Chuyên đề Véctơ trong không gian

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Vấn đề 1 TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương pháp: Thông thường ta có 3 cách làm Cách 1: Tìm 1 điểm và một cặp VTCP Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có cặp VTCP 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b= = r r Khi đó, (P) có VTPT là: 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 [ , ] ; ; ( ; ; ) a a a a a a n a b A B C b b b b b b   = = =  ÷   r r r Suy ra, (P): A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 Cách 2: Tìm 1 điểm và một VTPT Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ) và có VTPT ( ; ; )n A B C= r Suy ra, (P): A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 Cách 3: Dùng phương trình chùm đường thẳng Vấn đề 2 TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Thông thường ta có 2 cách làm Cách 1: Tìm 1 điểm và một VTCP Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có VTCP 1 2 3 ( ; ; )a a a a= r . Khi đó, + Ptts (d): 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t = +   = +   = +  + Ptct (d): 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = , ( a 1, a 2 , a 3 ≠ 0 ) + PTtq (d): 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =   + + + =  , ( A 1 :B 1 :C 1 ≠ A 2 :B 2 :C 2 ) Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 1 Luyện thi THPT & ĐH - CĐ Cách 2: Tìm phương trình tổng qt của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm Ghi chú : Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Cái khó là phải xác đònh được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng chứa đường thẳng cần tìm. Thông thường ta hay gặp 3 giả thuyết sau : + Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng đi qua A và chứa d. + Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. + Đường thẳng (Δ) song song với d1 và cắt d2 : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng chứa d2 và song song với d1. Chẳng hạn : 1. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng ấy. Cách giải : - (Δ) đi qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với d. - (Δ) đi qua A và cắt d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d. Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β. 2. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Cách giải : - (Δ) đi qua A và cắt d1 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α đi qua A và chứa d1. - (Δ) đi qua A và cắt d2 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d2. Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β. 3. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng α, vuông góc với d và nằm trong α. 2 Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian Cách giải : - Từ giả thuyết ta đã có (Δ) ⊂ α. - (Δ) qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và vuông góc với d. Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β. 4. Lập phương trình đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng (D) và cắt 2 đường thẳng d1 và d2. Cách giải : - (Δ) song song với (D) và cắt d1 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α chứa d1 và song song với (D). - (Δ) song song với (D) và cắt d2 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β chứa d2 và song song với (D). Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β. Vấn đề 3 HÌNH CHIẾU Bài toán 1 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d) Phương pháp : Cách 1 : (d) cho bởi phương trình tham số : + H ∈(d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t. + Tìm tham số t nhờ điều kiện d AH a⊥ uuur uur Cách 2 : (d) cho bởi phương trình chính tắc, gọi H(x, y, z) + d AH a⊥ uuur uur (*) + H ∈ (d) : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 3 Luyện thi THPT & ĐH - CĐ tìm được x, y, z. Cách 3 : (d) cho bởi phương trình tổng quát : + Tìm phương trình mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d). + Giao điểm của (d) và (α) chính là hình chiếu H của A trên (d). Bài toán 2 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt phẳng (α) Cách 1 : Gọi H(x, y, z) + H ∈ α (*) + AH uuur cùng phương với d a uur : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z. Cách 2 : + Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (α). + Giao điểm của (d) và (α) chính là hình chiếu H của A trên mặt phẳng (α). Bài toán 3 : Tìm hình chiếu vuông góc (Δ) của đường thẳng (d) xuống mặt phẳng α. Phương pháp : - Tìm phương trình mặt phẳng β chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng α. - Hình chiếu (Δ) của d xuống mặt phẳng α chính là giao tuyến của α và β. Bài toán 4 : Tìm hình chiếu H của A theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (α). Phương pháp : - Tìm phương trình đường thẳng (Δ) đi qua A và song song với (d). - Hình chiếu H chính là giao điểm của (Δ) và (α). Bài toán 5 : Tìm hình chiếu (Δ) của đường thẳng (d) theo phương của đường thẳng (D) lên mặt phẳng (α). Phương pháp : 4 Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian - Tìm phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và song song với (D) - Hình chiếu (Δ) chính là giao tuyến của (α) và (β) Vấn đề4 ĐỐI XỨNG Bài toán 1: Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Phương pháp : - Tìm hình chiếu H của A trên d. - H là trung điểm AA’. Bài toán 2 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α. Phương pháp : - Tìm hình chiếu H của A trên α. - H là trung điểm AA’. Bài toán 3 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (Δ) Phương pháp : - Trường hợp 1 : ( Δ ) và (D) cắt nhau : Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 5 Luyện thi THPT & ĐH - CĐ + Tìm giao điểm M của (D) và (Δ). + Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M. + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và M. - Trường hợp 2 : ( Δ ) và (D) song song : + Tìm một điểm A trên (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (Δ) - Trường hợp 3 : ( Δ ) và (D) chéo nhau : + Tìm 2 điểm phân biệt A, B trên (D) + Tìm điểm A’, B’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua (Δ) + d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’, B’. Bài toán 4 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng α. Phương pháp : - Trường hợp 1 : (D) cắt α + Tìm giao điểm M của (D) và (α) + Tìm một điểm A trên (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α . + d chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và M . - Trường hợp 2 : (D) song song với α . 6 Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian Vấn đề 5 KHOẢNG CÁCH Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 Phương pháp : Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ) Phương pháp : - Tìm hình chiếu H của M trên (Δ) - Khoảng cách từ M đến (Δ) chính là độ dài đoạn MH. Bài toán 3 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song d1 và d2. Phương pháp : - Tìm một điểm A trên d1. - Khoảng cách giữa d1 và d2 chính là khoảng cách từ điểm A đến d2. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 7 - Tìm một điểm A trên (D) - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α. - d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (D) Luyện thi THPT & ĐH - CĐ Bài toán 4 : Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song α : Ax + By + Cz + D1 = 0 và β : Ax + By + Cz + D2 = 0 Phương pháp : Khoảng cách giữa α và β được cho bởi công thức : Bài toán 5 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d1 và d2 Phương pháp : Cách 1 : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 và song song với d2. + Tìm một điểm A trên d2. + Khi đó d(d1, d2) = d(A, α) Cách 2 : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 và song song với d2. + Tìm phương trình mặt phẳng β chứa d2 và song song với d1. + Khi đó d(d1, d2) = d(α, β) Ghi chú : Mặt phẳng α và β chính là 2 mặt phẳng song song với nhau và lần lượt chứa d1 và d2. Cách 3 : + Viết dưới dạng phương trình tham số theo t. + Viết d2 dưới dạng phương trình tham số theo t2. + Xem A ∈ d1 ⇒ dạng tọa độ A theo t1. + Xem B ∈ d2 ⇒ dạng tọa độ B theo t2. + Tìm vectơ chỉ phương 1 2 ,a a ur uur lần lượt của d1 và d2. + AB là đoạn vuông góc chung d1, d2. ⇔ 1 2 AB a AB a  ⊥   ⊥   uuur ur uuur uur tìm được t1 và t2 + Khi đó d(d1, d2) = AB 8 Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian Vấn đề 6 GÓC Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình : d : d’ : Cho 2 mặt phẳng α và β có phương trình : α : Ax + By + Cz + D = 0 β : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 1. Góc giữa hai đường thẳng d và d’ : 2. Góc giữa hai mặt phẳng α và β : 3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α : Chú ý: - d vng góc d’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = 0 - α vng góc β ⇔ AA’ + BB’ + CC’ = 0 - d song song (hoặc nằm trên ) α ⇔ aA + bB + cC = 0 Vấn đề 7 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng α và β có phương trình : α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Gọi 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; )n A B C n A B C= = ur uur lần lượt là pháp vectơ của 2 mặt phẳng trên và M là một điểm trên mặt phẳng α. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 9 Luyện thi THPT & ĐH - CĐ - α cắt β ⇔ 1 2 ,n n ur uur không cùng phương. - α song song β ⇔ - α trùng β ⇔ Nếu A2, B2, C2, D2 ≠ 0 thì ta có cách khác : - α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 - α song song β ⇔ - α trùng β ⇔ Vấn đề 8 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG Cách 1 : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2. + Hệ có một nghiệm duy nhất : d1 cắt d2. + Hệ có vô số nghiệm : d1 và d2 trùng nhau. + Hệ vô nghiệm : 1 2 , d d a a uur uuur cùng phương ⇒ d1 // d2. 1 2 , d d a a uur uuur không cùng phương ⇒ d1 và d2 chéo nhau. Cách 2 : + Tìm vectơ chỉ phương 1 2 , d d a a uur uuur + Tìm điểm A ∈ d1 và B ∈ d2. a/ 1 2 , d d a a uur uuur cùng phương: 2 1 2 2 1 2 // A d d d A d d d ∈ ⇒ ≡   ∉ ⇒  b/ 1 2 , d d a a uur uuur không cùng phương ta có: * Nếu 1 2 , 0 d d a a AB   =   uur uuur uuur thì d1, d2 cắt nhau. 10 [...]... - CĐ Bài 28 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2,3,-5) và song song với đường thẳng (d1) có phương trình :  3x − y + 2 z − 7 = 0   x + 3 y − 2z + 3 = 0 Bài 29 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3,2,1) cắt vuông góc với đường thẳng (d) có x y z +3 phương trình : = = 2 4 1 Bài 30 :Trong không gian tọa độ trực... CD,A1D1 Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N Bài 53 ( ĐH KHỐI D-2002): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm : 22 Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian (m là tham số) Xác đònh m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Bài 54 ( ĐH KHỐI A-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyzcho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’... B-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuôuuu góc Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm ngr C sao cho AC = (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA Bài 55 ( ĐH KHỐI D-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + 5 = 0 Bài 56 ( ĐH KHỐI A-2004): Trong không gian với... KHỐI A-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng: d: mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0 a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), biết Δ đi qua A và vuông góc với d Bài 60( ĐH KHỐI B-2005): Trong không gian với hệ tọa... trình mặt phẳng (P) Bài 2 : Trong không gian cho 3 điểm A(2;-1;1) , B(1;-4;1) , C(1;0;1) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 3 : Cho 2 điểm A(2;-1;3) , B(2;1;-1) Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của AB Bài 4 : Cho 2 điểm A (7;2;-3) , B(5;6;-4) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa A , B và song song với trục hoành 12 Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian Bài 5 : Lập phương trình... thẳng : x +1 y + 3 z − 2 x − 2 y + 1 z −1 = = = = (d1) : ; (d1) : 3 −2 −1 2 3 −5 Bài 31: Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3,2,1) vuông góc với đường thẳng (d) có x −1 y + 2 z = = và cắt đường thẳng phương trình : 3 1 1  x+ y− z+ 2= 0 (d’) :   x+ 1= 0 Bài 32: Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (d) x −1 y z + 2 = = có phương trình : mặt... Bài 57( ĐH KHỐI D -2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 Biết A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) với a > 0, b > 0 a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a, b b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4 Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất Bài 58 ( ĐH KHỐI B-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho... nhau không ? Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978 & 828264 19 Luyện thi THPT & ĐH - CĐ Bài 37 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình là:  x = 2 − 3t  (d) :  y = − 2 + 3t  z = 6 + 4t   x = 5 + t'  (d’) :  y = − 4t '− 1  z = 20 + t '  ; Bài 38 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình là:... 3 y + 2 z − 5 = 0 (d) :  và nằm trong mặt phẳng :  2x − y − z − 1 = 0 4x – 3y + 7z – 7 = 0 Bài 36 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình là:  3x + y − 5 z + 1 = 0 (d) :  ;  2 x + 3 y − 8z + 3 = 0 (d’) : x y −1 z = = 1 −2 3 Chứng minh rằng hai đường thẳng đó vuông góc nhau Hai đường thẳng đó có cắt nhau không ? Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978... giao điểm của (d) và (P) , vuông góc với (d) và nằm trong (P) 18 Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian Bài 33: Cho đường thẳng và mặt phẳng có phương trình :  x + 2y − 3 = 0 (d) :  và mặt phẳng (P) : x + y + z = 0  3x − 2 z − 7 = 0 a/ Tìm giao điểm A giữa (d) và (P) b/ Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A và vuông góc với (P) và nằm trong (P) Bài 34: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng . Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Vấn đề 1 TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương pháp: Thông. nằm trong α. 2 Chun đề: Phương pháp tọa độ trong khơng gian Cách giải : - Từ giả thuyết ta đã có (Δ) ⊂ α. - (Δ) qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong