ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VÀNG VĂN HÀ VỀ TOÁN TỬ CHIẾU METRIC LÊN TẬP LỒI ĐÓNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VÀNG VĂN HÀ VỀ TOÁN TỬ CHIẾU METRIC LÊN TẬP LỒI ĐÓNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VÀNG VĂN HÀ VỀ TOÁN TỬ CHIẾU METRIC LÊN TẬP LỒI ĐÓNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Lê Dũng Mưu THÁI NGUYÊN - 2020 Möc löc B£ng kỵ hiằu Lới cÊm ỡn Lới nõi Ưu Chữỡng Mởt số kián thực chuân b i ii 1.1 Têp lỗi v hm lỗi 1.2 To¡n tû chi¸u kho£ng c¡ch 15 Ch÷ìng Ùng dưng v o b i to¡n bĐt ng thực bián phƠn 22 2.1 Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn 2.2 Mët thuªt toĂn chiáu giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn para- ìn i»u T i li»u tham kh£o 22 25 37 i BÊng kỵ hiằu R têp số thỹc Rn khổng gian Euclide têp rộng x vợi mồi x tỗn tÔi kxk chuân cừa vectỡ hx, yi tẵch vổ hữợng cõa hai v²c-tì kxk chu©n cõa v²c-tì V IP (F ; C) bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn S(F ; C) tªp nghi»m cõa b i to¡n n-chi·u x x x x v y x V IP (F ; C) ii Lới cÊm ỡn Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TSKH Lả Dụng Mữu TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi ThƯy, ngữới  dnh nhiÃu thới gian, tên tẳnh hữợng dăn v giúp ù tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh nghiản cựu v hon thiằn luên vôn TĂc giÊ cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi cĂc ThƯy Cổ khoa ToĂn-Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v giúp ù cho tĂc giÊ suốt thới gian hồc têp tÔi Trữớng ỗng thới, tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh, bÔn b v ỗng nghiằp  tÔo iÃu kiằn thuên lủi nhĐt cho tổi thới gian hồc têp v quĂ trẳnh hon thnh luên vôn Xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng 05 nôm 2020 TĂc giÊ Vng Vôn H Lới nõi Ưu Trong chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng,  lm quen vợi php chiáu vuổng gõc xuống mởt mt phng giÊi cĂc bi toĂn hẳnh hồc v lữủng giĂc KhĂi niằm ny  ữủc m rởng lản khổng gian nhiÃu chiÃu, thêm chẵ vổ hÔn chiÃu vợi viằc thay mt phng bơng mởt têp lỗi õng v vợi mởt khoÊng cĂch (metric) khổng nhĐt thiát l khoÊng cĂch è-cỡ-lit nh xÔ chuyn mởt im bĐt ký cho trữợc khổng gian án mởt im mởt têp cho trữợc vợi khoÊng cĂch nhọ nhĐt ữủc gồi l toĂn tỷ chiáu lản têp õ Ngữới ta  ch rơng, khổng gian Hilbert thỹc, toĂn tỷ chiáu lản mởt têp lỗi õng ữủc xĂc nh nhĐt ToĂn tỷ chiáu chiáu lản têp lỗi õng cõ nhiÃu °c tr÷ng thó và, â nâ câ vai trá quan trång nhi·u v§n · cõa to¡n håc v thỹc tá nhữ lỵ thuyát xĐp x, tối ữu hõa, bĐt ng thực bián phƠn, cƠn bơng v nhiÃu lắnh vỹc khĂc Nởi dung cừa bÊn luên vôn bao gỗm cĂc kián thực cỡ bÊn nhĐt và têp lỗi khỉng gian Ì-cì-lit Rn , c¡c k¸t qu£ v· toĂn tỷ chiáu lản têp lỗi õng Nởi dung chẵnh tiáp theo liản quan án viằc Ăp dửng toĂn tỷ chiáu vo viằc giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn para- ỡn iằu khổng gian Rn Ngoi phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo, cĂc kát quÊ nghiản cựu bÊn luên vôn ữủc trẳnh by thnh hai chữỡng vợi tiảu Ã: Chữỡng 1: Mởt số kián thực chuân b Chữỡng 2: ng dửng vo bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn Nởi dung chẵnh cừa cĂc chữỡng nhữ sau: Trong chữỡng 1, tổi trẳnh by nh nghắa têp lỗi, mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp lỗi, hm lỗi Tiáp theo l trẳnh by nh lỵ tĂch cĂc têp lỗi Mởt phƯn cừa chữỡng trẳnh by và nh nghắa toĂn tỷ chiáu, mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa toĂn tỷ chiáu Chữỡng cừa luên vôn trẳnh by ựng dửng cừa toĂn tỷ chiáu metric lản mởt têp lỗi õng vo viằc giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn BĐt ng thực bián phƠn l mởt lợp bi toĂn quan trång cõa Gi£i t½ch ùng dưng B i to¡n n y l mët lỵp b i to¡n têng qu¡t cõa b i to¡n quy hoÔch lỗi; hỡn nỳa nhiÃu bi toĂn phữỡng trẳnh vi phƠn, Ôo hm riảng Ãu cõ th mổ tÊ dữợi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn 3 Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Nởi dung chẵnh cừa chữỡng trẳnh by nh nghắa, mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn, nh lỵ v bờ à liản quan án têp lỗi v hm lỗi Mởt phƯn cừa chữỡng à cêp án php chiáu metric, chựng minh sỹ tỗn tÔi v tẵnh nhĐt cừa hẳnh chiáu lản mởt têp lỗi õng v khÊo sĂt mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa toĂn tỷ chiáu Nởi dung chẵnh cừa chữỡng ny ữủc tham khÊo chừ yáu tứ cĂc ti liằu [1, 3] 1.1 Têp lỗi v hm lỗi Trữợc hát, chúng tổi giợi thiằu khĂi niằm và têp lỗi v mởt số tẵnh chĐt cƯn thiát Nhưc lÔi rơng, mởt Rn ữớng thng l têp hủp tĐt cÊ cĂc vc-tỡ nèi hai iºm (hai v²c-tì) x ∈ Rn a, b cõ dÔng {x Rn |x = a + βb, α, β ∈ Rn , α + β = 1} oÔn thng nối hai im a v b Rn l têp hủp cĂc vc-tỡ x cõ dÔng {x ∈ Rn |x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} ành ngh¾a 1.1 Mởt têp C Rn ữủc gồi l mởt mồi oÔn thng i qua hai im bĐt ký cừa nõ Tực l têp lỗi, náu C chựa C lỗi v ch¿ ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Vẵ dử 1.1 a) Têp v oÔn thng Rn l cĂc têp lỗi cừa AB Rn l mởt têp lỗi Hẳnh trỏn bao gỗm cÊ biản mu nƠu l mởt têp lỗi, vẳ oÔn thng nối hai im X, Y hẳnh trỏn nơm trồn vàn hẳnh trỏn Hẳnh 1.1: Têp lỗi b) Hẳnh dữợi Ơy l hai têp khổng lỗi, vẳ cĂc ữớng nt ựt chựa nhiÃu im khổng nơm cĂc têp õ Hẳnh 1.2: Têp khổng lỗi nh nghắa 1.2 x= Ta nõi k X j=1 j x l tờ hủp lỗi cõa c¡c iºm x1, , xk n¸u λj x , λj > ∀j = 1, , k, k X j=1 λj = 5 Mằnh à 1.1 Têp hủp C l lỗi v ch nõ chựa mồi tờ hủp lỗi cừa cĂc im cừa nõ Tực l: C lỗi v ch¿ ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k X k λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ j=1 k X λj xj ∈ C j=1 Chùng minh i·u ki»n õ l hiºn nhi¶n tø ành nghắa Ta chựng minh iÃu kiằn cƯn bơng quy nÔp theo số im Vợi k = 2, iÃu cƯn chựng minh suy tứ nh nghắa cừa têp lỗi v tờ hủp lỗi GiÊ sỷ mằnh à úng vợi GiÊ sỷ x k1 im Ta cƯn chựng minh vợi l tờ hủp lỗi cừa x= k X k k iºm x1 , , x k ∈ C iºm j λj x , λj > ∀j = 1, , k, j=1 k X Tùc l λj = j=1 °t ξ= k−1 X λj j=1 Khi â 0