Chương III - Bài 1: Vectơ trong không gian

vect¬ vµ c¸c phÐp to¸n vect¬ vect¬ vµ c¸c phÐp to¸n vect¬ P A B C D a r 1.Vect¬ trong kh«ng gian 1.Vect¬ trong kh«ng gian 1/ Định nghĩa : 1/ Định nghĩa : Véc tơ trong không gian là một Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng định hướng đoạn thẳng định hướng Ký hiệu : Ký hiệu : Ví dụ 1 Ví dụ 1 : : Cho tứ diện SABC Cho tứ diện SABC a)Hãy chỉ ra các véc tơ có điểm a)Hãy chỉ ra các véc tơ có điểm đầu là S, điểm cuối là các đỉnh đầu là S, điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ diện ? còn lại của tứ diện ? b) Các véc tơ đó có cùng nằm b) Các véc tơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không ? trong một mặt phẳng không ? AB uuur , , , , , .a b x y r r r r S A B C 1.Vect¬ trong kh«ng gian 1.Vect¬ trong kh«ng gian A D B C d.Vect¬ b»ng nhau: DA = CB E F Ví dụ 2 : Cho hình bên a. Các véc tơ cùng phương , , & ,AB CD EF DA CB uuur uuur uuur uuur uuur b. Các véc tơ cùng hướng & , &AB EF DA CB uuur uuur uuur uuur c. Các véc tơ ngược hướng , &AB EF CD uuur uuur uuur 1.Vect¬ trong kh«ng gian 1.Vect¬ trong kh«ng gian A O C a) PhÐp céng vect¬: Qui t¾c ba ®iÓm : Qui t¾c hinh binh hµnh : b. PhÐp trõ vect¬ : c. PhÐp nh©n vect¬ víi mét sè thùc k: Cïng h­íng víi nÕu k > 0 Ng­îc h­íng víi nÕu k < 0 và d. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬: 2/Các phép toán véc tơ trong không gian 2/Các phép toán véc tơ trong không gian B OA AC OC + = uuur uuur uuur OA OB BA − = uuur uuur uuur OA OB OC+ = uuur uuur uuur . . cos( , )OA OB OA OB OA OB = uuur uuur uuur uuur ka r .ka k a = r r a r a r 2/Các phép toán véc tơ trong không gian 2/Các phép toán véc tơ trong không gian e. Qui t¾c hinh hép: e. Qui t¾c hinh hép: AC BD AD BC + = + uuur uuur uuur uuur ' 'AC AB AD AA = + + uuuur uuur uuur uuur B' C' A' D A B C D' VÝ dô : Cho tø diÖn ABCD a)Chøng minh r»ng : A C D B Gi¶i Theo qui t¾c ba ®iÓm ta cã: AC AD DC = + uuur uuur uuur Do ®ã : AC BD AD DC BD + = + + uuur uuur uuur uuur uuur ( )AD BD DC = + + uuur uuuur uuur AD BC = + uuur uuur b r a r c r Gäi M,N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD, G lµ träng t©m tø Gäi M,N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD, G lµ träng t©m tø diÖn diÖn b) Chøng minh r»ng : b) Chøng minh r»ng : 0GA GB GC GD + + + = uuur uuur uuur uuur r 2GC GD GN + = uuur uuur uuur 2GA GB GM + = uuur uuur uuuur A C D B n m g Ta cã: 2( )GA GB GC GD GM GN ⇒ + + + = + uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur 0 = r c)Chøng minh r»ng ∀ ®iÓm M ta ®Òu cã 4MA MB MC MD MG + + + = uuur uuur uuuur uuuur uuuur MA MB MC MD + + + = uuur uuur uuuur uuuur Ta cã: ( )MA MB MC MD + + + + uuur uuur uuuur uuuur 4MG = uuuur ( )MG GA + uuuur uuur ( )MG GB + + uuuur uuur ( )MG GC + + uuuur uuur ( )MG GC + + uuuur uuur 4MG = uuuur II. Các véc tơ đồng phẳng: Trong không gian ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng b c b c o a * Nhận xét: thi ba véc tơ đồng phẳng bốn điểm O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng a 1. định nghĩa: , ,OA a OB b OC c = = = uuur uuur uuur r r r , ,a b c r r r A B C a) định lí 1 cho ba véc tơ trong đó không cùng phương đồng phẳng duy nhất k, l sao cho 2) 2) đ đ iều kiện đồng phẳng của ba véc tơ : iều kiện đồng phẳng của ba véc tơ : , ,a b c r r r , ,a b c r r r ,a b r r c ka lb = + r r r a r b r c r A B C O Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cmr : ba véc tơ đồng phẳng , ,BC MN AD uuur uuuur uuur A C B D M N P Q T giỏc MPNQ l hỡnh bỡnh hnh => MP MQ MN + = uuur uuuur uuuur M 1 2 MP BC = uuur uuur 1 2 MQ AD = uuuur uuur => 1 1 2 2 MN BC AD = + uuuur uuur uuur , ,BC MN AD uuur uuuur uuur => ng phng b) định lý 2 : , ,a b c r r r x r x ma nb pc = + + r r r r Trong không gian cho ba véc tơ không đồng phẳng .Khi đó với mọi véc tơ ta đều tìm được duy nhất một bộ ba số m,n,p sao cho : A' D' C' B' C B A D Ví dụ: Cho hinh hộp ABCD.ABCD có Gọi I là trung điểm của BG.Hãy biểu diễn qua ba véc tơ , , 'AD a AB b AA c= = = uuur uuur uuur r r r 'A I uuur , ,a b c r r r I Ta có: 1 ' ( ' ' ' ) 2 A I A D A C = + uuur uuuuur uuuur Trong đó 1 1 1 ' ( ) 2 2 2 A I a a b c a b c = + + + = + + uuur r r r r r r r ' ' ' ' ' 'A C A D A B AA = + + uuuur uuuuur uuuuur uuur a b c = + + r r r O a r b r c r x r D D A B C . a r 1.Vect¬ trong kh«ng gian 1.Vect¬ trong kh«ng gian 1/ Định nghĩa : 1/ Định nghĩa : Véc tơ trong không gian là một Véc tơ trong không gian là một đoạn. nằm trong một mặt phẳng không ? trong một mặt phẳng không ? AB uuur , , , , , .a b x y r r r r S A B C 1.Vect¬ trong kh«ng gian 1.Vect¬ trong kh«ng gian