ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2012 Tai ngay!!! Ban co the[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Mục lục Mở đầu Lời cam đoan Một số kiến thức 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian Banach 1.3 Không gian Hilbert Lý 2.1 2.2 2.3 2.4 thuyết xấp xỉ tốt Đặt toán Xấp xỉ tốt không gian Banach Xấp xỉ tốt không gian C[a,b] Một số trường hợp đặc biệt 2.4.1 Xấp xỉ đa thức bậc không 2.4.2 Xấp xỉ đa thức bậc Một số ứng dụng lý thuyết xấp xỉ vào giải lớp toán sơ cấp 3.1 Lời giải tổng quát 3.1.1 Ứng dụng xấp xỉ đa thức bậc khơng cho lớp tốn 3.1.2 Ứng dụng xấp xỉ đa thức bậc cho lớp toán dạng: 3.2 Lớp toán cụ thể 5 9 10 11 17 17 18 20 20 20 23 26 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Chúng ta biết Lý thuyết xấp xỉ tốt nhánh lý thuyết xấp xỉ hàm, có vai trị đặc biệt quan trọng toán lý thuyết tốn ứng dụng Đặc biệt, dùng để tìm đa thức có "độ lệch" nhỏ so với hàm số cho trước đoạn xác định Từ việc nghiên cứu kĩ lý thuyết xấp xỉ tốt giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Và hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải, tác giả nghiên cứu đề tài "Một số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt ứng dụng toán sơ cấp" Nội dung luận văn trình bày lý thuyết xấp xỉ tốt từ xây dựng lên tập toán sơ cấp áp dụng phần lý thuyết xấp xỉ tốt vào giải toán Luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số định nghĩa khơng gian Mêtric, không gian Banach, không gian Hilbert Chương 2: Lý thuyết xấp xỉ tốt Chương giới thiệu số định nghĩa, định lý lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, trường hợp đặc biệt xấp xỉ đa thức đa thức bậc không, đa thức bậc Chương 3: Một số ứng dụng lý thuyết xấp xỉ tốt vào giải số toán sơ cấp Phần đầu Chương trình bày lời giải tổng quát lớp tốn sơ cấp, thơng qua lời giải dựa lý thuyết xấp xỉ tốt để hình thành lên lời giải sơ cấp Phần áp dụng lời giải tổng quát vào giải số tập sơ cấp cụ thể Và từ đưa dạng tập có đề tương tự Kết luận văn tham khảo Numerical methods Bakhvalov N.S Luận văn hoàn thành trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn trân trọng tới thầy TS Nguyễn Văn Khải, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu viết luận văn vừa qua 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong suốt q trình học tập làm luận văn, thơng qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ giáo sư công tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô Đại học Thái Ngun Từ đáy lịng mình, tác giả xin bầy tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt qua trình học tập nhà trường hồn thành luận văn thời gian qua Tác giả xin bầy tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân, anh chị lớp cao học Toán K4C quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả suốt trình học cao học viết luận văn để đạt kết tốt Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Và xin trân trọng cảm ơn! Quảng Ninh, ngày 10 tháng 10 năm 2012 Tác giả Phạm Thị Hải 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các số liệu kết nghiên cứu luận văn hồn tồn trung thực chưa có cơng bố cơng trình khác Tác giả Phạm Thị Hải 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức Trong chương này, ta trình bày kiến thức khơng gian mêtric, không gian Banach, không gian Hilbert Các kiến thức lấy từ tài liệu [1, 5, 8] Trong chương này, khơng gian tuyến tính xét trường số thực R 1.1 Không gian mêtric Định nghĩa 1.1 Tập X khác rỗng gọi không gian mêtric với cặp phần tử x, y xác định theo quy tắc đó, số thực ρ(x, y) gọi ” khoảng cách x y ” thỏa mãn tiên đề sau: 1) ρ(x, y) > x 6= y; ρ(x, y) = x = y 2) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y ∈ X 3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), ∀x, y, z ∈ X Hàm số ρ(x, y) gọi mêtric khơng gian X n Ví dụ 1.1 Trong Rn , với x = (xs , x2 , , xn ) ∈ R n P y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ρ(x, y) = (xi − yi )2 , mêtric Rn i=1 Định nghĩa 1.2 Cho không gian mêtric X Dãy {xn } dãy Cauchy ( hay dãy bản) lim ρ(xn , xm ) = tức là: ∀ε > cho trước, n,m→∞ ∗ ∃n0 ∈ N , cho ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , ta có ρ (xn , xm ) < ε 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dĩ nhiên dãy hội tụ dãy Cauchy ( dãy bản), xn → x theo bất đẳng thức tam giác, ta có: ρ (xn , xm ) ≤ ρ (xn , x) + ρ (x, xm ) → 0, (n, m → ∞) 1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.3 (Không gian tuyến tính) Một tập X gọi khơng gian tuyến tính ứng với cặp phần tử x, y X ta có, theo quy tắc đó, phần tử X , gọi tổng x với y kí hiệu x + y ; ứng với phần tử x X số thực α ta có, theo quy tắc đó, phần tử X , gọi tích x với α kí hiệu αx Các quy tắc nói thỏa mãn tiên đề sau: 1) x + y = y + x ( tính chất giao hốn phép cộng) 2) (x + y) + z = x + (y + z) (tính chất kết hợp phép cộng) 3) ∃ phần tử : x + = x, ∀x ∈ X 4) Với x ∈ X ta có phần tử −x ∈ X : x + (−x) = 5) 1.x = x 6) α(βx) = (αβ)x, với α, β số 7) (α + β)x = αx + βx 8) α(x + y) = αx + αy Trên định nghĩa khơng gian tuyến tính thực Nếu định nghĩa ta thay số thực số phức ta có khơng gian tuyến tính phức Khơng gian tuyến tính thường gọi khơng gian vectơ phần tử gọi vectơ Định nghĩa 1.4 (Khơng gian tuyến tính định chuẩn) Một khơng gian định chuẩn khơng gian tuyến tính X , ứng với phần tử x ∈ X ta có số kxk gọi chuẩn cho điều kiện sau thỏa mãn, với x, y ∈ X số thực α 1) kxk > x 6= 0; kxk = x = 2) kαxk = |α|kxk (tính chuẩn) 3) kx + yk ≤ kxk + kyk (bất đẳng thức tam giác ) 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.2 Khơng gian mêtric Rn khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn tương ứng v u n uX Rn : kxk = t ξi2 i=0 Định nghĩa 1.5 (Không gian Banach) Cho khơng gian tuyến tính định chuẩn X, d : X × X −→ R xác định: d(x, y) = ||x − y|| d(x, y) gọi hàm khoảng cách, ta nói khoảng cách khoảng cách cảm sinh chuẩn Không gian Banach không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ Ví dụ 1.3 Có thể chứng minh không gian C[a,b] = {f : [a, b] −→ R , f liên tục} với chuẩn Chebyshev: kf k = max |f (t)| không gian Banach t∈[a,b] Định nghĩa 1.6 Không gian Banach X gọi lồi thực nếu: ∀x, y 6= k x + y k=k x k + k y k⇒ y = λx(λ > 0) Ví dụ 1.4 Khơng gian C[a,b] khơng lồi thực t−a Vì với x(t) ≡ 1; y(t) ≡ , ta có: k x + y k=k x k + k y k= b−a y 6= λx 1.3 Không gian Hilbert Trong phần ta xét X không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.7 (Không gian tiền Hilbert) Một khơng gian tuyến tính thực X gọi khơng gian tiền Hilbert có xác định hàm hai biến (x, y) gọi tích vơ hướng hai vectơ (x, y) với tính chất sau: 1) (x, y) = (y, x) 2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) 3) (αx, y) = α(x, y) với α số thực 4) (x, x) > x 6= 0, (x, x) = x = p Và thỏa mãn hệ thức 5) (x, x) = kxk2 tức kxk = (x, x) xác định chuẩn không gian X , nói cách khác khơng gian tiền Hilbert khơng gian định chuẩn 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.5 Khơng gian C[a,b] gồm tất hàm liên tục đoạn [a, b] với phép tốn thơng thường với tích vơ hướng cho bởi: Rb (x, y) = x(t)y(t)dt không gian tiền Hilbert a Định nghĩa 1.8 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert ! 21 b R |x(t)|2 dt Ví dụ 1.6 Khơng gian L2[a,b] với chuẩn kxk2 = a không gian Hilbert Nhận xét 1.1 i) Không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn kxk = (x, x) ii) Khơng gian tiền Hilbert ln có bất đẳng thức Schwars: k(x, y)k ≤ kxk kyk iii) Không gian tiền Hilbert thỏa mãn điều kiện bình hành: 2 2 kx + yk + kx − yk = kxk + kyk iv) Tích vô hướng (x, y) hàm số liên tục biến x y Ví dụ 1.7 Mọi không gian Hilbert lồi thực Thật vậy, ta có k x + y k=k x k + k y k Bình phương hai vế đẳng thức: kx + yk2 = kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 Mà kx + yk2 = x + y, x + y = x + y, x + x + y, y = x, x + x, y + y, y = kxk2 + x, y + kyk2 Suy x, y =k x kk y k Từ bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacovski- Schwartz, suy y = λx, (λ > 0) 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Lý thuyết xấp xỉ tốt Chương trình bày kết quan trọng lý thuyết xấp xỉ tốt tồn xấp xỉ tốt không gian Banach, xấp xỉ tốt không gian C[a,b] số trường hợp đặc biệt xấp xỉ đa thức bậc không hay xấp xỉ đa thức bậc Các kết chương tham khảo tài liệu [1, 2, 7,10] 2.1 Đặt toán Cho hàm số f ∈ C[a,b] Gọi Pn tập hợp đa thức có bậc khơng q n [a, b] Ta phải tìm đa thức P ∈ Pn có "độ lệch" nhỏ so với f [a, b] tức là: max | f (x) − P (x) |= max |f (x) − P (x)| x∈[a,b] Q∈Pn x∈[a,b] (2.1) Nếu C[a,b] ta xét chuẩn k ϕ k= max | ϕ(t) |, (ϕ ∈ C[a,b] ) tốn t∈[a,b] (2.1) có dạng: Tìm P ∈ Pn cho k f − P k= En (f ) := k f − Q k Q∈Pn (2.2) Phần tử đạt cực tiểu kí hiệu P = arg k f − Q k Q∈Pn 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f (x) − Qd (x) < L, ∀x ∈ [Zi−1 , Zi ] n Như chọn d0 < di : i = 1, m Suy f (x) − Qdn0 (x) < L [Zi−1 , Zi ], i = 1, m Vì v(x), Qn (x) ∈ X1 ⇒ Qdn (x) ∈ X1 , m S [Zi−1 , Zi ] = [a, b] i=1 Suy f (x) − Qdn0 (x) < L, ∀x ∈ [a, b] Vậy max f (x) − Qdn0 (x)