65 CAU TN VECTO TRONG KHONG GIAN

65 CAU TN VECTO TRONG KHONG GIAN tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...

CHUYÊN ĐỀ 8 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các đònh nghóa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như : . Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ∀ABJJJG + BCJJJG = ACJJJG . Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2 cạnh là 2 vectơ đã cho. . I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có: MI = JJJG2MA MB+JJJJG JJJJG . G là trọng tâm của ΔABC ⇔ GAJJJG + GBJJJG + GCJJJG = 0G. Ngoài ra ta còn có : . Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng . 0G . Bất kỳ vectơ a 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong không gian, đều có thể phân tích theo G≠G1eG2eG1eG, 2eG có nghóa: a = Gα1eG + β2eG (α,β ∈ R) và sự phân tích trên là duy nhất . . Bất kỳ vectơ a nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ không đồng phẳng , , có nghóa : G≠0G1eG G G2e3e a = + βGα1eG2eG + γ3eG (α,β,γ∈ R) . G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD + + GC + ⇔GAJJJGGBJJJGJJJGGDJJJG = 0G Ghi chú : 1) Nếu một trong 3 vectơ , aGbG, cG là 0G thì chúng đồng phẳng. 2) a, b, c đồng phẳng ⇔ GGG,. 0ab c⎡⎤=⎣⎦G GG 1 3) OA, OB, đồng phẳng JJJG JJJGOCJJJG⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ ABCA′B′C′. Gọi I, I′ lần lượt là trọng tâm của ΔABC và ΔA′B′C′, O là trung điểm của II′. a) Chứng minh rằng + + OBOAJJJGOA′JJJJG JJJG + OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABCC′ và M là trung điểm của A′B′. Chứng minh rằng O, M, G thẳng hàng. c) Tính tỉ số OMOGJJJJGJJJG Giải a) + OA + + OAJJJG′JJJJGOBJJJGOB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G I là trọng tâm của ABC ⇒ ΔIAJJG + IBJJG + ICJJG = 0G ( + ) + (IO + OB) + (⇒IOJJGOAJJJGJJG JJJGIOJJG + OCJJJG) = 0G OA + + OC = 3OI ⇒JJJGOBJJJGJJJG JJG Tương tự, là trọng tâm của I′ΔA′B′C′ OA + + OC = 3OI⇒′JJJJGOB′JJJJG′JJJJG′JJJG Vậy OA + JJJGOA′JJJJG + OB + JJJGOB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = = 3OIJJG + 3OI′JJJG = 3(OIJJG + OI′JJJG) = 0G (vì 0 là trung điểm II′) b) O, M, G thẳng hàng G là trọng tâm của tứ diện ABCC′ ⇒ GA + + GC + JJJGGBJJJGJJJGGC′JJJJG = 0G ⇒ ( + OA) + (GO + ) + (GOJJJGJJJG JJJGOBJJJGGOJJJG + OCJJJG) + (GOJJJG + OC′JJJJG) = 0 G⇒ OA + + OC + OCJJJGOBJJJGJJJG′JJJJG = 4OGJJJG M là trung điểm của A B′′ ⇒ OA + = 2OM ′JJJJGOB′JJJJGJJJJG⇒ OA + + OC + OCJJJGOBJJJGJJJG′JJJJG + OA′JJJJG + OB′JJJJG = 4OGJJJG + 2OMJJJJG 2 ⇒ 0 = 4 + 2OM GOGJJJGJJJJG⇒ OM = –2 JJJJGOGJJJG⇒ OM cùng phương với OGJJJJGJJJG ⇒ OM, OG cùng giá (vì cùng gốc O) JJJJG JJJG⇒ O, M, G thẳng hàng. c) Tỉ số JJJJGJJJGOMOG OMJJJJG = –2 OGJJJG⇒OMOGJJJJGJJJG = –2 Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ với AA′JJJJG = aG, ABJJJG = bG, /ACJJJJG = . Hãy biểu thò các vectơ cGADJJJG, A C′JJJJGJJJJG JJJJG, , theo các vectơ aBD′BD′G, bG, cG. Giải Ta có với hình hộp ABCD. A′B′C′D′ thì : ADJJJG = AC′JJJJG + /CD′JJJJJG + DD′JJJJG = cG – bG – aG A C′JJJJG = A A′JJJJG + /ACJJJJG+ /CCJJJJGA C′JJJJG = –2aG + cGBD′JJJJG = BB′JJJJG + BAJJJG + ADJJJG = – aG –bG + cG – – bGaG = – 2aG – 2bG + cG BD′JJJJG = BAJJJG + ADJJJG + DD′JJJJG = –bG + (cG – – a) + bGGaG = – 2bG + cG * * * D′ A B′ ′cG B C D A aC′ G bG 3 65-CAU TRAC NGHIỆM VECTO TRONG KHONG GIAN r r r r r r u r r r r r r Câu 1: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3b − 2c Chọn khẳng định đúng?u r r r u r A Hai vectơ y; z phương B Hai vectơ x; y phương r r r u r r C Hai vectơ x; z phương D Ba vectơ x; y; z đồng phẳng Câu 2: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur r A Nếu ABCD hình bình hành OA + OB + OC + OD = uuu r uuur uuur uuur r B Nếu ABCD hình thang OA + OB + 2OC + 2OD = uuu r uuur uuur uuur r C Nếu OA + OB + OC + OD = ABCD hình bình hành uuu r uuur uuur uuur r D Nếu OA + OB + 2OC + 2OD = ABCD hình thang Câu 3: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định đúng? uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuur A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B CD1 , AD, A1B1 đồng phẳng uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur C CD1 , AD, A1C đồng phẳng D AB, AD, C1 A đồng phẳng r r r r r r u r r r r r r r Câu 4: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a + b; y = a − b − c; z = −3b − 2c Chọn khẳng định đúng? r u r r r r A Ba vectơ x; y; z đồng phẳng B Hai vectơ x; a phương r r r u r r C Hai vectơ x; b phương D Ba vectơ x; y; z đôi phương Câu 5: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuu r uuuur uuuur uuuu r AB + B1C1 + DD1 = k AC1 A k = B k = C k = D k = uuuu r r uuur r Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC ' = u , CA ' = v , r u r uuuu r r uuuu BD ' = x , DB ' = y đúng? uur r uur r r r r u r r r u A 2OI = − (u + v + x + y ) B 2OI = − (u + v + x + y ) uur r r r u r uur r r r u r C 2OI = (u + v + x + y) D 2OI = (u + v + x + y ) uuur r uuur r uuur r uuur ur Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt AA1 = a, AB = b, AC = c, BC = d , đẳng thức sau, đẳng thức r rnàor đúng? ur r r r r ur r r ur r r r r A a + b + c + d = B a + b + c = d C b − c + d = D a = b + c Câu 8: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hành BCGF Trong u định sau, khẳng định đúng? uur khẳng uuur uuu r uuur uur uuur A BD, AK , GF đồng phẳng B BD, IK , GF đồng phẳng uuur uuur uuur C BD, EK , GF đồng phẳng D Các khẳng định sai Câu 9: Trong khẳng định r sau, r r khẳng định sai? A Nếu giá ba vectơ a, b, c cắt đôi ba vectơ đồng phẳng r r r r B Nếu ba vectơ a, b, c có vectơ ba vectơ đồng phẳng r r r C Nếu giá ba vectơ a, b, c song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng r r r D Nếu ba vectơ a, b, c có hai vectơ phương ba vectơ đồng phẳng Câu 10: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r r uuuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r A AC1 + A1C = AC B AC1 + CA1 + 2C1C = C AC1 + A1C = AA1 D CA1 + AC = CC1 Câu 11: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề uuu r u uu rsauuuđây: ur uuur r A Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA = uuu r uuur B Tứ giác ABCD hình bình hành AB = CD Trang 1/6 - Mã đề thi 999 65-CAU TRACuurNGHIỆM TRONG KHONG GIAN uuu r uurVECTO uur C Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình bình hành uuu r uuur uuur D Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD Câu 12: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Trên đường chéo BD AD mặt bên lấy hai điểm M, N cho DM = AN MN song song với mặt phẳng sau đây? A ( ADB ') B ( A ' D ' BC ) C ( A ' AB ) D ( BB ' C ) Câu 13: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là: uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur A OA + OB = OC + OD B OA + OC = OB + OD 2 uuu r u uur uuur uuu2r uuu r u uu r uuur uuu2r r C OA + OC = OB + OD D OA + OB + OC + OD = Câu 14: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi I K tâm hình bình hành ABB’A’ BCC’B’ Khẳng định sau sai ? uur uuur uuuuu r A Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng B IK = AC = A ' C ' 2 uuur uur uuuuu r uuur uur uuur C Ba vectơ BD; IK ; B ' C ' không đồng phẳng D BD + IK = BC Câu 15: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M, N cho AM = 3MD; BN = NC Gọi P, Q trung điểm AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur A Các vectơ BD, AC , MN không đồng phẳng B Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng uuu r uuur uuur uuu r uuur uuuu r C Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng D Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây: uuu r uuur a2 uuur uuur uuu r uuur r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur A AD + CD + BC + DA = C AC.AD = AC.CD D AB ⊥ CD hay AB.CD = AB.AC = B uuu r r uuur r uuur r Câu 17: Cho tứ diện ABCD Đặt AB = a, AC = b, AD = c, gọi G trọng tâm tam giác BCD Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? uuur r r ur uuur r r ur uuur r r ur uuur r r ur A AG = b + c + d B AG = b + c + d C AG = b + c + d D AG = b + c + d Câu 18: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Gọi M trung điểm AD Chọn đẳng thức uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur A B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1 B C1M = C1C + C1 D1 + C1 B1 uuuur uuuu r uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuu r C C1M = C1C + C1D1 + C1B1 D BB1 + B1 A1 + B1C1 = B1 D 2 uuu r uuur uuur uuur r Câu ... CHUYÊN ĐỀ 8 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các đònh nghóa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như : . Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ∀ABJJJG + BCJJJG = ACJJJG . Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2 cạnh là 2 vectơ đã cho. . I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có: MI = JJJG2MA MB+JJJJG JJJJG . G là trọng tâm của ΔABC ⇔ GAJJJG + GBJJJG + GCJJJG = 0G. Ngoài ra ta còn có : . Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng . 0G . Bất kỳ vectơ a 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong không gian, đều có thể phân tích theo G≠G1eG2eG1eG, 2eG có nghóa: a = Gα1eG + β2eG (α,β ∈ R) và sự phân tích trên là duy nhất . . Bất kỳ vectơ a nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ không đồng phẳng , , có nghóa : G≠0G1eG G G2e3e a = + βGα1eG2eG + γ3eG (α,β,γ∈ R) . G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD + + GC + ⇔GAJJJGGBJJJGJJJGGDJJJG = 0G Ghi chú : 1) Nếu một trong 3 vectơ , aGbG, cG là 0G thì chúng đồng phẳng. 2) a, b, c đồng phẳng ⇔ GGG,. 0ab c⎡⎤=⎣⎦G GG 1 3) OA, OB, đồng phẳng JJJG JJJGOCJJJG⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ ABCA′B′C′. Gọi I, I′ lần lượt là trọng tâm của ΔABC và ΔA′B′C′, O là trung điểm của II′. a) Chứng minh rằng + + OBOAJJJGOA′JJJJG JJJG + OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABCC′ và M là trung điểm của A′B′. Chứng minh rằng O, M, G thẳng hàng. c) Tính tỉ số OMOGJJJJGJJJG Giải a) + OA + + OAJJJG′JJJJGOBJJJGOB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G I là trọng tâm của ABC ⇒ ΔIAJJG + IBJJG + ICJJG = 0G ( + ) + (IO + OB) + (⇒IOJJGOAJJJGJJG JJJGIOJJG + OCJJJG) = 0G OA + + OC = 3OI ⇒JJJGOBJJJGJJJG JJG Tương tự, là trọng tâm của I′ΔA′B′C′ OA + + OC = 3OI⇒′JJJJGOB′JJJJG′JJJJG′JJJG Vậy OA + JJJGOA′JJJJG + OB + JJJGOB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = = 3OIJJG + 3OI′JJJG = 3(OIJJG + OI′JJJG) = 0G (vì 0 là trung điểm II′) b) O, M, G thẳng hàng G là trọng tâm của tứ diện ABCC′ ⇒ GA + + GC + JJJGGBJJJGJJJGGC′JJJJG = 0G ⇒ ( + OA) + (GO + ) + (GOJJJGJJJG JJJGOBJJJGGOJJJG + OCJJJG) + (GOJJJG + OC′JJJJG) = 0 G⇒ OA + + OC + OCJJJGOBJJJGJJJG′JJJJG = 4OGJJJG M là trung điểm của A B′′ ⇒ OA + = 2OM ′JJJJGOB′JJJJGJJJJG⇒ OA + + OC + OCJJJGOBJJJGJJJG′JJJJG + OA′JJJJG + OB′JJJJG = 4OGJJJG + 2OMJJJJG 2 ⇒ 0 = 4 + 2OM GOGJJJGJJJJG⇒ OM = –2 JJJJGOGJJJG⇒ OM cùng phương với OGJJJJGJJJG ⇒ OM, OG cùng giá (vì cùng gốc O) JJJJG JJJG⇒ O, M, G thẳng hàng. c) Tỉ số JJJJGJJJGOMOG OMJJJJG = –2 OGJJJG⇒OMOGJJJJGJJJG = –2 Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ với AA′JJJJG = aG, ABJJJG = bG, /ACJJJJG = . Hãy biểu thò các vectơ cGADJJJG, A C′JJJJGJJJJG JJJJG, , theo các vectơ aBD′BD′G, bG, cG. Giải Ta có với hình hộp ABCD. A′B′C′D′ thì : ADJJJG = AC′JJJJG + /CD′JJJJJG + DD′JJJJG = cG – bG – aG A C′JJJJG = A A′JJJJG + /ACJJJJG+ /CCJJJJGA C′JJJJG = –2aG + cGBD′JJJJG = BB′JJJJG + BAJJJG + ADJJJG = – aG –bG + cG – – bGaG = – 2aG – 2bG + cG BD′JJJJG = BAJJJG + ADJJJG + DD′JJJJG = –bG + (cG – – a) + bGGaG = – 2bG + cG * * * D′ A B′ ′cG B C D A aC′ G Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THU THỦ Y XÂY DỰNG NỘ I DUNG TRANG WEB HỖ TRỢ VIỆ C DẠY HỌC CHƢƠNG ”VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓ C” THEO CHƢƠNG TRÌ NH TOÁ N LỚ P 11 TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THU THỦ Y XÂY DỰNG NỘ I DUNG TRANG WEB HỖ TRỢ VIỆ C DẠY HỌC CHƢƠNG "VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓ C" THEO CHƢƠNG TRÌ NH TOÁ N LỚ P 11 TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Thái Lai THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bà y tỏ lò ng b iế t ơn sâu sắ c tới PGS .TS. Đào Thái Lai, người thầy đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể các thầy cô giáo trong Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Quản lí khoa học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và PGS.TS Bùi Văn Nghị, TS Nguyễn Anh Tuấn giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo , trường THPT Tứ Sơn tỉnh Bắ c Giang, các bạn đồng nghiệp, gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Đặc biệt, qua đây tôi xin bà y tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới NCS . Nguyễ n Văn Hồ ng đã dành nhiều thời gian và công sức giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này. Bắ c Giang, ngày 08 tháng 08 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM --------------------------------- NGUYỄN THỊ HÕA NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -------------------------------- NGUYỄN THỊ HÕA NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Lê Văn Chóng THÁI NGUYÊN-2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 MỤC LỤC Mở đầu .1 Chương 1. NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM 1.1. Bổ đề KKM ……………………………………………………… 3 1.2. Nguyên lí ánh xạ KKM ……………………………………………7 1.3. Bất đẳng thức Ky Fan ……………………………………………10 Chương 2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ 2.1. Nón và quan hệ thứ tự theo nón ………………………………… 13 2.2. Bài toán cân bằng vô hướng …………………………………… 16 2.3. Bài toán cân bằng vectơ không có giả thiết đơn điệu ………… 23 2.4. Bài toán cân bằng vectơ giả đơn điệu ………………………… 28 2.5. Bài toán cân bằng vectơ tựa đơn điệu …………………………… 34 2.6. Một số mở rộng ………………………………………………… 39 Chương 3. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ 3.1.Bài toán cân bằng vectơ đa trị không có giả thiết đơn điệu …… 51 3.2. Bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu ………………………… 56 Kết luận …………………………………………………………… 63 Tài liệu tham khảo ……………………… 64 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 MỞ ĐẦU Để đưa ra một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp của Định lí điểm bất động Brouwer (1912), ba nhà toán học Balan là Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng về giao khác rỗng của hữu hạn các tập đóng trong không gian hữu hạn chiều (1929), kết quả này sau gọi là Bổ đề KKM. Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề này ra không gian vô hạn chiều, kết quả này sau gọi là Nguyên lí ánh xạ KKM. Năm 1972, dùng Nguyên lí ánh xạ KKM Ky Fan chứng minh một bất đẳng thức quan trọng, sau gọi là Bất đẳng thức Ky Fan. Sau khi được công bố, Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích hàm phi tuyến. Phương pháp tiếp cận xây dựng bất đẳng thức này từ Nguyên lí ánh xạ KKM là ý tưởng khởi nguồn của nhiều nghiên cứu tiếp theo về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trong các không gian khác nhau (như không gian vectơ tôpô, không gian G-lồi, không gian siêu lồi…). Trong không gian vectơ tôpô , cách tiếp cận trên được nghiên cứu mở rộng ra bài toán cân Đáp án 1A 2B 3B 4D 5A 6B 7C 8A 11B 12A 13C 14B 15D 16C 17A 18C 21C 22D 23A 24C 25A 26B 27D 28B 9B 19B 29A 10A 20A 30C ... ) Trang 2/6 - Mã đề thi 999 65- CAU TRAC NGHIỆM VECTO TRONG KHONG GIAN uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur C AO = AB + AD + AA1 D AO = AB + AD + AA1 Câu 23: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề... ' C = a + b + c D B ' C = − a − b + c A k = Trang 3/6 - Mã đề thi 999 65- CAU TRAC NGHIỆM VECTO TRONG KHONG GIAN Câu 34: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? uuu r r uuu A Nếu AB = − BC B trung.. .65- CAU TRACuurNGHIỆM TRONG KHONG GIAN uuu r uurVECTO uur C Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình