cho (˜ u(ϕ(t)), v˜(ϕ(t))) = (u(t), v(t)) Ta có u (t) dt = v(t) u˜ (ϕ(t))ϕ (t) dt = v˜(ϕ(t)) u˜ (t˜) ˜ dt v˜(t˜) Do vế trái hàm hữu tỷ vế phải hàm hữu tỷ Chú ý 4.29 Gần đây, N T Dat cộng [10, Theorem 3.2], [11, Theu (t) orem 3.1] chứng minh điều kiện dt hàm hữu tỷ v(t) điều kiện cần để phương trình vi phân tham số hữu tỷ thuộc lớp autonom F (y, y ) = có nghiệm tổng quát đại số Trong luận án này, sử dụng điều kiện cần mà khơng trình bày lại chứng minh việc chứng minh kết đòi hỏi phải trang bị số kiến thức nghiệm liouville phương trình vi phân kết chuẩn bị liên quan 82 Dựa vào kết nêu chúng tơi đưa thuật tốn khác với Thuật tốn để xác định nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp autonom tham số hữu tỷ Thuật toán Input: F (y, y ) = tham số hữu tỷ thuộc lớp tương đương autonom qua phép biến đổi ΦM Output: Tính nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = có Dùng ΦM tính phép tham số hữu tỷ thực (u(t), v(t)) u (t) F (y, y ) = cho ∈ C(t) v(t) u (t) u (t) dt Nếu dt hàm hữu v(t) v(t) tỷ F (y, y ) = khơng có nghiệm tổng qt đại số Ngồi ra, sang Tính tích phân bước 3 Đặt A(t) = B(t) u (t) P (t) dt = u(t) v(t) Q(t) Nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = res (A(t) − B(t)(x + C), yQ(t) − P (t), t) = Ví dụ 4.30 Trong Ví dụ 4.25, xét phương trình khơng autonom tham số hữu tỷ (4.20) F (y, y ) := (2y − 2x − 3)y + (−8y + 8x + 10)y + 8y − 8x − = phép biến đổi y = w + x, tức M (y) = y − x, đưa phương trình phương trình autonom G(w, w ) = ΦM • F = (2w − 3)w + (−4w + 4)w + 2w − = 83 Thông qua phép tham số hữu tỷ thực G(w, w ) = 0, chẳng hạn, 3t2 − 4t + ,t , 2(t − 1)2 Q(t) = chọn phép tham số hữu tỷ thực F (y, y ) = sau Φ M −1 (Q(t)) = 3t2 − 4t + + x, t + 2(t − 1)2 Phương trình vi phân liên kết F (y, y ) = phép tham số dt = −(t − 1)3 dx dt = hàm hữu tỷ, phương trình vi −(t − 1) 2(t − 1)2 phân liên kết có nghiệm tổng quát đại số = x + C Từ suy 2(t − 1)2 nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = xác định kết thức Ta có hai đa thức theo t    2(t − 1)2 (x + C) −   2y(t − 1)2 − ((2x + 3)t2 + (−4x − 4)t + 2x + 2), 4y + (−16x − 12 − 8C)y + 4C + + 4C + 16xC + 16x2 + 16x = Tiếp theo, chúng tơi trình bày thêm ví dụ để minh họa tính hữu tỷ tích phân phương trình liên kết không phụ thuộc vào việc chọn phép tham số hữu tỷ thực đường cong tương ứng Ví dụ 4.31 Xét phương trình vi phân đại số cấp autonom tham số hữu tỷ G(w, w ) = (−96w2 − 96w + 1)w + (−40w − 40w2 )w − 4w2 − 4w = 84 Đường cong đại số tương ứng tham số hữu tỷ P(t) = (u(t), v(t)) = − t2 + 378t + 35721 t2 + 86t − 19467 · ,− · 584 t + 43 t + 86t − 30125 Phương trình vi phân liên kết tương ứng với P(t) 146(t + 43)2 dt = dx t2 + 86t − 30125 Bằng phương pháp tích phân hàm hữu tỷ, ta nhận nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân liên kết 219 t+ = x + C, 146 t + 43 với C số tùy ý Khử t (sử dụng kết thức) từ hệ phương trình   219   t+ =x+C 146 t + 43  t2 + 378t + 35721  w = − · 584 t + 43 ta nhận đa thức tối tiểu nghiệm tổng quát đại số G(w, w ) = 143591w + 41616 + 29784(x + C) + 53290(x + C)w+ (4.24) 2 5329(x + C) + 127896w = Ta chọn phép tham số hữu tỷ thực khác Q(t) = −2t , t2 − t2 + 10t + Khi phương trình vi phân liên kết tương ứng với Q(t) dt (t2 − 1)2 = , dx t2 + 10t + có nghiệm tổng quát đại số − + = x + C t−1 t+1 85 Từ suy nghiệm tổng quát đại số G(w, w ) = 24w2 − w + (x + C)2 + 10(x + C)w = (4.25) Chú ý 4.32 Ta nhận nghiệm (4.25) từ nghiệm (4.24) 204 (4.24) cách thay C C − 73 −t + 103 Trong ví dụ trên, ta lấy ϕ(t) = ta nhận t + 189 Q(ϕ(t)) = P(t) KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương tập bất biến phương trình vi phân đa thức (Định lý 4.1, Định lý 4.2, Định lý 4.4) dạng chuẩn tắc phương trình vi phân đa thức dựa vào bất biến (Hệ 4.5) Từ đưa tiêu chuẩn để kiểm tra tương đương phương trình vi phân đa thức bậc n ≥ (Định lý 4.4), nói riêng tương đương phương trình vi phân Abel (Hệ 4.13), đặc biệt tương đương phương trình vi phân Riccati (Định lý 4.6) Chúng phương trình vi phân liên kết phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ bất biến (Định lý 4.22) Từ đưa điều kiện cần (Định lý 4.23) điều kiện đủ (Định lý 4.24) để kiểm tra tương đương phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ Dựa vào điều kiện cần điều kiện đủ đưa thuật toán (Thuật toán 2) để xác định tương đương hai phương trình vi phân tham số hữu tỷ Bên cạnh đó, chúng tơi dạng chuẩn tắc phương trình vi phân liên kết phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 4.26) Đưa 86 điều kiện đủ cho tồn nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ autonom (Định lý 4.27) Từ chúng tơi đưa thuật toán khác (Thuật toán 3) để xác định nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp autonom tham số hữu tỷ 87 KẾT LUẬN Trong luận án chúng tơi đạt kết sau: Đưa số tính chất bậc tổng thể vi phân đa thức vi phân cấp Đó tính chất tương thích bậc phép nhân đa thức (Mệnh đề 2.7), tính chất tương thích tác động nhóm với phép hợp thành ánh xạ (Mệnh đề 2.9), tính chất bất biến bậc tổng thể vi phân tác động nhúm cỏc phộp bin i Măobius (nh lý 2.11) Thiết lập số tính chất bảo tồn liên quan đến nghiệm phương trình vi phân đại số tỏc ng ca nhúm cỏc phộp bin i Măobius C thể, chúng tơi chứng minh tính chất bảo tồn nghiệm tổng quát đại số (Định lý 3.8); đưa cách xác định nghiệm tổng quát đại số từ nghiệm đại số khơng tầm thường phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp autonom (Định lý 3.12); chứng minh giống đường cong đại số xác định nghiệm giống đường cong tương ứng với phương trình vi phân phương trình vi phân thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 3.13); đưa chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 3.14) Từ chúng tơi đề xuất thuật tốn (Thuật tốn 1) tìm nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp tương đương autonom 88 Chỉ tập bất biến phương trình vi phân đa thức (Định lý 4.1, Định lý 4.2, Định lý 4.4) dạng chuẩn tắc phương trình vi phân đa thức dựa vào bất biến (Hệ 4.5) Từ đưa tiêu chuẩn để kiểm tra tương đương phương trình vi phân đa thức bậc n ≥ (Định lý 4.4), nói riêng tương đương phương trình vi phân Abel (Hệ 4.13), đặc biệt tương đương phương trình vi phân Riccati (Định lý 4.6) Chỉ phương trình vi phân liên kết phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ bất biến (Định lý 4.22) Từ đưa điều kiện cần (Định lý 4.23) điều kiện đủ (Định lý 4.24) để kiểm tra tương đương phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ Dựa vào điều kiện cần điều kiện đủ chúng tơi đưa thuật tốn (Thuật tốn 2) để xác định tương đương hai phương trình vi phân tham số hữu tỷ Chỉ dạng chuẩn tắc phương trình vi phân liên kết phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 4.26) Đưa điều kiện đủ cho tồn nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ autonom (Định lý 4.27) Từ chúng tơi đưa thuật tốn khác (Thuật tốn 3) để xác định nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp autonom tham số hữu tỷ 89 Một số tốn mở Có nhiều tốn dự định tiếp tục phát triển hướng nghiên cứu luận án: Nghiên cứu tương đương phương trình vi phân đại số cấp không tham số hữu tỷ qua phép biến đổi Măobius M rng cỏc kt qu ó nghiờn cu cho phép biến đổi tương đương khác tổng quát hn phộp bin i Măobius Nghiờn cu mi quan hệ giống đường cong xác định phương trình vi phân đại số cấp giống nghiệm đại số phương trình Nghiên cứu nghiệm liouville phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp tương đương autonom Nghiên cứu nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp trường vi phân tùy ý 90 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Ngo Lam Xuan Chau, Le Minh Duong, Ha Trong Thi, “Nghiệm liouville phương trình vi phân đại số cấp giống khơng”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, ISSN: 1859-0357, tập 12, số 3, 2018: pp 5-12 Ngo Lam Xuan Chau, Ha Trong Thi, Măobius transformations on algebraic ODEs of order one and algebraic general solutions of the autonomous equivalence classes”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 380 (2020), 112999 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Appell Sur les invariants de quelques équations différentielles J Math Pures Appl., 5:361–423, 1889 [2] J M Aroca, J Cano, R Feng, and X S Gao Algebraic general solutions of algebraic ordinary differential equations In Proceedings of the 2005 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC ’05, pages 29–36, New York, NY, USA, 2005 ACM [3] M Bronstein Symbolic integration I - Transcendental functions Springer, 2005 [4] M M Carnicer The Poincaré problem in the nondicritical case Ann of Math., 140:289– 294, 1994 [5] N L X Chau, L M Duong, and H T Thi Liouvillian solutions of algebraic ordinary differential equations of order one in genus zero Journal of Science, Quy Nhon University, 12 (3):5–12, 2018 [6] N L X Chau and H T Thi Măobius transformations on algebraic ODEs of order one and algebraic general solutions of the autonomous equivalence classes J Comput Appl Math., 380:112999, 2020 [7] E.S Cheb-Terrab and A.D Roche Abel ODEs: Equivalence and integrable classes Comput Phys Commun., 130:204–231, 2000 [8] D Cox, J Little, and D O’shea Ideals, Varieties, and Algorithm - An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra Springer, 1997 [9] T Czy˙zycki and J Hrivnák Equivalence problem and integrability of the Riccati equations Nonlinear Differential Equations and Applications, 17:371–388, 2010 92 [10] N T Dat and N L X Chau Liouvillian solutions of algebraic ordinary differential equations of order one in genus zero (submitted), 2021 [11] N T Dat and N L X Chau Rational liouvillian solutions of algebraic ordinary differential equations of order one Acta Mathematica Vietnamica, https://doi.org/10.1007/s40306-020-00404-z, 2021 [12] A Eremenko Rational solutions of first order differential equations Ann Acad Sci Fenn Math., 23:181–190, 1998 [13] R Feng and X-S Gao A polynomial time algorithm for finding rational general solutions of first order autonomous odes J Symbolic Comput., 41:739762, 2006 ă [14] L Fuchs Uber Differentialgleichungen deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen Sitzungsberichte der Kă oniglich preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin, pages 699–710, 1884 [15] E Kamke Differentialgleichungen, Lă osungsmethoden und Lă osungen, I Gewă ohnliche Differentialgleichungen Akademische Verlagsgesellschaft, 1961 [16] E R Kolchin Differential algebra and algebraic groups Academic Press, 1973 [17] J Kovacic An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations J Symbolic Comput., 2:3–43, 1986 [18] S Lang Algebra Springer, 2002 [19] J Malmquist Sur les fonctions a un nombre fini de branches définies par les équations différentielles du premier ordre Acta Math., 36:297–343, 1913 [20] Y-K Man Computing closed form solutions of first order ODEs using the Prelle-Singer procedure J Symbolic Comput., 16:423–443, 1993 [21] L X C Ngo, K A Nguyen, M van der Put, and J Top Equivalence of differential equations of order one J Symbolic Comput., 71:47–59, 2015 [22] L X C Ngo, J R Sendra, and F Winkler Classification of algebraic odes with respect to rational solvability Contemp Math., 572:193–210, 2012 93 [23] L X C Ngo, J.R Sendra, and F Winkler Birational transformations on algebraic ordinary differential equations In RISC Report Series, Tech report: 12-18, JKU, Austria, 2012 Research Institute for Symbolic Computation (RISC) [24] L X C Ngo, J.R Sendra, and F Winkler Birational transformations preserving rational solutions of algebraic ordinary differential equations J Comput Appl Math., 286:114–127, 2015 [25] L X C Ngo and F Winkler Rational general solutions of first order non-autonomous parametrizable ODEs J Symbolic Comput., 45:1426–1441, 2010 [26] L X C Ngo and F Winkler Rational general solutions of planar rational systems of autonomous ODEs J Symbolic Comput., 46:1173–1186, 2011 [27] H Poincaré Sur L’intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré Rend Circ Mat Palermo, 5:161–191, 1891 [28] M J Prelle and M F Singer Elementary first integrals of differential equations Trans Amer Math Soc., 279(1):215–229, 1983 [29] Robert H Risch The problem of integration in finite terms Trans Amer Math Soc., 139:167–189, 1969 [30] J F Ritt Differential algebra American Mathematical Society, 1950 [31] F Schwarz Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis Group, 2008 [32] J R Sendra, F Winkler, and Sonia Pérez-Díaz Rational Algebraic Curves - A Computer Algebra Approach Springer, 2008 [33] F Ulmer and J A Weil Note on Kovacic’s algorithm J Symbolic Comput., 22:179–200, 1996 [34] N T Vo Rational and Algebraic Solutions of First-Order Algebraic ODEs Ph.D thesis, Johannes Kepler University, Linz, Austria, 2016 [35] A Zharkov Coefficient fields of solutions in Kovacic’s algorithm J Symbolic Comput., 19:403–408, 1995 ... nghiệm tổng qt đại số phương trình vi phân đại số cấp tương đương với phương trình autonom phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ Từ đưa thuật tốn hữu hiệu để tìm nghiệm tổng qt đại số. .. nghĩa lớp tương đương phương trình vi phân đại số cấp autonom Tiếp theo chứng tỏ bậc tổng thể vi phân bất biến số lớp tương đương, tức phương trình vi phân đại số lớp có bậc tổng thể vi phân Sau... vi phân đại số cấp autonom, để tính nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = ta cần tính nghiệm đại số khơng tầm thường Định nghĩa 3.4 ([2]) Một nghiệm đại số P (x, y) = phương trình vi phân đại số