Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 9460104 : Phản biện thứ : GS.TSKH Phùng Hồ Hải Phản biện thứ hai : PGS.TS Trương Công Quỳnh Phản biện thứ ba : PGS.TS Mai Hoàng Biên TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU TS LÊ THANH HIẾU Bình Định - 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết quả, nội dung luận án “Nghiệm đại số số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” thực hướng dẫn thầy giáo TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các nội dung kết sử dụng Luận án có trích dẫn thích nguồn gốc, kết trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng Nếu có điều gian lận, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước pháp luật Quy Nhơn, ngày 02 tháng 11 năm 2021 Người thực Hà Trọng Thi ii Lời cảm ơn Luận án hồn thành q trình học tập nghiên cứu Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các thầy bảo tận tình hướng dẫn từ bước đầu làm nghiên cứu Các thầy hướng dẫn nghiêm túc ln tạo tình cảm thân thiện suốt thời gian học tập Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học tạo điều kiện tốt để học tập Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán Thống kê thầy cô giáo Khoa ủng hộ, động viên suốt thời gian tham gia học tập trường Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Bình Định, đồng nghiệp bạn bè ủng hộ, động viên tạo điều kiện tốt để tham gia học tập Trân trọng iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức sở đại số 1.2 Đại số vi phân 1.3 Đường cong đại số hữu tỷ Phép biến đổi tương đương phương trình vi phân đại số cấp 2.1 Phép biến đổi tương đương 2.2 Phộp bin i Măobius Nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp 3.1 Nghiệm đại số 3.2 Một số tính chất bảo tồn nghiệm 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số 10 Sự tương đương phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ 4.1 11 Phương trình vi phân đa thức 11 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b 11 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw 12 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b 12 4.2 Phương trình vi phân Riccati 12 4.3 Phương trình vi phân Abel 13 iv 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ 15 4.5 Nghiệm tổng quát đại số phương trình tham số hữu tỷ thuộc lớp autonom 17 Kết luận 19 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án 20 Tài liệu tham khảo 21 MỞ ĐẦU Một phương trình vi phân đại số cấp có dạng F (y, y ) = 0, F ∈ C(x)[y, y ] F có chứa biến đạo hàm y Nếu F ∈ C[y, y ] ta nói phương trình F (y, y ) = autonom (tức hệ số F số) Việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số cấp cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 với cơng trình tiêu biểu L Fuchs [14], H Poincaré ∂ [27] J Malmquist [19] Một nghiệm chung F (y, y ) = F (y, y ) = ∂y gọi nghiệm kỳ dị Các nghiệm kỳ dị phương trình F (y, y ) = nghiệm đại số có hữu hạn nghiệm kỳ dị vậy, đồng thời việc tìm nghiệm kỳ dị đơn giản Tuy nhiên, việc xác định liệu phương trình F (y, y ) = có nghiệm tổng quát đại số hay khơng đưa thuật tốn tính toán tường minh nghiệm tổng quát đại số vấn đề khó Việc sử dụng phộp bin i Măobius trỡnh by cỏc bi bỏo [22, 23] lớp phương trình vi phân đại số cấp khơng autonom biến đổi cách tương đương phương trình autonom có nghiệm tổng qt đại số Như cần nghiên cứu lý thuyết cho vấn đề Bên cạnh đó, dựa vào chặn bậc cho nghiệm đại số không tầm thường phương trình vi phân đại số cấp autonom, ta suy chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số Vấn đề mở rộng cho phương trình vi phân cấp không autonom câu hỏi mở cần nghiên cứu Một nghiệm phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = trường mở rộng vi phân K C(x) phần tử η ∈ K cho F (η, η ) = 0, “ ” phép đạo hàm K mở rộng phép đạo hàm thông thường C(x) Nếu F đa thức bậc theo y phương trình vi phân tương ứng viết dạng hữu tỷ y = P (z, y)/Q(z, y), P Q đa thức biến khơng có nhân tử chung Bài tốn tìm chặn bậc cho nghiệm đại số phương trình vi phân dạng biết đến với tên gọi toán Poincaré Trong báo năm 1994, M M Carnicer [4] giải toán Poincaré trường hợp tổng quát, tức kỳ dị phương trình nondicritical Năm 1998, A Eremenko [12] đưa chặn bậc cho nghiệm hữu tỷ phương trình vi phân F (y, y ) = Liệu kết mở rộng cho nghiệm đại số hay không câu hỏi mở Gần đây, R Feng cộng [13, 2] đưa chặn bậc cho nghiệm đại số tổng quát phương trình vi phân đại số cấp autonom Hơn nữa, việc tính nghiệm tổng quát đại số phương trình quy việc tính nghiệm đại số khơng tầm thường Vấn đề tính tốn tường minh nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp khơng autonom tiếp tục thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhà tốn học ngồi nước năm gần Phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ báo R Feng [13], áp dụng cho phương trình autonom, mở rộng cho lớp phương trình khơng autonom tham số hóa báo L X C Ngo F Winkler [25, 26, 22] Các vấn đề nghiên cứu đầy đủ luận án tiến sĩ N T Vo [34] với thuật toán để tìm nghiệm hữu tỷ phương trình Bên cạnh vấn đề giải phương trình vi phân đại số cấp một, vấn đề xác định tương đương phương trình vi phân đại số đặt Trong báo [23, 24, 21], tác giả đưa quan hệ tương đương khác phương trình vi phân đại số cấp Từ vấn đề giải phương trình vi phân đại số đưa việc giải phương trình lớp tương đương phân loại phương trình theo quan hệ tương đương Mục đích đề tài nhằm tìm kiếm số lớp phương trình vi phân đại số cấp xác định tồn hay không nghiệm tổng quát đại số trường hợp xác định, đưa thuật tốn tính tường minh nghiệm tổng quát đại số Cụ thể, luận án tập trung nghiên cứu vấn đề tồn tính tốn nghiệm tổng qt đại số phương trình vi phân đại số cấp tương đương với phương trình autonom phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ Luận án, phần Mở đầu, Kết luận, Bảng ký hiệu, Danh mục cơng trình khoa học tác giả, Tài liệu tham khảo, bố cục chương: Chương trình bày khái niệm kết sử dụng luận án bao gồm kiến thức sở đại số, đại số vi phân, đường cong đại số hữu tỷ Chương trình bày tổng quan phép biến đổi tương đương phương trình vi phân đại số cấp nghiên cứu phép biến đổi tương đương tương ứng với phép biến đổi Măobius Chỳng tụi a mt tớnh cht bt bin bậc tổng thể vi phân phương trình vi phân đại số cấp Chương đưa số tính chất bảo tồn nghiệm phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp tương đương tác động phép biến đổi Măobius c bit, cỏc nghim tng quỏt i s c bảo tồn Kết hợp với tính chất bất biến bậc tổng thể vi phân, đưa chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp autonom Từ chúng tơi đề xuất thuật tốn tìm nghiệm tổng quát đại số phương trình thuộc lớp tương đương autonom Chương đưa tiêu chuẩn kiểm tra tương đương phương trình vi phân đa thức dạng y = P (x, y) Từ chúng tơi đưa thuật tốn kiểm tra tương đương phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ Cuối chúng tơi đề xuất thuật tốn khác để tính nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ thuộc lớp tương đương autonom Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức sở đại số Nội dung phần trình bày dựa theo tài liệu [18]; [8] 1.2 Đại số vi phân Trong phần chúng tơi trình bày số kiến thức sở vành vi phân, trường vi phân iđêan vi phân Những khái niệm sử dụng làm ngôn ngữ đại số để xây dựng khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm kỳ dị phương trình vi phân Nội dung phần tham khảo từ tài liệu [30, 16, 3] 1.3 Đường cong đại số hữu tỷ Trong phần này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết quan trọng lý thuyết đường cong đại số hữu tỷ dùng Chương Nội dung phần tham khảo từ tài liệu [32] Định lý 3.6 ([2]) Cho F ∈ Q[y, y ] đa thức bất khả quy Q Giả sử P ∈ Q[x, y] bất khả quy P (x, y) = nghiệm đại số không tầm thường phương trình vi phân autonom F (y, y ) = Khi degy P ≤ degy F + degy F degx P = degy F, Hơn nữa, P (x + c, y) = nghiệm tổng quát đại số phương trình F (y, y ) = chặn bậc mịn theo nghĩa phương trình vi phân autonom F (y, y ) = mà chặn bậc đạt dấu 3.2 Một số tính chất bảo toàn nghiệm (1) Định lý 3.7 Cho F, G ∈ AODE K giả sử F ∼ G Khi F có nghiệm tổng quát đại số G có nghiệm tổng quát đại số Định nghĩa 3.8 Cho c ∈ C số, ta định nghĩa ánh xạ tịnh tiến (1) (1) Tc : AODE K → AODE K (1) Tc F = F (x + c, y, y ) với F ∈ AODE K (1) Mệnh đề 3.9 F ∈ AODE K autonom Tc F = F với c ∈ C (1) Định nghĩa 3.10 Cho F ∈ AODE K thuộc lớp autonom ΦM phép biến đổi cho ΦM • F autonom Một nghiệm đại số P (x, y) = F (y, y ) = C(x) gọi không tầm thường tương ứng với ΦM degx (ΦM • P ) > Định lý 3.11 Cho F (y, y ) = phương trình vi phân đại số cấp lớp autonom ΦM phép biến đổi cho ΦM • F = autonom Giả sử P (x, y) = nghiệm đại số không tầm thường F (y, y ) = C(x) tương ứng với ΦM Khi ΦM −1 • (Tc (ΦM • P )) = nghiệm tổng quát đại số phương trình F (y, y ) = 0, c số tùy ý 10 Định lý 3.12 Giả sử phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = thuộc lớp autonom P (x, y) = nghiệm đại số không tầm thường phương trình F (y, y ) = tương ứng với ΦM Khi đó, giống đường cong đại số P (x, y) = giống đường cong đại số F (y, y ) = 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số (1) (1) Định lý 3.13 Cho F ∈ AODE K giả sử tồn ΦM ∈ GK cho ΦM • F phương trình vi phân đại số autonom Khi đó, bậc nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = K bị chặn (δF + degy F ) Hơn nữa, ay + b K = C(x) M (y) = , bậc a, b, c, d nhỏ N , bậc cy + d theo x đa thức tối tiểu nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = nhỏ degy F + N (δF + degy F ) Thuật toán Input: F ∈ K[y, y ], degy F > 0, degy F > 0, M (y) = ay + b để ΦM • F cy + d autonom Output: Tính nghiệm tổng quát đại số F = có Sử dụng Thuật tốn 4.4 [2] để tính nghiệm đại số khơng tầm thường ΦM • F Nếu ΦM • F khơng có nghiệm đại số khơng tầm thường kết luận “ F = khơng có nghiệm tổng quát đại số” Nếu Q(x, y) = nghiệm đại số không tầm thường ΦM • F = nhận từ bước (−cy + a)degy Q Q(x + C, M −1 (y)) = nghiệm tổng quát đại số F = với C số tùy ý 11 Chương Sự tương đương phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ 4.1 Phương trình vi phân đa thức Một phương trình vi phân đa thức có dạng y = an (x)y n + an−1 (x)y n−1 + · · · + a1 (x)y + a0 (x), (4.1) a0 , a1 , , an ∈ K , an = 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b Phương trình (4.1) biến đổi thành z = An (x)z n + An−1 (x)z n−1 + · · · + A1 (x)z + A0 (x), (4.2) Định lý 4.1 Với ≤ i ≤ n − 1, ta có i−1 An−i = − j=0 n−j i−j i−j (−1) ni−j Ai−j n−1 An−j ai−j n i−1 + j=0 n−j i−j i−j (−1) ni−j ai−j n−1 an−j ai−j n + an−i (4.3) Định lý 4.2 Ta có n j=0 j (−1)j Aj An−1 + nj Ajn An−1 nAn = n j=0 j (−1)j aj an−1 + nj ajn an−1 nan 12 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw Phương trình (4.2) biến đổi thành w =a ˜n (x)wn + a ˜n−1 (x)wn−1 + · · · + a ˜1 (x)w + a ˜0 (x), Bằng cách khử a, ta suy hệ phương trình bất biến sau  a ˜i Ai    i−1 = i−1 , ∀i = 2, , n − 1, a ˜nn−1 Ann−1 1  a ˜n An  a ˜1 + = A1 + , a ˜0 a ˜nn−1 = A0 Ann−1 n − 1a ˜n n − An (4.4) (4.5) Nhận xét 4.3 Để phương trình (4.2) biến đổi thành phương trình (4.4) qua phép biến đổi z = aw hệ số a xác định a ˜n = An an−1 Như vậy, nói chung a thuộc mở rộng đại số trường chứa hệ số a ˜n An 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b Định lý 4.4 Với n ≥ 3, hai phương trình vi phân đa thức (4.1) (4.4) tương đương qua phép biến đổi y = aw + b K1 (a) = K1 (˜ a), K0 (a) = K0 (˜ a), Ki (a) = Ki (˜ a), ≤ i ≤ n − (4.6) Hệ 4.5 Phương trình vi phân đa thức (4.1), với n ≥ 3, tương đương với dạng chuẩn tắc sau u = un + Kn−2 (a)un−2 + · · · + K1 (a)u + K0 (a), qua phép biến đổi y = α1 u + β1 với α1n−1 = 4.2 , an β1 = − an−1 nan Phương trình vi phân Riccati Định lý 4.6 Với n = 2, hai phương trình vi phân Riccati (4.1) (4.4) ˜ (a) = K ˜ (˜ tương đương qua phép biến đổi y = aw + b K a) Ví dụ 4.7 Hai phương trình vi phân [15] (danh mục phương trình vi phân Kamke) no.1.140 : y = −y − y − x x 13 4x + y2 + y− −x 2x − x 2x − ˜ (a) = 0, qua phép biến tương đương chúng có bất biến vi phân K 4x − 1 ,b=− đổi xác định y = aw + b với a = 2x − x 2x − x no.1.165 : y = − 2x2 Chú ý 4.8 Trong [9], Czy˙zycki cộng nghiên cứu tương đương phương trình Riccati tác động số nhóm nhóm Lie phép biến đổi tương đương phương trình Riccati Trong số nhóm có nhóm gồm phép biến đổi dạng y = aw + b Mệnh đề 4.9 Phương trình vi phân Riccati tương đương với phương trình vi phân autonom qua phép biến đổi y = aw + b bất biến vi phân ˜ (a) số K ˜ (a) khác số phương trình Riccati xác định C(x) Nếu K ta việc tìm nghiệm đại số phương trình Riccati dựa vào thuật toán Kovacic [17] Chú ý 4.10 Dựa vào phân loại nhóm Galois vi phân phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, tác giả [33, Corollary 1.7] bậc có đa thức tối tiểu nghiệm đại số phương trình Riccati w = w2 + r(x) Chú ý 4.11 Liên quan đến hệ số đa thức tối tiểu nghiệm đại số, A Zharkov (1995) [35, Theorem 1.1] chứng minh phương trình Riccati w + w2 = r, với r ∈ Q(x), có nghiệm đại số tồn đa thức tối tiểu xác định nghiệm mà hệ số nằm mở rộng trường Q với bậc tối đa 4.3 Phương trình vi phân Abel Phương trình vi phân Abel loại có dạng y = a3 y + a2 y + a1 y + a0 (4.7) 14 ∈ K Phương trình vi phân Abel loại hai y = a3 y + a2 y + a1 y + a0 b1 y + b0 biến đổi dạng thứ phép đổi biến b1 y + b0 = v Qua phép biến đổi y = aw + b, phương trình Abel (4.7) biến đổi thành w =a ˜3 w + a ˜2 w + a ˜1 w + a ˜0 Hệ 4.12 Hệ bất biến vi phân sở phương trình Abel  a3 a22   K ( a ) = a + −  1 a3 a3   K0 (a) = 3/2 (3a0 a3 − a1 a2 a3 + a2 a3 − a2 a3 + a2 ) 3a3 (4.8) Hệ 4.13 Hai phương trình vi phân Abel y = a3 y + a2 y + a1 y + a0 w =a ˜3 w + a ˜2 w + a ˜1 w + a ˜0 tương đương qua phép biến đổi y = aw + b K1 (a) = K1 (˜ a) K0 (a) = K0 (˜ a) Ví dụ 4.14 Các phương trình vi phân Abel dt = − (t + x − 1)((t + x)2 − 5(t + x) + 7) dx (4.9) ds = −(s − 1)3 dx tương đương qua phép biến đổi t = s − x + (4.10) Định lý 4.15 Ta đưa phương trình Abel dạng chuẩn tắc sau w = w3 + K1 (a)w + K0 (a) (4.11) Chú ý 4.16 Nếu K0 (a) K2 (a) số phương trình Abel tương đương với phương trình vi phân autonom Chú ý 4.17 Nếu K0 (a) = (4.11) phương trình Bernoulli Định lý 4.18 Có hai dạng chuẩn tắc hữu tỷ khác phương trình Abel: w = a ˜3 w + a ˜1 w, K0 (˜ a) = 0; 15 w = a ˜3 w + a ˜1 w + 1, K0 (˜ a) = Chú ý 4.19 Với phép biến đổi dạng x = φ(t), y(x) = a(t)w(t) + b(t), [1], P Appell (1889) đưa dạng chuẩn tắc phương trình Abel w = w3 + J(t) J(t) bất biến phép biến đổi Vấn đề xác định tương đương hai phương trình Abel qua phép biến đổi E S Cheb-Terrab cộng nghiên cứu [7] 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ Định nghĩa 4.20 Phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = C(x) gọi tham số hữu tỷ đường cong đại số tương ứng F (y, y1 ) = hữu tỷ Định nghĩa 4.21 Phương trình vi phân liên kết F (y, y ) = P(t) = (u(t), v(t)) v(t, x) − ∂u(t,x) dt ∂x = ∂u(t,x) dx (4.12) ∂t Vấn đề chặn bậc cho đường cong đại số bất biến biết với tên gọi “Bài toán Poincaré ” M M Carnicer (1994) nghiên cứu giải trường hợp “nondicritical ” [4] Một có chặn bậc cho đường cong đại số bất biến, tìm chúng dựa vào thuật tốn M J Prelle M F Singer [28, 20] để tìm tất đường cong đại số bất biến Định lý 4.22 Cho G = ΦM • F Giả sử P(t) = (u(t), v(t)) phép tham số hữu tỷ thực F (y, y1 ) = Đặt Q(t) = ΦM (P(t)) Khi G(w, w1 ) = tham số hữu tỷ Q(t) phương trình vi phân liên kết G(w, w ) = phép tham số Q(t) phương trình vi phân liên kết F (y, y ) = phép tham số hữu tỷ P(t) 16 Định lý 4.23 Nếu hai phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ tương đương hai phương trình vi phân liên kết chúng tương đương Định lý 4.24 Cho phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ F (y, y ) = G(w, w ) = với phép tham số hữu tỷ thực tương αt + β ˜ ứng P(t) = (u(t), v(t)) Q(s) = (w(s), z(s)) Giả sử s = γt + δ phép biến đổi tương đương hai phương trình vi phân liên kết tương ứng au + b với α, β, γ, δ ∈ C(x), αδ − βγ = Nếu tồn M (u) = cho cu + d ˜ αt + β ΦM • F = G ΦM (P(t)) = Q γt + δ Thuật toán Input: F (y, y ) = 0, G(w, w ) = tham số hữu tỷ Output: kiểm tra hai phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = G(w, w ) = có tương đương qua phộp bin i Măobius M (u) = au + b cu + d Tính phép tham số hữu tỷ thực P(t) = (u(t), v(t)) F (y, y ) = ˜ phép tham số hữu tỷ thực Q(s) = (w(s), z(s)) G(w, w ) = Tính phương trình vi phân liên kết với P(t), ∂u(t) v(t) − dt ∂x = ∂u(t) dx ∂t ˜ , Tính phương trình vi phân liên kết với Q(s) ∂w(s) z(s) − ds ∂x = ∂w(s) dx ∂s ∂u(t) ∂w(s) z(s) − dt ds ∂x không tương đương với = ∂x Nếu phương trình = ∂w(s) dx ∂u(t) dx ∂s ∂t F (y, y ) = G(w, w ) = không tương đương v(t) − Tìm α, β, γ, δ ∈ C(x), αδ − βγ = cho phép đổi biến s = đổi phương trình liên kết thành phương trình liên kết ˜ αt + β Đặt Q(t) = Q γt + δ αt + β biến γt + δ 17 au + b cho Q(t) = ΦM (P(t)), tức cu + d αt + β αt + β ∂M ∂M w ,z = M (u(t)), (u(t)) + (u(t)) · v(t) γt + δ γt + δ ∂x ∂u Tìm M (u) = Nếu khơng tồn M (u) F (y, y ) = G(w, w ) = không tương đương au + b F (y, y ) = G(w, w ) = tương cu + d đương qua phép biến đổi ΦM Nếu tìm M (u) = 4.5 Nghiệm tổng quát đại số phương trình tham số hữu tỷ thuộc lớp autonom Các kết phần trình bày dựa vào báo [5] Định lý 4.25 Cho F (y, y ) = phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ tương đương với phương trình vi phân autonom Khi tồn phép tham số hữu tỷ thực F (y, y1 ) = để phương trình v(t) dt = ∈ C(t), u(t), v(t) ∈ C(t) vi phân liên kết với có dạng dx u (t) hàm hữu tỷ theo t Định lý 4.26 Cho F (y, y ) = phương trình vi phân đại số cấp C(x) tham số hữu tỷ thuộc lớp tương đương autonom Giả sử (u(t), v(t)) u (t) phép tham số hữu tỷ thực F (y, y1 ) = cho ∈ C(t) Nếu v(t) u (t) dt hàm hữu tỷ phương trình F (y, y ) = có nghiệm tổng v(t) quát đại số Trong [29], R H Risch (1969) đưa thuật tốn xác định tính biểu diễn tích phân hàm hữu tỷ hàm sơ cấp Nói riêng, dựa vào u (t) thuật tốn Risch ta xác định dt hàm hữu tỷ v(t) Mệnh đề 4.27 Giả sử (u(t), v(t)) phép tham số hữu tỷ thực u (t) đường cong F (y, y1 ) = Khi tính hữu tỷ dt khơng phụ thuộc v(t) vào việc chọn phép tham số hữu tỷ thực F (y, y1 ) = 18 Chú ý 4.28 Gần đây, N T Dat cộng [10, Theorem 3.2], [11, Theorem 3.1] u (t) chứng minh điều kiện dt hàm hữu tỷ điều kiện cần v(t) để phương trình vi phân tham số hữu tỷ thuộc lớp autonom F (y, y ) = có nghiệm tổng quát đại số Thuật toán Input: F (y, y ) = tham số hữu tỷ thuộc lớp tương đương autonom qua phép biến đổi ΦM Output: Tính nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = có Dùng ΦM tính phép tham số hữu tỷ thực (u(t), v(t)) F (y, y ) = u (t) cho ∈ C(t) v(t) u (t) u (t) dt Nếu dt khơng phải hàm hữu tỷ v(t) v(t) F (y, y ) = khơng có nghiệm tổng qt đại số Ngồi ra, sang bước Tính tích phân Đặt A(t) = B(t) u (t) P (t) dt = u(t) v(t) Q(t) Nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = res (A(t) − B(t)(x + C), yQ(t) − P (t), t) = 19 KẾT LUẬN Trong luận án chúng tơi đạt kết sau: Đưa số tính chất bậc tổng thể vi phân đa thức vi phân cấp Thiết lập số tính chất bảo tồn liên quan đến nghiệm phương trình vi phân đại số tác động nhóm phép biến i Măobius Ch mt cỏc bt bin phương trình vi phân đa thức Chỉ phương trình vi phân liên kết phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ bất biến Chỉ dạng chuẩn tắc phương trình vi phân liên kết phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ thuộc lớp tương đương autonom 20 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Ngo Lam Xuan Chau, Le Minh Duong, Ha Trong Thi, “Nghiệm liouville phương trình vi phân đại số cấp giống khơng”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, ISSN: 1859-0357, tập 12, số 3, 2018: pp 5-12 Ngo Lam Xuan Chau, Ha Trong Thi, Măobius transformations on algebraic ODEs of order one and algebraic general solutions of the autonomous equivalence classes”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 380 (2020), 112999 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Appell Sur les invariants de quelques équations différentielles J Math Pures Appl., 5:361– 423, 1889 [2] J M Aroca, J Cano, R Feng, and X S Gao Algebraic general solutions of algebraic ordinary differential equations In Proceedings of the 2005 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC ’05, pages 29–36, New York, NY, USA, 2005 ACM [3] M Bronstein Symbolic integration I - Transcendental functions Springer, 2005 [4] M M Carnicer The Poincaré problem in the nondicritical case Ann of Math., 140:289–294, 1994 [5] N L X Chau, L M Duong, and H T Thi Liouvillian solutions of algebraic ordinary differential equations of order one in genus zero Journal of Science, Quy Nhon University, 12 (3):5–12, 2018 [6] N L X Chau and H T Thi Măobius transformations on algebraic ODEs of order one and algebraic general solutions of the autonomous equivalence classes J Comput Appl Math., 380:112999, 2020 [7] E.S Cheb-Terrab and A.D Roche Abel ODEs: Equivalence and integrable classes Comput Phys Commun., 130:204–231, 2000 [8] D Cox, J Little, and D O’shea Ideals, Varieties, and Algorithm - An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra Springer, 1997 [9] T Czy˙zycki and J Hrivnák Equivalence problem and integrability of the Riccati equations Nonlinear Differential Equations and Applications, 17:371–388, 2010 [10] N T Dat and N L X Chau Liouvillian solutions of algebraic ordinary differential equations of order one in genus zero (submitted), 2021 [11] N T Dat and N L X Chau Rational liouvillian solutions of algebraic ordinary differential equations of order one Acta Mathematica Vietnamica, https://doi.org/10.1007/s40306-02000404-z, 2021 [12] A Eremenko Rational solutions of first order differential equations Ann Acad Sci Fenn Math., 23:181–190, 1998 22 [13] R Feng and X-S Gao A polynomial time algorithm for finding rational general solutions of first order autonomous odes J Symbolic Comput., 41:739762, 2006 ă [14] L Fuchs Uber Differentialgleichungen deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen Sitzungsberichte der Kă oniglich preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin, pages 699– 710, 1884 [15] E Kamke Differentialgleichungen, Lă osungsmethoden und Lă osungen, I Gewă ohnliche Differentialgleichungen Akademische Verlagsgesellschaft, 1961 [16] E R Kolchin Differential algebra and algebraic groups Academic Press, 1973 [17] J Kovacic An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations J Symbolic Comput., 2:3–43, 1986 [18] S Lang Algebra Springer, 2002 [19] J Malmquist Sur les fonctions a un nombre fini de branches définies par les équations différentielles du premier ordre Acta Math., 36:297–343, 1913 [20] Y-K Man Computing closed form solutions of first order ODEs using the Prelle-Singer procedure J Symbolic Comput., 16:423–443, 1993 [21] L X C Ngo, K A Nguyen, M van der Put, and J Top Equivalence of differential equations of order one J Symbolic Comput., 71:47–59, 2015 [22] L X C Ngo, J R Sendra, and F Winkler Classification of algebraic odes with respect to rational solvability Contemp Math., 572:193–210, 2012 [23] L X C Ngo, J.R Sendra, and F Winkler Birational transformations on algebraic ordinary differential equations In RISC Report Series, Tech report: 12-18, JKU, Austria, 2012 Research Institute for Symbolic Computation (RISC) [24] L X C Ngo, J.R Sendra, and F Winkler Birational transformations preserving rational solutions of algebraic ordinary differential equations J Comput Appl Math., 286:114–127, 2015 [25] L X C Ngo and F Winkler Rational general solutions of first order non-autonomous parametrizable ODEs J Symbolic Comput., 45:1426–1441, 2010 [26] L X C Ngo and F Winkler Rational general solutions of planar rational systems of autonomous ODEs J Symbolic Comput., 46:1173–1186, 2011 [27] H Poincaré Sur L’intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré Rend Circ Mat Palermo, 5:161–191, 1891 [28] M J Prelle and M F Singer Elementary first integrals of differential equations Trans Amer Math Soc., 279(1):215–229, 1983 23 [29] Robert H Risch The problem of integration in finite terms Trans Amer Math Soc., 139:167– 189, 1969 [30] J F Ritt Differential algebra American Mathematical Society, 1950 [31] F Schwarz Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis Group, 2008 [32] J R Sendra, F Winkler, and Sonia Pérez-Díaz Rational Algebraic Curves - A Computer Algebra Approach Springer, 2008 [33] F Ulmer and J A Weil Note on Kovacic’s algorithm J Symbolic Comput., 22:179–200, 1996 [34] N T Vo Rational and Algebraic Solutions of First-Order Algebraic ODEs Ph.D thesis, Johannes Kepler University, Linz, Austria, 2016 [35] A Zharkov Coefficient fields of solutions in Kovacic’s algorithm J Symbolic Comput., 19:403– 408, 1995 ... phương trình vi phân đa thức Chỉ phương trình vi phân liên kết phương trình vi phân đại số cấp tham số hữu tỷ bất biến Chỉ dạng chuẩn tắc phương trình vi phân liên kết phương trình vi phân đại số cấp. .. Nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp 3.1 Nghiệm đại số 3.2 Một số tính chất bảo tồn nghiệm 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số. .. [13, 2] đưa chặn bậc cho nghiệm đại số tổng quát phương trình vi phân đại số cấp autonom Hơn nữa, vi? ??c tính nghiệm tổng quát đại số phương trình quy vi? ??c tính nghiệm đại số khơng tầm thường Vấn