Một số vấn đề cơ sở của tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN PUN MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ CỦA TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN PUN MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ CỦA TỔ HỢP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2014 Mục lục Lời mở đầu Chương Tập hợp tổ hợp 1.1 Tập hợp khả 1.1.1 Tập hợp 1.1.2 Xâu 1.1.3 Tập hợp thứ tự 1.2 Các phép toán tập hợp 1.2.1 Giao hai tập hợp 1.2.2 Hợp hai tập hợp 1.2.3 Hiệu phần bù hai tập hợp 1.2.4 Tích Đềcác n tập hợp 1.3 Số tập 1.4 Quy tắc tổng 10 1.5 Quy tắc nhân 11 1.6 Hốn vị khơng lặp hốn vị vòng 12 1.6.1 Hốn vị khơng lặp 12 1.6.2 Hốn vị vịng 14 1.7 Chỉnh hợp 14 1.7.1 Chỉnh hợp không lặp 14 1.7.2 Chỉnh hợp có lặp 15 1.8 Tổ hợp không lặp 15 1.9 Hốn vị có lặp 16 1.10 Tổ hợp có lặp 18 1.11 Tính chất Cnn−m 19 1.12 Nhị thức Newton 20 Chương Giải toán tổ hợp 23 2.1 Giải toán đếm 23 2.1.1 Sử dụng xâu để giải toán đếm số 23 2.1.2 Bài toán đếm số cách xếp 27 2.1.3 Bài toán chọn số phương án để thỏa mãn số điều kiện cho trước 28 2.2 Các toán tổ hợp có nội dung hình học 32 Chương Các phương pháp đếm nâng cao 36 3.1 Phương pháp đếm nhờ thiết lập quan hệ truy hồi 37 3.2 Phương pháp sử dụng quy tắc cộng tổng quát 43 3.3 Phương pháp xây dựng song ánh 53 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 LỜI MỞ ĐẦU Toán tổ hợp lĩnh vực toán học nghiên cứu từ sớm ngày quan tâm nhờ vai trị quan trọng mơn tốn học Những kết đóng vai trị kiến thức tảng giải tích, xác suất, thống kê, hình học Trong thực tiễn giáo dục việc dạy học toán tổ hợp quan trọng học tốt toán tổ hợp người học có lực sáng tạo tư nhạy bén để học tốt môn học khác lĩnh vực khác sống Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên trường đại học cao đẳng, thi Olympic toán khu vực quốc tế toán tổ hợp xuất thử thách lớn cho thí sinh Rất nhiều tốn hay khó giải cách gọn đẹp cách sử dụng kiến thức tổ hợp Như Toán tổ hợp có vai trị to lớn việc rèn luyện tư toán học kỹ giải toán Vì tốn tổ hợp từ lâu đóng vai trò quan trọng việc rèn luyện tư toán học kỹ giải toán Những tốn tổ hợp có số đặc điểm quan trọng mang tính khác biệt sau: + Khơng địi hỏi nhiều kiến thức, giảng dạy bậc lớp khác + Khơng có khn mẫu định cho việc giải (giống việc giải phương trình, khảo sát hàm số, tính tích phân), ln địi hỏi sáng tạo từ phía học sinh + Thường phát biểu lời văn, đòi hỏi học sinh phải có kỹ đọc, hiểu rút trích thơng tin, biết cách phát biểu lại ngơn ngữ tốn học Bài tốn tổ hợp thường mang tính thực tế tính thẩm mỹ cao, khiến học sinh u thích ghi nhớ Vì vậy, kỳ thi Olympic Toán nước, toán tổ hợp xuất với tỷ lệ cao Tuy nhiên, Việt Nam, toán tổ hợp xuất Điều thấy rõ thông qua việc nghiên cứu đề thi học sinh giỏi tỉnh thành, đề thi học sinh giỏi quốc gia, đề toán báo Toán học Tuổi trẻ Theo góp ý nhiều đồng nghiệp nước ngồi, đề thi Olympic Tốn Việt Nam mang nặng tính kỹ thuật, màu sắc thực tế thiếu ln vẻ đẹp toán học Đây điều cần bàn Tốn học khơng tốn khơ khan, mà sống, thực tế vẻ đẹp Tốn học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) ngành tốn học rời rạc, nghiên cứu cấu hình kết hợp phần tử tập hữu hạn phần tử Các cấu hình hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phần tử tập hợp Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác toán học, đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) hình học, đến ngành ứng dụng khoa học máy tính vật lí thống kê Nhưng luận văn sâu đề cập nội dung sau: - Chương 1:Tập hợp tổ hợp - Chương 2: Ứng dụng giải toán tổ hợp - Chương 3: Phương pháp đếm nâng cao Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Hà Huy Khoái Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Hà Huy Khối, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Chuyên Sơn La bạn lớp Cao học K6 trường Đại học Khoa học, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Sơn La, ngày 25 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Pun N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Z+ tập số nguyên không âm Q tập số hữu tỷ R tập số thực ∅ tập rỗng n(A) số phần tử tập hợp A |A| số phần tử tập hợp A n - xâu độ dài n n - tập tập hợp có n phần tử [a] phần nguyên a Pn số hoán vị n phần tử Qn hốn vị vịng quanh n phần tử Akn số chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử Akn số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Cnk số tổ hợp không lặp chập k n phần tử P (n1 , n2 , , nk ) số hốn vị có lặp có cấu tạo (n1 , n2 , , nk ) Cnk số tổ hợp có lặp chập k n phần tử Chương Tập hợp tổ hợp 1.1 Tập hợp khả 1.1.1 Tập hợp Tập hợp (còn gọi tập) khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Giả sử cho tập hợp A Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc a thuộc A) Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ / A (đọc a không thuộc A) Ví dụ 1.1.1 Tập học sinh giới tính nam lớp, tập học sinh có nhà cách trường 30km, Các phần tử tập hợp hai cách sau: • Liệt kê phần tử chúng Ví dụ: A tập hợp ước nguyên dương 30, Ta viết A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} • Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử Ví dụ: B tập hợp nghiệm phương trình : 2x2 − 5x + = 0, ta viết :  B = x ∈ R/2x2 − 5x + = Một số tập hợp toán học: Tập số thực, ký hiệu R ; Tập số hữu tỷ, ký hiệu Q ; Tập số nguyên, ký hiệu Z ; Tập số nguyên không âm, ký hiệu Z+ ; Tập số tự nhiên ký hiệu N ; Tập rỗng, tập khơng có phần tử nào, ký hiệu ∅ Tập B mà phần tử thuộc tập A, B gọi tập tập A viết B ⊆ A Tập B mà phần tử thuộc tập A B 6= A, A gọi tập thực tập A viết B ⊂ A Khi A ⊂ B B ⊂ A ta nói tập hợp A tập hợp B viết A = B Số phần tử tập hợp A gọi lực lượng tập A, ký hiệu |A| hay n(A) Ví dụ |∅| = , |Z| = ∞ n - tập ký hiệu tập có n phần tử 1.1.2 Xâu Trong nhiều toán tổ hợp, thứ tự phần tử đóng vai trị quan trọng (ví dụ thứ tự trận đấu, thứ tự xếp học lực học sinh lớp, thứ tự lắp ráp linh kiện cho cỗ máy ), trong tập hợp thứ tự phần tử khơng giữ vai trị Do phải đưa khái niệm “xâu” để giải toán nêu Định nghĩa 1.1.2 Cho tập X tập gồm số tự nhiên Nn = {1, 2, 3, , n} Cho ánh xạ từ tập Nn vào tập X tương ứng số với phần tử x1 ∈ X, số với phần tử x2 ∈ X, , số n với phần tử xn ∈ X Kết ta nhận x1 , x2 , , xn phần tử tập hợp X, số phần tử xuất nhiều lần Khi xếp phần tử theo thứ tự, ta nhận xâu (x1 , x2 , , xn ) độ dài n, lập nên từ phần tử tập X Phần tử xk , ≤ k ≤ n gọi thành phần thứ k tọa độ thứ k xâu (x1 , , xn ) Các xâu có độ dài gọi cặp, cịn xâu có độ dài ba Đôi xâu độ dài n gọi n-bộ Ví dụ 1.1.3 Xâu a1 a2 a3 a4 a5 , “abcdefg”, “123468”, Hai xâu (x1 , x2 , , xn ) (y1 , y2 , , yn ) xem chúng có độ dài nhau, đồng thời thành phần chúng có số thứ thự Ta kí hiệu xâu chữ Hy Lạp Như vậy, α = (x1 , x2 , , xn ) β = (y1 , y2 , , ym ) α = β n = m xk = yk với k, ≤ k ≤ n √ √
√ √ √
√ Ví dụ: Cho α = 2, 3, β = 4, 9, 16 , α = β 4 = √ √ √ √ √ √ √ 1 2 4 22 = = 2 = 2, = 32 = = = 3, 16 = 24 = Các xâu (a, b, c, d) (a, b, c) không có độ dài khác Các xâu (a, b, c) (c, a, b) khơng thứ tự thành phần khác Các thành phần xâu tập hợp, xâu, Ví dụ 1.1.4 Xâu (a, b, {c, d}) xâu (a, b, {d, c}) tập hợp {c, d} {d, c} Xâu không chứa phần tử gọi xâu rỗng, ký hiệu ( ) 1.1.3 Tập hợp thứ tự Định nghĩa 1.1.5 Một tập hợp gọi thứ tự, phần tử xếp theo thứ tự xác định Ví dụ 1.1.6 Sắp thứ tự tập em học sinh lớp theo vần chữ tên, theo điểm trung bình mơn 1.2 Các phép tốn tập hợp 1.2.1 Giao hai tập hợp Định nghĩa 1.2.1 Giao hai tập hợp tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập hợp Giao A B ký hiệu A ∩ B Theo định nghĩa, ta có A ∩ B = {x|x ∈ B x ∈ A} Giải Xét phần tử a ∈ M ⇒ có 2n − 2n−1 = 2n−1 tập M có chứa phần tử a ⇒ chia (2n−1 )2 = 4n−1 cặp hai tập M có chứa a thuộc giao hai tập Vậy phần tử a ∈ M đếm 4n−1 lần ⇒ P |A ∩ B| = n · 4n−1 A⊂M,B⊂M Theo cách giải trên, ta giải tốn tổng qt sau Bài tốn 3.2.5 Cho tập A tập có n phần tử, E tập tất (có thứ tự) (A1 , A2 , , Ak ) Ai ⊂ A, k số tự nhiên cho Chứng minh X k ∩ Ai = n2(n−1)k (A1 ,A2 , ,Ak )∈E i=1 Bài tốn 3.2.6 (Đề thi Tiệp Khắc) Hãy tìm số cặp khác tập không giao thuộc tập hợp n phần tử Đây toán giải trường hè 2006 Sau cách giải theo phương pháp nêu Giải Với số tự nhiên t (t = 1, 2, 3, , n) ta tìm (Ai , Aj ) mà Ai ∩ Aj = ∅, |Ai | + |Aj | = t Gọi A tập n phần tử đề Ta có Cnt cách chọn t phần tử A Mỗi cách chọn t phần tử, ta có Ctk cách chọn từ k phần tử để làm thành tập Ai (t − k) phần tử lại tập Aj Suy số t Ck P t (Ai , Aj ) = 2t−1 Do có cặp (∅, ∅) nên số cặp cần tìm k=0 " n # n X X 3n + Cnt 2t−1 + = Cnt 2t − + = 2 t=1 t=0 Bài tốn 3.2.7 (Đề thi Olympic Châu Á Thái Bình Dương lần 10 1997) Giả sử F tập hợp tất (A1 , A2 , , Ak ) Ai tập {1, 2, , 1998} (i = 1, 2, , k) (k ∈ N cho) Hãy tính X S= |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | (A1 ,A2 , ,Ak )∈F k Giải Đặt n = 1998 Gọi Sk (i) (A1 , A2 , , Ak ) ∈ F mà i ∈ ∪ Aj Do n n−1 có tập A tập A \ {i} ⇒ Sk (i) = 2(n−1)k (2k − 1) ⇒ S = n(2k − 1)2(n−1)k 47 nk j=1 (n−1)k −2 = Theo cách giải tập này, ta đưa số toán sau Bài toán 3.2.8 Cho số tự nhiên n, k Gọi A = {1, 2, 3, , n} (tập hợp n số nguyên dương đầu tiên), Ai ⊂ A, i = 1, 2, , k F tập (A1 , A2 , , Ak ) có thứ tự, E tập (A1 , A2 , , Ak ) khơng có thứ tự Hãy tính 1) S1 = P |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | (A1 ,A2 , ,Ak )∈F 2) S2 = P P a (A1 ,A2 , ,Ak )∈F a∈A1 ∪A2 ∪ ∪Ak 3) S3 = k P P P a (A1 ,A2 , ,Ak )∈F i=1 a∈Ai 4) S4 = P |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | (A1 ,A2 , ,Ak )∈E 5) S5 = P P a (A1 ,A2 , ,Ak )∈E a∈A1 ∪A2 ∪ ∪Ak 6) S6 = P k P P a (A1 ,A2 , ,Ak )∈E i=1 a∈Ai Giải 1) S1 = n(2k − 1)2(n−1)k (kết trên) n n P P n(n + 1) k (2 − 1)2(n−1)k 2) S2 = iSk (i) = i2(n−1)k (2k − 1) = i=1 i=1 3) Để tính S3 với j ∈ N, (1 ≤ j ≤ k) ta tìm số (A1 , A2 , , Ak ) ∈ F mà a ∈ A, a thuộc j tập nên có 2(n−1)k Ckj Vậy S3 = n X k X ja(2 (n−1)k Ckj ) a=1 j=1 = = n X a2 (n−1)k a=1 k X jCkj j=1 n(n + 1) (n−1)k k−1 k2 = n(n + 1)k2nk−2 Tương tự ta tìm S4 , S5 S6 Bài toán 3.2.9 (Đề thi Olympic Tây Ban Nha) Xét tập A thỏa mãn: A gồm 100 số tự nhiên phân biệt cho a, b, c phần tử A (có thể phân biệt khơng) tồn tam giác cạnh a, b, c mà khơng có góc tù Gọi S(A) tổng chu vi tam giác xét xác định tập A Tìm giá trị nhỏ S(A) 48 Giải a1 < a2 < < a100 , ∈ A với i = 1, 2, , n Xét tam giác có ba cạnh a1 , a1 , a100 , suy  2a1 ≥ a100 √ ⇒ 2a21 ≥ a2100 ≥ (a1 + 99)2 ⇒ a1 ≥ (1 + 2)99 ⇒ a1 ≥ 240 a2 + a2 ≥ a2 1 100 Mỗi số cạnh của: tam giác đều; 99 tam giác cân mà hai cạnh bên ; 99 tam giác cân mà cạnh đáy C99 tam giác thường Vậy S(A) = (3 + · 99 + C99 ) 100 X ≥ (3 + 297 + C99 ) i=1 ≥ (300 + C99 ) 100 X (ai + i − 1) i=1 100 X (240 + i − 1) = 149121450 i=1 Bài tốn 3.2.10 Tìm tổng tất số viết dạng thập phân có chữ số tạo thành dãy tăng giảm Bài toán theo cách giải có số sách dài phải dựa vào hai dãy tăng giảm Theo nên tách làm hai sau Định nghĩa 3.2.11 a) Số tự nhiên a có chữ số tạo thành dãy tăng a có chữ số a = ap ap−1 a1 ⇒ ap < ap−1 < < a1 b) Số tự nhiên a có chữ số tạo thành dãy giảm a có chữ số a = ap ap−1 a1 ⇒ ap > ap−1 > > a1 Bài Tìm tổng tất số tự nhiên có chữ số tạo thành dãy tăng Giải Gọi A tập tất số tự nhiên có chữ số tạo thành dãy tăng Với số k, j định, k, j ∈ {1, 2, , 9} ta tìm số số a ∈ A mà hàng j số k Do sau k có − k số lớn k trước k có k − số khác bé k nên số số a S(k, j) = k−1 X j−1 j−1 i Ck−i C9−k = 2k−1 C9−k i=0 Vậy S tổng tất số tạo thành dãy tăng S= 10−k X X S(k, j) · k · 10 j−1 = k=1 j=1 = X k=1 k2 k−1 10−k X X j−1 2k−1 C9−k · 10j−1 k=1 j=1 10−k X j−1 C9−k · 10 j−1 j=1 = X k=1 49 k2k−1 119−k  k 119 X = k = (1110 − 46 · 210 ) 11 81 k=1 Bài Tìm tổng tất số tự nhiên có chữ số tạo thành dãy giảm Giải Gọi B tập tất số tự nhiên tạo thành dãy giảm Tương tự với k, j định, k, j ∈ {1, 2, , k} ta tìm tất số b ∈ B có chữ số k hàng j Vậy số số b 9−k X i C9−k Ckj−1 = 29−k Ckj−1 i=0 nên tổng tất số thuộc B S= k+1 X X 9−k Ckj−1 k10j−1 k=1 j=1 = = X k2 9−k k=1  k X 11 11 = k k k=1 (79 · 1010 + 11 · 210 ) 81 Bài toán 3.2.12 Cho số tự nhiên q, n, k Xét số nguyên c = (α1 , α2 , , αk ) cho q+1 ≤ αi ≤ q+n Gọi m(c) = min{α1 , α2 , , αk }, M (c) = max{α1 , α2 , , αk }, α1 + α2 + + αk T (c) = Tìm k a) S1 tổng tất m(c) lấy theo c b) S2 tổng tất M (c) lấy theo c c) S3 tổng tất T (c) lấy theo c Giải Với số tự nhiên j, (1 ≤ j ≤ n) Số c mà αi nhận giá trị từ q + j đến q + n (n + − j)k số c mà αi nhận giá trị từ q + j − đến q + n (n − j)k Vậy số c có m(c) = q + j (n + − j)k − (n − j)k suy S1 = n X (q + j)[(n + − j)k − (n − j)k ] j=1 k k k k k = (q + 1)n + (n − 1) + (n − 2) + + = qn + n X i=1 b) Tương tự số c mà có M (c) = q + j j k − (j − 1)k suy n n−1 X X k k k S2 = (q + j)[j − (j − 1) ] = (q + n)n − ik j=1 k=1 50 ik c) Mỗi số α ∈ {q + 1, q + 2, , q + n} α có mặt t lần c = (α1 , α2 , , αk ), (1 ≤ t ≤ k) Do có Ckt cách đặt vào t vị trí k vị trí giá trị α cịn lại (k − t) vị trí để đặt (n − 1) số lại khác α nên số lần α xuất tổng S3 là: A= k X Ckt (n − 1) k−t  k X t = (n − 1) t k t=1 i=1 n−1 t Ckt Suy S3 = A q+n X α=q+1 α k  t k X n(2q + + n) n(n − 1)k t = A= (2q + + n) Ckt 2k 2k n − t=0 t k  X n(n − 1)k = (2q + + n) Ckt 2k n − t=0  k−1  k n(n − 1)k (2q + + n) +1 = 2k n−1 n−1 = nk (n + 2q + 1) Bài toán 3.2.13 Cho số tự nhiên n Gọi A = {a = (a1 , a2 , a3 , a4 )|ai ∈ {0, 1, , n}, a1 + a2 = a3 + a4 }, M (a) = max{a1 , a2 , a3 , a4 }, m(a) = min{a1 , a2 , a3 , a4 }, a1 + a2 + a3 + a4 T (a) = P P P Hãy tìm S1 = M (a), S2 = m(a), S3 = T (a), S4 = |A| a∈A a∈A a∈A Giải • Ta tính S1 Với số i ∈ {0, 1, 2, , n} ta tìm số a ∈ A có M (a) = i Ta có cặp có tổng i + j, (0 ≤ j ≤ i) (i, j), (i − 1, j + 1), , (j + 1, i − 1), (j, i) a = (i, j, i − k, j + k), (0 ≤ k ≤ i − j) suy a có M (a) = i + 4i + i−1 X 4(i − j − 1) = 2i2 + 2i + j=0 Từ suy n X n(n + 1) S1 = (2i2 + 2i + 1)i = (3n2 + 7n + 5) i=0 51 • Tính S2 Tương tự số a ∈ A có m(a) = i, (0 ≤ i ≤ n) + 4(n − i) + n X 4(j − i − 1) = 2n2 + 2n + − 2(2n + 1)i + 2i2 j=i+2 Từ suy S2 = n X [2n2 + 2n + − 2(2n + 1)i + 2i2 ]i = i=0 n(n + 1)(n2 + n + 1) • Do a1 + a2 = a3 + a4 ⇒ a1 max ⇔ a2 suy a1 + a2 a1 + a2 + a3 + a4 = = (M (a) + m(a)) 2 n(n + 1)(2n2 + 4n + 3) = • Theo chứng minh tìm S1 ta có S4 = n X  (2i + 2i + 1) = i=0 n+1  (2n2 + 4n + 3) Bài toán 3.2.14 Cho n số tự nhiên đầu tiên: 1, 2, 3, , n (2 ≤ n ≤ 9) Tìm tổng tất số tự nhiên có n chữ số phân biệt từ chữ số 1, 2, , n cho chữ số 1, theo thứ tự đứng cạnh Giải Gọi A tập tất số thỏa mãn đề a = a1 a2 an , ∈ {1, 2, , n} khác aj với i 6= j, (i, j ∈ {1, 2, , n}) • a số thỏa mãn đề nên số số a 2(n − 1)! = |A| • Chữ số vị trí aj (2 ≤ j ≤ n − 1) có 2(n − 2)! số thuộc A • Chữ số vị trí a1 vị trí an có (n − 2)! số thuộc A • Mỗi chữ số k ∈ {3, 4, , n} hàng a1 hàng an có 2(n − 2)! số thuộc A • Mỗi chữ số k ∈ {3, 4, , n} hàng a2 hàng an−1 có 2(n − 3)(n − 3)! số thuộc A Vậy S= X a = (3 + + + n)2(n − 3)(n − 3)!(10n−1 + 10n−2 + + 10 + 1) a∈A + 2(n − 3)!(3 + + + n)(10n−1 + 1) 52 + (1 + 2)(n − 2)!(10n−1 + 10n−2 + + 10 + 1) + (1 + 2)(n − 2)!(10n−2 + 10n−3 + + 10) = (n − 2)! [(10n2 + 9n − 30)10n−1 − n2 + 9n + 3] Bài toán 3.2.15 Cho số tự nhiên n (2 ≤ n ≤ 9) Gọi A tập tất số tự nhiên có n chữ số phân biệt khác chữ số 1, theo thứ tự đứng P cạnh Tìm S = a a∈A Giải Với n chữ số phân biệt 1, 2, a3 , , an theo tổng tất số tự nhiên có n chữ số phân biệt chữ số S1 = (a3 + a4 + + an )2(n − 3)(n − 3)!(10n−1 + 10n−2 + + 10 + 1) + 2(n − 3)!(a3 + a4 + + an )(10n−1 + 1) + (1 + 2)(n − 2)!(10n−1 + 10n−2 + + 10 + 1) + (1 + 2)(n − 2)!(10n−2 + 10n−3 + + 10) Do chữ số thuộc tập hợp {3, 4, , 9} thuộc C6n−3 (1, 2, a3 , , an ) nên S = C6n−3 (3 + + + 9)2(n − 3)(n − 3)!(10n−1 + 10n−2 + + 10 + 1) + C6n−3 2(n − 3)!(3 + + + 9)(10n−1 + 1) + C7n−2 (1 + 2)(n − 2)!(10n−1 + 10n−2 + + 10 + 1) + C7n−2 (1 + 2)(n − 2)!(10n−2 + 10n−3 + + 10) = 7! [(40n − 73)10n−1 − 4n + 37] 3(9 − n)! Sau số tập có cách giải tương tự Bài toán 3.2.16 Cho n + chữ số 0, 1, 2, , n (2 ≤ n ≤ 9) Tìm tổng tất số tự nhiên có n + chữ số phân biệt từ chữ số cho 1, theo thứ tự đứng cạnh Bài tốn 3.2.17 Cho số tự nhiên n (2 ≤ n ≤ 9) Gọi A tập tất số tự nhiên có n chữ số phân biệt thuộc tập hợp {0, 1, 2, , 9} cho 1, theo thứ P tự đứng cạnh Tìm S = a a∈A 53