Một số bài toán và các bước giải dễ hiểu nhất Mäi bµi to¸n khã ®Òu b¾t nguån tõ bµi to¸n c¬ b¶n mµ ra, nÕu ngêi häc biÕt lµm ®îc nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n th× ch¾c ch¾n nh÷ng bµi to¸n më réng n©ng cao ngêi häc còng gi¶i ®îc. Thùc ra bµi to¸n më réng lµ bµi to¸n c¬ b¶n mµ ®îc c¸c nhµ chuyªn m«n thay, thªm mét sè d÷ kiÖn (yÕu tè) nµo ®ã ®Ó ®¸nh lõa ngêi häc hoÆc ®Ó khãa l¹i, b¾t buéc ngêi häc ph¶i nhËn xÐt, t×m tßi ®Ó gi¶i to¸n ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng. V× vËy, c¸c bµi to¸n c¬ b¶n (SGK) lµ nÒn t¶ng quan träng nhÊt ®Ó ngêi häc gi¶i to¸n (ph¬ng ph¸p gi¶i). C¸c bµi to¸n më réng cã vÞ trÝ quan träng nh bµi toán c¬ b¶n nhng nã cã môc ®Ých cao h¬n vµ g©y høng thó cho ngêi häc. VËy vÊn ®Ò ®Æt ra lµ nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n nµo ®îc më réng để n©ng cao, c¸ch gi¶i vµ híng dÉn häc sinh gi¶i các bài toán đó như thế nµo chÝnh lµ néi dung mµ t«i muèn nãi ®Õn phÇn sau (gi¶i quyÕt vÊn ®Ò).
Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải A - đặt vấn đề Trong chơng trình môn học bậc Tiểu học, môn Toán chiếm số tit hc lớn Đây môn học có vị trí quan trọng bậc Phần lớn việc học toán học sinh giành cho việc học giải toán chủ yếu Kết học toán học sinh đợc đánh giá qua việc giải toán Để có kết giải toán tốt (chất lợng) đòi hỏi ngời giáo viên phải có quy trình (phơng pháp) dẫn dắt nhận xét toán từ bớc đơn giản đến khái quát Mọi toán khó bắt nguồn từ toán mà ra, ngời học biết làm đợc toán chắn toán mở rộng nâng cao ngời học giải đợc Thực toán mở rộng toán mà đợc nhà chuyên môn thay, thêm số kiện (yếu tố) để đánh lừa ngời học để khóa lại, bắt buộc ngời học phải nhận xét, tìm tòi để giải toán đến kết cuối Vì vậy, toán (SGK) tảng quan trọng để ngời học giải toán (phơng pháp giải) Các toán mở rộng có vị trí quan trọng nh toỏn nhng có mục đích cao gây hứng thú cho ngời học Vậy vấn đề đặt dạng toán đợc mở rộng nâng cao, cách giải hớng dẫn học sinh giải cỏc bi tốn nµo chÝnh lµ néi dung mµ muốn nói đến phần sau (giải vấn đề) Trang Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải B giải vấn đề I Cơ sở lý luận thực tiễn Cơ sở lý luận - Mở rộng toán triển khai nội dung toán sở toán - Mở rộng từ toán triển khai toán mới, toán có đặc điểm (dạng) toán - Mở rộng toán thay (thêm) bớt số yếu tố toán để đợc toán - Dựa vào quy luật nhận thức là: Từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, Từ trực quan sinh động đến t trừu tợng nên mở rộng toán tất yếu phơng pháp giảng dạy nói chung cho đối tợng học sinh học sinh giỏi nói riêng Cơ sở thực tiễn Thực tiễn đơn vị trờng triển khai rộng rãi chuyên đề khối, lớp nhng kết thu đợc cha tht mĩ mãn Thực tế dạy (thực hiện) chủ yếu lớp chọn đội tuyển để dự thi cấp Vì vấn đề khó lí giải (làm rõ mt cách tường minh) cho häc sinh có học lực trung bỡnh hiểu cách sâu sắc toán mở rộng từ toán Đặc biệt thủ thuật tính nhanh (phơng pháp giải nhanh) lại vô khó khăn Trang Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải Ví dụ: HS biÕt: 1 1 4 nhng cha hình dung là: 1 1 4 (tức biến đổi phép tính cộng có kết phép tính trừ) * Thùc tÕ lớp 5c triển khai dạy thử số toán có mở rộng đơn giản bớc đầu có kết đáng vui mừng Tuy nhiên toán bắt đầu nâng cao dần số học sinh ngờ ngợ hiểu mơ hồ hay bị nhầm lẫn nên học sinh thờng quay vỊ thùc hiƯn tÝnh th«ng thêng VD: 1 1 30 10 48 12 20 60 60 Nhng häc sinh kh«ng biÕt dïng phÐp vËn dơng cđa tÝnh nhanh 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 20 2 3 4 5 2 3 4 5 Học sinh lúng túng biến tổng thành nhiều phân số mà phân số hiệu hai phân số VD: 1 1 12 4 để tiện việc rút gọn phân số giống nhng khác dấu cộng (thªm) dÊu trõ(bít) VD: 1 0 2 (nhng ®èi víi häc sinh tiĨu häc phải giải thích cộng thêm trừ th× kÕt b»ng ) ViƯc më réng tõ toán c bn muốn làm rõ phần sau II Bài toán Trang Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải 1 Bài toán : Giải : Cách : 1 = 1 4 C¸ch : Chóng ta cã thĨ biÕn phÐp céng hai ph©n số thành phép trừ hai phân số số trừ số hạng bé hai số hạng, c th nh sau (Chú ý : Đa Bài toán : Cách : 1 4 = 1 4 4 dạng ph©n sè ) 1 1 16 1 1 15 = 16 16 16 C¸ch : Chóng ta thÊy dãy số hạng ổn định giá trị : Số hạng sau số hạng trớc chia cho 1 1 ( : ; : ; ……… 1 1 4 1 1 1 8 1 1 15 =1 16 16 16 Ta cã thĨ biÕn ®ỉi nh sau : VËy NhËn xÐt : Khi tÝnh tæng số hạng (phân số) mà phân số kề b»ng ph©n sè tríc chia (b»ng mét nưa số hạng trớc) đa tổng hiƯu cđa víi ph©n sè bÐ nhÊt tỉng Bài toán : 1 1 12 20 30 C¸ch : Céng th«ng thêng (quy đồng mẫu số phân số tính) 1 1 30 10 50 = 12 20 30 60 60 Cách : Phân tích mẫu số phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp tăng dần : = x 12 = x Trang Mở rộng từ toán hớng dẫn häc sinh gi¶i 20 = x 30 = x 1 1 1 1 1 = 12 20 30 2 3 4 5 Khi : Bây giê chóng ta chun : 1 3 vµ 1 1 1 ; 4 4 5 vµ 1 6 (tức ta chuyển phân s cú giá trị hiệu hai phân số cã hai mÉu sè lµ hai thõa sè mẫu số phân số ) B©y giê chóng ta viÕt gép l¹i đầy đủ là: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = 12 20 30 2 3 4 5 6 2 3 4 5 Chúng ta thấy : 1 - 0 ; 1 - Vậy dãy trở thành : 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 2 6 KÕt luËn : Khi tính tổng phân số có mẫu số tích số tự nhiên liên tiếp tăng dần ta đa phân số dạng hiệu cuả hai phân số 1 1 3 VÝ dô : III Bài toán mở rộng nâng cao : Bi 1: Thc dãy tính sau 1 1 1 24 48 80 120 a Giải: Ta thÊy : =4x2 24 = x 48 = x Đây tích số chẵn liên tiếp tăng dần 80 = x 10 số Trang Mở rộng từ toán hớng dÉn häc sinh gi¶i 120 = 10 x 12 Khi ®ã tỉng d·y viết đầy đủ lµ : 1 1 1 1 1 1 = 2 6 8 10 10 12 24 48 80 120 VËy để đa dạng phân số hiệu hai phân số ta phải nhân tổng trờn víi (tức nhân với 1) ®ã : 1 1 1 2 4 6 8 10 10 12 2 2 2 = 4 6 8 10 10 12 1 1 1 1 1 = 1 10 10 12 1 = 1 12 12 17 17 = 12 12 24 b Híng dÉn học sinh giải: Bớc 1: Đa mẫu s dạng tích cña thõa sè VD: = x 2; 24 = x6 Bớc 2: Xét khoảng cách hai thừa số để xác định đặc điểm d·y (chØ xÐt ë mÉu sè) VD: -2 = 2; -6 = 2; khoảng cách hay nói cách khác số chẵn liên tiếp cách đơn vị Bớc 3: Nhân tổng dãy với phân số có tử mẫu khoảng cách VD: Nhân dãy với 1 2 10 12 Bíc 4: Nh©n tư sè cđa ph©n sè cã tử mẫu để đợc 2 2 4 10 12 Bớc 5: Chuyển phân số dãy thành hiệu phân số VD: 1 1 ; … 4 8 Trang Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải Bớc 6: Tinh giản( rỳt gn) phân số giống nhng khác dấu VD: 1 1 3 4 Bớc 7: Thực phép tính lại s au tính giảm (tính thông thờng quy đồng mẫu để tính kết cuối cùng.) 1 12 17 17 1 = 12 12 12 24 c KÕt luËn : Khi tính tổng phân số có tử số mẫu số tích số chẵn (hay lẻ) liên tiếp tăng dần nhân c¶ d·y sè víi tổng qt n n 2 hoc (dng vi n 0) biến đổi dạng phân số hiệu hai phân sè Bµi 2: TÝnh nhanh tỉng 11 19 29 41 55 71 89 12 20 30 42 56 72 90 (Toán Tuổi thơ số 37) a Cách giải: Chúng ta thấy 19 1 ; 20 12 29 1 ; 30 30 1 ; 6 55 1 56 56 ; 11 1 12 12 71 1 72 72 ; Bước đưa phân số cho thành hiệu với phần bù phân số Khi tổng dãy trở thành : 11 19 29 41 55 71 89 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 = 12 20 42 56 72 1 90 30 1 1 1 1 = 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 = 12 20 30 42 56 72 90 17 1 1 1 1 = 3 4 5 6 7 8 9 10 17 1 1 1 1 1 = 10 Trang Mở rộng từ toán híng dÉn häc sinh gi¶i = 17 1 17 85 81 8 10 10 10 10 10 b Híng dÉn học sinh giải: Bớc 1: Chuyển phân số thành hiệu mét sè ph©n bï cđa nã VD: 11 89 1 ; 1 1 6 12 90 Bíc 2: Céng hiệu lại với 1 VD: 1- 12 Bíc 3: Cộng số (đơn vị) lại cộng phân số phần bù cạnh VD: 1+1++1+ 1 1 9 12 số hạng Bíc 4: Ph©n tÝch mÉu có phân số phn bù thành tích số tự nhiên liên tiếp tăng dần: VD: 1 1 ; 3 4 Bíc 5: ViÕt tỉng phân số phân bù có mẫu phân tích cạnh sau viết phân số phân bù dạng hiệu phân số: VD: 1 ; 3 Bíc 6: Tinh giản phân số giống nhng khác dấu VD: 17 1 1 1 1 1 9 10 2 3 4 Bíc 7: Thực phép tính lại VD: 17 1 17 85 81 8 10 10 10 10 10 Trang Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải c Kết luận : Khi gặp dạng toán dùng phơng pháp biến phân số thành hiệu phép tính trừ, với phần bù phân số Bµi : Cho d·y sè : 1 1 , , , , , 12 20 30 a) Tính tổng 10 số hạng đầu tiªn cđa d·y sè trªn b) Sè 10200 cã phải số hạng dãy số cho không?Vì ? (Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 - 2011) a Cách giải: Cõu a: Chúng ta thấy mẫu số dãy : x = (1) x = (2) x = 12 (2) x = 20 (4) x = 30 (5) VËy mÉu sè tiÕp theo lµ : x = 42 (6) x = 56 (7) x = 72 (8) x 10 = 90 (9) 10 x 11 = 110 (10) Đây tích số tự nhiên liên tiếp tăng dần Lúc tổng 10 số hạng lµ : 1 1 1 1 1 12 20 30 42 56 72 90 110 Đây toán thuộc dạng (bài toán 3- II Bài tốn bản) nhng cã nhiỊu sè hạng Vy yờu cu ca cõu a lỳc ny là: = 1 1 12 110 1 1 1 3 4 10 11 Trang Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải =1=1- 1 1 1 2 3 10 11 10 11 11 Câu b: Nh ®· nhËn xét câu a Các mẫu số dãy tích hai số tự nhiên liên tiếp tăng mà phân số 10200 có mẫu số 10200 = 100 x 102 Đây tích hai số tự nhiên liên tiếp nên 10200 không thuộc dãy 10200 có mẫu tích hai số chẵn kề Mà dãy phân số cã tư lµ vµ mÉu sè lµ tÝch cđa số tự nhiên liên tiếp tăng dần b Hớng dẫn học sinh giải: Bớc 1: Nhận xét số mẫu dãy để xác định đặc điểm dãy VD: = 3; 42 = 4 ; 30 = x Mẫu tích số tự nhiên liên tiếp tăng dần Bớc 2: Viết đầy đủ 10 số hạng để tính tổng Bớc 3: Viết phân số dạng hiệu phân sè VÝ dô: 1 1 ; 2 1 3 1 4 ; ; Bớc 4: Tinh giản(rỳt gn) phân số có dấu ngợc Bớc 5: Thực phép tính lại Trang 10 Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải Bài : Bài toán mở rộng có chứa thành phần cha biết 4 4 4 x 4 288 360 24 48 80 a Cách giải : Đây toán có cỏc tử số mẫu số số chuyn dng tích số chn liên tiếp tăng dần, cụ thể lµ : =4 x 24 = x 48 = x 80 = x 10 288 = 16 x 18 360 = 18 x 20 Nh vËy, ®Ĩ ®a tốn dạng : Một phân số (một số hạng) dãy hiệu hai phân số ,ta biến đổi nh sau : Tö sè = x (vì hai số chẵn liên tiếp hai đơn vÞ) 4 4 4 x 4 288 360 24 48 80 2 2 2 2 2 2 x = 16 18 18 20 4 6 8 10 2 2 2 4 6 8 10 16 18 18 20 x 4 1 1 1 1 1 1 10 16 18 18 20 x 4 1 20 x 4 20 x 4 10 x 4 x 4 : 10 Trang 11 Mở rộng từ toán híng dÉn häc sinh gi¶i x 40 x 4 b Híng dÉn gi¶i: Bíc 1: Phân tích mẫu số thành tích hai số chẵn liên tiếp tăng dần VD: = ; 24 = 6; ; 48 = 8 360 = 18 20 Tư sè viÕt thµnh = 2 (khoảng cách số chẵn đơn vị ) Bíc 2: ViÕt số hạng tổng dạng: 2 ; 4 2 48 8 Bíc 3: L©ý mét sè nh©n chung cho tÊt tổng (vận dụng nhân số với tổng) VD: 2 18 20 4 Bớc 4: Viết phân số v dạng hiệu ph©n sè VD: 1 1 ; 4 4 6 Bíc 4: Tinh gi¶n (rút gn phân số có dấu ngợc Bớc 5: Thực tìm thành phần cha biết theo cỏc bc sau 2x x 4 x 4 20 x 4 10 x 4 : 10 x 40 c Kết luận chung : Khi giải toán gặp dạng toán có liên quan đến tổng số hạng phân số mà tử số mẫu số tích hai số tự nhiên liên tiếp tăng dần, tích hai số chẵn tăng dần tích hai số lẻ tăng dần (mở rộng khoảng cách hai thừa số Trang 12 Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải mẫu ổn định) đa dạng phân sè b»ng hiƯu hai sè vµ cø lµm nh thÕ với phân số khác Sau rút gọn phân số giống (những phân số thêm, phân số bớt) hay hiểu mặt toán học rút gọn phân số trái dấu cho lại số đầu số hạng cuối bớc thực kết cuối Kết trớc sau thực hiện: Tổng sè HS cđa líp Tríc cha thùc hiƯn SLỵng Tû lƯ SLỵng Tû lƯ SLỵng Tû lƯ SLỵng Tû lÖ 20 5% 19 95% 14 70% 30% §· biÕt lµm Cha biÕt lµm Sau thùc hiƯn §· biÕt lµm Cha biÕt lµm C KÕt luËn Më rộng từ toán phơng pháp để đa học sinh (ngừơi học) đến vi toán Đây dựa quy luật nhận thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ trực quan sinh động đến t trừu tợng Tha bạn đọc đồng nghiệp dạng toán mà thân thực giảng dạy lớp có kết khả quan Tuy nhiên vấn đề khó mà nội dung có tài liệu bồi dỡng nâng cao Những tài liệu phần lớn đa phép tính nhng không giải thích rõ lại có nh (không tờng minh) VD: Tài liệu đa ra: Trang 13 Mở rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải 1 1 3 đa nhng không giải thích rõ hiệu hai phân số có mẫu tÝch cđa hai sè tạo thµnh mÉu = x nh vËy đến ta có cđa 1 vËy 1 1 3 1 hiệu bớc chuyển đổi dễ hiểu (rất tờng minh) Trên số dạng toán tính tổng phân số Đây dạng khó bậc tiểu học, nhiên nắm đợc cách giải (phơng pháp giải) biết cách nhìn dạng thu hình (biến dạng, ẩn dạng) biết vận dụng kiến thức học (từ toán bản) để tìm mối quan hệ s hng l phân số tổng cn tỡm, đa toán tởng nh phức tạp đến toán đơn giản (bài toán bản) bạn s giải tốt dạng toán Tha bạn đọc đồng nghiệp, trình thực chuyên đề thân đa số dng đại diện nhng cha tht đầy đủ không tránh khỏi sơ suất, mong đợc góp ý để chuyên đề trọn vẹn v hiu qu giảng dạy D Kiến nghị đề xuất Kính đề nghị ban giám khảo đề xuất với lãnh đạo Phòng Sở GD-ĐT đưa sáng kiến kinh nghiệm đề tài đạt giải lần vào áp dụng thực tế giảng dạy trường, hoặc( gọi tất cá Trang 14 Më réng tõ toán hớng dẫn học sinh giải nhân có sáng kiến kinh nghiệm đề tài đạt bậc cấp huyện lần lên trình bày tính khả thi hiệu trước hội đồng giám khảo để phòng tránh sản phẩm khơng phải mà khen ) Tài liệu tham khảo: 1.Toán tuổi thơ số 2.10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4-5 tập 1-2 Trần Diên Hiển 3.Các toán số học chuyển động - Vũ Dương Thụy-Nguyễn Danh Ninh Các toán phân số số thập phân - Đỗ Trung Hiệu 5.Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán lớp 4-5 -Trần Ngọc Lan 6.Các tốn điển hình 4-5 Đỗ Trung Hiệu 7.Các toán suy luận logic - Trần Diên Hiển 8.Các toán nâng cao lớp - V Dng Thy Phụ lục A - đặt vấn đề B giải vấn đề I Cơ sở lý luận thực tiễn Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn: II Bài toán : III Bài toán mở rộng nâng cao : C Kết luËn: C KÕt luËn Trang 15 Më réng tõ bµi toán hớng dẫn học sinh giải * Mở rộng từ toán phơng pháp để đa học sinh (ngừơi học) đến vi toán Đây dựa quy luật nhận thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ trực quan sinh động đến t trừu tợng Tha bạn đọc đồng nghiệp dạng toán mà thân thực giảng dạy lớp có kết khả quan Tuy nhiên vấn đề khó mà nội dung có tài liệu bồi dỡng nâng cao Những tài liệu phần lớn đa phép tính nhng không giải thích rõ lại có nh (không tờng minh) VD: Tài liệu đa ra: thích rõ ®a 1 1 3 nhng không giải hiệu hai phân số có mẫu tích hai số tạo thµnh mÉu = x nh vËy đến ta có 1 b»ng 3 hiƯu cđa 1 vËy 1 1 3 bớc chuyển đổi dễ hiểu (rất têng minh).Tuy phạm vi ứng dụng dạng toán hẹp dạng thù hình khó nhận ra,vì vậy:Đối với người học cần cần phải luyện tập thật nhiều để nhìn đặc điểm chung riêng dạng toán thuộc chuyên đề Trên số dạng toán tính tổng phân số Đây dạng khó bậc tiểu học, nhiên nắm đợc cách giải (phơng pháp giải) biết cách nhìn dạng thu hình (biến dạng, ẩn dạng) biết vận dụng kiến thức học (từ toán bản) để tìm mối quan hệ s hng l phân sè tỉng cần tìm, chóng ta Trang 16 Më rộng từ toán hớng dẫn học sinh giải đa toán tởng nh phức tạp đến toán đơn giản (bài toán bản) bạn s giải tốt dạng toán Tha bạn đọc đồng nghiệp, trình thực chuyên đề thân đa số dng đại diện nhng cha tht đầy đủ không tránh khỏi sơ suất, mong đợc góp ý để chuyên đề trọn vẹn v hiu qu hn giảng dạy D Kiến nghị đề xuất *Đối với trường cần tổ chức thường xuyên(tháng1/lần) giải toán theo chuyên đề tìm nhiều cách giải hay độc tạo niềm say mê học tập cho học sinh * Đối với giáo viên hoạt động chun mơn ngành quy định , cần tổ nhiều loại hình câu lạc “Những người yêu giải toán”…các tổ viên phải đưa số chun đề để tìm tòi nhiều cách giải cho bai toán,một dạng ,một chuyên đề… để cuối đợt phát động ban giám hiệu tổng hợp phát thưởng cho cá nhân có hay * Đối với cấp Phòng Sở GD-ĐT khơng cần bắt buộc tất giáo viên phải tham gia viết sáng kiến kinh nghiệm –đề tài mà nên cá nhân thực say mê lúc viết có chất lượng cao Kính đề nghị ban giám khảo đề xuất với lãnh đạo Phòng Sở GD-ĐT đưa sáng kiến kinh nghiệm đề tài đạt giải lần vào áp dụng thực tế giảng dạy trường, hoặc( gọi tất cá nhân có sáng kiến kinh nghiệm đề tài đạt bậc cấp huyện lần lên trình bày tính khả thi hiệu trước hội đồng giám khảo để phòng tránh sản phẩm khơng phải mà khen ) Trang 17 Mở rộng từ toán hớng dẫn häc sinh gi¶i Trang 18 ... diện nhng cha tht đầy đủ không tránh khỏi sơ suất, mong đợc góp ý để chuyên đề trọn vẹn v hiu qu hn giảng dạy D Kiến nghị đề xuất Kính đề nghị ban giám khảo đề xuất với lãnh đạo Phòng Sở GD-ĐT... toán”…các tổ viên phải đưa số chuyên đề để tìm tòi nhiều cách giải cho bai tốn,một dạng ,một chuyên đề… để cuối đợt phát động ban giám hiệu tổng hợp phát thưởng cho cá nhân có hay * Đối với cấp... phân số Bài 2: TÝnh nhanh tæng 11 19 29 41 55 71 89 12 20 30 42 56 72 90 (Toán Tu i thơ số 37) a Cách giải: Chóng ta thÊy 19 1 ; 20 12 29 1 ; 30 30 1 ; 6 55 1 56 56