Mở rộng từ bài toán đơn giản

MỞ RỘNG TỪ MỘT BÀI TỐN ĐƠN GIẢN (Nguyễn Cơng Phúc-10Toán, Lương Thế Vinh, Đồng Nai) I)Mở đầu Trong đợt tập huấn huấn Vũng Tàu, có tốn nhìn vào khó lời giải đơn giản Bài 1: Tồn hay không số a, b, c  Z thỏa a  b  c5 Lời giải Từ đẳng thức 225  224  224 Suy  25    28    26  Chọn a  28 ; b  26 ; c  25 Vậy tồn a, b, c thỏa yêu cầu đề Dưới số mở rộng Bài 2:(Canada 1991) Chứng minh phương trình x  y  z có vơ số nghiệm ngun dương Lời giải m m m m m1 m 1 Đặt x  ; y  ; z  , x  y  z m m m 1 Ta cần tìm m cho ; ; nguyên xong Đây toán bậc đơn giản ta tìm m  6(5k  4) Vậy x  3(5 k  ) ; y  2 (5 k  4) ; z  k  nghiệm phương trình nên có vơ số nghiệm ngun dương Bài 3: Chứng minh phương trình x  y  z  t có vơ số nghiệm nguyên dương Lời giải Ta có:    Ta có: 360 n 12   3 40 n    3 30 n    3 24 n   Ta chọn x  360 n 12 ; y  40 n  ; z  330 n  ; t  24 n  Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên dương Để hiểu rõ cách chọn x,y,z cho thỏa yêu cầu đề bài, đến định lý II) Nội dung y y y y Định lý: Cho phương trình x1  x2   xn n  xn n11 1 (với x1 ; x2 ; ; xn 1 ẩn; y1 ; y ; ; y n 1 số nguyên dương cho trước) Gọi l  lcm  y1 ; y2 ; ; yn  Nếu  l; yn1   phương trình (1) có vơ số nghiệm ngun dương Chứng minh định lý: m m m Ta có: n  n   n  n Ta cần tìm m cho m 1 Đặt xi  n m yi i  1, n  ; x n 1 n m 1 yn1 , (1) xảy m m 1  Z  i  1, n  Z  (2) yi yn 1   m l m  al   byn1  al  (3) Điều tương đương  m  1 yn1 m  byn 1  Hệ thức Bezout: Nếu a,b hai số nguyên (không đồng thời 0) tồn số nguyên u , v cho gcd  a; b   au  bv Theo hệ thức Bezout tồn a, b  Z thỏa (3) Mặt khác (3) phương trình Diophantine bậc nên tồn vơ số số nguyên dương m thỏa (2) Vậy phương trình (1) tồn vô số nghiệm nguyên dương III) Một số ví dụ Bài 1: Chứng minh phương trình x3  y  z có vơ số nghiệm ngun dương Lời giải m m m m1 m m 1 Đặt  ; y  ; z  , x3  y  z m  15a m m m 1 Z   Ta cần tìm m cho ; ;  8b  15a  m   8b Đây phương trình Diophantine bậc suy b  15n  Dẫn đến m  120n  15  x  240 n5 ; y  224 n 3 ; z  215n  Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên dương Bài 2: Chứng minh phương trình x3  y  z  t có vơ số nghiệm ngun dương Lời giải Ta có đẳng thức:   m m m m1 Ta có:    Đặt m m m x  ; y  ; z  ;t  m 1 m  60a  7b  60a   m   7b  b  60n  43  x  3140 n100 ; y  3105n75 ; z  384 n 60 ; t  360 n 43 Vậy phuơng trình có vơ số nghiệm ngun dương Bài 3: Chứng minh phương trình a  b  c5  d  e3 có vơ số nghiệm nguyên dương Lời giải Từ đẳng thức: 4m  4m  4m  4m  m1 Ta cần m cho m m m m m 1 ; ; ;  Z  Suy ra: m m m m m 1 Suy đặt a   2m ; b  4  2 ; c  ; d  ; e  m  70 x m m m m 1 Z   Ta cần m cho ; ; ;  y  70 x   x  3n  2 m   y  a  2210 n 140 ; b  2105 n 70 ; c  442 n  28 ; d  430 n  20 ; e  470 n 47 Vậy phương trình có vơ số nghiệm ngun dương Bài 4: Chứng minh phương trình x  y  z có vơ số nghiệm ngun dương Lời giải Ta ln có: x  y  z  x3  x  y  y  y  z 5m  5m  5m  5m  5m  5m1 m m 1 m m12 Đặt x  ; y  ; z  5 Ta cần tìm m cho   m  60n  24 m  1 Chọn x  520 n 8 ; y  515 n ; z  512 n 5 , x  y  z Vậy phương trình có vơ số nghiệm ngun dương Bài 5: Chứng minh phương trình 2a  b3  c có vơ số nghiệm ngun Lời giải Cách 1: Từ phương trình ban đầu suy a  a   b   c5 m m m m m1 m Mà:    nên đặt a  ; b  3 ; c  m Ta tìm m cho   m  30n  24 m  1 m 1 Dẫn đến a  315 n12 ; b  310 n 8 ; c  36 n 5 Vậy phương trình có vơ số nghiệm ngun Cách 2: Phương trình ban đầu ta có: a  a   c   b3 m10  m  30n  20 ; c  3 Ta cần tìm m cho  m  1 Dẫn đến a  315n 10 ; b  310 n 7 ; c  36 n  Vậy phương trình có vơ số nghiệm ngun m Đặt a  ; b  m 1 m IV) Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh phương trình 2a3  b4 có vơ số nghiệm nguyên dương HD: Chọn a  24 n 1 ; b  23n 1 Bài 2: Chứng minh phương trình x  y  z có vô số nghiệm nguyên dương HD: Chọn x  245 n  20 ; y  236 n 16 ; z  220 n 9 Bài 3: Chứng minh phương trình a  b  c có vô số nghiệm nguyên dương HD: Chọn a  228n 16 ; b  221n 12 ; c  212 n  Bài 4: Chứng minh phương trình a  b  c5  d có vô số nghiệm nguyên dương HD: Chọn a  330 n 10 ; b  315 n 5 ; c  312 n  ; d  320 n 7 Bài 5: Chứng minh phương trình x  y  z  t có vơ số nghiệm nguyên dương HD: Chọn x  330 n12 ; y  315 n 6 ; z  310 n  ; t  312 n 5 Bài 6: Chứng minh phương trình x13  x25  x37  x49  x52 có vơ số nghiệm ngun dương HD: Chọn x1  4210 n 105 ; x2  4126 n  63 ; x3  490 n  45 ; x4  470 n35 ; x5  4315 n 158 Bài 7: Chứng minh phương trình x  y  z  4t có vơ số nghiệm ngun dương HD: Chọn x  9105n 53 ; y  970 n 35 ; z  942 n  21; t  930 n15 Bài 8: Chứng minh phương trình 3a  4b6  c có vơ số nghiệm ngun dương HD: Chọn a  42 n 18 ; b  735n 15 ; c  730 n 13 Bài 9: Chứng minh phương trình a  b  c  x3  y  z có vơ số nghiệm ngun HD: Chọn a  5210 n150 ; b  5105n  75 ; c  570 n 50 ; x  5140 n 100 ; y  584 n 60 ; z  560 n  43 Bài viết xin kết thúc  ... nghiệm nguyên m Đặt a  ; b  m 1 m IV) Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh phương trình 2a3  b4 có vơ số nghiệm ngun dương HD: Chọn a  24 n 1 ; b  23n 1 Bài 2: Chứng minh phương trình x  y... x  y  z Vậy phương trình có vơ số nghiệm ngun dương Bài 5: Chứng minh phương trình 2a  b3  c có vơ số nghiệm ngun Lời giải Cách 1: Từ phương trình ban đầu suy a  a   b   c5 m m m m... n 43 Vậy phuơng trình có vơ số nghiệm nguyên dương Bài 3: Chứng minh phương trình a  b  c5  d  e3 có vơ số nghiệm ngun dương Lời giải Từ đẳng thức: 4m  4m  4m  4m  m1 Ta cần m cho m