ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HUYỀN BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÀM LỒI VÀ HÀM TỰA LỒI TRÊN TẬP LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HUYỀN BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÀM LỒI VÀ HÀM TỰA LỒI TRÊN TẬP LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HUYỀN BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÀM LỒI VÀ HÀM TỰA LỒI TRÊN TẬP LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn “Bài toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập lồi” riêng thân hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU trung thực, khơng có chép hay sử dụng để bảo vệ học vị chưa cơng bố hình thức Tất giúp đỡ cho việc xây dựng sở lý luận cho luận trích dẫn đầy đủ ghi nguồn gốc rõ ràng Nếu phát có chép kết nghiên cứu đề tài khác, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2021 Tác giả NGUYỄN THỊ HUYỀN i Lời cảm ơn Trong thời gian hồn thành luận văn tơi nhận nhiều giúp đỡ, đóng góp ý kiến bảo nhiệt tình GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Ngồi ra, trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Thầy Cơ Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, trau dồi thêm nhiều kiến thức, kỹ phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tôi muốn gửi lời cảm ơn mơn Tốn ứng dụng tin học Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tơi cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tơi mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2021 Tác giả NGUYỄN THỊ HUYỀN ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v Lời mở đầu 1 Hàm lồi, hàm tựa lồi tập lồi 1.1 1.2 1.3 Tập lồi 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Tổ hợp lồi tính chất Hàm lồi 1.2.1 Định nghĩa, ví dụ 1.2.2 Các tính chất 1.2.3 Dưới vi phân hàm lồi 11 Hàm tựa lồi 13 1.3.1 Định nghĩa, ví dụ 13 1.3.2 Các tính chất 14 1.3.3 Đạo hàm vi phân hàm tựa lồi 16 Bài toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi 2.1 Bài toán cực tiểu hàm lồi iii 22 22 2.2 2.1.1 Phát biểu tốn, ví dụ 22 2.1.2 Một thuật toán chiếu đạo hàm 28 Bài toán cực tiểu hàm tựa lồi 28 2.2.1 Phát biểu toán 29 2.2.2 Một thuật toán chiếu đạo hàm 29 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iv Một số ký hiệu chữ viết tắt Rn không gian Euclide n−chiều R = R ∪ {−∞, +∞} trục số thực mở rộng xT chuyển vị x coA bao lồi A coA bao lồi đóng A ri(A) tập điểm tương đối tập A int(A) tập hợp điểm A f hàm bao đóng f domf miền hữu dụng f epif đồ thị f ∂f (x) vi phân f x kết thúc chứng minh v Lời mở đầu Ngày nay, lý thuyết tập lồi, hàm lồi hàm tựa lồi có ví trí quan trọng tốn học nói chung, giải tích nói riêng cụ thể liên quan đến hầu hết ngành giải tích hàm, hình học, tốn kinh tế, giải tích lồi, Trong có tính chất hàm lồi sử dụng rộng rãi tốn học là: cực tiểu địa phương có cực tiểu tồn cục Cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập lồi lớp toán tối ưu hóa Cực tiểu hàm lồi tập lồi gọi quy hoạch lồi, có tính chất điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối Tính chất quan trọng cho phép lý thuyết có tính địa phương giới hạn, vi phân, áp dụng vào quy hoạch lồi Lý thuyết toán quy hoạch lồi nghiên cứu nhiều thu nhiều kết quan trọng dựa lý thuyết giải tích lồi tối ưu hóa Mục tiêu luận văn giới thiệu số kiến thức hàm lồi hàm tựa lồi Đặc biệt nội dung luận văn tập trung sâu vào vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Tiếp đến giới thiệu hai thuật toán chiếu đạo hàm để giải toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập lồi Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương sau: Chương Hàm lồi, hàm tựa lồi tập lồi Trong chương giới thiệu tổng quan trình bày số khái niệm bản, tính chất ví dụ minh họa tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi trích dẫn tài liệu số [1] [2], đặc biệt sâu vào khái niệm vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Chương Bài toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi Đây phần luận văn, chương này, chúng tơi trình bày tốn cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi, ví dụ minh họa Phần cuối luận văn trình bày hai thuật tốn chiếu đạo hàm trích dẫn tài liệu số [2], [3], [4], [5] [6] Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Hàm lồi, hàm tựa lồi tập lồi Chương mở đầu luận văn chúng tơi trình bày khái niệm, số tính chất tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi ví dụ minh họa Đặc biệt phần cuối chương sâu vào khái niệm vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1] [2] 1.1 Tập lồi Phần mở đầu chương chúng tơi trình bày số định nghĩa, ví dụ tính chất tập lồi 1.1.1 Định nghĩa ví dụ Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc tơ) a, b Rn tập hợp tất véc tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn | x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Đoạn thẳng nối hai điểm a b Rn tập hợp véc tơ x có dạng {x ∈ Rn | x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} ... tính chất hàm lồi sử dụng rộng rãi tốn học là: cực tiểu địa phương có cực tiểu toàn cục Cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập lồi lớp toán tối ưu hóa Cực tiểu hàm lồi tập lồi gọi quy hoạch lồi, có tính... minh họa tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi trích dẫn tài liệu số [1] [2], đặc biệt sâu vào khái niệm vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Chương Bài toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi Đây phần luận văn, chương... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HUYỀN BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÀM LỒI VÀ HÀM TỰA LỒI TRÊN TẬP LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN