ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TỐN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUN - 2019 I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HC KHOA HC Lả Phữỡng ThÊo MậT Sẩ BI TON SÈ HÅC TRONG HNH HÅC PHNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2019 I HÅC THI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC Lả Phữỡng ThÊo MậT Sẩ BI TON SÈ HÅC TRONG HNH HÅC PHNG Chuy¶n ng nh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số: 8460113 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TS NGUYN VIT HI Th¡i Nguy¶n - 2019 i Líi c£m ỡn hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, GiÊng viản cao cĐp Trữớng Ôi hồc HÊi Phỏng Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn o tÔo, Khoa ToĂn Tin, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K11 (2018 - 2020) Trữớng Ôi hồc khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon th nh khâa håc Tỉi xin gûi líi c£m ìn ch¥n thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! HÊi Phỏng, thĂng nôm 20 Ngữới viát Luên vôn Lả Phữỡng ThÊo ii Danh mửc hẳnh 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tam gi¡c Pythagore: BC = AB + AC Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a Tam gi¡c Heron theo sỹ tông dƯn cừa cÔnh lợn nhĐt Tam gi¡c Pythagore cì b£n v c¡c b¡n k½nh r, , rb , rc Tẵnh chĐt cĂc cevian 12 13 19 2.1 Hai nghi»m l tam gi¡c vng vỵi m = 27 2.2 Hai nghi»m l tam gi¡c tị vỵi m = 29 2.3 Tam giĂc cÔnh tỹ nhiản ngoÔi tiáp ữớng trỏn 31 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Tù gi¡c húu t Tù gi¡c húu t cõa Brahmagupta ë d i ÷íng ch²o, chu vi, di»n t½ch tù gi¡c Düng tù gi¡c Brahmagupta tø tam gi¡c Heron Hai ÷íng ch²o AB, BC ∈ P (IMO 1968, #1), C¡ch gi£i thù ba 42 44 45 47 52 54 iii Danh mưc b£ng 1.1 Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n 11 1.2 Hå tam gi¡c Heron phư thc λ, vỵi 10 gi¡ trà λ 23 2.1 Ba cÔnh l c§p sè cëng 33 2.2 B i to¡n P = nS vỵi n = 31 38 2.3 B i to¡n P = nS vỵi n = 42 40 iv Mửc lửc Giợi thiằu luên vôn Tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron 1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron 1.1.1 C¡c bë ba Pythagore 1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron 1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vỵi r, , rb , rc ∈ N 1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc λ Tam giĂc cÔnh nguyản vợi hằ thực giỳa S v P 2.1 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi S = m.P, m ∈ N 2.1.1 Thuªt to¡n Goehl v thuêt toĂn Markov 2.1.2 Hai trữớng hủp tham số nguyản 2.2 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi P = nS, n N 2.2.1 Trữớng hủp n l số nguyản tố 2.2.2 Tr÷íng hđp n l hñp sè 2.2.3 Trữớng hủp riảng: Tam giĂc Pythagore 10 18 24 24 25 32 35 36 38 39 Mởt số vĐn à liản quan 41 T i li»u tham kh£o 58 3.1 Tù gi¡c câ cÔnh v ữớng cho hỳu t 41 3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta 45 3.3 Giỵi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic 50 Giợi thiằu luên vôn Mửc ẵch cừa à ti luên vôn NhiÃu bi toĂn, khĂi niằm hẳnh hồc liản quan án số hồc c biằt cõ nhỳng bi toĂn hon ton thuởc lắnh vỹc số hồc nhữ bở ba Pythagore, tam gi¡c Heron, º gi£i quy¸t nhúng b i toĂn ny thữớng phÊi giÊi phữỡng trẳnh Diophantine, phữỡng trẳnh Pythagore, phữỡng trẳnh Pell, v nhiÃu kián thực sƠu và sè nguy¶n tè nâi ri¶ng v sè håc nâi chung à ti ny trẳnh by nhiÃu vĐn à cừa số hồc Ăp dửng vo hẳnh hồc, mang lÔi nhỳng kát quÊ sƠu sưc và bi toĂn hẳnh hồc giÊi bơng kián thực số hồc Mửc ẵch cừa à ti l: - Tr¼nh b y hai b i to¡n: t¼m c¡c tam gi¡c Pythagore, tẳm cĂc tam giĂc Heron trữớng hủp tờng quĂt Nảu cĂc thuêt toĂn tẳm nghiằm cừa cĂc bi toĂn t CĂc trữớng hủp riảng xĂc nh tam gi¡c Heron: B i to¡n HG t¼m tam gi¡c Heron vỵi r, , rb , rc ∈ N, tam giĂc cõ cĂc cÔnh lêp thnh cĐp số cởng, lữợi nguy¶n c¡c tam gi¡c Heron, - Sû dưng c¡c kián thực cừa số hồc nhữ: lỵ thuyát chia hát, sỹ phƠn tẵch mởt số tỹ nhiản thnh cĂc số nguyản tố, giÊi phữỡng trẳnh Diophantine, cĂc lêp luên số hồc nõi chung, nghiản cựu mởt số trữớng hủp riảng quan trồng cừa bi toĂn tẳm tam giĂc cÔnh nguyản thọa mÂn mởt ba iÃu kiằn sau S = mP ; P = nS hay R/r = N ∈ N - N¶u c¡c b i to¡n li¶n quan v c¡ch gi£i quy¸t chóng: Tù gi¡c húu t, tự giĂc Brahmagupta; Bỗi dữùng nông lỹc dÔy cĂc chuyản à khõ trữớng THCS v THPT gõp phƯn o tÔo hồc sinh giĂi mổn Hẳnh hồc 2 Nởi dung cừa à ti, nhỳng vĐn à cƯn giÊi quyát Düa v o c¡c t i li»u [2], [3], [4], [6] luªn vôn trẳnh by mởt số bi toĂn hay và tam gi¡c nguy¶n v cơng l nhúng b i to¡n khâ hay g°p c¡c ký thi håc sinh gi¡i To¡n nữợc v quốc tá Nởi dung luên vôn chia lm ch÷ìng: Ch÷ìng Tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron B i to¡n t¼m bë ba Pythagore l b i to¡n sè håc quen thc, nhi¶n khỉng thº khỉng nhc lÔi cĂc kát quÊ Â cõ nhiÃu cổng trẳnh Vi»c l m n y cơng coi l bê sung c¡c ki¸n thực cỡ bÊn Ưu tiản cừa bi toĂn t Bi toĂn tẳm tam giĂc Heron dăn tợi nhiÃu trữớng hủp riảng thú v v kát thúc mởt kát qu£ têng qu¡t: Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuëc tham số Chữỡng ny bao gỗm: 1.1 Bi toĂn tẳm tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron 1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vỵi r, , rb , rc ∈ N 1.3 Hå c¡c tam gi¡c Heron phö thuởc Chữỡng Tam giĂc cÔnh nguyản vợi hằ thùc giúa S v P Nëi dung ch÷ìng n y · cêp án hai bi toĂn và tẳm tam giĂc cÔnh nguyản thọa mÂn iÃu kiằn phử: Tẳm tam giĂc cÔnh nguyản vợi S = mP v tẳm tam giĂc cÔnh nguyản vợi P = nS CĂc k thuêt số hồc ữủc vên dửng giÊi cĂc phữỡng trẳnh Diophantine dÔng c biằt dăn tợi cĂc thuêt toĂn giÊi bi toĂn bơng cĂc phƯn mÃm tin hồc Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau: 2.1 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi S = mP, m N 2.2 Tam giĂc cÔnh nguyản vợi P = nS, n N Chữỡng Mởt số vĐn à liản quan Chữỡng xt b i to¡n tam gi¡c nguy¶n mð rëng cho tù gi¡c hỳu t vợi phữỡng phĂp tiáp cên tữỡng tỹ ch÷ìng v Ph²p düng tù gi¡c húu t nởi tiáp ữớng trỏn (tự giĂc Brahmagupta) ữủc giÊi quyát trồn vàn é Ơy cụng trẳnh by mởt vi bi toĂn hẳnh hồc cõ nởi dung số hồc  g°p c¡c ký thi håc sinh gi¡i, thi Olympic cĂc nữợc Nởi dung cừa chữỡng ữủc chia thnh phƯn: 3.1 Tự giĂc cõ cÔnh v ữớng cho hỳu t 3.2 X¡c ành c¡c y¸u tè cõa tù gi¡c Brahmagupta 3.3 Giỵi thi»u mët sè b i to¡n thi Olympic 4 Ch÷ìng Tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron 1.1 B i to¡n t¼m tam gi¡c Pythagore v tam gi¡c Heron 1.1.1 C¡c bë ba Pythagore Trong h¼nh håc câ mởt nh lỵ quan trồng v quen thuởc: nh lỵ Pythagore Nởi dung cừa nh lỵ l "trong mởt tam giĂc vuổng bẳnh phữỡng cÔnh huyÃn bơng tờng bẳnh phữỡng hai cÔnh gõc vuổng", hẳnh 1.1 Vẳ vêy m phữỡng trẳnh x2 + y = z vợi x, y, z l cĂc số tỹ nhiản, ữủc gồi l phữỡng trẳnh Pythagore v nghiằm tỹ nhiản (x, y, z) cừa phữỡng Hẳnh 1.1: Tam giĂc Pythagore: BC = AB + AC tr¼nh n y gåi l bë ba Pythagore Trong sè håc, tªp hđp c¡c sè nguyản tố cõ th ữủc xem l mởt bở gen ho n ch¿nh dịng º x¥y düng to n bë c¡c sè tỹ nhiản Giống nhữ mội ngữới cõ nhỳng c iºm ri¶ng bi»t chóng ta câ nhúng bë gen kh¡c nhau, c¡c sè cơng vªy méi sè kh¡c sð húu mët bë gen kh¡c V¼ 12 = 2.2.3 = 22 ta câ thº nâi sè 12 câ hai gen sè v mët gen sè 3, â 90 = 2.3.3.5 = 2.32 câ mët gen sè 2, hai gen sè v mët gen sè Mët c¡ch têng qu¡t, sè tỹ nhiản n ữủc phƠn tẵch thứa số nguyản tè nh÷ sau n = pα1 · pα2 pαk k th¼ ta nâi n câ α1 gen p1 , α2 gen p2 , , k gen pk Ta nhưc lÔi mởt tẵnh chĐt số hồc, cõ th t tản l tẵnh "tĂch ữủc":náu a.b = A2 (số chẵnh phữỡng), a, b N thẳ a v b phÊi cõ dÔng a = u2 ·w, b = v w vỵi u, v, w N Cõ th giÊi thẵch nhữ sau: náu số lữủng gen p a l l thẳ sè l÷đng gen p câ b cơng s³ l l, vẳ vêy số lữủng gen a, b phÊi l số chđn Bơng cĂch têp hủp cĂc loÔi gen l ny lÔi thnh số w thẳ ta s cõ a = u2 w, b = v w Gi£i phữỡng trẳnh Pythagore x2 + y = z Ta câ x2 = z − y = (z y)(z + y) Theo tẵnh chĐt tĂch th¼ z + y = u2 w, z − y = v w v x = uvw Vªy nghi»m cừa phữỡng trẳnh chẵnh l x = uvw u2 − v w y= 2 u + v w z= Ta c¦n chùng minh y, z N Thêt vêy, náu w = 2m + th¼ z + y = u2 (2m + 1); z − y = v (2m + 1) Tø ¯ng thùc suy 2z = u2 + v (2m+1) v 2y = u2 − v (2m+1) Nhữ vêy, u2 + v v u2 − v ·u ch®n, tùc y, z l c¡c số tỹ nhiản Cỏn náu w chđn thẳ hin nhiản y, z N Trữớng hủp w chđn ta t w = 2s, nghiảm cừa phữỡng trẳnh l x = 2uvs, y = u2 − v s, z = u2 + v s Bữợc Bữợc 6 Khi u2 + v v u2 v l cĂc số chđn thẳ ta °t u = v + 2k , suy x = (v + 2k)vw = v + 2kv w y = 2kv + 2k w z = v + 2kv + 2k w viát lÔi thnh x = (x + k)2 − k w, y = 2(v + k)kw, z = (v + k)2 + k w Trong c£ hai tr÷íng hủp trản ta cõ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh Pythagore l : x = c.(2ab) y = c a2 − b2 , a, b, c ∈ N, a > b z = c a2 + b2 Phữỡng trẳnh Pythagore cõ vổ số nghiằm phử thuởc tham số Tuy nhiản vợi n 3, Fermat khng nh rơng phữỡng trẳnh xn + y n = z n khỉng câ nghi»m nguy¶n kh¡c Vỵi c = ta câ bë ba Pythagore x = 2ab, y = a2 − b2 , z = a2 + b2 Euclide tẳm (khoÊng 300 nôm trữợc Cổng nguyản) Bở ba ny l vẵ dử và mët bë ba Pythagore cì b£n (c¡c canh t÷ìng ùng cõa chóng l a = 2mn, b = m2 − n2 , c = m2 + n2 â m, n l nguy¶n tè cịng nhau, ch¿ câ mỉt sè l) Ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau cừa bở ba Pythagore cì b£n (a, b, c) (xem [1]): (i) Hai canh gõc vuổng m2 n2 v 2mn, cÔnh 2mn gồi l cÔnh gõc vuổng (c a)(c b) chđn; c = m2 + n2 l cÔnh huyÃn l số chẵnh phữỡng (ii) Trong số a, b, c cõ nhiÃu nhĐt mởt số chẵnh phữỡng Tỗn tÔi vổ số bở ba Pythagore cỡ bÊn m cÔnh huyÃn (hoc cÔnh gõc vuổng) l chẵnh phữỡng Tờng cừa cÔnh huyÃn v cÔnh gõc vuổng chđn cừa bở ba Pythagore cỡ bÊn luổn l sốchẵnh phữỡng ab (iii) Diằn tẵch S = l số tỹ nhiản chđn Trong hai sè a, b câ óng mët sè l´; v c l sè l´ (iv) Trong sè a, b, c câ óng mët sè chia h¸t cho 7 (v) Trong sè a, b, a + b, b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 7; sè a + c, b + c, c − a, c − b câ óng mët sè chia h¸t cho (cho 9); sè a, b, 2a + b, 2a − b, 2b + a, 2b − a câ óng mët sè chia h¸t cho 11 1.1.2 C¡c tam gi¡c Heron Câ mët sè c¡ch x¡c ành kh¡i ni»m "tam gi¡c Heron" Trong · t i n y ta chån c¡ch x¡c ành sau: ành ngh¾a 1.1 Tam giĂc Heron l tam giĂc m ở di ba cÔnh a, b, c v di»n t½ch S cõa nâ l cĂc số tỹ nhiản Tam giĂc Heron ữủc kỵ hiằu bi chỳ HT Kỵ hiằu HT [x, y, z; S] ữủc hiu l tam giĂc Heron cÔnh x, y, z , di»n t½ch S HT [x, y, z; S] ữủc gồi l cỡ bÊn (hay nguyản thừy) náu (x, y, z) = Trong t¼m c¡c tam gi¡c Heron cõ th cho kát quÊ cÔnh v diằn tẵch l số hỳu t, bơng cĂch nhƠn tĐt cÊ vợi số chung nhọ nhĐt cừa mău ta văn ữủc nghiằm tỹ nhiản TĐt cĂc tam giĂc Heron hỳu t, kỵ hiằu l RT , hon ton xĂc nh ữủc tam giĂc Heron (nguyản) v ngữủc lÔi Viằc tẳm cĂc cổng thực cho tam giĂc Heron cỡ bÊn bơng hẳnh hồc thuƯn túy gp nhiÃu khõ khôn Tuy nhiản bơng cĂch sỷ dửng "lỵ thuyát số" ta khổng nhỳng trĂnh ữủc nhỳng khõ khôn õ m cỏn tẳm ữủc cĂc cổng thực biu diạn ỡn giÊn Tam giĂc Heron ữủc t theo tản cừa nh toĂn hồc Hy LÔp "Heron of Alexandria" vẳ nõ cõ liản quan án cổng thực t½nh di»n t½ch q a+b+c S = s(s − a)(s − b)(s − c), vỵi s = Vỵi c¡ch xĂc nh nhữ vêy ta phĂt biu v chựng minh mởt số tẵnh chĐt cừa tam giĂc Heron, cõ tham khÊo v hằ thống [3] Tẵnh chĐt 1.1.1 BĐt kẳ mởt tam giĂc no cõ ở di ba cÔnh tÔo thnh mởt bở ba Pythagore Ãu l mởt HT [x, y, z; S] Chùng minh V¼ bë ba sè Pythagore l cĂc số tỹ nhiản v diằn tẵch cừa nõ bơng mởt nỷa tẵch hai cÔnh gõc vuổng, õ cÔnh gõc vuổng phÊi l số chđn 8 Mët v½ dư cho mët tam gi¡c Heron khỉng ph£i l tam gi¡c vuæng l tam gi¡c câ a = 5, b = 5, c = vợi diằn tẵch l 12; tam giĂc ny thu ữủc bơng cĂch ghp hai tam giĂc cõ ở di ba cÔnh l 3, 4, dồc theo cÔnh cõ ở di bơng Ph÷ìng ph¡p têng qu¡t cho c¡ch l m n y ÷đc minh hồa hẳnh 1.2: LĐy mởt tam giĂc vợi ở di ba cÔnh l mởt bở ba Pythagore a, b, c (c l số lợn nhĐt); mởt tam giĂc khĂc cõ ở di ba cÔnh l mởt bở ba số Pythagore a, d, e (e l số lợn nhĐt), ghp chúng lÔi dồc theo cÔnh cõ ở di l a ữủc mởt tam giĂc cõ ở di ba cÔnh l c¡c sè tü nhi¶n c, e, b + d, v câ di»n t½ch l mët sè húu t: S = (b + d) · a (mët nûa cÔnh Ăy nhƠn vợi chiÃu cao) Mởt cƠu họi thú v t l liằu tĐt cÊ cĂc Hẳnh 1.2: Tam gi¡c Heron [c, e, b + d], ÷íng cao a tam giĂc Heron Ãu cõ th ữủc tÔo bơng cĂch ghp hai tam giĂc vuổng (vợi ở di cĂc cÔnh l cĂc số tỹ nhiản (bở ba Pythagore)) nhữ trẳnh by trản khổng? CƠu trÊ lới l khổng Náu ta lĐy mởt tam giĂc Heron vợi ở di ba cÔnh l 0, 5; 0, v 0, thẳ ró rng nõ khổng th ữủc ghp tứ hai tam giĂc vợi ở di ba cÔnh Ãu tỹ nhiản Hoc mởt vẵ dử khĂc tữớng minh hỡn, l lĐy mởt tam giĂc vợi ở di cĂc cÔnh 5, 29, 30 vợi diằn tẵch 72, thẳ s khổng cõ ữớng cao no cừa nõ l mởt số tỹ nhiản Tẵnh chĐt 1.1.2 Cõ th chia mởt tam giĂc Heron thnh hai tam giĂc vuổng m ở di cĂc cÔnh cừa chúng tÔo thnh nhỳng bở ba Pythagore hỳu t (3 cÔnh l cĂc số hỳu t thọa mÂn phữỡng trẳnh Pythagore) Chựng minh Xt hẳnh 1.2 vợi c, e, b + d v di»n t½ch tam gi¡c S l nhúng sè húu t¿ Chóng ta câ thº chån cĂch kỵ hiằu cho ở di cÔnh b + d l lợn nhĐt, õ ữớng vuổng gõc hÔ tứ nh ối diằn xuống cÔnh ny nơm cÔnh chựng minh cĂc bở ba (a, b, c) v (a, d, e) l c¡c bë ba Pythagore, ta ph£i chùng minh a, b v d l nhúng sè hỳu t Thêt 2S vêy, vẳ diằn tẵch tam gi¡c l : S = (b + d)ad Rót a ta ÷đc a = b+d l mët sè húu t¿, v¼ S v b + d ·u l nhúng sè hỳu t PhƯn cỏn lÔi cƯn chựng minh b v d hỳu t p dửng nh lỵ Pythagore ối vợi hai tam gi¡c vuæng, ta câ a2 +b2 = c2 v a2 + d2 = e2 Trø v¸ theo v¸ hai ¯ng thùc b2 − d2 = c2 − e2 ⇔(b − d)(b + d) = c2 − e2 c2 − e2 ⇔b − d = b+d V¸ ph£i l hỳu t, bi vẳ theo giÊ thiát c, e v b + d l nhúng sè húu t¿ Do õ, b d l hỳu t Ta lÔi cõ (b + d) l húu t¿ theo gi£ thi¸t, suy (b + d) + (b − d) l húu t¿ Hay 2b l húu t¿ Suy b húu t¿ v d cơng ph£i l sè húu t¿ T½nh chĐt 1.1.3 Bi toĂn tẳm cĂc tam giĂc Heron tữỡng ữỡng vợi bi toĂn giÊi phữỡng trẳnh Diophantine, õ, S, s l di»n t½ch, chu vi tam gi¡c ABC S = s(s − a)(s − b)(s − c) Cổng thực tờng quĂt cĂc tam giĂc Heron  ữủc cỉng bè bði Brahmagupta v Carmichael n«m 1952 (theo Dickson 2005, p 193), â l a = n m2 + k (1.1) b = m n2 + k (1.2) c = (m + n) m.n − k (1.3) s = m.n(m + n) (1.4) 10 S = kmn(m + n) mn − k (1.5) Ơy l mởt kiu lợp cĂc tam gi¡c Heron vỵi måi m, n, k ∈ N cho m2 · n (m, n, k) = 1, m.n > k ≥ v m ≤ n ≤ (2m + n) Theo â ta câ thº li»t k¶ mởt số tam giĂc Heron sưp xáp theo sỹ tông cừa cÔnh lợn nhĐt tam giĂc: (3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 13, 13), (10, 10, 16), cõ diằn tẵch lƯn lữủt 6, 12, 12, 24, 48, 30, 60, 54, V½ dư 1.1.1 Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n x¸p theo di»n tẵch tông dƯn, náu diằn tẵch thẳ xáp theo chu vi tông dƯn Nôm 1994, Mathmatical Notes, Vol 55, N0 2, S Sh Kozhegel'dinov (Nga) ¢ cỉng bè kát quÊ bi toĂn tẳm cĂc tam giĂc Heron cỡ bÊn vợi kiu biu diạn khĂc v viằc tẳm tam giĂc Heron cỡ bÊn ữủc coi l hon thnh Sau Ơy ta xt mởt số bi toĂn tẳm tam gi¡c Heron k±m theo mët sè i·u ki»n °c bi»t 1.2 B i to¡n HG: Tam gi¡c Heron vỵi r, ra, rb, rc ∈ N Tam gi¡c Heron HT [a, b, c, S], ngo i t¶n gåi tam gi¡c Heron cì bÊn, cỏn ữủc gồi l khổng phƠn tẵch ữủc náu ÷íng cao , hb , hc ∈ / N, trữớng hủp trĂi lÔi tam giĂc ữủc gồi l phƠn tẵch ữủc, tực l ẵt nhĐt ữớng cao l số tỹ nhiản Tiáp theo ta kỵ hiằu tƠm cĂc ữớng trỏn nởi tiáp v bng tiáp lƯn lữủt l I, Ia , Ib , Ic Ð ¥y ta xt mởt bi toĂn tẳm tam giĂc Heron vợi i·u ki»n ch°t hìn v· b¡n k½nh r, , rb , rc : HG T¼m tam gi¡c Heron cho r, , rb , rc ∈ N, â B i to¡n : 11 Di»n t½ch TG Chu vi TG ë d i b + d ë d i e ë d i c 12 12 16 5 12 18 5 24 32 15 13 30 30 13 12 36 36 17 10 36 54 26 25 42 42 20 15 60 36 13 13 10 60 40 17 15 60 50 24 13 13 60 60 29 25 66 44 20 13 11 72 64 30 29 84 42 15 14 13 84 48 21 17 10 84 56 25 24 84 72 35 29 90 54 25 17 12 90 108 53 51 114 76 37 20 19 120 50 17 17 16 120 64 30 17 17 120 80 39 25 16 126 54 21 20 13 126 84 41 28 15 126 108 52 51 132 66 30 25 11 B£ng 1.1: Tr½ch danh s¡ch c¡c tam gi¡c Heron cì b£n 12 H¼nh 1.3: Tam gi¡c Heron theo sỹ tông dƯn cừa cÔnh lợn nhĐt r, , rb , rc lƯn lữủt l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp v cĂc ữớng trỏn bng tiáp cừa tam giĂc GiÊi Ưy ừ v ữa thuêt toĂn tẳm h¸t c¡c nghi»m cõa b i to¡n HG l cỉng vi»c khổng ỡn giÊn Chúng tổi ch dứng lÔi viằc ữa kát luên tữớng minh mởt số trữớng hủp cử th ã Trữớng hủp nghiằm l tam giĂc Pythagore Gi£ sû ABC l tam gi¡c Pythagore cì b£n vợi a2 + b2 = c2 Ta thĐy hai sè a, b ph£i câ mët sè l´, c cơng c¦n ph£i l´ Do â, nûa chu 1 vi P = (a + b + c) ∈ N v diằn tẵch S = ab N CĂc cÔnh tam gi¡c 2 Pythagore cì b£n câ thº biºu diạn ữủc dÔng m2 n2 v 2mn l hai cÔnh gõc vuổng, m2 + n2 l cÔnh huyÃn vợi m, n ∈ N Gåi r, , rb , rc l bĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn nởi tiáp v b ng ti¸p èi di»n c¡c gâc A, B, C , t÷ìng ùng Trong méi bë ba Pythagore cì b£n b¡n kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp v bĂn kẵnh cừa ba ữớng trỏn bng tiáp l số tỹ nhiản, hẳnh 1.4 Ngữủc lÔi náu tam giĂc vuổng ABC cõ bĐt ký sè r, , rb , rc l số tỹ nhiản thẳ thĐy ba số a,b,c l số tỹ nhiản vẳ a = r + = rc − rb ∈ N b = r + rb = rc − ∈ N ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... bÊn luổn l số chẵnh phữỡng ab (iii) Di»n t½ch S = l sè tü nhiản chđn Trong hai số a, b cõ úng mët sè l´; v c l sè l´ (iv) Trong sè a, b, c câ óng mët sè chia h¸t cho 7 (v) Trong sè a,... = A2 (số chẵnh phữỡng), a, b N thẳ a v b phÊi cõ dÔng a = u2 Ãw, b = v w vỵi u, v, w ∈ N Câ thº giÊi thẵch nhữ sau: náu số lữủng gen p a l l thẳ số lữủng gen p cõ b cụng s l l, vẳ vêy số lữủng