Hàm lồi và một số ứng dụng trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– LÊ THỊ THANH THỦY HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— LÊ THỊ THANH THỦY HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương Pháp Tốn Sơ Cấp Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Văn Thi THANH HÓA, NĂM 2017 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm 2017 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng GS TSKH Lê Dũng Mưu Viện Toán học Chủ tịch PGS TS Cung Thế Anh Trường ĐHSP Hà Nội Phản biện TS Nguyễn Hữu Hậu Trường ĐH Hồng Đức Phản biện GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viện Toán học Ủy viên PGS TS Trần Đình Kế Trường ĐHSP Hà Nội Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2017 (ký ghi rõ họ tên) TS Hoàng Văn Thi i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực đảm bảo tính khoa học, kết nghiên cứu trung thực thân Người cam đoan Lê Thị Thanh Thủy ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn Thầy TS Hồng Văn Thi Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phịng Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ mặt thủ tục để hoàn thiện luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Hoàng - Hà Trung tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành khóa học Thanh Hóa, tháng năm 2017 Lê Thị Thanh Thủy iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN v MỞ ĐẦU Chương : HÀM LỒI VÀ CÁC TÍNH CHẤT 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số ví dụ 1.2 Tính chất 10 1.2.1 Các tính chất 10 1.2.2 Các điều kiện đủ 15 1.3 Bất đẳng thức Jensen 24 Chương : MỘT SỐ ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Chứng minh bất đẳng thức cổ điển 26 2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 26 2.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 27 2.1.3 Bất đẳng thức Schwartz 28 2.1.4 Bất đẳng thức Holder 28 2.1.5 Bất đẳng thức Min-kop-xki 30 2.1.6 Mối liên hệ trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình tồn phương trung bình điều hịa 31 iv 2.2 Chứng minh bất đẳng thức đại số 32 2.3 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác 36 2.4 Chứng minh bất đẳng thức tích phân 41 2.5 Sử dụng hàm lồi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 44 2.6 Một số tập vận dụng 50 KẾT LUẬN 53 Tài liệu tham khảo 54 v CÁC KÝ HIỆU R: Tập hợp số thực [a; b]: Đoạn [a ; b], hay tập hợp {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} [a; b): Nửa khoảng [a; b), hay tập hợp {x ∈ R|a ≤ x < b} (a; b]: Nửa khoảng (a; b], hay tập hợp {x ∈ R|a < x ≤ b} (a; b): Khoảng (a; b), hay tập hợp {x ∈ R|a < x < b} X: Tập hợp tập R epi ( f ): Tập điểm nằm phía đồ thị hàm số f mặt phẳng tọa độ Dom ( f ): Tập xác định hàm số f BĐT: Bất đẳng thức MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết hàm lồi có vị trí quan trọng Tốn học liên quan đến nhiều lĩnh vực Toán học, giải tích lồi, giải tích hàm, tối ưu, quy hoạch, đối tượng nghiên cứu nhiều nhà Toán học Chúng tơi biết có nhiều luận án luận văn tiếng Việt hàm lồi, luận văn hầu hết thuộc chun ngành Tốn ứng dụng, hay Tốn giải tích Trong chương trình Tốn học bậc phổ thơng, em học sinh làm quen với khái niệm "lồi" từ cấp học mơn Hình học Hầu hết chương trình Hình học bậc Trung học sở Trung học phổ thông giới hạn hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, Trong đại số, tính lồi, lõm hàm số giảng dạy chương trình học hàm số bậc dùng để khảo sát hàm số Hiện nay, kiến thức hàm lồi dạy cho học sinh giỏi tham gia đội tuyển quốc gia hay quốc tế Do đó, việc bồi dưỡng nâng cao kiến thức hàm lồi ứng dụng người dạy Toán bậc Trung học phổ thơng cần thiết bổ ích Đó lí tơi chọn đề tài: "Hàm lồi số ứng dụng giải Toán sơ cấp." Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày sở lý thuyết hàm lồi, vấn đề then chốt Chỉ số hệ mở rộng, ứng dụng hàm lồi số kỹ thuật thường sử dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan sở lý thuyết hàm lồi; vấn đề then chốt hàm lồi Nghiên cứu phương pháp sử dụng bất đẳng thức hàm lồi gồm số kỹ thuật thường sử dụng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết: Dựa vào giáo trình học, tài liệu liên quan đến hàm lồi Chú trọng phương pháp khái quát, đặc biệt, tương tự, tổng hợp Nghiên cứu thực tiễn: Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức cổ điển kiến thức có liên quan Nghiên cứu Toán tài liệu hàm lồi Dự kiến đóng góp luận văn Luận văn tạo đề tài cần thiết mảng ứng dụng hàm lồi vào số toán sơ cấp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh Các kết chứng minh trình bày luận văn mang tính chia sẻ kinh nghiệm làm tốn, hướng dẫn học sinh độc giả cách quan sát, suy luận, tìm tịi giải Tốn, đem lại niềm đam mê, sáng tạo việc dạy học Tốn Bố cục luận văn Ngồi mục lời cảm ơn, lời cam đoan, bảng kí hiệu luận văn nội dung luận văn gồm chương Chương Trình bày sở lí thuyết hàm lồi Chương Trình bày số ứng dụng hàm lồi giải Toán sơ cấp x−y c − d1 d − d2 Đặt   f (c) − f (d1 ) f (d) − f (d2 ) , A := max