Hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— NGUYỄN VÕ NHƯ NGỌC HÀM LỒI TRÊN KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khố luận: TS Hồng Nhật Quy Đà Nẵng, 05/2023 Mục lục MỞ ĐẦU MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Khơng gian tuyến tính 1.1.2 1.1.3 1.2 7 Chuẩn Không gian tuyến tính định chuẩn 10 13 Tập lồi - Hàm lồi 1.2.1 Tập lồi 16 16 1.2.2 19 Hàm lồi TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI TRÊN KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN 25 2.1 Tính liên tục hàm lồi 26 2.2 2.3 Dưới vi phân hàm lồi Hàm lồi dương 30 35 2.4 2.5 Đạo hàm theo hướng Tính khả vi hàm lồi 41 47 Tài liệu tham khảo 53 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tri ân sâu sắc thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực Khóa Luận Tốt Nghiệp Thời gian vừa rồi, nhờ có hướng dẫn tận tình hết lịng TS Hồng Nhật Quy, em hiểu thêm nhiều kiến thức không xoay quanh Khóa Luận cịn vấn đề thú vị Toán học nữa! Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy! Với vốn kiến thức hạn hẹp thân thời gian hạn chế, việc hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên em mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q thầy để Khóa Luận Tốt Nghiệp em hồn thành chỉnh chu Em xin chân thành cảm ơn DANH MỤC KÝ HIỆU R ¯ = [−∞, +∞] R Tập hợp số thực I Ánh xạ đồng Rn ∂A A¯ Biên A intA Phần A E∗ Không gian đối ngẫu ri(A) Phần tương đối A Br (A) Hình cầu mở tâm A bán kính r af f (A) Bao affine A conv(A) Bao lồi A Bao đóng tập hợp số thực Bao đóng A MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Lý thuyết tập lồi có vai trị vị trí quan trọng Tốn học, liên quan đến hầu hết ngành Tốn học giải tích hàm, tốn kinh tế, giải tích lồi, hình học, Hàm lồi chủ đề hấp dẫn với nhiều kết phong phú thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Tốn học Các tính chất hàm lồi không gian R không gian Euclid n- chiều Rn Tuy nhiên nguyên mẫu cho không gian Euclid n- chiều khác, khơng gian tuyến tính định chuẩn phù hợp hẳn để nghiên cứu khái quát tính chất hàm lồi cách tối ưu Đồng thời, phát triển khơng gian tuyến tính định chuẩn minh hoạ cho chủ đề Toán học đại Do đó, em chọn đề tài ”Hàm lồi khơng gian tuyến tính định chuẩn" cho khố luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài hàm lồi không gian tuyến tính định chuẩn để khám phá vẻ đẹp hàm lồi giúp độc giả có góc nhìn tổng qt tính chất hàm lồi không gian khác Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài hàm lồi xác định tập lồi không gian tuyến tính định chuẩn b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực toán giải tích Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương 1: Một số khái niệm mở đầu Chương trình bày khái niệm cho số ví dụ khơng gian tuyến tính, chuẩn khơng gian tuyến tính khơng gian tuyến tính định chuẩn; trình bày khái niệm tập lồi, hàm lồi số kết liên quan ngữ cảnh khơng gian tuyến tính định chuẩn Các kiến thức chương bổ trợ cho phần nghiên cứu Chương Chương 2: Tính chất hàm lồi khơng gian tuyến tính định chuẩn Chương trình bày số kết tính liên tục, vi phân, đạo hàm theo hướng hàm lồi khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều vơ hạn chiều • Kết luận • Tài liệu tham khảo Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cho việc trình bày kết chương sau bao gồm: nhắc lại khái niệm cho số ví dụ khơng gian tuyến tính, chuẩn khơng gian tuyến tính khơng gian tuyến tính định chuẩn; trình bày khái niệm tập lồi, hàm lồi số kết liên quan ngữ cảnh khơng gian tuyến tính định chuẩn Một số ví dụ minh hoạ cho khơng gian tuyến tính định chuẩn Rn , Lp Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3, 4] 1.1 1.1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn Khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X khác rỗng trường số K ∈ {R, C} Ta định nghĩa hai phép toán sau: Với x,y ∈ X ; α ∈ K, ta có phép cộng: X ×X → X (x, y) 7→ x + y phép nhân vơ hướng: K×X →X (α, x) 7→ αx Tập hợp X với hai phép toán lập thành khơng gian tuyến tính thoả mãn tiên đề sau: x + y = y + x, ∀x, y ∈ X ∀x, y, z ∈ X (x + y) = x + (y + z) , ∃0 ∈ X; x + = + x = x, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0, ∀x ∈ X ∀x ∈ X α(x + y) = αx + αy, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K (α + β)x = αx + βx, ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ K ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ K (αβ)x = α(βx), 1x = x, ∀x ∈ X - Nếu K = R X gọi khơng gian tuyến tính thực - Nếu K = C X gọi khơng gian tuyến tính phức Ví dụ 1.1.1 Khơng gian Rn , với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) với hai phép tốn cộng nhân vơ hướng định nghĩa sau: x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ) αx = (αx1 , , αxn ), ∀α ∈ K Ta kiểm tra phép tốn nói thoả mãn tiên đề không gian vectơ, thật vậy: với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ), z = (z1 , z2 , , zn ) ∈ Rn , với α, β ∈ K, ta có: 1.x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ) = (y1 + x1 , , yn + xn ) = y + x (x + y) + z = (x1 + y1 , , xn + yn ) + (z1 , , zn ) = (x1 , , xn ) + (y1 + z1 , , yn + zn ) = x + (y + z) ∃0 ∈ X : x + = (x1 , , xn ) + = + (x1 , , xn ) = + x = x ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = (x1 , , xn ) + (−x1 , , −xn ) = α(x + y) = α((x1 , , xn ) + (y1 , , yn )) = α(x1 + y1 , , xn + yn ) = (α(x1 + y1 ), , α(xn + yn )) = (αx1 + αy1 , , αxn + αyn ) = α(x1 , , xn ) + α(y1 , , yn ) = αx + αy (α + β)x = (α + β)(x1 , , xn ) = ((α + β)x1 , , (α + β)xn ) = (αx1 + βx1 , , αxn + βxn ) = αx + βx (αβ)x = (αβ)(x1 , , xn ) = (αβx1 , , αβxn ) = (α(βx1 ), , α(βxn )) = α(βx) 1x = x P p Ví dụ 1.1.2 Khơng gian lp = {x = (xn ) : xn ∈ R, ∞ n=1 |xn | < +∞}, < p < ∞, với hai phép tốn cộng dãy số nhân vơ hướng với dãy số định nghĩa sau: x + y = (xn + yn ) αx = (αxn ), ∀α ∈ K Khi đó, lp khơng gian tuyến tính Trước hết, ta chứng minh với x = (xn ), y = (yn ) ∈ lp x + y = (xn + yn ) thuộc lp , thật vậy, ta có |xn + yn | ≤ |xn | + |yn | ≤ 2max(|xn | , |yn |) Suy |xn + yn |p ≤ 2p [max(|xn | , |yn |)]p ≤ 2p (|xn |p + |yn |p ) Vậy ta có ∞ X n=1 |xn + yn |p ≤ 2p ∞ X |xn |p + n=1 ∞ X n=1 ! |yn |p < ∞ Tức x + y ∈ lp Sau ta kiểm tra phép toán thoả mãn tiên đề không gian vectơ x = (xn ), y = (yn ) ∈ lp , ∀α, β ∈ R ta có: x + y = (xn ) + (yn ) = (yn ) + (xn ) = y + x (x + y) + z = ((xn ) + (yn )) + (zn ) = (xn ) + ((yn ) + (zn )) = x + (y + z) ∃0 ∈ X : x + = (xn ) + = + (xn ) = + x = x ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = (xn ) + (−xn ) = α(x + y) = α((xn ) + (yn )) = α(xn ) + α(yn ) = αx + αy (α + β)x = (α + β)(xn ) = α(xn ) + β(xn ) = αx + βx (αβ)x = (αβ)(xn ) = (α(β(xn ))) = α(βx) 1x = x Ví dụ 1.1.3 Tương tự ví dụ trên, khơng gian  C[a, b] = x : [a, b] → R, x liên tục , với hai phép toán cộng hai hàm số nhân vô hướng số hàm số theo nghĩa bình thường khơng gian tuyến tính 1.1.2 Chuẩn Sau ta định nghĩa khái niệm chuẩn khơng gian tuyến tính thực Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X khơng gian tuyến tính trường số thực R Một chuẩn X ánh xạ, ký hiệu ∥.∥, xác định X nhận giá trị thực thoả mãn tính chất sau: 10 bất kì)  tính đến việc h dương, ta suy luận h(u) ≥ h(v) u−v + , x , đó, cho λ → ∞, ta suy h(u) ≥ ⟨u, v⟩ với λ λ u ∈ Rn Vì C chứa liên hợp tập vi phân ∂f (v) Đặc biệt, tập rỗng C tập lồi đóng giao khơng gian đóng Đặt e1 , · · · , en sở Rn Với x ∈ C ta có −h(−ek ) ≤ − ⟨x, −ek ⟩ = ⟨x, ek ⟩ ≤ h(ek ) với tất k , thoả mãn tính đóng C Vì C tập compact Rõ ràng σC ≤ h Đối với bất đẳng thức khác, chọn tuỳ ý u ∈ Rn z ∈ ∂h(u) lưu ý = h(0) ≥ h(u)+⟨0 − u, z⟩, nghĩa là, h(u) ≤ ⟨u, z⟩ Vì z ∈ C ta kết luận h(u) ≤ σC (u) Hệ 2.3.2 Nếu hai tập khác rỗng, compact, lồi Rn có giá chúng trùng Cho C tập lồi khác rỗng khơng gian tuyến tính định chuẩn E Hàm Minkowski liên đới C hàm γC : E → R ∪ {∞} , γC (x) = inf {λ > : x ∈ λC} , với quy ước γC (x) = ∞ x ∈ λC, λ ≤ Mệnh đề 2.3.3 Nếu tập C lồi đóng chứa gốc thì: a) Hàm Minkowski γC hàm nửa liên tục dưới, tuyến tính, dương b) C = {x ∈ E : γC (x) ≤ 1} c) γC hàm giá trị thực liên tục điểm gốc nằm phần C Chứng minh Dễ dàng chứng minh γC ≥ γC (0) = Tính dương γC sau: γC (λx) = inf {µ > : λx ∈ µC}  = inf µ > : x ∈ λ−1 µC  = λinf λ−1 µ > : x ∈ λ−1 µC = λinf {τ > : x ∈ τ C} = λγC (x), 39 với λ > 0, x ∈ domγC Ta có:   {x ∈ E : γC (x) < 1} = x ∈ E : inf λ > : λ−1 x ∈ C ≤  = x ∈ E : λ−1 x ∈ C ∀ > \ λC = C, = λ>1 Theo bổ đề (2.3.2), γC hàm lồi Theo Bổ đề (2.3.1), ta thấy γC thật tuyến tính Mặt khác, tính dương γC , ta có {x ∈ E : γC (x) < r} = rC, ∀r > 0, γC nửa liên tục ¯ϵ (0) với ϵ > Nếu điểm C , C chưa bình cầu đóng B Khi điểm x ∈ E, x ̸= 0, thoả mãn công thức     ∥x∥ ϵx ∥x∥ ϵx γC (x) = γC = γC ≤ ∥x∥ < ∞, ϵ ∥x∥ ϵ ϵ ∥x∥ Do đó, γC hữu hạn khắp nơi Hệ 2.3.4 Nếu C ⊂ E tập đóng, bị chặn, với hình cầu đóng B = {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1} R C ̸= ∅, C đồng Chứng minh Giả sử ∈ infC , đó, tồn r > cho C chứa tất x ∈ E với ∥x∥ ≤ r, γC (x) ≤ ∥x∥ /r, ∀x ∈ E Vì C bị chặn, nên có số R > cho ∥x∥ ≤ R, ∀x ∈ C Do đó, x ∈ λC , ∥x/λ∥ ≤ R, γC (x) ≥ ∥x∥ /R, ∀x ∈ E Kết tính liên tục hàm Minkowski γC , thật vậy: γC (x) − γC (y) ≤ max {γC (x − y), γC (y − x} ≤ ∥x − y∥ , ∀x, y ∈ E r Lưu ý ánh xạ: ( T : E → E, x = γC (x) ∥xx∥ x ̸= T (x) = liên tục với nghịch đảo liên tục T (C) = B 40 2.4 Đạo hàm theo hướng Dưới vi phân biểu thị qua số hạng đạo hàm theo hướng Định nghĩa 2.4.1 Cho f : E → R ∪ {∞} hàm thường xác định khơng gian tuyến tính định chuẩn E Đạo hàm bên phải f a ∈ int(domf ) so với v ∈ E xác định qua công thức f (a + tv) − f (a) t→0+ t f+′ (a; v) = lim Các đặc trưng đạo hàm theo hướng phải tóm tắt bổ đề Bổ đề 2.4.1 Giả sử f : E → R ∪ {∞} hàm lồi thường a ∈ int(domf ) Khi đó: (a) Đạo hàm theo hướng phải f+′ (a; v) hàm trị thực, tuyến tính dương v ∈ E; (b) f+′ (a; 0) = f+′ (a; v) = −f+′ (a; −v), ∀v ∈ E; (c) Nếu f liên tục a, đạo hàm theo hướng f+′ (a; v) hàm liên tục v Chứng minh (a) (b) Vì a ∈ int(domf ), có số ε > cho hàm t → f (a + tv) lồi f (a + tv) − f (a) khoảng [−ε; ε] với v ∈ E Theo bất đẳng thức ba dây cung, tỉ số t hàm tăng t, suy f (a − εv) − f (a) f (a − tv) − f (a) ≤ −qε t f (a + tv) − f (a) f (a + εv) − f (a) ≤ ≤ t ε với t ∈ (0, ε] Điều dễ dàng chứng tỏ tồn tính hữu hạn f+′ (a; v) f+′ (a; −v), đó,−f+′ (a; −v) ≤ f+′ (a; v) Lưu ý f (a + tv) − f (a) t>0 t f+′ (a; v) = lim 41 (2.8) f+′ (a; 0) = Đối với tính dương f+′ (a; ), ta có: f (a + tαv) − f (a) t→0+ t f (a + tαv) − f (a) = α lim t→0+ αt f (a + sv) − f (a) = α lim s→0+ s = αf+′ (a; v) f+′ (a; αv) = lim với α > Ta chứng minh f+′ (a; ·) cộng tính Thật vậy: f (a + t(u + v)) − f (a) t→0+ t f (2a + 2t(u + v)) − 2f (a) = lim t→0+ 2t f (a + 2tu) + f (a + 2tv) − 2f (a) ≤ lim t→0+ 2t f (a + 2tu) − f (a) f (a + 2tv) − f (a) = lim + lim t→0+ t→0+ 2t 2t =f+′ (a, u) + f+′ (a, v) f+′ (a, u + v) = lim Vậy hàm f+′ (a, ) tuyến tính ¯R (a) Vì vậy, (c) Nếu f liên tục a, f Lipschitz hình cầu đóng B có số M > cho với v ∈ E, v ̸= 0,   f (a + tv) − f (a) R ≤ M ∥v∥ , ∀t ∈ 0, t ∥v∥ Điều nghĩa f+′ (a; v) ≤ M ∥v∥ , ∀v ∈ E tính liên tục f+′ (a; v) thoả mãn Bây ta thảo luận liên hệ gradient đạo hàm theo hướng phải Bổ đề 2.4.2 Giả sử f : E → R ∪ {∞} hàm lồi thường a ∈ int(domf ) Khi x∗ ∈ E ∗ gradient f a x∗ (v) ≤ f+′ (a, v), với v ∈ E 42 Chứng minh Nếu x∗ ∈ ∂(a) với v ∈ E t > ta có: x∗ ≤ f (a + tv) − f (a) , t đó, cách lấy giới hạn t → 0+ , ta kết luận x∗(v) ≤ f+′ (a; v) Ngược lại, f+′ (a; v) với v ∈ E cơng thức (2.8) thoả x∗ (v) ≤ f+′ (a; v) ≤ f (a + tv) − f (a) với v ∈ E t > t Trong phần này, với v = x−a t = 1, ta thu x∗ (x−a) ≤ f (x)−f (a), nghĩa x∗ ∈ ∂(a) Ta điều phải chứng minh Định lý 2.4.1 (Công thức cực đại Moreau) Nếu f : E → R ∪ {∞} hàm lồi thường f liên tục a, ∂f (a) tập khác rỗng f+′ (a; v) = max {x∗ (v) : x∗ ∈ ∂f (a)} Nói cách khác, f+′ (a; ) hàm giá ∂f (a) Chứng minh Theo Bổ đề (2.4.2) ta phải chứng minh với v ∈ E cố định tuỳ ý, có gradient x∗ ∈ E cho x∗ (v) = f+′ (a; v) Điều có từ định lý Hahn-Banach Hơn nữa, theo bổ đề (2.4.1) (c), hàm tuyến tính x → f+′ (a; x) liên tục tồn tai hàm tuyến tính x∗ : E → R cho x∗ (v) = f+′ (a; v) x∗ (v) ≤ f+′ (a; v) với x ∈ E Nó cịn để chứng minh tính liên tục x∗ điểm gốc Ta có limsupx∗ (x) ≤ x→0 lim f+′ (a; x) x→0 = limsupx∗ (−x) = −lim inf x∗ (x) ≤ lim f+′ (a; −x) = 0, x→0 x→0 x→0 ≤ lim inf x∗ (x) ≤ lim supx∗ (x) ≤ 0, x→0 x→0 nghĩa lim x∗ (x) = x→0 Liên quan đến công thức cực đại Moreau, lưu ý tập C khác rỗng, lồi, compact Rn ta có ∂σC (0) = C (σC )′ (0; ·) = σC 43 Định lý 2.4.2 (Dưới vi phân hàm cực đại) Giả sử f1 , , f2 hàm lồi giá trị thực Rn kí hiệu f = max {f1 , , fn } Với a ∈ Rn , đặt J(a) = {j : fi (a) = f (a)} tập số hoạt Khi ∂f (a) = conv(∪j∈J(a) ∂fi (a)) Chứng minh Ta có ∂f (a) tập lồi đóng ∂f (a) ⊃ ∂fi (a), ∀j ∈ J(a) Vì hàm fk liên tục, nên tồn ϵ > cho fk (x) < f (x) với k ∈ / ϵ J(a), x ∈ Bϵ (a) Khi với v ∈ Rn {0} cố định tuỳ ý > t < ∥v∥ ta có f (a + tv) = maxj∈J(a) f (a + tv) Vì vậy, f (a + tv) − f (a) t→0+ t fj (a + tv) − f (a) = lim max t→0+ j∈J(a) t fj (a + tv) − fj (a) = lim max t→0+ j∈J(a) t f+′ (a; v) = lim = max fj′ (a, v) j∈J(a)  = max v, x∗j : x∗j ∈ ∂fj (a) j∈J(a)     [ ∗ ∗ = max ⟨v, x ⟩ : x ∈ ∂fj (a)   j∈J(a)     [ ∗ ∗ = max ⟨v, x ⟩ : x ∈ conv ∂fj (a) ,   j∈J(a) điều chứng tỏ hàm v → f+′ (x, v) giá tập lồi C = conv(∪j∈J(a) ∂fi (x)) Theo định lý (2.4.1), hàm giá ∂f (x), theo định lý (2.3.4) ta kết luận hai tập trùng Định lý 2.4.3 (Quy tắc tổng vi phân) Giả sử f1 f2 hai hàm lồi giá trị thực Rn t1 , t2 > Khi đó, với x ∈ Rn , ∂(t1 f1 + t2 f2 )(x) = t1 ∂f1 (x) + t2 ∂f2 (x) 44 Chứng minh Thật t1 ∂f1 (x)+t2 ∂f2 (x) tập lồi compact mà giá chúng t1 f1′ (x; ·) + t2 f2′ (x; ·) Mặt khác, hàm giá ∂(t1 f1 + t2 f2 )(x) (t1 f1 + t2 f2 )′ (x; ·) = t1 f1′ (x; ·) + t2 f2′ (x; ·) Vì vậy, hai tập lồi compact t1 ∂f1 (x) + t2 ∂f2 (x) ∂(t1 f1 + t2 f2 )(x) có giá, đó, chúng trùng Định lý 2.4.4 (Dưới vi phân hàm thành phần) Cho f hàm lồi giá trị thực Rn cho A biến đổi tuyến tính từ Rm vào Rn Khi đó, với x ∈ Rm , ∂(f ◦ A)(x) = A∗ ∂f (Ax) Chứng minh Theo định nghĩa đạo hàm theo hướng công thức cực đại Moreau, ta chứng minh (f ◦ A)′ (x, v) = f ′ (Ax, Av) Vì hàm giá tập lồi compact ∂(f ◦ A)(x) thoả mãn công thức σ∂(f ◦A)(x) (v) = f ′ (Ax, Av) Mặt khác, σA∗∂f (Ax) = sup ⟨A∗ y, v⟩ = y∈∂f (Ax) sup ⟨y, Av⟩ = f ′ (Ax, Av) y∈∂f (Ax) Do đó, tập lồi compact ∂(f ◦ A)(x) A ∗ ∂f (Ax) có giá Vì vậy, chúng trùng Định nghĩa 2.4.2 Giả sử E F hai không gian Banach thực U tập mở E Hàm f : U → F gọi khả vi Gâteaux điểm a ∈ U đạo hàm theo hướng f (a + tv) − f (a) t→0 t f ′ (a; v) = lim tồn với v ∈ E xác định tốn tử tuyến tính liên tục f ′ (a) : v → f ′ (a; v) từ E vào F (được gọi vi phân Gâteaux F a theo hướng v) Trong trường hơp f hàm giá trị thực xác định Rn , khả vi Gâteaux nghĩa tồn tất đạo hàm riêng ∂f (a) = f ′ (a)(ek ) k = 1, , n, ∂xk 45