skkn:tu bai toan don gian den phuc tap

a. Đặt vấn đề Trong dạy - học toán, việc tìm tòi khai thác và phát triển các bài toán từ dễ đến khó, cũng nh việc xâu chuổi cùng 1 dạng toán với nhau là vô cùng cần thiết. Mặt khác trong xu thế đổi mới phơng pháp dạy học và đổi mới sách giáo khoa nh hiện nay thì việc khai thác, phát triển và xâu chuổi các bài toán là yêu cầu tất yếu. Thực tế qua nhiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, sách nâng cao ta thấy ngời ta đã chú trọng hớng đi này. Đó là con đờng giúp cho học sinh phát triển t duy sáng tạo, nắm bắt các kiến thức một cách có hệ thống vào tạo hứng thú học tập cho các em. Hơn nữa trong quá trình giảng dạy việc xâu chuỗi bài toán từ dễ đến khó (cùng 1 dạng toán) đó là phơng án tối u để học sinh học đạt kết quả cao và tốn ít thời gian. Nó khắc phục sự choáng ngợp của học sinh trớc những bài toán khó. Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 8 - tôi thấy có những bài toán liên quan đến nhau từ đơn giản đến phức tạp. Nếu chúng ta biết cách xâu chuỗi thì việc giải các bài toán khó tơng tự hết sức đơn giản. Xuất phát từ ý tởng trên. Tôi xin đa ra 1 sáng kiến Giải các bài toán phức tạp từ bài toán đơn giản. b. giải quyết vấn đề I. Nội dung bài toán Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức: )1( 1 1 11 + = + xxxx * Chứng mình: Thật vậy: )1( 1 )1( 1 1 11 + = + + = + xxxx xx xx VD = VT: Đẳng thức đợc chứng minh (Với bài toán trên học sinh dễ dàng chứng minh) II. Các bài toán phức tạp hơn 1 Bài toán 2: Tính tổng: )100)(99( 1 . )3)(2( 1 )2)(1( 1 )1( 1 ++ ++ ++ + ++ + + xxxxxxxx * Nếu không có bài toán 1 thì việc giải quyết bài toán 2 học sinh sẽ thấy rất phức tạp và không biết xuất phát tính từ đâu. Tuy nhiên khi có bài toán 1 thì việc giải quyết bài toán 2 trở nên rất đơn giản. Giải: Từ bài toán 1 ta có: 1 11 )1( 1 + = + xxxx 2 1 1 1 )2)(1( 1 + + = ++ xxxx 3 1 2 1 )3)(2( 1 + + = ++ xxxx 100 1 99 1 )100)(99( 1 + + = ++ xxxx Vậy ta có: )1( 1 + xx + )2)(1( 1 ++ xx + )3)(2( 1 ++ xx + . + )100)(99( 1 ++ xx 100 1 99 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 11 + + ++ + + + + + + + = xxxxxxxx 100 11 + = xx = )100( 100 + + xx xx = )100( 100 + xx (Chú thích: các thừa số ở mỗi mẫu đều hơn kếm nhau 1 đơn vị). Bài toán 3: Tính tổng: 209 1 127 1 65 1 23 11 22222 ++ + ++ + ++ + ++ + + xxxxxxxxxx 2 * Bài toán 3 này nằm trong hệ thống bài toán 1, bài toán 2, khi nhìn qua thì tởng không có gì liên quan. Nhng suy nghĩ thì học sinh sẽ có một manh nha với nhau. Giáo viên có thể hớng dẫn: ? Hãy phân tích thành nhân tử các mẫu của các phân thức trên Giải: Ta có: )1( 11 2 + = + xx xx )2)(1( 1 23 1 2 ++ = ++ xx xx )3)(2( 1 65 1 2 ++ = ++ xx xx )2)(3( 1 127 1 2 ++ = ++ xx xx )5)(4( 1 209 1 2 ++ = ++ xx xx s Vậy: 209 1 127 1 65 1 23 11 22222 ++ + ++ + ++ + ++ = + xxxxxxxxxx )5)(4( 1 )4)(3( 1 )3)(2( 1 )3)(2( 1 )2)(1( 1 )1( 1 ++ + ++ + ++ + ++ + ++ = + xxxxxxxxxxxx (Lại quay về bài toán 2) Bài toán 4: Tính tổng: )1( 1 . 5.4 1 4.3 1 3.2 1 + ++++ nn (n là h số) * Khi gặp bài toán này học sinh cũng dễ dàng làm đợc vì nó cũng có dạng tơng tự nh bài toán 1. Giải: )1(2 1 1 1 2 1 )1( 1 . 4.3 1 3.2 1 + = + = + +++ n n nnn Bài toán 5: Tính tổng: )12)(12( 1 . 7.5 1 5.3 1 3.1 1 + ++++ nn Giáo viên có thể nêu câu hỏi 3 ? Hãy quan sát 2 thừa số ở mỗi mẫu đều có chung đặc điểm gì học sinh quan sát và sẽ thấy ngay. Nhận xét: 2 thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị. Giải: Chính vì có nhận xét trên nên ta áp dụng bài toán 1 và dễ dàng chứng minh đợc + = + 12 1 12 1 2 1 )12)(12( 1 nnnn Vậy: = 3 1 1 2 1 3.1 1 = 5 1 3 1 2 1 5.1 1 = 7 1 5 1 2 1 7.5 1 . + = + 12 1 12 1 2 1 )12)(12( 1 nnnn Nên: )12)(12( 1 . 7.5 1 5.3 1 3.1 1 + ++++ nn = + + ++++ 12 1 12 1 . 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 nn = + 12 1 1 2 1 n = + + 12 112 2 1 n n = 12 + n n Bài toán 6: Tính tổng: )14)(34( 1 . 13.9 1 9.5 1 5.1 1 + ++++ nn Ta lại có nhận xét: * Các thừa số ở mỗi mẫu hơn kém nhau 4 đơn vị. Nên áp dụng bài toán 1 ta có: 4 + = + 14 1 34 1 4 1 )14)(34( 1 nnnn Vậy: = 5 1 1 4 1 5.1 1 = 9 1 5 1 4 1 9.5 1 = 13 1 9 1 4 1 13.9 1 + = + 14 1 34 1 4 1 )14)(34( 1 nnnn Nên: )14)(34)(34( 1 13.9 1 9.5 1 5.1 1 + ++++ nnn = + 14 1 1 4 1 n = + + 14 114 4 1 n n = 1414 4 . 4 1 + = + n n n n Bài toán 7: Tính tổng: )17)(67( 1 . 22.15 1 15.8 1 8.1 1 + ++++ nn Ta có nhận xét: * Các thừa số ở mỗi mẫu hơn kém nhau 7 đơn vị áp dụng bài toán 1 ta có: + = + 17 1 67 1 7 1 )17)(67( 1 nnnn Vậy: = 15 1 1 7 1 8.1 1 = 15 1 1 7 1 15.8 1 5 = 22 1 15 1 7 1 22.15 1 . + = + 17 1 67 1 7 1 )17)(67( 1 nnnn Nên: )17)(67( 1 22.15 1 15.8 1 8.1 1 + ++++ nn = + 17 1 1 7 1 n = + + 17 117 7 1 n n = 1717 7 . 7 1 + = + n n n n Nhận xét: Qua chuỗi phân tích các bài toán trên ta có thể phát triển thêm các bài toán khó hơn và tổng quát hơn. c. kết luận Trên đây là một số bài toán đợc xâu chuỗi thành một dạng toán từ một bài toán đơn giản. Qua áp dụng thực tiến cho thấy việc làm này giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức có hệ thống và mất ít thời gian. T duy sáng tạo nơi học sinh đợc phát triển và nó còn giúp cho học sinh có hứng thú trong học tập bộ môn Toán. Tuy nhiên, trên chỉ là bớc khai thác ở Đại số 8 và còn rất nhiều hạn chế. Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý độc giả để sáng kiến hoàn thiện hơn. 6 sở giáo dục - đào tạo Hà tĩnh --------- --------- sáng kiến kinh nghiệm Giải các bài toán phức tạp từ bài toán đơn giản ------------------------------------ . dạng toán) đó là phơng án tối u để học sinh học đạt kết quả cao và tốn ít thời gian. Nó khắc phục sự choáng ngợp của học sinh trớc những bài toán khó. Trong. thấy việc làm này giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức có hệ thống và mất ít thời gian. T duy sáng tạo nơi học sinh đợc phát triển và nó còn giúp cho học sinh