Khi đó nếu có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì hai đường thẳng AB và CD song song.. Tìm các điểm M, N lần lượt thuộc A’C và C’D sao cho MN
Trang 1ÁP DỤNG VÉCTƠ GIẢI TOÁN
A TÓM TẮT KIẾN THỨC
1) Định nghĩa: Ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một
mặt phẳng
2) Tính chất:
a Điều kiện để ba véctơ a b c , ,
(a b ,
không cùng phương) đồng phẳng là tồn tại các số m, n sao cho c
=ma nb
Hơn nữa các số m, n là duy nhất
b Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ
, ,
AB AC AD
đồng phẳng
c Nếu ma nb pc 0
và có một trong ba số m, n, p khác 0 thì
a b c , ,
đồng phẳng
d Nếu ma nb pc 0
và a b c , ,
không đồng phẳng thì
m n p 0
e Nếu a b c , ,
không đồng phẳng thì với mỗi véctơ d
, ta tìm được các số m, n, p sao cho d
=ma nb pc
Hơn nữa các số m,n, p là duy nhất
B PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để áp dụng vectơ để giải bài tập hình học không gian ta thường theo các bước sau:
Bước 1: Chọn ba véctơ x y z , ,
không đồng phẳng
(Hệ ba véctơ {x y z , ,
} gọi là hệ cơ sở)
Bước 2: Biểu diễn các véctơ liên quan ( chẳng hạn a b c , ,
, ) qua hệ cơ sở
Bước 3: Tuỳ yêu cầu bài toán mà có phương án xử lý tiếp theo
Trong quá trình biến đổi, kết quả sau thường được vận dụng:
Mệnh đề: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k1), tức là MA k MB
, thì với mỗi điểm O, ta có
1
OA kOB OM
k
* Chú ý
Ở bước 1: Hệ cơ sở { x y z , ,
} thường được chọn là ba véctơ chung gốc, chẳng hạn
AB AD AA
Trang 2Ở bước 2: Để biểu thị, chẳng hạn véctơ MN
qua x y z , ,
trước hết ta biểu thị ,
AM AN
qua x y z , ,
và sau đó áp dụng công thức MN AN AN
Ở bước 3: Để giải quyết bài toán về tính tính song song ta thường dùng hệ quả :“Nếu
, ,
x y z
không đồng phẳng và mx n y pz m x n y ' ' p z '
thì m=m’, n=n’, p=p’”, còn để giải quyết bài toán về tính vuông góc hoặc liên quan đến tính toán ta
thường áp dụng tích vô hướng của hai véctơ
C BÀI TOÁN
I Bài toán 1:
Chứng minh, tìm điều kiện ba điểm thẳng hàng
* Nhận xét:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB
, AC
cùng phương, tức là AB k AC
Ví dụ
Cho tứ diện ABCD; M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho
,
MA m MB ND m NC
, ( m 1) Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho IA k ID JM , k JN , KB k KC
( k1) Chứng minh các điểm I, J, K
thẳng hàng
Lời giải:
Đặt x AB y , AC z , AD
, thì , ,
x y z
không đồng phẳng Ta có
1
m
m
ND m NC
1
m
m
IA k ID
1
k
k
1
x
y
z
Trang 3KB k KC
1
k
Từ đó ta có
1
1
k
(1 )( 1)
m
k m
Suy ra: IJ
1
m
m IK
, do đó I, J, K thẳng hàng
Nhận xét: Trong bài toán trên, nếu chọn m = -1 thì ta có kết quả: Nếu M, N lần lượt là
trung điểm của AB, CD thì J là trung điểm của IK
II Bài toán 2:
Chứng minh, tìm điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
*Nhận xét:
Điều kiện để hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau là hai véctơ AB
và CD
cùng phương Khi đó nếu có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì hai đường thẳng AB và CD song song
Ví dụ :
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tìm các điểm M, N lần lượt thuộc A’C và C’D sao cho
MN song song với đường thẳng BD’
Lời giải
Đặt x BA y , BB z ', BC
thì x y z , ,
không đồng phẳng
Vì M, N lần lượt thuộc A’C, C’D nên giả sử
MA k MC NC l ND
(k1, l1), theo
đó ta có
x
y
z
Trang 41 1 1
Mà BD ' x y z
Vì BD’ và C’D là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc đường thẳng C’D nên đường thẳng MN không trùng với đường BD’ Vậy đường thẳng
MN song song với đường thẳng BD’ khi và chỉ khi
1
1
1
l
p
p k
Vậy M, N cần tìm được xác định bởi các đẳng thức: MA ' 3 MC
, NC ' ND
Chú ý: Có thể giải bài toán trên bằng các cách khác, chẳng hạn:
- Xét phép chiếu song song theo phương BD’ lên mặt phẳng (A’B’C’D’) ;
- Hoặc: Xem đường thẳng MN cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD’A’) (chứa BD’) và mặt phẳng (C’DE), trong đó E đối xứng với A qua B (chứa DC’
và song song với BD’)
Hình 4
Trang 5III Bài toàn 3:
Chứng minh, tìm điều kiện để đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng
* Nhận xét:
Đường thẳng AB song song hoặc nằm trong (P) nếu ba véctơ A B
, a
,b
không đồng phẳng, trong đó a
,b
là hai véctơ nằm trong (P) Khi đó nếu có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc (P) thì đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), nếu ngược lại thì đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (P)
Ví dụ :
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’ Chứng minh rằng đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (ABB’A’)
Lời giải:
Đặt x AB y , AD z , AA '
, thì x y z , ,
không đồng phẳng
Vì G, G’ lần lượt là trọng tâm của tứ diện A’D’MN,
BCC’D’ nên
AG
=1
4( AA ' AD ' AM AN
)
1
4
, theo đó
1
4
GG AG AG A B D C MC ND
4 x z x z 2 x z 2 z
1 (5 )
8 x z
1
8 AB AA
Điều này chứng tỏ AB AA GG , ', '
đồng phẳng, mặt khác G không nằm trên mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (ABB’A’)
y
x
z
Trang 6Chú ý: Ta dùng cách thường làm, đó là chứng minh GG’ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng (ABB’A’) tuy nhiên lời giải sẽ dài và hình phải vẽ
thêm nhiều nét
IV Bài toán 4:
Chứng minh, tìm điều kiện để bốn điểm nằm trong một mặt phẳng
*Nhận xét:
1) Bốn điểm A, B, C, D nằm trong một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ
, ,
AB AC AD
đồng phẳng
2) Cho tam giác ABC và một điểm O bất kì thì điều kiện cần và đủ để M nằm trên mặt phẳng (ABC) là: OM kOA lOB mOC
trong đó k + l + m = 1
Ví dụ :
Cho tứ diện ABCD; I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD; các điểm M, N lần lượt thuộc AC, BD sao cho M A k M C N B , k N D '
Chứng minh rằng các điểm I,
J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k=k’
Lời giải:
Đặt x
= IA
, y
=IC
,z
=ID
, thì x
, y
, z không đồng phẳng Ta có
IA k IC x k y
MA k MC IM
'
IJ IC ID y z
Bốn điểm M, N, I, J cùng thuộc một mặt phẳng khi
và chỉ khi ba véctơ IM IN IJ , ,
đồng phẳng, tức là
IM p IN q IJ
x
y
z
Trang 7
1
'
p
k
k
k k k
, từ đây ta có k=k’
V.Bài toán 5:
Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng, chứng minh các đường thẳng, mặt phẳng vuông góc, khoảng cách
*Nhận xét:
1)Để tính độ dài đoạn thẳng MN ta biểu thị M N
qua hệ cơ sở và dùng công thức
2
M N
2) Để tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta dùng công thức
.
.
AB CD
AB CD
3) Để chứng minh các đối tượng vuông góc ta đưa về việc chứng minh hai đường thẳng vuông góc
4) Xác định khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB xác định |CM |
với M
thoả mãn: .
CM AB
5) Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳngchéo nhau AB và CD xác định
|MN |
với M , N thoả mãn:
.
0
0
MN AB
MN CD
Trang 8Ví dụ 1:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a,
a) Chứng minh tứ giác ADC’B’ là hình
vuông;
b) Tính diện tích tứ giác A’B’CD
Lời giải:
Đặtx
= AB
, y
= AD
, z
= AA '
thì x
, y
, z
không đồng phẳng và
2 2 2
2
x y z a x y x z y z
a) Dễ thấy ADC’B’ là hình bình hành Vì BAA ' 120 0 nên AA B ' ' 600, từ đó
AB’=a, cho nên ADC’B’ là hình thoi Ta có
AB x z AB AD x z y
AB’AD Vậy ADC’B’ là hình vuông
b) Ta có A B ' ' x
, A D' y z
, D B' x y z
, nên
2 2 2
2
A D x z x z a
BD x y z x y x z y z a
DB a
Đặt B A D ' ' thì
os
1
3
c
3
c
x
y
z
z
z
Trang 92 ' '
6
3
A B CD
Ví dụ 2:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Trên các đoạn thẳng BB’, CD,
A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B’M = CN = D’P = a
(0 < a <1) Chứng minh rằng:
a) MN a AB AD (1 a AA ) '
b) AC '
vuông góc với mặt phẳng (MNP)
Lời giải:
Đặt x
= A B
, y
= AD
, z
= AA '
, thì x
, y
, z
không đồng phẳng và
x y y z x z
,
1
x y z
a) Ta có
MN MB BC CN
(1 a B B ) ' AD aCD
( a 1) AA ' AD a AB
b) Ta có M N a x y ( a 1) z
, tương tự ta tính được (1 )
M P x a y a z
Ta lại có AC ' x y z
, suy ra '.
AC MN
(x y z
)(a x y (a 1)z
) = a-1-a+1=0 '.
AC MP
(x y z
)( x (1 a y) a z
) = a-1+1-a=0
Suy ra AC’MN và AC’ MP, từ đó AC’(MNP)
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4 2 , cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC=2; E,F lần lượt là trung điểm của AB và CB Tìm và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SF và CE
Lời giải:
Đặt x
= C A
, y
=CB
, z
= CS
thì x
, y
,z
không đồng phẳng, và
0
4 2.4 2 os60 16, 0
,
2
Trang 10SI SF y z CK CE x y
( 1)
IK IS SC CK x y z
1 2
S F S C C F y z
C E x y
Giả sử IK là đường vuông góc chung của SF và CE, khi đó
1
C E IK C E IK
Từ hệ này ta tìm được 2 1
,
Vậy đoạn vuông góc chung của SF và CE là IK
,
SI SF CK CE
Khi đó ta có 1 1 1
IK x y z
,
do đó
2
IK IK x y z x y z
=
3 6 x y z x y x z y z 9
Suy ra IK=
2 3
3
D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1
Cho tứ diện ABCD, I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD Mặt phẳng (P) qua IK cắt BC tại E, cắt AD tại F Chứng minh rằng:
1) Nếu BE BC
thì AF AD
2) Nếu IK AB và IK CD thì IK EF tại trung điểm O của EF
Bài 2
x
z
y
Trang 11Cho tứ diện OABC có tổng góc AOB + BOC = 1800 Gọi OD là phân giác trong của góc AOC Tính góc BOD
Bài 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K llà trung điểm của
SC Một mặt phẳng qua AK cắt SB, SD lần lượt tại M, N Chứng minh rằng:
3
SM SN
Bài 5
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông cân: AC = BC = a Xét tứ diện đều MNPQ có M, N, P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng CA’, CA’, AB’, AB’
Tính thể tích hình lăng trụ và khoảng cách giữa trung điểm các đoạn thẳng MN và PQ
Bài 6
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M thuộc đoạn AD’, N thuộc đoạn BD sao cho AM = DN = x ( 0< x < a 2)
1) CMR: MN // mp’(A’BCD’)
2) Khi 2
3
a
x thì MN ngắn nhất Ngược lại khi MN ngắn nhất thi MN là đường
vuông góc chung của AD’ và BD đồng thời MN // A’C
Bài 7
Cho hình tứ diện đều cạnh a, I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, mặt phẳng (P) chứa IK cắt hình tứ diện đều theo một thiết diện, xác định vị trí của mặt phẳng (P) để thiết diện tạo thành có diện tích là nhỏ nhất; lớn nhất Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đó
Bài 8
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là nửa lục giác đều AB = BC = CD = a Cạnh bên SB vuông góc với đáy và SA = a 3
1) Tìm trên cạnh SB một điểm M khác B sao cho góc AMD = 900
2) Mặt phẳng (AMD) cắt hình chóp theo một thiết diện, tính diện tích thiết diện đó Bài 9
Cho hình hình tứ diện SABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F Các mp’(ABF), mp’(BCD), mp’(ACE) cắt nhau tại M Đường thẳng SM cắt mp’(DEF) tại N, cắt mp’(ABC) tại P
Chứng minh rằng: PN 3PM
NS MS Bài 10
ABC.A’B’C’ là một hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a Xét các
Trang 12lăng trụ và song song với mp’(ABB’A’) Tính chiều dài của đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng như thế
Bài 11
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy một điểm M và trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy một điểm N sao cho đường thẳng
MN cắt cạnh C’D’ Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN
Bài 12
Cho hình chóp S.ABC, G là trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB,
SC , SG theo thứ tự tại A’, B’ C’ , G’ Chứng minh rằng:
3
SA SB SC SG
Bài 13 (ĐH 1987)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng l Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho SM = m, SN = n, SP = p, SQ = q Chứng minh rằng: 1 1 1 1
m p nq
Bài 14 ( ĐH Quốc phòng khối A – 2002)
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a, SA = a, cạnh
SA vuông góc với đáy M là một điểm trên cạnh SB, N là một điểm trên cạnh SC sao cho MN // BC và AN vuông góc CM Tính tỷ số : MS
MB Bài 15
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính bán kính của hình cầu nhỏ nhất tiếp xúc với các đường thẳng AB’, B’C, CD, DA