Tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi Lipschitz địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ YẾN MAI TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM TỰA LỒI LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ YẾN MAI TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM TỰA LỒI LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ K- TỰA LỒI VÔ HƯỚNG 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ 1.2 Đặc trưng ánh xạ tựa đơn điệu 13 1.3 Các ánh xạ đơn điệu tựa đơn điệu 17 1.4 Đặc trưng tính tựa lồi vô hướng tính lồi ánh xạ Lipschitz địa phương 28 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH TỰA LỒI CHO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG VÉC TƠ 35 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ 35 2.2 Tính chất hình học hàm tựa lồi 38 2.3 Đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ đạo hàm theo phương suy rộng 39 2.4 Đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ Jacobian suy rộng Clarke 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết giải tích lồi có nhiều ứng dụng toán học ứng dụng việc nghiên cứu toán mô hình hóa kinh tế kĩ thuật Ta biết hàm f giá trị thực lồi tập mức f lồi, điều ngược lại không Từ nhận xét người ta lớp hàm f : Rm → R tựa lồi tập mức f lồi Như f tựa lồi f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ max{f (x1 ), f (x2 )}, với x1 , x2 ∈ Rm λ ∈ [0, 1] Lớp hàm tựa lồi có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu hóa Nhiều nghiên cứu cho ta tính chất phong phú hàm tựa lồi, đặc biệt tính chất đặc trưng qua tính tựa đơn điệu đạo hàm, đạo hàm suy rộng jacobian suy rộng P H Sach [10] nghiên cứu tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : Rm → Rn K- tựa lồi vô hướng theo nghĩa: ∀η ∈ K + (nón cực không âm nón lồi đóng K), η T f hàm tựa lồi giá trị thực Tác giả thiết lập điều kiện cần đủ để f K- tựa lồi vô hướng ngôn ngữ khái niệm tựa đơn điệu Jacobian suy rộng Clarke f ánh xạ đa trị xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, Clarke nón tiếp tuyến trung gian (intermediate tangent cone) đồ thị f (.) + K J Benoist [3] thiết lập tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : C → Y K- tựa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lồi theo nghĩa: với y ∈ Y , tập mức {x ∈ C : f (x) ≤K y} lồi không gian Banach, K nón lồi đóng Y Các tiêu chuẩn thiết lập ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu đạo hàm theo phương suy rộng jacobian suy rộng Clarke Luận văn trình bày tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f K- tựa lồi vô hướng Sach [10] ngôn ngữ khái niệm tựa đơn điệu jacobian suy rộng Clarke f ánh xạ đa trị xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian, Clarke đồ thị hàm f (.) + K , tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f K- tựa lồi của Benoist [3] ngôn ngữ K- tựa đơn điệu đạo hàm theo phương suy rộng jacobian suy rộng Clarke f Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày điều kiện đủ để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : Rm → Rn K- tựa lồi vô hướng Sach [10] ngôn ngữ khái niệm tựa đơn điệu jacobian suy rộng Clarke f ánh xạ đa trị xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian Clarke đồ thị hàm f (.) + K Tính K- lồi f đặc trưng qua khái niệm i- đơn điệu s- đơn điệu thích hợp Chương trình bày tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương K- tựa lồi Benoist [3] Các tiêu chuẩn trình bày ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu đạo hàm theo phương suy rộng jacobian suy rộng Chú ý hàm K- tựa lồi vô hướng K- tựa lồi Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đỗ Văn Lưu hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn suốt trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K3b quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, 20 tháng 10 năm 2011 Tác giả Trần Thị Yến Mai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ KTỰA LỒI VÔ HƯỚNG Chương trình bày điều kiện cần đủ để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : Rm → Rn K- tựa lồi vô hướng Các tiêu chuẩn trình bày ngôn ngữ khái niệm tựa đơn điệu jacobian suy rộng f ánh xạ đa trị xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian, Clarke đồ thị hàm đa trị f (·) + K Các kết trình bày chương P H Sach [10] 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ Trong chương này, ta sử dụng kí hiệu kết sau Một phần tử không gian Euclide Rm đồng với véc tơ cột (tức m × 1- ma trận) Tích vô hướng ξ ∈ Rm u ∈ Rm kí hiệu ξ T u T phép chuyển vị Cho ánh xạ đa trị f : Rm ⇒ Rn ; domF grF kí hiệu miền hữu hiệu đồ thị F: domF = {x ∈ Rm : F (x) = ∅}, grF = {(x, y) ∈ Rm × Rm : y ∈ F (x)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta sử dụng kí hiệu intB ; coB ; clB để kí hiệu phần trong, bao lồi, bao đóng tập B ⊂ Rm Nếu K ⊂ Rn nón lồi đóng y , y , hai điểm Rn , ta đặt [y, y , ] = co{y, y , } viết S(y, y , ) ≤ min{η T y, η T y , } ≤ với tất η ∈ K + Theo [ 12, Hệ 11.4.2], ta có S(y, y , ) ≤ ⇔ [y, y , ] ∩ (−K) = ∅ (1.1) Cho A ⊂ Rm , B ⊂ Rm α ∈ R := R1 Ta định nghĩa A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, A = ∅ B = ∅, αA = {αa : a ∈ A}, A = ∅, Ta đặt A + ∅ = ∅ + A = ∅ α∅ = ∅ Khi A tập không rỗng R, kí hiệu supA infA cận cận A Ta đặt supA = −∞ infA = +∞, A = ∅ Nếu F : Rm ⇒ R ánh xạ đa trị từ Rm vào tập số thực R infF hàm giá trị thực mở rộng định nghĩa bởi: (infF )(x) = infF (x) (∀x ∈ Rm ) Tương tự supF Cho f : Rm → R hàm Lipschitz địa phương Kí hiệu ∂ fx vi phân Clarke f x (xem [2]): ∂ fx = {ξ ∈ Rm : ξ T u ≤ f (x, u) ∀u ∈ Rm }, (1.2) f (x, u) = lim sup t−1 [f (x + tu) − f (x )] (1.3) x →x t↓0 Theo [2], Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f (x, u) = max{ξ T u : ξ ∈ ∂ fx } (1.4) Từ ta giả sử f : Rm → Rn hàm Lipschitz địa phương Jacobian suy rộng Clarke f x, kí hiệu Jfx định nghĩa [2] bao lồi tập: {lim fxi : xi → x, f khả vi Freschet xi }, fxi kí hiệu Jacobian thông thường f xi giới hạn fxi lấy không gian (m × n)- ma trận Chú ý phần tử A Jfx m × n- ma trận Khi n = 1, Jfx vi phân Clarke f x ( xem [4, Mệnh đề 2.6.2]) Với η ∈ Rn ta có [4, Định lý 2.6.6] √ ∂ (η T f )x = [Jfx ]T η := {AT η : A ∈ Jfx }, b2 − 4ac (1.5) AT η kí hiệu tích m × n- ma trận AT (chuyển vị ma trận A) n × 1- ma trận η Cho K ⊂ Rn nón lồi đóng Đồ thị ánh xạ f (.) + K gọi K- đồ thị f kí hiệu epiK f (Sau ta bỏ kí hiệu K cho đơn giản) Khi n = 1, K = R+ (nửa đường thẳng không âm) epif quy định nghĩa thông thường đồ thị hàm số Ta cần kết hệ đơn giản định lý tách [12, Hệ 11.4.2]: y ∈ K ⇔ η T y ≥ 0(∀η ∈ K + ) ⇔ η T y ≥ 0(∀η ∈ K + \ {0}) (1.6) Kí hiệu T (epif, (x, f (x))) (tương ứng T (epif, (x, f (x)) ) nón tiếp tuyến Clarke ( tương ứng nón Bouligand) epif (x, f (x)) Ta sử dụng nón tiếp tuyến trung gian (intermediate tangent cone) T b (epif, (x, f (x))) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... điệu 17 1.4 Đặc trưng tính tựa lồi vô hướng tính lồi ánh xạ Lipschitz địa phương 28 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH TỰA LỒI CHO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG VÉC TƠ 35 2.1 Các... tính chất phong phú hàm tựa lồi, đặc biệt tính chất đặc trưng qua tính tựa đơn điệu đạo hàm, đạo hàm suy rộng jacobian suy rộng P H Sach [10] nghiên cứu tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz. .. 35 2.2 Tính chất hình học hàm tựa lồi 38 2.3 Đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ đạo hàm theo phương suy rộng 39 2.4 Đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ Jacobian