Môc ®Ých cña gi¸o dôc lµ ®µo t¹o ra ®îc con ngêi khi vµo ®êi lµ con ngêi n¨ng ®éng s¸ng t¹o th× ®ßi hái ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y ph¶i ®Þnh híng vµo viÖc kh¬i dËy, rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn kh¶ n¨ng nghÜ vµ lµm mét c¸ch tù chñ, n¨ng ®éng vµ s¸ng t¹o trong lao ®éng vµ häc tËp ë nhµ trêng. Ngêi thÇy gi¸o kh«ng cßn lµ ngêi truyÒn ®¹t kiÕn thøc cã s½n mµ lµ ngêi “ §Þnh híng, ®¹o diÔn cho häc sinh tù kh¸m ph¸ ra ch©n lý”, tù t×m ra kiÕn thøc. §Ó gãp phÇn vµo viÖc d¹y m«n to¸n nãi chung vµ híng dÉn häc sinh gi¶i mét sè bµi to¸n nãi riªng lµ mét mong muèn cña bao thÕ hÖ thÇy c«. §øng tríc mét bµi to¸n chóng ta thêng cã nh÷ng híng suy nghÜ tõ c¸ch gi¶i tíi c¸ch híng dÉn cho häc sinh gi¶i ®Ó më ®êng cho sù s¸ng t¹o, linh ho¹t khi gi¶i to¸n cho häc sinh. Híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n th× cã nhiÒu c¸ch, nhiÒu con ®êng (nhiÒu ph¬ng ph¸p). Lµ mét gi¸o viªn ®• nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y t«i thÊy viÖc vËn dông ph¬ng ph¸p to¸n tÝnh ngîc tõ cuèi ®Ó híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n tõng bíc rÊt thó vÞ. VËy vÊn ®Ò ®Æt ra lµ ph¬ng ph¸p tÝnh ngîc tõ cuèi lµ thÕ nµo? vËn dông ph¬ng ph¸p nµy ®Ó híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n ra sao chÝnh lµ néi dung mµ t«i muèn nãi ®Õn phÇn sau (gi¶i quyÕt vÊn ®Ò)
A.Đặt vấn đề: Mục đích giáo dục đào tạo đợc ngời vào đời ngời động sáng tạo đòi hỏi phơng pháp giảng dạy phải định hớng vào việc khơi dậy, rèn luyện phát triển khả nghĩ làm cách tự chủ, động sáng tạo lao động học tập nhà trờng Ngời thầy giáo không ngời truyền đạt kiến thức có sẵn mà ngời Định hớng, đạo diễn cho học sinh tự khám phá chân lý, tự tìm kiến thức Để góp phần vào việc dạy môn toán nói chung hớng dẫn học sinh giải số toán nói riêng mong muốn bao hệ thầy cô Đứng trớc toán thờng có hớng suy nghĩ từ cách giải tới cách hớng dẫn cho học sinh giải để mở đờng cho sáng tạo, linh hoạt giải toán cho học sinh Hớng dẫn học sinh giải toán có nhiều cách, nhiều đờng (nhiều phơng pháp) Là giáo viên nhiều năm giảng dạy thấy việc vận dụng phơng pháp toán tính ngợc từ cuối để hớng dẫn học sinh giải toán bớc thú vị Vậy vấn đề đặt phơng pháp tính ngợc từ cuối nào? vận dụng phơng pháp để hớng dẫn học sinh giải toán nội dung mà muốn nói đến phần sau (giải vấn đề) B Giải vấn đề I Cơ sở lý luận thực tiƠn: 1) C¬ së lý ln : - Ph¬ng pháp tính ngợc từ cuối cách thực liên tiếp phép ngợc với phép tính cho toán Khi giải toán theo phơng pháp kết phép tính trở thành thành phần biết phép tính liỊn sau ®ã, cø tiÕp tơc nh thÕ cho ®Õn tìm đợc số phải tìm Ta đợc toán giải theo phơng pháp tính ngợc từ cuối - Chúng ta thực liên tiếp phép tính ngợc lại với phép tính cho tìm đợc kết cần tìm ban đầu - Có số toán tiểu học (phơng pháp số học) cho biết kết sau số phép tính liên tiếp số cần tìm - Sử dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối nghĩa thực liên tiếp phép tính ngợc với phép tính trớc thành phần biết phép tính liền sau (phơng pháp hay gọi lu đồ Graph) 2) Cơ sở thực tiễn: Ví dụ 1: Tìm số biết nhân số với đợc đem chia cho lấy kết trừ đợc 17 Giải cách 1: Nếu số không trừ đợc : Nếu số không chia đợc : 17 + = 20 17 20 x = 60 NÕu sè không nhân với đợc 60: = 30 Cách 2: Theo lu đồ sau : x2 :3 -3 Ta thùc hiƯn ngỵc nh sau: b1 x2 v1 :3 v2 v3 17 v4 :2 -3 x3 +3 b2 Vòng 17 : Vòng : 17+ = 20 Vòng 20 x = 60 Vòng 60 : = 30 Cách 3: Dùng đoạn thẳng: Số cần tìm : Số x với x víi Sè ®ã x råi : : cho Sè ®ã x2, : - trõ ®i Khi cha trõ sÏ lµ 17 + = 20 Khi cha chia sÏ lµ 20 x = 60 Khi cha nhân 60 : = 30 (Số cần tìm - số ban đầu là) Vậy là: Ta thực liên tục phép tính ngợc với phép tính cho theo thứ tự ngợc lại từ kết cuối ta đợc kết cần tìm Ví dụ 2: Tìm số biết só lần lợt cộng với nhân với đợc đem chia cho trừ đợc Cách 1: Ta dùng đoạn thẳng: Cộng : nhân Chia Trõ : Gi¶i: Tríc trõ ta cã : 5+4 =9 Tríc chia cho ta cã x3 = 27 Tríc céng ta có 27 : = 13,5 Vậy số phải tìm 13,5 - = 12,5 Cách 2: Dùng lu ®å : +1 x2 : -4 v v3 v2 v v Ta thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh ngỵc: v1 v512, b2 v2 13, v3 27 v4 -1 : x3 +4 VËy lµ: v4 = v5 + 5+4 =9 v3 = v4 x x = 27 V2= v3 : 27 : = 13,5 V1 = v2 - 13,5 - = 12,5 VËy lµ thực liên tục từ vòng vòng liên tục phép tính ta đợc vòng 12,5 II- Cách vận dụng từ vị dụ để hớng dẫn học sinh giải bải toán I-Phần nhận xét: Qua phần lý luận thực tiễn trình bày thấy rõ phơng pháp giải toán tính ngợc từ cuối thực thú vị Thú vị chỗ từ kết ®· biÕt ci cïng qua mét sè bíc tÝnh (kh©u trung gian) tìm đợc yêu cầu cần tìm ban đầu Vậy tạm thời hiểu phơng pháp theo lu đồ đơn giản nh sau: Cách 2: Dùng lu đồ : b1 b2 Cần tìm b3 bn ®· biÕt (sè liƯu thĨ bn bn-1 b1 ta nãi r»ng c¸c bíc b1; b2 bn từ cần tìm kết (khâu trung gian) Các bớc bn, bn-1 b1 từ kết cần tìm (các bớc mở khóa trung gian) Có thể hiểu bớc trung gian từcần tìm (số liệu cuối cùng) nh biết kết Các bíc trung gian tõ“ sè liƯu ci cïng” kÕt qu¶ cần tìm nh thứ tự bớc tìm cai yêu cầu đề * Nói gọn lại: Một toán ®· cho bao giê còng cã néi dung chÝnh (đã biết, cần tìm); (đã biết- cha biết) phần vận dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối: - Qua nhân xét phơng pháp tính ngợc từ cuối liên tởng (so sánh) mối quan hệ phơng pháp với cách hớng dẫn học sinh giải toán bắt đầu từ thứ tự ngợc lại với yêu cầu cần tìm(tìm yếu tố liên quan đến cần tìm)hay hiểu cách khác lần lợt tìm yếu tố liên quan liên tục đến phép tính cuối biết (yếu tố đề cho) *Các ví dụ minh häa vµ híng dÉn häc sinh vËn dơng: VÝ dụ 1: Một ruộng hình chữ nhật có chiều dài 12,5m có diện tích diện tích hình vuông cạnh 25m tính chu vi ruộng hình chữa nhật (SGK toán trang 70) a) Phân tích định hớng bớc làm: Đã biết chiều rộng HCN (12,5m) diện tích hình vuông có cạnh 25m cần tìm chi vi HCN * Phân tích yếu tố đề bài: Tính chu vi hình chữ nhật cần biÕt chiỊu vµ vµ chiỊu réng cđa HCN, chiỊu dµi cha biết cần tính chiều dài tính chiều dài cần phải biết diện tích hình vuông (cũng diện tích hình chữ nhật) Tính diện tích hình vuông biết cạnh biết cạnh 25m * Lu đồ minh họa: x cạnh : rộng S hình Cạnh hình + Rộng x dài (S hình CN) chi vi HCN Các bớc hớng dẫn làm (GV) nói lời theo lu đồ từ chu vi cạnh hình vuông Chú ý: Tính vận dụng để thấy mối quan hệ yếu tố biết với yếu tố cần tìm làm ngợc lên từ chu vi cạnh hình vuông biết lu đồ để xác định rõ phép tính làm trớc, phép tính làm sau để hợp lý hoàn chỉnh giải b) Các bớc giải: Chu vi hình vuông (cũng chu vi HCN ) 25 x 25 = 625 (m2) Chiều dài hình chữ nhật : 625 : 12,5 = 50 (m) Chu vi hình chữ nhật lµ : (12,5 + 50) x = 125 (m) Đáp số : 125m Kết luận: Đối với toán cần thấy rõ mối quan hệ biết cần tìm Từ mối quan hệ phải suy luận ngợc lên từ cần tìm yếu tố liên quan (chiều rộng, diện tích hình vuông cạnh 25m diện tích HCN) từ tìm đợc chiều dài để cuối tính chi vi HCN theo yêu cầu VD2: Mét x· cã 540,8ha ®Êt trång lóa DiƯn tÝch trång hoa Ýt h¬n diƯn tÝch trång lóa 385,5ha TÝnh tỉng diện tích đất trồng lúa trồng hoa xã (SGK trang 160) a) Phân tích định hớng cách làm: * Đã biết diện tích trồng lúa : 540,8ha DiƯn tÝch trång hoa Ýt h¬n trång lóa : 385,5ha Cần tìm tổng diện tích trổng lúa trồng hoa * Phân tích yếu tố đề bài: Tính tổng diện tích trồng lúa trồng hoa phải cã diƯn tÝch trång hoa vµ trång lóa DiƯn tÝch trång hoa cha cã, chØ biÕt Ýt h¬n trång lóa 385,5ha * Lu đồ minh họa: - 385,5ha S trång lóa + S trång lóa S trång hoa Tỉng S lúa hoa Các bớc hớng dẫn GV nói lời theo lu đồ từ tổng diện tích trồng lúa trồng hoa đến S trồng lúa Chú ý: Phần hớng dẫn vận dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối để học sinh biết mối quan hệ yếu tố biết yếu tố cần tìm mà phải suy luận ngợc từ yếu tố cần tìm (các bớc trung gian) đợc yếu tố biết sở suy luận xếp phép tính hợp lý (tính thứ tự trớc sau) b) Các bíc híng dÉn gi¶i: DT trång hoa = DT trång lúa - phần (385,5ha) DT trồng lúa trång hoa = DT trång lóa + DT trång hoa c) Các bớc giải : DT trồng hoa : 540,8 - 385,5 = 166,3(ha) S trång lóa vµ S trồng hoa: 540,8 + 155,3 = 691,1( ha) Đáp sè : 691,1ha VÝ dơ 3: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B víi vËn tèc 12,5km/h, từ B A ngời ô tô với vận tốc 50km/h, thời gian lẫn hết 5giờ Hỏi quãng đờng AB dài km? (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm 2008-2009) a) Phân tích định hớng cách làm: * Đã biết vận tốc ngời xe đạp: 12,5km/h Vận tốc ô tô : 50km/h Tổng thời gian lẫn : Cha biết (cần tìm) quãng đờng AB? km * Phân tích: Các yếu tố đề định hớng cách giải: Tính độ dài quãng đờng AB phải tính cụ thể thời gian xe đạp thời gian ô tô Độ dài AB đến BA (không đổi) ta phải tính thời gian biết tổng thời gian Vấn đề phải tìm đợc tỷ lệ thời gian Để tìm tỷ lệ thời gian phải dựa vào tû lƯ vËn tèc mµ tû lƯ vËn tèc vµ thời gian đại lợng tỉ lệ nghịch, từ tØ lƯ vËn tèc 12,5: 50 = 1:4 th× tỉ lệ thời gian 4:1 Đến trở toán tìm số biết tổng tỷ số hai số (hai số thời gian ngời xe đạp thời gian ngời ô tô) * Lu đồ minh họa: V/tốc xe đạp đạp Tỷ lệ V/tốc t/gian xe đạp tỷ lệ thời gian Quảng x v/tốc xeđờng AB x V/tốc ô tô Các bớc hớng dẫn giáo viên nói lời minh họa tay qua vÏ tõng bíc ë lu ®å ®i tõ qu·ng ®êng AB tû lƯ vËn tèc Chó ý: PhÇn vËn dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối giáo viên hớng dẫn học sinh suy luận từ câu hỏi tìm quãng đờng phải biết tính vận tốc thời gian(vận tốc biết phải tính thời gian) thời gian biết tổng thời gian xe đạp ô tô phải dựa vào tỉ lệ vận tốc để suy tỷ lệ thời gian tìm đợc thời gian ngời ô tô xe đạp Vận dụng cách suy luận để tìm yếu tố liên quan từ quãng đờng AB vận tốc phép tính ngợc b) Các bớc hớng dẫn giải: Tìm tỉ lệ vận tốc ô tô xe đạp (hoặc xe đạp ô tô): 12,5 : 50 = 1: Hoặc : 50 : 12,5 = 4: 10 Tû lÖ vËn tèc suy tû lÖ thêi gian NÕu chän tỷ lệ vận tốc : thời gian 4: NÕu ' '' 4:1 “ 1:4 Dùa vào phơng pháp giải toán tổng tỉ số để tìm thời gian (tìm thời gian ô tô từ B-A thời gian xe đạp từ A - B) Tìm quãng đờng dựa vào : Vận tốc ô tô x thời gian ô tô Hoặc vận tốc xe đạp x thời gian xe đạp c) Các bớc giải: Cách 1: Vận tốc ô tô gấp xe đạp 50 : 12,5 = (lÇn) Nh vËy tØ lƯ vËn tèc lµ ; 1( suy tØ lƯ thêi gian ô tô xe đạp : (ngợc lại) ; ta có sơ đồ: Thời gian ô tô : Thời gian xe đạp : Thời gian ô tô từ B A lµ : 5: (1+ 4) x =1 (giê) Qu·ng ®êng AB dµi lµ (còng lµ qu·ng ®êng tõ B A) 50 x = 50 (km) Đáp số : 50 km Cách 2: Tơng tự Vận tốc ®i xe ®¹p so víi vËn tèc ®i xe ô tô là: 12,4 : 50 = (lần) 11 Nh vËy tû lƯ vËn tèc lµ 1: tỷ lệ thời gian ô tô xe đạp : (ngợc lại) ta có sơ đồ : Thời gian ô tô : Thời gian xe đạp : Thời gian ngời xe đạp từ A ®Õn B lµ: 5: (1+ 4) x = (giờ) Quãng đờng AB dài (cũng quãng đờng B A) 12,5 x = 50 (km) Đáp sè : 50 km VÝ du 4: Ngêi ta cÊy lúa ruộng hình thang đáy nhỏ 50m, đáy lớn đáy nhỏ 28m chiều cao tổng đáy Biết 1dam thu đợc 36 kg thóc Hãy tính sản lợng thóc thu hoạch đợc ruộng a) Phân tích định hớng ngắn gọn cách giải: * Bài toán hỏi ? (Số lợng thóc) - Muốn tính số lợng thóc làm (lấy diện tích ruộng x suất) - Năng xuất biết cha (Biết 36kg/dam2 ) - DiÖn tÝch biÕt cha (cha biÕt) -Muèn tính diện tích hình thang, ta làm nào? (lấy ®¸y lín + ®¸y nhá x víi chiỊu cao råi chia 2) - Đáy nhỏ biết cha (biết rồi) - Đáy lớn ta làm (lấy đáy nhỏ + 28m) - ChiÒu cao biÕt cha (cha biÕt) - Muèn tìm chiều cao ta làm nào? lấy đáy lớn + Đáy nhỏ chia 12 Lu đồ minh họa: Sản lợng x Diện tích +Đáy nhỏ Đáy lớn :2 Năng suất x :2 chiều cao Đáy nhỏ + 28 m Đáy nhỏ + đáy nhỏ = đáy nhỏ + 28 m = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao : Sản lợng = Diện tích x suất = (Đáy lớn + Đáy nhỏ) từ sơ đồ ta ngợc dới lên đợc quy trình giải toán b) Các bớc hớng dẫn giải: - Tính đáy lớn : (Đáy nhỏ + 28 m) - Tính chiều cao (đáy lớn + đáy nhỏ chia 4) - TÝnh diƯn tÝch (vËn dơng c¸c tÝnh diƯn tÝch hình thang) đổi dam2 - Tính sản lợng (diện tích x suất) c) Các bớc giải: - Đáy lớn ruộng : 28 + 50 = 78 (m) - ChiỊu cao cđa thưa rng lµ : (78+50): = 32 (m) DiƯn tÝch cđa thưa ruéng lµ : (50+78)x32:2= 2048 (m 2) 2048 m2 = 20,48 dam2 13 Sản lợng thu hoạch ruộng : 20,48 x 36 Đáp số : = 737,28kg 737,28 kg Chú ý: Các bớc phân tích định hớng cách giải ví dụ có khác vị 1; 2; nhng cách suy luận ngợc từ phép câu hỏi để lần lợt xếp cách làm thứ tự bớc hợp lý kết luận cách hớng dẫn: Qua ví dụ thấy rõ giải toán hớng dẫn học sinh giải theo cách vận dụng từ cuối, giáo viên cần hớng dẫn học sinh tập trung suy nghĩ câu hỏi toán Suy nghĩ xem muốn trả lời đợc câu hỏi phải biết phải làm phép tính Trong điều phải biết đó, cho sẵn đề toán, phải tìm? Muốn tìm đợc phải biết phải làm phép tính gì.v.v nh ta suy nghĩ ngợc lên Từ câu hỏi toán điều cho toán Đây phép tơng đồng phơng pháp giải toán tính ngớc từ cuối C Kết luận: Trên số nội dung mà thân hớng dẫn học sinh trình giảng dạy Việc vận dụng cách suy luận tính ngợc từ cuối thật thú vị hiệu Đây đờng suy luận lập luận phơng pháp giải toán dạy toán Phơng pháp (cách làm - đờng) giáo viên vận dụng hớng dÉn mét c¸ch khÐo lÐo, tõng bíc híng dÉn häc sinh nắm đợc 14 yếu tố đề toán là: Cái cần tìm; phân tích đề để tìm mối quan hệ yêu tố ví dụ: Muốn tính diện tích hình vuông cần biết độ dài cạnh; diện tích hình chữ nhật cần biết chiều dài, rộng S cạnh, S chiều dài, chiều rộng yếu tố quan hệ chặt chẽ với trình thực không tránh khỏi đợc thiếu sót nội dung Kính mong bạn đồng nghiệp đọc tham khảo góp ý kiến cho nội dung chặt chẽ đầy đủ phù hợp./ tài liệu tham khảo - 10 chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi tập tập Trần Diên Hiển - Tuyển tập đề thi học sinh giỏi 4-5 - Trần Ngọc Lan - Tuyển tập đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học - Đỗ Trung Hiệu, Lê Tiến Thành - 501 toán đố lớp - Phạm Đình Thực - Những toán hay toán tuổi thơ - Đỗ Huy Hiệu, Lê Thống Nhất - Toán tuổi thơ số - Các toán phân số, thập phân- Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn - Để học tốt toán - Hoàng Chủng - Toán chọn lọc Tiểu học - Phạm Đình Thực 15 Mục lục A.Đặt vấn đề: B Giải vấn đề I Cơ sở lý luận thực tiễn: 1) Cơ sở lý luận : 2) Cơ sở thực tiễn: II- Cách vận dụng từ vị dụ để hớng dẫn học sinh giải bải toán 1-Phần nhận xét: Phần vận dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối: *Các ví dụ minh họa hớng dẫn học sinh vận dụng: a) Phân tích định hớng bớc làm: b) Các bớc giải: *Các ví dụ minh họa hớng dẫn học sinh vận dụng: a) Phân tích định hớng cách làm: b) Các bớc hớng dẫn giải: c) Các bớc giải : *Các ví dụ minh họa hớng dẫn học sinh vận dụng: a) Phân tích định hớng cách làm: b) Các bớc hớng dẫn giải: c) Các bớc giải: *Các ví dụ minh họa hớng dẫn học sinh vận dụng: a) Phân tích định hớng ngắn gọn cách giải: b) Các bớc hớng dẫn giải: c) Các bớc giải: Kết luận cách hớng dẫn: C KÕt luËn: 16 17 ... Hiển - Tuyển tập đề thi học sinh giỏi 4-5 - Trần Ngọc Lan - Tuyển tập đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học - Đỗ Trung Hiệu, Lê Tiến Thành - 501 toán đố lớp - Phạm Đình Thực - Những toán hay toán tu i... toán đố lớp - Phạm Đình Thực - Những toán hay toán tu i thơ - Đỗ Huy Hiệu, Lê Thống Nhất - Toán tu i thơ số - Các toán phân số, thập phân- Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn - Để học tốt toán - Hoàng Chủng