ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH TỰA LỒI CHO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA
2.4Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ Ja cobian suy rộng Clarke
cobian suy rộng Clarke
Giả sử hàm f = (f1, . . . , fn)T : Rm → Rn và Rn được sắp thứ tự bởi một nón lồi K đóng có phần trong không rỗng. Giả sử rằng f Lipschitz địa phương trên Rm. ”Jacobian suy rộng Clarke” của f tại x ∈ Rm là tập các ma trận trong Mn,m(R) được định nghĩa như sau.
Jf(x) =co{limJ f xi :xi → x, xi ∈ Df}, (2.3) trong đó Df là tập các điểm trong Rm mà f là khả vi và J f(xi) kí hiệu cho ma trận Jacobi của f tại xi.
Định lý dưới đây đưa ra đặc trưng thứ hai của hàm véc tơ giá trị K- tựa lồi Lipschitz địa phương dưới ngôn ngữ jacobian suy rộng Clarke.
Giả sử J : R2m → Rn là ánh xạ đa trị xác định với mọi cặp (x, x0) ∈
R2m bởi công thức
J(x, x0) := Jf(x)(x0−x) ={M(x0 −x) : M ∈ Jf(x)}. (2.4)
Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (1) f là K-tựa lồi;
(2) J là K- tựa đơn điệu.
Chứng minh
Kết quả này là một hệ quả trực tiếp của các điều kiện tương đương dưới đây:
(1)⇔ ∀l ∈ extd K+, l◦f (là tựa lồi theo Mệnh đề 2.2 )
⇔ ∀l ∈ extd K+,∀(x, x0) ∈ C2,∀x∗ ∈ ∂(l◦f)(x) ∀x0∗ ∈ ∂(l ◦f)(x0) min(x∗(x0 −x), x0∗(x−x0)) ≤0 ⇔ ∀l ∈ extd K+,∀(x, x0) ∈ C2, ∀u ∈ J(x, x0),∀u0 ∈ J(x0, x), min(l(u), l(u0)) ≤ 0 (theo [4, Định lý 2.6.6 ]) ⇔ ∀(x, x0) ∈ C2,∀u ∈ J(x, x0),∀u0 ∈ J(x0, x)
∀l ∈ extdK+,min(l(u), l(u0)) ≤ 0
⇔ ∀(x, x0) ∈ C2,∀u ∈ J(x, x0),∀u0 ∈ J(x0, x) (u−K)∩ (u0−K) ⊂ −K (theo bổ đề 2.1 )
⇔ J là K- tựa đơn điệu.
Nhận xét 2.4
Khi n= 1, J là R+- tựa lồi có nghĩa là với mọi x, x0 ∈ Rm,
∀x∗ ∈ ∂f(x),∀x0∗ ∈ ∂f(x0), min(x∗(x0−x), x0∗(x−x0)) ≤0.
Nhận xét 2.5
Nhắc lại: một hàm véc tơ f : Rm →Rn là K- tựa lồi vô hướng nếu với bất kì l ∈ K+ hàm giá trị thực l ◦f là tựa lồi. Ta có nhận xét rằng (xem [3]): một hàm K- tựa lồi vô hướng là K- tựa lồi.
Kết luận
Luận văn đã trình bày các tính chất đặc trưng để một hàm véc tơ Lipschitz địa phương f là K- tựa lồi vô hướng của Sach [10] và K- tựa lồi của Benoist [3]. Các tính chất để f là K- tựa lồi vô hướng của Sach [10] cho hàm Lipschitz địa phương f :Rm → Rn được trình bày dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu của jacobian suy rộng của f và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, nón tiếp tuyến trung gian và nón tiếp tuyến Clarke của đồ thị hàm đa trị f(·) + K. Các tính chất đặc trưng để f là K- tựa lồi của Benoist [3] cho hàm véc tơ Lipschitz địa phương xác định trên một không gian định chuẩn được trình bày dưới ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu của đạo hàm theo phương suy rộng và jacobian suy rộng.
Các tính chất của các hàm K- tựa lồi và K- giả lồi không trơn là đề tài đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.