ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH TỰA LỒI CHO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA
2.3 Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương suy rộng
hàm theo phương suy rộng
Trong phần này, ta giả sử rằng Y là một không gian Banach phản xạ và f : C ⊂ X → Y là hàm giá trị véc tơ Lipschitz địa phương, tức là với mọi x ∈ C tồn tại > 0 và M > 0 sao cho với mọi x1, x2 ∈ C ∩ B(x, ),
kf(x2)−f(x1) k≤ M k x2 −x1 k.
Với giả thiết trên, với mọi x, x0 ∈ C, tập f0(x, x0) khác ∅ và
fo(x, x0) =σ −lim sup d0→x0−x t→0+ f(x+td0)−f(x) t .
(Chú ý rằng mọi dãy bị chặn trong không gian Banach phản xạ đều có điểm tụ).
Định lý sau đây cho ta một tính chất đặc trưng của hàm véc tơ Lip- schitz địa phương K- tựa lồi dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương suy rộng.
Định lý 2.1
Cho Φ : C2 → Y là một lát cắt của ánh xạ đa trị fo. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(B2) Với mọi x, x0 ∈ C,(Φ(x, x0)−K)∩(Φ(x0, x)−K) ⊂ −K.
Chứng minh
Ta sẽ sử dụng kết quả dưới đây. Mệnh đề 2.2 [3]
Giả sử Y là không gian Banach thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2). Khi đó, f là K- tựa lồi nếu và chỉ nếu l ◦f là tựa lồi với mọi phương cực biên l của K+.
Nếu x, x0 ∈ C, tồn tại dãy {ti} ⊂ (0,1) hội tụ đến 0 sao cho
Φ(x, x0) =σ − lim i→+∞((f(x+ti(x0−x))−f(xi))/ti). Khi đó, với tất cả l ∈ Y∗ ta có l(Φ(x, x0)) = lim i→+∞ (l◦f)(x+ti(x0 −x))−(l ◦f)(x) ti ∈ [D+(l ◦f)(x, x0−x), D+(l ◦f)(x, x0−x)], (2.2) trong đó D+g(x, d) = lim inf t→0+((g(x+td)−g(x))/t)
là Đạo hàm Dini dưới và
D+g(x, d) = lim sup
t→0+
((g(x+td)−g(x))/t)
là đạo hàm Dini trên của hàm g := l ◦f tại x theo phương d = x0 −x. Kết quả bây giờ là hệ quả trực tiếp của các điều kiện tương đương dưới đây:
(B1) ⇔ ∀l ∈ extd K+, l◦flà tựa lồi (theo mệnh đề 2.2 )
⇔ ∀l ∈ extd K+,∀(x, x0) ∈ C2,min(l(Φ(x, x0)), l(Φ(x0, x))) ≤ 0
⇔ ∀(x, x0) ∈ C2,∀l ∈ extd K+,min(l(Φ(x, x0)), l(Φ(x0, x))) ≤ 0
⇔ ∀(x, x0) ∈ C2,(Φ(x, x0)−K) ⊂(Φ(x0, x)−K)∩ −K
là tựa lồi (theo Bổ đề 2.1 )
∀x, x0 ∈ C ta có
∀u ∈ U(x, x0),∀u0 ∈ U(x0, x),(u−K)∩(u0−K) ⊂ −K.
Khi Y = R, U là R+- tựa đơn điệu có nghĩa là với mọi x, x0 ∈ C ta có
∀u ∈ U(x, x0),∀u0 ∈ U(x0, x), min(u, u0) ≤ 0.
Nhận xét 2.2
Khái niệm K- tựa đơn điệu được đưa vào trong Định nghĩa 2.1 liên quan đến tập các đạo hàm theo phương suy rộng. Trong tài liệu tham khảo khái niệm tựa lồi khác liên quan với đạo hàm trong trường hợp trơn hoặc dưới vi phân trong trường hợp không trơn cũng được đưa vào. Quan hệ giữa hai khái niệm này được cho trong Nhận xét 2.3 ( trường hợp trơn) và Nhận xét 2.4 ( trường hợp không trơn).
Từ Định lý 2.1 và Định nghĩa 2.1 , ta có hệ quả dưới đây. Hệ quả 2.1.1
Các khẳng định dưới đây là tương đương: (B’1) f là K-tựa lồi;
(B’2) fo là K- tựa đơn điệu.
Chứng minh
(B01) ⇒(B02) Đây là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.
(B02) ⇒ (B01) Ta có f◦(x, x0) 6= ∅ với mọi x, x0 ∈ C. Khi đó, ta áp dụng Định lý 2.1 với lát cắt ϕ bất kì của f◦.
Nhận xét 2.3
Nếu f là khả vi trên một tập lồi mở C của Y thì không cần phải giả sử Y là không gian Banach phản xạ.
Thật vậy, ta có
fo(x, x0) = {f0(x)(x0−x)},
với mọi x, x0 ∈ C, trong đó f0(x) kí hiệu cho đạo hàm của f tại x. Trong trường hợp này ta có kết quả sau.
Hệ quả 2.1.2
Các phát biểu sau là tương đương: (B”1) f là K- tựa lồi;
(B”2) Với mọi x, x0 ∈ C,(f0(x)(x0−x)−K)∩(f0(x0)(x−x0)−K) ⊂ −K.
Khi n= 1, ta nhận được kết quả:
f là R+- tựa lồi nếu và chỉ nếu và với mọi x, x0 ∈ C min(f0(x)(x0 −x), f0(x0)(x−x0)) ≤ 0.
Đây là định nghĩa tựa đơn điệu cổ điển cho hàm f0 (xem [8]).