tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi lipschitz địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ YẾN MAI TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM TỰA LỒI LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ YẾN MAI TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM TỰA LỒI LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mở đầu 1 Nội dung 4 1 ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ K- TỰA LỒI VÔ HƯỚNG 4 1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đặc trưng của ánh xạ tựa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Các ánh xạ đơn điệu và tựa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Đặc trưng của tính tựa lồi vô hướng và tính lồi của ánh xạ Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH TỰA LỒI CHO HÀM LIPS- CHITZ ĐỊA PHƯƠNG VÉC TƠ 35 2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Tính chất hình học của hàm tựa lồi . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ Jacobian suy rộng Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Lý thuyết giải tích lồi có nhiều ứng dụng trong toán học ứng dụng cũng như trong việc nghiên cứu các bài toán được mô hình hóa trong kinh tế và kĩ thuật. Ta biết rằng một hàm f giá trị thực lồi thì mọi tập mức của f lồi, nhưng điều ngược lại không đúng. Từ nhận xét đó người ta đã ra lớp hàm f : R m → R tựa lồi nếu mọi tập mức của f là lồi. Như vậy f tựa lồi khi và chỉ khi f(λx 1 + (1 −λ)x 2 ) ≤ max{f(x 1 ), f(x 2 )}, với mọi x 1 , x 2 ∈ R m và λ ∈ [0, 1]. Lớp các hàm tựa lồi có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu hóa. Nhiều nghiên cứu đã cho ta các tính chất phong phú của hàm tựa lồi, đặc biệt là các tính chất đặc trưng qua tính tựa đơn điệu của đạo hàm, đạo hàm suy rộng hoặc jacobian suy rộng. P. H. Sach [10] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng để một hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : R m → R n là K- tựa lồi vô hướng theo nghĩa: ∀η ∈ K + (nón cực không âm của nón lồi đóng K), η T f là hàm tựa lồi giá trị thực. Tác giả đã thiết lập các điều kiện cần và đủ để f là K- tựa lồi vô hướng dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu của Jacobian suy rộng Clarke của f và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, Clarke và nón tiếp tuyến trung gian (intermediate tangent cone) của đồ thị của f(.) + K. J. Benoist [3] đã thiết lập các tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : C → Y là K- tựa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 lồi theo nghĩa: với mọi y ∈ Y , tập mức dưới {x ∈ C : f(x) ≤ K y} là lồi trong không gian Banach, K là nón lồi đóng trong Y . Các tiêu chuẩn được thiết lập dưới ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu của đạo hàm theo phương suy rộng và jacobian suy rộng Clarke. Luận văn trình bày các tính chất đặc trưng để một hàm véc tơ Lipschitz địa phương f là K- tựa lồi vô hướng của Sach [10] dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu của jacobian suy rộng Clarke của f và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ các nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian, Clarke của đồ thị hàm f(.) + K, và các tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f là K- tựa lồi của của Benoist [3] dưới ngôn ngữ K- tựa đơn điệu của đạo hàm theo phương suy rộng và jacobian suy rộng Clarke của f. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các điều kiện đủ để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : R m → R n là K- tựa lồi vô hướng của Sach [10] dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu của jacobian suy rộng Clarke của f và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ các nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian và Clarke của đồ thị hàm f(.) + K. Tính K- lồi của f được đặc trưng qua các khái niệm i- đơn điệu và s- đơn điệu thích hợp. Chương 2 trình bày các tính chất đặc trưng để một hàm véc tơ Lipschitz địa phương là K- tựa lồi của Benoist [3]. Các tiêu chuẩn được trình bày dưới ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu của đạo hàm theo phương suy rộng và jacobian suy rộng. Chú ý rằng một hàm là K- tựa lồi vô hướng là K- tựa lồi. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Đỗ Văn Lưu đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K3b đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, 20 tháng 10 năm 2011. Tác giả Trần Thị Yến Mai Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ K- TỰA LỒI VÔ HƯỚNG Chương 1 trình bày các điều kiện cần và đủ để một hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : R m → R n là K- tựa lồi vô hướng. Các tiêu chuẩn được trình bày dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu của jacobian suy rộng của f và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ các nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian, Clarke của đồ thị hàm đa trị f(·) + K. Các kết quả trình bày trong chương này là của P. H. Sach [10]. 1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ Trong chương này, ta sẽ sử dụng những kí hiệu và kết quả sau. Một phần tử trong không gian Euclide R m được đồng nhất với một véc tơ cột (tức là m × 1- ma trận). Tích vô hướng của ξ ∈ R m và u ∈ R m được kí hiệu là ξ T u trong đó T là phép chuyển vị. Cho một ánh xạ đa trị f : R m ⇒ R n ; domF và grF kí hiệu là miền hữu hiệu và đồ thị của F: domF = {x ∈ R m : F (x) = ∅}, grF = {(x, y) ∈ R m × R m : y ∈ F (x)}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Ta sử dụng kí hiệu intB; coB; clB để kí hiệu phần trong, bao lồi, bao đóng của tập B ⊂ R m . Nếu K ⊂ R n là nón lồi đóng và y, y , là hai điểm của R n , ta đặt [y, y , ] = co{y, y  , } và viết S(y, y  , ) ≤ 0 nếu và chỉ nếu min{η T y, η T y , } ≤ 0 với tất cả η ∈ K + . Theo [ 12, Hệ quả 11.4.2], ta có S(y, y , ) ≤ 0 ⇔ [y, y , ] ∩(−K) = ∅. (1.1) Cho A ⊂ R m , B ⊂ R m và α ∈ R := R 1 . Ta định nghĩa A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, nếu A = ∅ và B = ∅, αA = {αa : a ∈ A}, nếu A = ∅, Ta đặt A + ∅ = ∅ + A = ∅ và α∅ = ∅. Khi A là một tập con không rỗng của R, kí hiệu supA và infA là cận trên đúng và cận dưới đúng của A. Ta đặt supA = −∞ và infA = +∞, nếu A = ∅. Nếu F : R m ⇒ R là một ánh xạ đa trị từ R m vào tập số thực R thì infF là một hàm giá trị thực mở rộng định nghĩa bởi: (infF )(x) = infF (x) (∀x ∈ R m ). Tương tự đối với supF . Cho f : R m → R là một hàm Lipschitz địa phương. Kí hiệu ∂ 0 f x là dưới vi phân Clarke của f tại x (xem [2]): ∂ 0 f x = {ξ ∈ R m : ξ T u ≤ f 0 (x, u) ∀u ∈ R m }, (1.2) trong đó f 0 (x, u) = lim x  →x sup t↓0 t −1 [f(x  + tu) − f(x  )]. (1.3) Theo [2], Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 f 0 (x, u) = max{ξ T u : ξ ∈ ∂ 0 f x }. (1.4) Từ bây giờ ta giả sử rằng f : R m → R n là một hàm Lipschitz địa phương. Jacobian suy rộng Clarke của f tại x, kí hiệu bởi Jf x được định nghĩa trong [2] là bao lồi của một tập: {lim f x i : x i → x, f là khả vi Freschet tại x i }, trong đó f x i kí hiệu Jacobian thông thường của f tại x i và giới hạn của f x i được lấy trong không gian các (m × n)- ma trận . Chú ý rằng mọi phần tử A của Jf x là một m ×n- ma trận. Khi n = 1, Jf x là dưới vi phân Clarke của f tại x ( xem [4, Mệnh đề 2.6.2]). Với mọi η ∈ R n ta có [4, Định lý 2.6.6]. √ b 2 − 4ac ∂ 0 (η T f) x = [Jf x ] T η := {A T η : A ∈ Jf x }, (1.5) trong đó A T η kí hiệu tích của m ×n- ma trận A T (chuyển vị của ma trận A) và n × 1- ma trận η. Cho K ⊂ R n là một nón lồi đóng. Đồ thị của ánh xạ f(.) + K được gọi là K- trên đồ thị của f và được kí hiệu là epi K f. (Sau này ta bỏ kí hiệu dưới K cho đơn giản). Khi n = 1, K = R + (nửa đường thẳng không âm) epif quy về định nghĩa thông thường của trên đồ thị của một hàm số. Ta sẽ cần kết quả dưới đây nó là hệ quả đơn giản của một định lý tách [12, Hệ quả 11.4.2]: y ∈ K ⇔ η T y ≥ 0(∀η ∈ K + ) ⇔ η T y ≥ 0(∀η ∈ K + \ {0}). (1.6) Kí hiệu T 0 (epif, (x, f(x))) (tương ứng T (epif, (x, f(x)) ) là nón tiếp tuyến Clarke ( tương ứng nón Bouligand) của epif tại (x, f(x)). Ta cũng sử dụng nón tiếp tuyến trung gian (intermediate tangent cone) T b (epif, (x, f(x))). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... E) ta suy ra F + E là i- tựa đơn điệu Sử dụng (1.46) và chú ý rằng E là bất kì, từ Bổ đề 1.5 ta suy ra F là i- đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 1.4 Đặc trưng của tính tựa lồi vô hướng và tính lồi của ánh xạ Lipschitz địa phương Phần này trình bày các tiêu chuẩn K- tựa lồi vô hướng và K- lồi của một ánh xạ Lipschitz địa phương f : Rm → Rn , trong... dụng với F = Db f ) Nhận xét 1.6 Đạo hàm theo phương f có thể được sử dụng như là một công cụ để đặc trưng tính K- tựa lồi vô hướng của f Ánh xạ giá trị véc tơ khả vi theo phương f : Rm → Rn là K- tựa lồi vô hướng nếu và chỉ nếu ∀xj ∈ Rm (j = 1, 2), ∃t ∈ [0, 1] : tf (x1 , x2 −x1 )+(1−t)f (x2 , x1 −x2 ) ∈ −K Định lý 1.3 1 Nếu phát biểu dưới đây đúng : (V) Cf là i- tựa đơn điệu thì các phát biểu (I),... Rm → R ∪ {±∞}: Hàm thứ nhất nhận được từ η T F bằng cách lấy infimum, còn hàm thứ hai nhận được từ η T F bằng cách lấy supremum Tiền tố "i" (tương ứng "s") của cụm từ "i- tựa đơn điệu"(tương ứng "s- tựa đơn điệu") là viết tắt của từ "infimum" (tương ứng " supremum") Tiền tố "i" hay "s" tương ứng với sự kiện sau đây: nếu ta muốn kiểm tra tính chất i- tựa đơn điệu (hay s- tựa đơn điệu) của F qua cách... Rn là K- lồi (K- convex), nếu ∀xj ∈ Rm (j = 1, 2), ∀t ∈ [0, 1], thì tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) ∈ f (tx1 + (1 − t)x2 ) + K Định nghĩa 1.3 Một ánh xạ K -tựa lồi vô hướng (scalarly K- quasiconvex) f : Rm → Rn là một ánh xạ sao cho với mọi η ∈ K + , η T f là một hàm tựa lồi Dễ thấy rằng f là K- lồi nếu và chỉ nếu f là K- lồi vô hướng theo nghĩa: với ∀η ∈ K + , η T f là một hàm lồi Định nghĩa 1.4 Hàm giá trị... nón lồi đóng Chú ý rằng f là K- tựa lồi vô hướng nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện dưới đây là đúng: (a) ∀xj ∈ Rn (j = 1, 2); ∀x ∈ [x1 , x2 ] : S(f (x) − f (x1 ), f (x) − f (x2 )) ≤ 0; (b) ∀xj ∈ Rn (j = 1, 2); f ([x1 , x2 ]) ⊂ [f (x1 ), f (x2 )] − K Điều này được suy ra từ định nghĩa của tính K- tựa lồi và tính chất (1.1) Định lý 1.1 Các phát biểu dưới đây là tương đương: (I) f là K- tựa lồi. .. tựa đơn điệu của F kéo theo tính i- tựa đơn điệu của F Điều ngược lại đúng cho F là đơn trị 1.2 Đặc trưng của ánh xạ tựa đơn điệu Mệnh đề 1.1 Cho Fj : Rm × Rm Rn (j = 1, 2) là hai ánh xạ đa trị sao cho F1 ⊂ F2 theo nghĩa F1 (x, u) ⊂ F2 (x, u) với tất cả x ∈ Rm và u ∈ Rm 1 Nếu F1 là i- tựa đơn điệu thì F2 cũng i- tựa đơn điệu 2 Nếu F2 là s- tựa đơn điệu thì F1 cũng s- tựa đơn điệu Chứng minh Từ định... Jfx (u) Ta thấy rằng f là K- tựa lồi vô hướng ⇔ (∀η ∈ K + \ {0}) (η T f ) là tựa lồi ⇔ (∀η ∈ K + \ {0}) (η T f )0 là tựa đơn điệu ( Bổ đề 1.4) ⇔ (∀η ∈ K + \ {0}) sup η T Jf là tựa đơn điệu ( xem (1.49)) ⇔ Jf là s -tựa đơn điệu ( mệnh đề 1.2) Định lý 1.2 1 Nếu phát biểu dưới đây đúng: (IV) Db f là i- tựa đơn điệu thì các phát biểu (I), (II), (III) đúng 2 Nếu f là khả vi theo phương thì các phát biểu (I),... Rm Do tính chất Lipschitz địa phương của η T f , d(η T f )(x, u) = lim inf t−1 [η T f (x + tu) − η T f (x)] t↓0 f (x + tu) − f (x) t↓0 t T = η f (x, u)( do f là khả vi theo phương) = lim inf η T (1.10) ≥ inf{η T v : v ∈ Db fx (u)} Mặt khác, từ (1.7) và Bổ đề 1.2, inf{η T v : v ∈ Db fx (u)} ≥ inf{η T v : v ∈ Dfx (u)} ≥ d(η T f )(x, u) (1.11) Phát biểu thứ nhất của Bổ đề 1.3 là hệ quả trực tiếp của (1.10)... hoàn thành chứng minh phần hai của Hệ quả 1.3.1 ta áp dụng Định lý 1.3 Nhận xét 1.7 Điều kiện (1.50) hiển nhiên đúng nếu n = 1 và K = R+ hoặc f thuộc lớp C 1 Trước khi đưa ra điều kiện đủ khác để (1.50) đúng, ta hãy nhắc lại rằng: một hàm Lipschitz địa phương g : Rm → R là chính quy tại x ∈ Rm nếu với mọi u ∈ Rm , tồn tại đạo hàm theo phương f (x, u) của f tại x theo phương u và nó bằng f 0 (x, u)... lại: hàm f : Rm → R là tựa lồi (quasiconvex) nếu với mọi x1 , x2 ∈ Rm và t ∈ [0, 1], f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ max{f (x1 ), f (x2 )} Định nghĩa 1.1 Cho ánh xạ f : Rm → Rn là một ánh xạ đơn trị Cho K ⊂ Rn là một nón lồi đóng và K + là nón cực không âm của nó K + = {η ∈ Rn : η T v ≥ 0, ∀v ∈ K} Ánh xạ f được gọi là K- tựa lồi (K-quasiconvex) nếu với bất kì y ∈ Rn thì tập mức {x ∈ Rm : y ∈ f (x) + K} là lồi . gian, Clarke của đồ thị hàm f(.) + K, và các tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f là K- tựa lồi của của Benoist [3] dưới ngôn ngữ K- tựa đơn điệu của đạo hàm theo phương suy. các hàm tựa lồi có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu hóa. Nhiều nghiên cứu đã cho ta các tính chất phong phú của hàm tựa lồi, đặc biệt là các tính chất đặc trưng qua tính tựa đơn điệu của. và tựa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Đặc trưng của tính tựa lồi vô hướng và tính lồi của ánh xạ Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH