Tín Hiệu và Hệ Thống - Bài 8: Phép biến đổi Laplace, Hàm truyền đạt, Các tính chất đặc trưng của hệ thống pptx

Tín Hiệu và Hệ ThốngĐỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện Bài 8: Phép biến đổi Laplace, Hàm truyền đạt, Các tính chất đặc trưng của hệ thống... Hàm t

Trang 1

Tín Hiệu và Hệ Thống

Đỗ Tú Anh

tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn

Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện Bài 8: Phép biến đổi Laplace, Hàm truyền đạt,

Các tính chất đặc trưng của hệ thống

Trang 2

EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 22

Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace

6.2 Phép biến đổi Laplace ngược

6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

6.4 Hàm truyền đạt

6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt 6.4.2 Hàm truyền đạt với các tính chất của hệ thống 6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân

Trang 3

Hàm truyền đạt của hệ thống

Hàm truyền đạt của hệ LTI, H(s), được định nghĩa là biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ thống

EE3000 -Tín hiệu và hệ thống

Khi s = jω, đó là biến đổi Fourier (hệ thống phải ổn định) và một

cách tổng quát, đó là biến đổi Laplace.

Hàm truyền đạt rất quan trọng vì

Trang 4

Hàm truyền đạt: Ví dụ

Khâu vi phân: tín hiệu ra là đạo hàm theo thời gian của tín hiệu vào

H(s)

( )

dt

= ( )

Khâu tích phân: tín hiệu ra là tích phân của tín hiệu vào

H(s)

( )

−∞

= ∫

( )

s

=

Khâu chậm trễ: tín hiệu ra là tín hiệu vào dịch đi một khoảng thời gian (thời gian trễ)

H(s)

( )

x t y t( ) = x t( −τ)

( )

X s Y s( ) = e−τs X s( )

( )

H s = s

1 ( )

H s

s

=

( ) s

H s = e−τ

Trang 5

Trang 6

Hệ nhân quả và phản nhân quả

Do đáp ứng xung nhân quả h(t) là tín hiệu phía phải, MHT của H(s) phải thỏa mãn

{ } max

Re s >σ

jω

σ

Do đáp ứng xung phản nhân quả h(t) là tín hiệu phía trái, MHT của

H(s) phải thỏa mãn

{ } min

Re s <σ

jω

σ

MHT phải nằm bên phải tất cả

các điểm cực của hệ

MHT phải nằm bên trái tất cả các điểm cực của hệ

Trang 7

Nếu H(s) có thể phân tích thành dạng

1

( )

, ( )

N

k N

k k

r

B s

b

A s = + = s s

+

∑

Hệ nhân quả và phản nhân quả

trong đó −s k, k =1, 2,…, N là các điểm cực

, 1, 2, ,

k

r k = … N đgl các residue thì h(t) là nhân quả với Re s{ } >σmax

và là phản nhân quả với Re s{ } <σmin

Ví dụ

{ }

1 ( ) , Re 1

1

s

+

{ }

( ) , Re 1

1

s

e

s

+

Hệ nhân quả

Hệ phi nhân quả

Trang 8

Hệ ổn định

Hệ LTI là ổn định BIBO khi và chỉ khi h(t) khả tích tuyệt đối

( )

h t dt

∞

−∞ < ∞

∫

Đây cũng là điều kiện Dirichlet để hàm h(t) có ảnh Fourier (trừ các

trường hợp đặc biệt)

Mặt khác nếu có thể xác định H(jω) từ H(s) bằng cách thay s = jω thì MHT của H(s) phải chứa trục jω

Để tồn tại đáp ứng tần số H(jω) thì hệ phải ổn định

jω

σ

jω

σ

jω

σ

jω

σ

Để hệ là nhân quả và ổn định, tất cả các điểm cực phỉa nằm bên trái mặt phẳng phức s

Trang 9

Hệ khả nghịch đảo

Nếu hệ LTI h(t) là khả nghịch đảo, tồn tại hệ nghịch đảo hI(t) sao cho

( ) I ( ) ( )

( )

I

H s

=

Các điểm cực của H(s) là các điểm không của HI(s) và ngược lại

Nói chung, hệ nghịch đảo HI(s) của H(s) không duy nhất do có thể có nhiều khả năng khác nhau của MHT (phân thức A(s)/B(s) có ít nhất

một điểm cực)

Nếu H(s) = B(s)/A(s) thì H I (s) = A(s)/B(s)

Tuy nhiên thường có chỉ một hệ nghịch đảo được sử dụng trong

thực tế do còn có các yêu cầu khác (như tính ổn định và/hoặc tính

nhân quả)

9

Trang 10

Hệ khả nghịch đảo: Ví dụ

Cho hệ ổn định nhân quả

1

2

s

H s

s

+

=

Hai khả năng cho hệ nghịch đảo tương ứng

{ } 1

1

2

I

s

+

2

I

s

+

và

Tuy nhiên chỉ HI1(s) ích hữu trong thực tế vì nó vừa ổn định và nhân quả, còn HI2(s) thì không

Ví dụ 2:

{ }

1

2

s

−

+

ổn định, nhân quả

{ } 1

2

1

I

s

+

−

{ } 2

2

1

I

s

+

−

Không ổn định, nhân quả

Ổn định, không nhân quả 10

Trang 11

Ghép nối hệ thống

11

Trang 12

Trang 13

Phương trình vi phân

Trên thực tế, phần lớn các hệ thống được quan tâm đều được mô tả bởi các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

=

với bậc của mô hình là số lớn hơn trong hai số M và N

Sử dụng biến đổi Laplace và các tính chất của nó, ta có được

0

( )

M

k k k

b s

H s

a s

=

∞

∑

Về lý thuyết, cho phép M > N (ví dụ với khâu vi phân lý tưởng)

Các hệ thống thực tế bị ràng buộc bởi M ≤ N ???

Trang 14

Phương trình vi phân: Ví dụ

Xét PTVP tuyến tính cấp 1 dy t( ) ay t( ) a dx t( )

Sử dụng biến đổi Laplace ( )

( )

A s = s a

+

Do đó

{ }

1( ) as , Re

s a

+

{ }

2( ) as , Re

s a

+

- Nến hệ là nhân quả

- Nếu hệ là phản nhân quả

Với điều kiện nào của a thì H1(s) ổn định

Với điều kiện nào của a thì H2(s) ổn định ??? a a><00

Khâu vi phân thực tế

Trang 15

Hệ thống bậc một

Xét PTVP tuyến tính cấp 1

( )

dy t

ay t x t

Hàm truyền đạt (hệ nhân quả)

, Re

s a

+

Đáp ứng xung

{ }

1

( ) ( ) at ( )

h t = L− h t = e− u t

Với a > 0, MHT của H(s) chứa trục jω, khi đó tồn tại đáp ứng tần

số H(jω), cũng có nghĩa bộ lọc thông thấp là ổn định

Trang 16

Hệ thống bậc hai

Xét PTVP tuyến tính cấp 2

2

d y t dy t

dt

Hàm truyền đạt (hệ nhân quả)

1 2

Đáp ứng xung

1

h t = L− h t = k e− u t + k e− u t tổng các hàm mũ phức

Đồ thị đáp ứng xung ???

Trang 17

Hệ thống bậc hai Phụ thuộc vào vị trí các điểm cực là

Thực

Thuần ảo

Phức

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	356,93 KB