Chuyên đề Véctơ trong không gian

Cách 2: Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm Ghi chú : Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 m

Vấn đề 1 TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Phương pháp: Thông thường ta có 3 cách làm

Phương pháp: Thông thường ta có 2 cách làm

Cách 2: Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm

Ghi chú : Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt phẳng cùng chứa đường thẳng ấy Cái khó là phải xác định được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng chứa đường thẳng cần tìm Thông thường ta hay gặp 3 giả thuyết sau :

+ Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng đi qua A và chứa d + Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d

+ Đường thẳng (Δ) song song với d1 và cắt d2 : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng chứa d2 và song song với d1

Chẳng hạn :

1 Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng ấy

Cách giải :

- (Δ) đi qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng

α đi qua A và vuông góc với d

- (Δ) đi qua A và cắt d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β

2 Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2

Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β

3 Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng α, vuông góc với d và nằm trong α

Cách giải :

- Từ giả thuyết ta đã có (Δ)  α

- (Δ) qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β

đi qua A và vuông góc với d

Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β

4 Lập phương trình đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng (D) và cắt 2 đường thẳng d1 và d2

Bài toán 1 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên

đường thẳng (d)

Phương pháp :

Cách 1 : (d) cho bởi phương trình tham số :

+ H (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số

t

+ Tìm tham số t nhờ điều kiện               AH                ad

Cách 2 : (d) cho bởi phương trình chính tắc, gọi H(x, y, z)

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 3

+ AH  ad (*)

+ H  (d) : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z

Cách 3 : (d) cho bởi phương trình tổng quát :

+ Tìm phương trình mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d)

+ Giao điểm của (d) và (α) chính là hình chiếu H của A trên (d).

Bài toán 2 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt

phẳng (α)

Cách 1 : Gọi H(x, y, z)

+ H  α (*)

+ AH  cùng phương với a  d

: Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z.

Bài toán 3 : Tìm hình chiếu vuông góc (Δ) của đường thẳng (d)

xuống mặt phẳng α

Phương pháp :

- Tìm phương trình mặt phẳng β chứa đường thẳng d và vuông

góc với mặt phẳng α

- Hình chiếu (Δ) của d xuống mặt phẳng α chính là giao tuyến của α và β

Bài toán 4 : Tìm hình chiếu H của A theo phương đường thẳng

(d) lên mặt phẳng (α)

Phương pháp :

- Tìm phương trình đường thẳng (Δ) đi qua A và song song với (d)

- Hình chiếu H chính là giao điểm của (Δ) và (α)

Bài toán 5 : Tìm hình chiếu (Δ) của đường thẳng (d) theo

phương của đường thẳng (D) lên mặt phẳng (α)

Phương pháp :

- Tìm phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và song song với (D)

- Hình chiếu (Δ) chính là giao tuyến của (α) và (β)

Vấn đề4

ĐỐI XỨNG

Bài toán 1: Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d

Phương pháp :

- Tìm hình chiếu H của A trên d

- H là trung điểm AA’

Bài toán 2 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α Phương pháp :

- Tìm hình chiếu H của A trên α.

- H là trung điểm AA’

Bài toán 3 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường

thẳng (D) qua đường thẳng (Δ)

Phương pháp :

- Trường hợp 1 : ( Δ ) và (D) cắt nhau :

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 5

+ Tìm giao điểm M của (D) và (Δ)

+ Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M

+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ)

+ d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và M

- Trường hợp 2 : ( Δ ) và (D) song song :

+ Tìm một điểm A trên (D)

+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ)

+ d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (Δ)

- Trường hợp 3 : ( Δ ) và (D) chéo nhau :

+ Tìm 2 điểm phân biệt A, B trên (D)

+ Tìm điểm A’, B’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua (Δ)

+ d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’, B’.

Bài toán 4 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường

thẳng (D) qua mặt phẳng α

Phương pháp :

- Trường hợp 1 : (D) cắt α

+ Tìm giao điểm M của (D) và (α)

+ Tìm một điểm A trên (D)

+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α

+ d chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và M

- Trường hợp 2 : (D) song song với α

- Tìm hình chiếu H của M trên (Δ)

- Khoảng cách từ M đến (Δ) chính là độ dài đoạn MH

Bài toán 3 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song d1

và d2

Phương pháp :

- Tìm một điểm A trên d1

- Khoảng cách giữa d1 và d2 chính là khoảng cách từ điểm A đến

d2

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 7

- Tìm một điểm A trên (D)

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α

- d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (D)

Bài toán 4 : Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song α :

Ghi chú :

Mặt phẳng α và β chính là 2 mặt phẳng song song với nhau và lần lượt chứa d1 và d2

Cách 3 :

+ Viết dưới dạng phương trình tham số theo t

+ Viết d2 dưới dạng phương trình tham số theo t2

+ Xem A  d1  dạng tọa độ A theo t1

+ Xem B  d2  dạng tọa độ B theo t2

+ Tìm vectơ chỉ phương a a  1, 2lần lượt của d1 và d2

+ AB là đoạn vuông góc chung d1, d2  1

Vấn đề 6 GÓC

Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình :

- d vuơng gĩc d’  aa’ + bb’ + cc’ = 0

- α vuơng gĩc β  AA’ + BB’ + CC’ = 0

- d song song (hoặc nằm trên ) α  aA + bB + cC = 0

Vấn đề 7

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Cho hai mặt phẳng α và β có phương trình :

α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Gọi n1 ( ; ; ), A B C n1 1 1 2  ( ; ; A B C2 2 2)

lần lượt là pháp vectơ của 2

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 9

mặt phẳng trên và M là một điểm trên mặt phẳng α

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG

Cách 1 : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2

+ Hệ có một nghiệm duy nhất : d1 cắt d2

+ Hệ có vô số nghiệm : d1 và d2 trùng nhau

+ Hệ vô nghiệm :

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cách 1 : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng α

+ Hệ vô nghiệm : d // α

+ Hệ có nghiệm duy nhất : d cắt α

+ Hệ vô số nghiệm : d  α

Cách 2 : Tìm vectơ chỉ phương của d, pháp vectơ của α và tìm điểm A  d.

* Nếu a n    0 (không vuông góc ) thì d cắt α.

2/ Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0

với A2 + B2 + C2 – D > 0 cũng là phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I( A; B; -C ) và bán kính R = 2 2 2

-A  B  C  D

3/ Giao của mặt cầu với mặt phẳng:

(S): ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 11

IH d I P

A B C

  a/ Trường hợp 1:

Nếu IH < R thì (S)  (P) = ( C ) là 1 đường trịn cĩ tâm là H vàbán kính r = 2 2

Bài 3 : Cho 2 điểm A(2;-1;3) , B(2;1;-1)

Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của AB

Bài 8: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)

1/ Đi qua điểm M(3,-2,5) và vuông góc với vectơ n = (4,-3,2)

2/ Đi qua điểm N(1,6,-2) và vuông góc với (D) đi qua 2 điểm

A(2,-5,6), B(-1,-3,2)3/ Đi qua điểm E(-2,3,1) và có cặp vectơ chỉ phương

a = (3,-5,2) , b = (1,-4,3)4/ Đi qua 2 điểm A(4,0,2) , B(1,3,-2) và có 1 VTCP a = ( 4,5,3)

5/ Đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,-2,4) , B(3,2,-1), C(-2,1,-3)6/ Đi qua điểm M(2,-3,4) và song song với mặt phẳng

(Q): 4x – 3y + 2z – 5 = 0 7/ Cắt 3 trục tại A(2,0,0), B(0,-3,0) , C(0,0,6)

8/ Đi qua 2 điểm A(1,3,-5) , B(-2,-1,1) và song song với trục x’Ox 9/ Đi qua điểm M(2,-5,3) và vuông góc với OM

10/ Đi qua điểm N(2,-3,4) và vuông góc với trục y’Oy

11/ (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(3,-2,5) , B(-5,4,7)12/ Đi qua điểm E(-4,3,-2) và chứa trục y’Oy

13/ Đi qua 2 điểm A(2,-1,4) , B(3,2,1) và vuông góc

mặt phẳng (Q) : 2x – y + 3z - 5 = 0 14/ Qua điểm M(-1,4,-3) và vuông góc với hai mặt phẳng

(Q) : x – 2y + z + 4 = 0 ; (R): 3x + y – 2z – 1 = 0

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 13

Bài 10: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) :

a Chứa trục Ox và điểm A (4,-1,2)

b Chứa trục Oy và điểm B (1,4,3)

c Chứa trục Oz và điểm C (3,-1,7)

Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng (P):

a/ Song song với (Q): 3x – y – 2z + 4 = 0 và hợp với 3 mặt phẳng tọa độ

1 tứ diện cĩ thể tích bằng 8

b/ Qua M(4;2;8) và tạo cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B,

C sao cho OA:OB:OC = 1:2:3

Bài 12: Viết phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của các đườngthẳng trong các trường hợp sau:

1/ Đi qua điểm (2;0;-1) và cĩ VTCP (-1;3;5)

2/ Đi qua điểm (-2;1;-1) và cĩ VTCP (0;0;-5)

3/ Đi qua 2 điểm (2;3;-1) và (1;2;4)

4/ Đi qua điểm (4;2;-2) cà song song với đường thẳng AB với A(5;3;2)

và B(2;1;-2)

5/ Qua điểm (-1;4;3) và vuơng gĩc với trục z’Oz tại K

6/ Qua (3;2;-1) và song song với trục Ox

7/ Qua (2;-5;3) và song song với đường thẳng (d’)

Bài 13: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) trong các trườnghợp sau:

1/ Biết phương trình tổng quát của (d) 3 2 10 0

Bài 14: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) trong cáctrường hợp sau:

1/ Qua (3;2;2) và vuơng gĩc với mp(xOy)

2/ Qua (2;3;4) và vuông góc với trục y’Oy tại H

3/ Qua (-1;3;5) và song song với đường thẳng

Bài 15: Cho tam giác ABC, với A(3;2;-1), B(1;4;-2) và C(5;-2;3)

Viết phương trình tổng quát của:

1/ Trung tuyến AM

2/ Đường trung trực của BC trong tam giác ABC

3/ Đường cao AH

4/ Đường phân giác ngoài AD của góc A

Bài 16: Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng (d)

1/ Song song với đường thẳng(d1): 1 1

x y  z 

 và cắt hai đườngthẳng (d2):

1 2 1

Bài 18: Tìm phương trình tổng quát của (d) trong các trường hợp sau: (d)

là hình chiếu vuông góc của đường thẳng

1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (d)

2/ Tìm tọa độ điểm N đối xứng của M qua (d)

Bài 23: Cho điểm A(2;3;1) và đường thẳng (d):

3/ Tìm phương trình đường thẳng MA

4/ Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d), tính MN.

Bài 25: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng

3

0

2

z y

2

0 1 3 2

z y x

z y

t y

at x

3 3

2 1

0 4 3 2

z y x

z y x

Bài 28 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trìnhđường thẳng qua điểm M(2,3,-5) và song song với đường thẳng (d1) cóphương trình : 

0 7 2 3

z y x

z y x

Bài 29 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trìnhđường thẳng qua điểm A(3,2,1) cắt vuông góc với đường thẳng (d) cóphương trình :

1

34

2





y z x

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 17

Bài 30 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trìnhhình chiếu của đường thẳng :

1

14

23

33

12

11

23

0 2

x

z y

Bài 33: Cho đường thẳng và mặt phẳng có phương trình :

3

0 3 2

z x

t y

t x

4 1

2 7

3 2

a Chứng minh (d) // ( P)

b Tìm khoảng cách từ (d) đến (P)

Bài 35: Chứng minh rằng đường thẳng

(d) :  5x 3y 2z 5  0

và nằm trong mặt phẳng :

0 1 5 3

z y

x

z y

x

32

11

z y

Bài 37 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng(d) và (d’) lần lượt có phương trình là:

t y

t x

4 6

3 2

3 2

1 ' 4 ' 5

t z

t y

t x

Bài 38 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng(d) và (d’) lần lượt có phương trình là:

2 2

7 3

t z

t y

t x

4

53

z y y x

a Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau

b Tính khỏang cách giữa (d1) và (d2)

c Viết phương trình đường thẳng qua M(2,3,1) và cắt cả hai

đường thẳng (d1) và (d2)

Bài 40 :Cho hai đường thẳng

(d1) :

2

31

12

12

a Chứng minh rằnh : ( d1) chéo với (d2)

b Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

Bài 41 :Cho 4 điểm S(1,2,-1) , A(3,4,-1) , B(1,4,1) , C(3,2,1)

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 19

1 Chứng minh S.ABC là hình chóp

2 Tìm phương trình tổng quát của SA , BC

3 Tìm phương trình mặt phẳng (ABC)

4 Tính khoảng cách giữa SA và BC

5 Tìm phương trình đường thẳng vuông góc chung của SA và BC

6 Tính đường cao và thể tích hình chóp

Bài 42 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng có phương trình (d1) : 

y x

z x

0 2 3

z y y x

Bài 43 : Tìm khoảng cách từ A(1,2,-3) đến đường thẳng (d) có phươngtrình (d) : 

0 3

z y x z y x

Bài 44 : Tìm tọa độ điểm P’ đối xứng với điểm P( -3,1,-1) qua đườngthẳng (d): 

0 13 3

4

z y

y x

Bài 45 : Định a để đường thẳng (d) :

0 3 2

3

z y x

z y x

song song với mặt phẳng(P) : 2x – y + az – 2 = 0

Bài 46 :Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của 2 mặtphẳng : 3x - 2y + z – 3 = 0 ; x – 2z = 0 và vuông góc với mặt phẳng: x – 2y + z + 5 = 0

Bài 47 :Lâïp phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2,-1,5) và vuônggóc với 2 mặt phẳng có phương trình :

a/ Song song b/ Cắt nhau c/ Trùng nhau

Bài 50: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (D)

và vuông góc với mặt phẳng (P) : x – 2y + z + 5 = 0

Bài 51: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcacvuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

Bài 53 ( ĐH KHỐI D-2002): Trong không gian với hệ tọa độ

Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng

(P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm :

(m là tham số)

Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)

Bài 54 ( ĐH KHỐI A-2003):

Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyzcho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ,

B(a;0;0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0) Gọi M là trung điểm CC’

a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b

Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 21

b Xác định tỷ số a/b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau

Bài 54 ( ĐH KHỐI B-2003): Trong không gian với hệ tọa độ

Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm

C sao cho  AC  (0;6;0)

Tính khoảng cách từ trung điểm I của

BC đến đường thẳng OA

Bài 55 ( ĐH KHỐI D-2003):

Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz

cho đường thẳng Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + 5 = 0

Bài 56 ( ĐH KHỐI A-2004):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; ) Gọi M là trung điểm của cạnh SC a) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM

b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Bài 57( ĐH KHỐI D -2004):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 Biết A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) với a > 0, b > 0

a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a, b b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4 Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất

Bài 58 ( ĐH KHỐI B-2004):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểmA (-4; -2; 4) và

đường thẳng d:

3 2 1

Bài 59 ( ĐH KHỐI A-2005):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng:

A(2;4;-1),      OB i                                        4 j k C                ; (2;4;3);               OD                2               i  2               j k 

1/ CMR AB  AC AD ,  AC AD ,  AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

2/ Viết phương trình tham số của đường vuơng gĩc chung (d) của 2đường thẳng AB và CD Tính gĩc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng(ABD)

3/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D Viết phươngtrình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD)

Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6)

1/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C Tính diện tích tamgiác ABC

2/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu đườngkính OG

1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) với mặt phẳng (P).

2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và vuơng gĩc (P).

Bài 66: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)

1 x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 2z –22 = 0

2 x2 + y2 + z2 + 6x – 8z = 0

3 x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z – 16 = 0

4 x2 + y2 + z2 – 4y + 8z = 0