BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HIỆP HÀM LỒI SCHUR VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HIỆP HÀM LỒI SCHUR VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HIỆP HÀM LỒI SCHUR VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS LÊ QUANG THUẬN BÌNH ĐỊNH, NĂM 2022 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm lồi hàm đối xứng 1.1.1 Tập lồi hàm lồi 1.1.2 Tập đối xứng hàm đối xứng 1.2 Bộ trội Rn 1.3 Ma trận hoán vị, ma trận ngẫu nhiên kép 6 12 12 12 16 16 18 19 22 22 33 40 41 47 Hàm lồi Schur số tính chất 2.1 Hàm lồi Schur số đặc trưng 2.1.1 Hàm lồi Schur 2.2 Các kết liên quan đến hàm lồi Schur 2.2.1 Hàm lồi Schur tập Rn 2.2.2 Hàm lồi Schur tập Rn 2.3 Một số kiểu hàm lồi Schur thường gặp Một số ứng dụng hàm lồi Schur 3.1 Bất đẳng thức đẳng liên quan góc tam giác 3.2 Bất đẳng thức liên quan đến cạnh tam giác 3.3 Bất đẳng thức đẳng chu 3.3.1 Bất đẳng thức đẳng chu giải tích 3.3.2 Bất đẳng thức đẳng chu hình học Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với tiêu đề Hàm lồi Schur ứng dụng toán sơ cấp kết nghiên cứu khoa học hướng dẫn TS Lê Quang Thuận, sở tham khảo tài liệu trích dẫn, làm rõ trình bày lại theo cách hiểu thân Nội dung không chép chưa công bố hình thức nào, kết khơng phải riêng tơi trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày 29 tháng 07 năm 2022 Học viên thực Nguyễn Thị Hiệp MỞ ĐẦU Năm 1923, nghiên cứu để đưa chứng minh sơ cấp cho bất đẳng thức định thức Hadamard, I Schur [4] đưa lớp hàm quan trọng mà ngày người ta hay gọi hàm lồi Schur Trong toán học, ta biết lượng lớn bất đẳng thức nhận với quan hệ thứ tự riêng phần hàm bảo toàn thứ tự xác định Giả sử ď quan hệ thứ tự phần tiền thứ tự định nghĩa tập A Rn Một hàm φ : A Ñ R gọi bảo toàn thứ tự x, y P A, x ď y ùñ φpxq ď φpyq Với quan hệ tiền thứ tự trội hóa ă, định lý Muirhead (1903) xác định lớp hàm bảo toàn thứ tự Thêm vào hàm nhận dạng Dalton (1920) Động nghiên cứu Dalton định giá đo bất đẳng thức thu nhập, bao gồm n 1ÿ φ pxq “ |xi ´ x¯|, với x¯ “ xi n i“1 i“1 # + 21 n 1ÿ p2q φ pxq “ pxi ´ x¯q2 n i“1 n ÿ p3q φ pxq “ |xi ´ xj | p1q n ÿ i,j“1 Dalton lưu ý φp2q pxq φp3q pxq thỏa mãn bất đẳng thức chặt x ă y x č y ùñ φpxq ă φpyq Sự nghiên cứu đầy đủ hàm bảo toàn thứ tự trội hóa tiến hành Schur năm 1923 [4] Schur hạn chế cho cho trội hóa Rn` chứng tỏ ϕ : Rn` Đ R có đạo hàm riêng cấp liên tục x, y P Rn` , x ă y kéo theo ϕpxq ď ϕpyq ϕ hàm đối xứng px1 ´ x2 qp Bϕ Bϕ ´ q ě 0, @x P Rn` Bx1 Bx2 Schur gọi hàm "convex" (lồi) trái ngược với lồi theo nghĩa Jensen Thực ra, gọi lớp hàm tăng Schur thích hợp Tuy nhiên, thuật ngữ đại, người ta người ta sử dụng khái niệm hàm lồi Schur song song với khái niệm hàm lồi theo nghĩa Jensen ghi nhận đóng góp Schur Với mong muốn tìm hiểu sâu số vấn đề hàm lồi Schur ứng dụng chúng việc thiết lập bất đẳng thức, học viên chọn đề tài “Hàm lồi Schur ứng dụng toán sơ cấp” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kiến thức có liên quan nhằm phục vụ cho Chương Chương Chương 2: Hàm lồi Schur số tính chất Nội dung chương trình bày khái niệm hàm lồi Schur, thiết lập đặc trưng tương đương tính chất chúng Chúng tơi trình bày kết liên quan đến hàm lồi Schur số trường hợp đặc biệt hàm lồi Schur Chương 3: Một số ứng dụng hàm lồi Schur Trong chương này, sử dụng hàm lồi Schur vào việc chứng minh bất đẳng thức hình học tam giác như: Các bất đẳng thức góc tam giác, bất đẳng thức cạnh tam giác, bất đẳng thức đẳng chu giải tích bất đẳng thức đẳng chu hình học Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Lê Quang Thuận, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp khóa 23 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, đồng nghiệp, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Bình Định, ngày 29 tháng 07 năm 2022 Học viên Nguyễn Thị Hiệp Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị tập lồi, hàm lồi, tập đối xứng hàm đối xứng Sau đó, chúng tơi trình bày khái niệm trội hóa, ma trận hốn vị, ma trận ngẫu nhiên kép tính chất chúng để chuẩn bị cho chương sau 1.1 1.1.1 Hàm lồi hàm đối xứng Tập lồi hàm lồi Định nghĩa 1.1 Một tập A Rn gọi tập lồi @x, y P A, @λ P r0, 1s λx ` p1 ´ λq y P A Tính chất 1.1 Cho tập Ai lồi R , i “ 1, m Khi đó, tích m ś tập lồi Rn n m ś Ai i“1 i“1 Định nghĩa 1.2 Cho A Ď Rn tập lồi Hàm số ϕ : A Ñ R gọi lồi A @x, y P A, @λ P r0, 1s, ta có ϕ pλx ` p1 ´ λq yq ď λϕ pxq ` p1 ´ λq ϕ pyq (1.1) Nếu bất đẳng thức chặt với x ‰ y ta nói hàm ϕ hàm lồi chặt A Định lý 1.1 Cho hàm ϕ liên tục tập lồi A Rn Hàm ϕ hàm lồi A ´x ` y ¯ (1.2) ď rϕ pxq ` ϕ pyqs , @x, y P A ϕ 2 Mệnh đề 1.1 Cho f hàm lồi tập lồi A g hàm lồi khơng giảm R Khi φ pxq “ g pf pxqq hàm lồi A Hơn nữa, f hàm lồi ngặt g hàm lồi tăng ngặt φ hàm lồi ngặt A Chứng minh Theo định nghĩa hàm φ φ rλx ` p1 ´ λq ys “ g rpf pλxq ` p1 ´ λq yqs Vì f hàm lồi tập lồi g hàm lồi không giảm nên g rpf pλxq ` p1 ´ λq yqs ď g rλf pxq ` p1 ´ λq f pyqs ď λg rf pxqs ` p1 ´ λq g rf pyqs “ λφ pxq ` p1 ´ λq φ pyq Vậy φ hàm lồi A 1.1.2 Tập đối xứng hàm đối xứng Định nghĩa 1.3 Cho tập A Ď Rn , n ą Tập A gọi tập đối xứng px1 , x2 , , xn q P A pxi1 , xi2 , , xin q P A với hoán vị xi1 , xi2 , , xin số x1 , x2 , , xn Ví dụ 1.1 r0, 1sn , p´1, 1qn , Rn tập đối xứng Định nghĩa 1.4 Một hàm thực ϕ A gọi đối xứng ϕ px1 , , xn q “ ϕ pxi1 , , xin q , @ px1 , , xn q P A, xi1 , xi2 , , xin hoán vị số x1 , x2 , , xn 1.2 Bộ trội Rn Định nghĩa 1.5 Cho hai vectơ x, y P Rn Ta nói vectơ y trội vectơ x hay vectơ x làm trội vectơ y viết x ă y, # + k ÿ max xij : ď i1 ă i2 ă ¨ ¨ ¨ ă ik ď n j“1 # ď max k ÿ + yij : ď i1 ă i2 ă ă ă ik n , k “ 1, , n ´ 1, j“1 n ÿ i“1 xi “ n ÿ yi i“1 Quan hệ ă thõa mãn tính chất tiền thứ tự sau: • x ă x, @x P A • Nếu x ă y, y ă x thành phần y hốn vị thành phần x • Nếu x ă y y ă z x ă z, @x, y, z P A Định nghĩa 1.6 Với x “ px1 , x2 , , xn q P Rn , ta ký hiệu aq xr1s ě xr2s ě ¨ ¨ ¨ ě xrns thành phần x xếp theo thứ tự giảm dần xÓ “ pxr1s , xr2s , , xrns q bq xp1q xp2q ă ă ă ď xpnq thành phần x xếp theo thứ tự tăng dần xÒ “ pxp1q , xp2q , , xpnq q Định lý 1.2 ( [1]) Với x, y P Rn , khẳng định sau tương đương a) x ă y; ... lồi Schur (3) Nếu ϕ hàm tăng lồi Schur, g hàm tăng lồi ψ hàm tăng lồi Schur (4) Nếu ϕ hàm giảm lồi Schur, g hàm giảm lõm ψ hàm tăng lồi Schur (5) Nếu ϕ hàm tăng lồi Schur, g hàm giảm lồi ψ hàm. .. 40 41 47 Hàm lồi Schur số tính chất 2.1 Hàm lồi Schur số đặc trưng 2.1.1 Hàm lồi Schur 2.2 Các kết liên quan đến hàm lồi Schur 2.2.1 Hàm lồi Schur tập Rn 2.2.2 Hàm lồi Schur tập... quan đến hàm lồi Schur số trường hợp đặc biệt hàm lồi Schur Chương 3: Một số ứng dụng hàm lồi Schur Trong chương này, sử dụng hàm lồi Schur vào việc chứng minh bất đẳng thức hình học tam giác như: