Bài viết này trình bày một nghiên cứu tổng quan về hướng tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic Mathematics Education, viết tắt là RME) và một phân tích tri thức luận đối với khái niệm phép nhân hai số tự nhiên. Trên cơ sở đó, bài báo phân tích và minh họa các ý tưởng dạy học phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học theo tiếp cận RME. Mời các bạn cùng tham khảo!
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Educational Sciences, 2021, Volume 66, Issue 4, pp 184-196 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2021-0121 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ PHƢƠNG PHÁP LUẬN VỀ DẠY HỌC PHÉP NHÂN HAI SỐ TỰ NHIÊN CHO HỌC SINH TIỂU HỌC Nguyễn Thị Hồng Duyên1 Nguyễn Phú Lộc2 Khoa Sư phạm, Trường Cao đẳng Cộng đồng Sóc Trăng Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ Tóm tắt Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, chủ yếu phương pháp nghiên cứu tài liệu, báo trình bày nghiên cứu tổng quan hướng tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic Mathematics Education, viết tắt RME) phân tích tri thức luận khái niệm phép nhân hai số tự nhiên Trên sở đó, báo phân tích minh họa ý tưởng dạy học phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học theo tiếp cận RME Theo đó, hoạt động dạy học phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học thiết kế theo tiến trình xác định, hướng dẫn giáo viên, học sinh có hội trải nghiệm q trình tốn học hóa để khám phá lại tri thức dạy – phép nhân hai số tự nhiên Có thể thấy rằng, ý tưởng dạy học toán theo quan điểm RME hoàn toàn phù hợp với mục tiêu giáo dục mơn Tốn Việt Nam Cùng với nhiều kết nghiên cứu hiệu RME, kết nghiên cứu trình bày báo góp phần giới thiệu hướng tiếp cận hiệu để dạy học mơn Tốn theo định hướng phát triển lực người học Từ khóa: Giáo dục Tốn thực, RME, tốn học hóa, phép nhân hai số tự nhiên, tiểu học Mở đầu Giáo dục Toán thực (Realistic Mathematics Education) lý thuyết dạy học tốn đặt móng phát triển từ năm 1971, dựa hai quan điểm Freudenthal toán học: toán học hoạt động người (mathematics as human activity) toán học phải kết nối với thực tế (mathematics must be connected with reality) RME Freudenthal cộng phát triển nghiên cứu chiến lược nhằm cải thiện chất lượng dạy học toán trường học Hà Lan Hiệu mà RME mang lại thể rõ qua thành tích mà Hà Lan đạt đánh giá, so sánh quốc tế Toán (PISA TIMSS) RME tiếp tục phát triển Mĩ thành cách tiếp cận toán học ngữ cảnh (Mathematics in Context, MiC) MiC tạo học sinh với thành tích học tập ấn tượng Tiếp đó, MiC RME lan sang Anh với dự án Making Sense of Maths Học sinh từ lớp thuộc dự án có nhiều khả để có câu trả lời xác có nhiều khả tiếp cận câu hỏi theo cách cho thấy học sinh thực hiểu vấn đề (Dickinson, P & Hough, S., 2012) [1] Ở Châu Á, RME phát triển mạnh Indonesia, với phiên Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) PRMI phong trào nhằm cải cách giáo dục toán Indonesia tảng lý thuyết RME Khởi đầu thử nghiệm nhỏ, đến phát triển thành phong trào quốc gia (Sembiring, R., 2010) [2] Có thể thấy, dạy học toán Ngày nhận bài: 9/7/2021 Ngày sửa bài: 26/7/2021 Ngày nhận đăng: 16/9/2021 Tác giả liên hệ: Nguyễn Thi Hồng Duyên Địa e-mail: nthduyen@stcc.edu.vn 184 Một số vấn đề sở phương pháp luận dạy phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học theo RME hướng tiếp cận cho phép học sinh thực hiểu toán phát triển lực toán học Nghiên cứu vận dụng RME vào giáo dục toán Việt Nam bắt đầu xuất từ năm 2005 Nguyễn Thanh Thủy, nghiên cứu vấn đề đào tạo sinh viên sư phạm Toán việc vận dụng RME vào dạy học (Nguyễn Thanh Thủy, 2005) [3] Sau đó, nghiên cứu vận dụng RME vào dạy học thực như: vận dụng RME vào dạy học hình học phẳng lớp (Lê Tuấn Anh, 2007) [4]; vận dụng vận dụng RME vào dạy học hàm số bậc lớp 10 (Mai Hoàn Hảo, 2016) [5] Cho đến nay, lí thuyết RME đề tài quan tâm nghiên cứu nước, nghiên cứu nhằm đưa khuyến nghị cho việc nghiên cứu vận dụng RME Việt Nam, gợi ý cho việc nghiên cứu phát triển chương trình giáo dục tốn học Việt Nam hay nghiên cứu tìm cách kết hợp quan điểm RME lí thuyết tình Didactic Tốn thiết kế kế hoạch dạy học mơn Tốn (Nguyễn Tiến Trung, 2020) [6]; Với chủ trương chương trình nhiều sách giáo khoa, chương trình giáo dục phổ thông hành Việt Nam xây dựng theo hướng mở, tạo điều kiện cho giáo viên phát huy tính chủ động, sáng tạo thực chương trình (Bộ Giáo dục Đào tạo, 2018) [7] Do vậy, sở xem xét số vấn đề sở phương pháp luận dạy học phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học, báo phân tích, minh họa ý tưởng dạy học phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học theo tiếp cận RME Qua đó, kết nghiên cứu góp phần giới thiệu xu hướng dạy học hiệu số nước giới nước quan tâm, góp phần giúp giáo viên thấy rõ ý tưởng cần đảm bảo dạy học tốn nói chung dạy học phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học nói riêng Nội dung nghiên cứu 2.1 Phƣơng pháp nghiên cứu Trong nghiên cứu này, phương pháp nghiên cứu phương pháp nghiên cứu lí luận, chủ yếu phương pháp nghiên cứu tài liệu Hai cơng việc phân tích tài liệu tổng hợp tài liệu, tổng quan lý thuyết RME cách thuật ngữ nguyên lý RME thực phân tích tri thức luận khái niệm phép nhân hai số tự nhiên Trên sở khung lý thuyết tham chiếu có được, chúng tơi thiết kế tiến trình dạy học phép nhân hai số tự nhiên theo tiếp cận RME Đồng thời, chúng tơi phân tích minh họa ý tưởng dạy học tiến trình hoạt động mà giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động, trải nghiệm q trình tốn học hóa để chiếm lĩnh tri thức dạy 2.2 Kết nghiên cứu 2.2.1 Tổng quan RME (Các thuật ngữ nguyên lý RME) * Các thuật ngữ Khám phá lại hướng dẫn (guided reinvention) Freudenthal diễn giải: toán học xem hoạt động việc học toán nên trình khám phá lại hướng dẫn “Khám phá lại” (reinvention) có nghĩa người học khám phá thân người học “Dưới hướng dẫn”, hay “có hướng dẫn” (guided) rõ vai trị giáo viên hướng dẫn, giúp đỡ học sinh khám phá lại tri thức toán dạy Mức độ hướng dẫn nhiều hay tùy thuộc vào trường hợp cụ thể mà người học cần (Freudenthal, 1991) [8] Theo Treffer, việc học sinh khám phá lại tri thức hướng dẫn giáo viên khả thi, tri thức tốn học phát triển từ kiến thức khơng thức người học (Treffer, 1991a) [9] Điều có nghĩa là, cách thực số hoạt động để giải vấn đề gắn với ngữ cảnh (context problems), học sinh có 185 Nguyễn Thị Hồng Duyên Nguyễn Phú Lộc thể sử dụng kiến thức khơng thức họ để khám phá lại toán học Các vấn đề gắn với ngữ cảnh định nghĩa “những vấn đề mà tình vấn đề có thực với học sinh” (Gravemeijer, K & Doorman, M., 1999) [10] Tốn học hóa (mathematization): Tốn học hóa q trình học sinh thực số hoạt động để giải vấn đề gắn với ngữ cảnh, qua khám phá lại tri thức tốn Kết thúc q trình tốn học hóa, học sinh phải khám phá tri thức toán – với thân học sinh Tiến trình khám phá lại Gravemeijer mơ tả thành sơ đồ hình (Gravemeijer,1994) [11] kiến thức tốn học hình thức thuật tốn ngơn ngữ tốn học giải mơ tả vấn đề gắn với ngữ cảnh Hình Tiến trình khám phá lại (Tốn học hóa ngang (- - ); Tốn học hóa dọc ( )) Trong tiến trình này, q trình tốn học hóa phân biệt thành hai loại: tốn học hóa ngang (horizontal mathematization) tốn học hóa dọc (vertical mathematization) Ý tưởng phân loại đề xuất Treffers từ năm 1987 Treffers mơ tả tốn học hóa ngang “đi từ giới sống đến giới biểu tượng”, tốn học hóa dọc “chuyển động nội giới biểu tượng” (Marja van den Heuvel-Panhuizen, 2003) [12] Freudenthal giải thích thêm: giới sống trải nghiệm thực tế, giới biểu tượng liên quan đến trừu tượng Tốn học hóa dọc diễn biểu tượng định hình, định hình lại thao tác giới biểu tượng (Freudenthal, 1991) [8] Theo đó, hiểu hai trình sau: Tốn học hóa ngang q trình người học huy động kinh nghiệm có tri thức tốn biết thân để mơ tả, phát biểu, hình dung vấn đề gắn với ngữ cảnh biểu tượng Các biểu tượng thuộc tốn học (cơng thức tốn, thuật tốn, mơ hình tốn học…) khơng thuộc tốn học (hình vẽ, sơ đồ,…) Tùy theo khả người học, biểu tượng trình bày cách tường minh (ghi ra, vẽ ra,…) chí, người học hình dung, tưởng tượng biểu tượng Trên biểu tượng, người học tiếp tục thực thao tác toán học (sử dụng tri thức tốn biết) để đưa ra/tìm câu trả lời cho vấn đề gắn với ngữ cảnh Quá trình người học thực thao tác tốn học biểu tượng q trình tốn học hóa dọc Freudenthal nhấn mạnh tốn học hóa tốn học hóa thực tế, mảnh thực tế Nhiệm vụ người dạy lựa chọn tình học tập có thực người học phù hợp để tốn học hóa, trước hết tốn học hóa ngang Để lựa chọn tình học tập thực tiễn người học, phù hợp với tốn học ngang, ơng gợi ý nên tìm kiếm từ nguồn nguyên thủy Tuy nhiên, ông cảnh báo rằng, nguồn nguyên thủy nhiều, nhà giáo dục tốn khó đưa lựa chọn đa dạng mà họ tìm thấy Lúc này, ơng cho cách tiếp cận toàn diện cần thiết (Freudenthal, 1991) [8] Gravemeijer gợi ý tìm kiếm từ hiểu biết lịch sử tốn học, lịch sử hình thành phát triển tri thức toán học Điều giúp người dạy bố trí bước trung gian, để nhờ đó, 186 Một số vấn đề sở phương pháp luận dạy phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học tri thức tốn cần dạy khám phá lại (Gravemeijer, 1999) [13] Tương đồng với quan điểm này, Didactic Tốn có khái niệm “phân tích tri thức luận” Phân tích tri thức luận nghiên cứu lịch sử hình thành tri thức nhằm làm rõ nghĩa tri thức, tốn, vấn đề mà tri thức cho phép giải quyết, trở ngại cho hình thành tri thức, điều kiện sản sinh tri thức, bước nhảy cần thiết quan niệm để thúc đẩy trình hình thành phát triển tri thức Phân tích sở cho việc kiến tạo tình dạy học tri thức (Lê Thị Hồi Châu, 2017b) [14] Chúng tơi nhận thấy rằng, phân tích tri thức luận tri thức trước thiết kế tình dạy học tri thức cách tiếp cận toàn diện mà Freudenthal đề cập Trở lại với phạm vi nghiên cứu dạy học phép nhân hai số tự nhiên tiểu học, theo Freudenthal, phép cộng kết hợp vào thực tế người học đóng vai trò nguồn gốc phép nhân Sau trình, tổng số hạng nhận giải phép toán – tiến trình bắt đầu tốn học hóa ngang kết thúc tốn học hóa dọc lần (vật) tốn học hóa ngang sơ đồ hình chữ nhật dịng, dịng có vật Tốn học hóa dọc việc đọc chuỗi 8, 16, 24, 32, 40 (Freudenthal, 1991) [8] Phép nhân hai số tự nhiên bắt đầu dạy lớp Học sinh bước vào giới nhân cách sử dụng vật cụ thể để thực tình nhóm chia vật Có vài tảng cần thiết để học sinh thực tốn học hóa dọc học phép nhân hai số tự nhiên: kinh nghiệm đếm, đếm tới, đếm lùi, đếm nhanh…; nhận biết lực lượng tập; có biểu tượng số tự nhiên; kinh nghiệm gấp đôi giảm nửa số nhỏ * Các nguyên lý RME Nguyên lý thứ khám phá lại có hướng dẫn thơng qua tốn học hóa lũy tiến (guided reinvention through progressive mathematization) Theo nguyên lý này, Gravemeijer cho lộ trình học tập dự đốn (conjectured learning trajectory) phải vạch ra, có dẫn, cho phép học sinh trải nghiệm tiến trình khám phá lại tốn học Gravemeijer lộ trình học tập dự đoán nên trọng vào tự nhiên trình học tập kết (khám phá tri thức toán học) (Gravemeijer, 1994) [11] Để thiết kế lộ trình học tập vậy, Gravemeijer đề nghị người dạy nên xuất phát từ hiểu biết lịch sử toán học, tri thức phát triển để tìm cách bố trí bước trung gian mà nhờ tri thức tốn cần dạy học sinh khám phá lại Ngồi ra, người dạy thiết kế lộ trình học tập cách đưa vấn đề gắn với ngữ cảnh mà có nhiều giải pháp khơng thức Các giải pháp tiếp tục tốn học hóa thành tri thức tốn học (Gravemeijer, 1994, 1997) [11], [15] Nói cách khác, vấn đề gắn với ngữ cảnh đưa vào lộ trình học tập dự đốn phải đảm bảo cho câu trả lời (học sinh tìm cuối q trình tốn học hóa dọc) tiến triển thành tri thức toán học Sau trình giải chuỗi vấn đề gắn với ngữ cảnh, học sinh tự khám phá tri thức (trường hợp lý tưởng) tri thức người dạy thông báo, giới thiệu cách thức Khi đó, tiến trình khám phá lại thực kết thúc Như vậy, hướng dẫn giáo viên, học sinh trải nghiệm q trình tốn học hóa để tích lũy câu trả lời phát triển chúng thành tri thức tốn cần khám phá Vì thế, chuyển ngữ tên nguyên lý thứ RME, cụm từ “progressive mathematization” dịch thành “tốn học hóa lũy tiến” Ngun lý thứ hai nguyên lý tượng học didactic (didactical phenomenology) Nguyên lý ngụ ý rằng, dạy toán, nên tượng học mà có nghĩa với học sinh Để đảm bảo nguyên lý này, người dạy phải cung cấp cho học sinh vấn đề theo ngữ cảnh lấy từ tượng có thật có ý nghĩa học sinh Marja van den Heuvel-Panhuizen giải thích: nhãn “thật” (real) “thực tế” (realistic) RME không đề cập đến vật thể “thực sự” có thật tình “thực 187 Nguyễn Thị Hồng Duyên Nguyễn Phú Lộc sự” có thật mơi trường xung quanh mà cịn đề cập đến tình có vấn đề mà người học tưởng tượng (bản dịch tiếng Hà Lan động từ 'tưởng tượng' 'zich REALISEren') (Marja van den Heuvel-Panhuizen, 2001) [16] Theo Gravemeijer, mục tiêu việc nghiên cứu tượng học tìm tình có vấn đề mà cách tiếp cận tình cụ thể khái qt hóa, tìm tình gợi lên quy trình giải pháp mơ hình, quy trình lấy làm tảng cho tốn học hóa dọc Mục tiêu bắt nguồn từ thật toán học phát triển từ việc giải vấn đề thực tế (Gravemeijer, 1994, 1999) [11], [13] Nguyên lý thứ ba ngun lý mơ hình tự phát triển (self-developed models, emergent models) Nguyên lý đóng vai trò quan trọng việc thu hẹp khoảng cách kiến thức khơng thức kiến thức hình thức Theo đó, người dạy phải tạo hội cho học sinh sử dụng phát triển mơ hình riêng họ họ giải vấn đề ngữ cảnh Lúc đầu, học sinh phát triển mơ hình quen thuộc với họ Sau q trình khái qt hóa thức hóa, mơ hình trở thành mơ hình tổng qt để tiệm cận kiến thức hình thức Gravemeijer gọi trình chuyển đổi từ mơ hình-của (model of) sang mơ hình-cho (model for) (Gravemeijer, 1994, 1999) [11], [13] Sau q trình chuyển đổi, mơ hình sử dụng làm mơ hình cho lý luận tốn học (Treffers, 1991a) [9] 2.2.2 Phân tích tri thức luận khái niệm phép nhân hai số tự nhiên Vì lịch sử hình thành phát triển phép tính với số tự nhiên tách rời lịch sử hình thành phát triển khái niệm số tự nhiên nên chúng tơi trình bày kết phân tích tri thức luận khái niệm số tự nhiên Số tự nhiên nảy sinh từ nhu cầu đếm đồ vật, đếm để xác định số lượng vật dãy đếm để xác định thứ tự vật nằm dãy Cùng với phát triển khái niệm số tự nhiên, phép tính nảy sinh từ nhu cầu tính tốn hoạt động kinh tế, tài chính, đo đạc khoảng cách, thời gian, diện tích, thể tích Theo Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học, xuất trước tiên phép cộng phép trừ, phép tính với tập hợp, dạng gom hai tập hợp làm lấy phần tập hợp Phép nhân có lẽ xuất từ cách đếm nhiều phần (lấy hai, lấy ba, v.v…), phép chia- chia tập hợp phần Số tự nhiên quen thuộc đơn giản thời gian dài, người khơng có nhu cầu định nghĩa thuật ngữ, khái niệm đơn giản Mãi kỉ 19, với phát triển phương pháp tiên đề toán học nhu cầu xem xét lại, phê phán tảng giải tích tốn học, vấn đề sở khái niệm số tự nhiên đặt Vào năm 70 kỉ 19, nhà bác học Đức, Cantor định nghĩa khái niệm số tự nhiên dựa khái niệm tập hợp Năm 1889, nhà bác học Ý, Peano định nghĩa khái niệm số tự nhiên dựa phân tích hệ thức thứ tự - điều mà tiên đề hóa được, hay gọi hệ tiên đề Peano số tự nhiên (Nikolski, 1997) [17] Định nghĩa số tự nhiên Cantor: Mỗi số tự nhiên số tập hợp hữu hạn, tập hợp hữu hạn có số số tự nhiên (Robert R.Stoll, 1963) [18] Với định nghĩa số tự nhiên trên, phép toán cộng nhân số tự nhiên xác định sau: Tổng, , hai số , rời nhau, đại diện cho , Tích, , hai số , , đại diện cho , Hệ tiên đề Peano số tự nhiên (Robert R.Stoll, 1963) [18] Tập hợp số tự nhiên cấu trúc với tập hợp có phần tử ánh xạ từ vào thỏa mãn tiên đề Peano: P1 (phần tử đầu tiên) 188 Một số vấn đề sở phương pháp luận dạy phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học P2 Nếu (phần tử gọi phần tử ) P3 (hai số tự nhiên khơng phần tử kế tiếp) P4 với (0 không phần tử số tự nhiên nào) P5 Nếu thỏa mãn (P5 khẳng định bước rời rạc, số liên tục chuyển từ số sang số liền sau, mang lại tất số tự nhiên) Trong định nghĩa số tự nhiên, Peano xác định cấu trúc logic “phần tử kế tiếp” Chính cấu trúc xác định quan hệ thứ tự phép toán Quan hệ thứ tự : m ; , tập hợp phần tử sinh từ hàm Phép toán cộng : Với số tự nhiên Phép toán nhân : Với số tự nhiên Rõ ràng, phép nhân xác định thông qua phép cộng, phép cộng lặp lại Chẳng hạn: Định nghĩa phép nhân hai số tự nhiên trình bày Từ điển bách khoa phổ thơng – Toán học (Nikolski, 1997) [17] sau: Phép nhân số tự nhiên, phép tính cho phép, ứng với hai số , lập số thứ ba tổng b số hạng, số hạng , tức là: ( số hạng) Về tên gọi thành phần phép nhân kí hiệu phép nhân: , thừa số tích chúng Phép nhân kí hiệu dấu (được nhà bác học Anh Oughtred đưa vào năm 1631) dấu (được nhà bác học Đức Leibniz đưa vào năm 1698); với số kí hiệu chữ cái, người ta bỏ dấu ấy, viết thay viết hay Ngồi ra, tích xem diện tích hình chữ nhật có cạnh 2.2.3 Phân tích minh họa ý tƣởng dạy học phép nhân hai số tự nhiên theo tiếp cận RME * Mơ tả tiến trình dạy học khái niệm phép nhân hai số tự nhiên theo RME Đối tượng người học: học sinh lớp 2, chưa học phép nhân Dựa theo kết nghiên cứu trình bày 2.2.1 2.2.2, thiết kế hoạt động theo tiến trình xác định (Bảng 1), nhằm tạo điều kiện cho học sinh trải nghiệm trình tốn học hóa giải vấn đề gắn với ngữ cảnh “tìm tổng số đối tượng X b nhóm, nhóm có a đối tượng X”, a, b hai số tự nhiên Các giải pháp mà học sinh huy động để giải vấn đề phát triển thành giải pháp “cộng lặp lại” (cộng số hạng nhau), sở để giáo viên giới thiệu tri thức cho học sinh Bước trung gian tiến trình học sinh nhận mối quan hệ hành động “a lấy b lần” với phép tính “a + a + …+ a” (b lần) Từ đó, giáo viên giới thiệu a x b phép toán mới, “a cộng b lần” Ngồi ra, tiến trình nhằm hình thành cho học sinh mơ hình tổng qt cho phép nhân hai số tự nhiên, mơ hình hình chữ nhật tạo khối vuông đơn vị tương ứng với phép nhân hai số tự nhiên, qua học sinh nắm vững tri thức: a x b = a + a + …+ a (b lần) 189 Nguyễn Thị Hồng Duyên Nguyễn Phú Lộc Stt Bảng Tiến trình dạy học phép nhân hai số tự nhiên theo RME Hoạt động Mục tiêu Thơng qua q trình tốn học hóa, HS nhận ra: - Mối quan hệ hành động “a lấy HS giải vấn đề gắn với ngữ b lần” với phép tính “a + a + …+ a” (b lần); cảnh - Tri thức dạy: ngữ cảnh “có b nhóm đối tượng X, nhóm có a đối tượng X”, để tìm tổng số đối tượng X, ta cộng số a lại b lần HS biết a x b phép toán mới, GV giới thiệu khái niệm phép nhân hai viết gọn từ phép toán a + a + …+ a (b lần) số tự nhiên, kí hiệu dấu nhân (“a lấy b lần”) GV giới thiệu mô hình hình chữ nhật tạo khối vng đơn vị (mỗi mơ hình hình chữ nhật tương ứng với phép nhân hai số tự nhiên) Xây dựng cho HS mơ hình tổng qt HS tạo hình chữ nhật từ khối vuông để HS nắm vững tri thức: đơn vị Viết phép nhân tương ứng a x b = a + a + …+ a (b lần) (HS thao tác khối vuông đơn vị để lập bảng nhân: bảng nhân 2, bảng nhân 3, bảng nhân bảng nhân 5) HS xác định/biễu diễn hình chữ nhật ứng với phép nhân cho trước Đếm thêm n Tiếp tục củng cố để HS hiểu rõ khái niệm Giải vấn đề liên quan đến ý nghĩa phép nhân hai số tự nhiên vận dụng vào phép nhân, kĩ thực hành phép nhân giải vấn đề gắn với ngữ cảnh tình thực tiễn Tiến trình xác định Bảng thể nguyên lý thứ ba RME (Hình 2) kiến thức hình thức a x b = a + a + …+ a (b lần) mơ hình cho (model-for) “a lấy b lần” hình chữ nhật tạo thành từ khối vuông đơn vị; mô hình (model-of) mơ hình khơng thức người học giải vấn đề vấn đề gắn với ngữ cảnh (chứa vấn đề tính tổng số hạng nhau) Hình Ngun lý mơ hình tự phát triển dạy học khái niệm phép nhân 190 Một số vấn đề sở phương pháp luận dạy phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học * Minh họa phân tích số hoạt động cụ thể theo tiến trình dạy học khái niệm phép nhân hai số tự nhiên theo cách tiếp cận RME Bảng Hoạt động 1: (Giải vấn đề ngữ cảnh) Chuẩn bị túi quà theo yêu cầu Nhiệm vụ 1: Chuẩn bị 03 túi bánh Mỗi túi có 02 bánh – làm việc nhóm Nhiệm vụ 2: Chuẩn bị túi kẹo Mỗi túi có kẹo – làm việc nhóm Nhiệm vụ 3: Hoàn thành 02 phiếu học tập – làm việc cá nhân Mô tả: Mỗi nhóm thảo luận cử đại diện nhóm lên lấy bánh/kẹo cho có đủ bánh/kẹo cho vào số túi quà theo yêu cầu Luật chơi: Mỗi nhóm có 01 lượt lên lấy bánh Nhóm hồn thành đủ số túi quà đạt yêu cầu nhanh nhất, số bánh/kẹo bị thừa (nếu có) thắng Phân tích: Với quy định thắng nhóm hồn thành nhanh nhất, số bánh/kẹo bị thừa có 01 lượt lên lấy bánh/kẹo nên buộc nhóm phải thảo luận để tìm cách lấy bánh/kẹo nhanh đủ Chúng dự kiến, học sinh thực giải pháp sau để tìm số bánh cần lấy S1: Vẽ tượng trưng túi quà, túi có bánh giấy, chẳng hạn: hình chữ nhật tương trưng cho túi quà, vòng tròn tượng trưng cho bánh, đếm cộng lại; vẽ hình trịn tượng trưng cho túi quà, viết số vào tương trưng cho bánh, cộng số lại S2: Học sinh đếm thêm (2, 4, 6) S3: Học sinh viết ba số cộng Tương tự với nhiệm vụ Chúng ta thấy q trình mơ tả lại vấn đề hình ảnh (vẽ chí, hình dung đầu) dãy số, phép tính q trình tốn học hóa ngang, đếm, cộng q trình tốn học hóa dọc Bảng Minh họa q trình tốn học hóa xảy học sinh giải nhiệm vụ Tốn học hóa ngang Nhiệm vụ Nhiệm vụ Tốn học hóa dọc Đếm hình vẽ Mơ tả lại vấn đề bằng: 2 Đếm thêm 4 4 dãy số tới 2, 4, 4, 8, 12, 16, 20 phép tính 2+2+2 4+4+4+4+4 Cộng Đếm thêm Cộng Phiếu học tập hoạt động thiết kế Hình Hai phiếu giúp học sinh khái quát lại, hình dung lại trình hoạt động nhiệm vụ 2; đồng thời giúp học sinh nhận mối quan hệ hành động “a lấy b lần” với phép tính “a + a + …+ a (b lần)” 191 Nguyễn Thị Hồng Duyên Nguyễn Phú Lộc Hình Phiếu học tập hoạt động Phiếu học tập bước đệm để học sinh dễ dàng hiểu khái niệm phép nhân hai số tự nhiên mà giáo viên giới thiệu hoạt động Hoạt động 2: Giới thiệu phép nhân hai số tự nhiên Giáo viên giới thiệu cho học sinh khái niệm phép nhân hai số tự nhiên, thừa số tích, dấu nhân Nhấn mạnh “a cộng b lần” viết lại thành phép toán mới, a x b Chú ý: a, b hai số tự nhiên cụ thể, lấy ví dụ cách quay trở lại phép nhân xuất hoạt động 1, Sau giới thiệu, hoạt động này, học sinh tiếp tục làm việc cá nhân phiếu học tập (Hình 3) phiếu học tập (Hình 4) Hình Phiếu học tập hoạt động Học sinh thực tốt phiếu học tập 3, tức HS biết chuyển ngữ cảnh “a lấy b lần” hình vẽ thành hai phép toán: phép cộng b lần số a; phép nhân a x b Phiếu học tập học sinh vừa học xong đề khảo sát mức độ khó, phiếu gồm hình vẽ có đến phép nhân để lựa phép nhân với hình đó, giúp học sinh hiểu rõ tri thức dạy Hình Phiếu học tập hoạt động 192 Một số vấn đề sở phương pháp luận dạy phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học Hoạt động 3: Giáo viên giới thiệu mơ hình hình chữ nhật tạo khối vng đơn vị, mơ hình hình chữ nhật tương ứng với phép nhân hai số tự nhiên Giáo viên sử dụng khối vuông đơn vị (math-link cubes) để thao tác cho lớp quan sát Chẳng hạn, Hình vài mơ hình hình chữ nhật cho phép nhân hai số tự nhiên minh họa cho hoạt động cộng lần 2x5 cộng lần 3x4 Hình Các hình ảnh minh họa cho hoạt động Hoạt động 4: Học sinh tạo hình chữ nhật từ khối vuông đơn vị viết phép nhân tương ứng Hình thức: Học sinh làm việc cá nhân theo nhóm, thao tác khối vng đơn vị Phân tích: Tùy theo số khối vng đơn vị phát cho học sinh mà có hình chữ nhật tạo thành Chẳng hạn, phát nhóm 12 khối vng sản phẩm cá nhân học sinh nhóm hình chữ nhật Hình Hình Một số hình ảnh minh họa cho hoạt động Khi học sinh quen với mơ hình hình chữ nhật cho phép nhân hai số tự nhiên, giáo viên cho học sinh làm việc cá nhân làm việc nhóm để tự lập bảng nhân Hoạt động 5: Xác định/ biểu diễn hình chữ nhật ứng với phép nhân cho trước Hình thức tổ chức hoạt động là: học sinh làm việc cá nhân theo nhóm để tạo hình chữ nhật tương ứng với phép nhân cho trước Khi đó, vật liệu khối vng đơn vị Một hình thức khác học sinh tơ màu hình chữ nhật ứng với phép nhân cho trước Vật liệu chuẩn bị Giấy kẻ vng đơn vị, bút chì màu Hình minh họa cho sản phẩm học sinh với phép nhân cho trước x (hình chữ nhật màu đỏ), x (hình chữ nhật/hình vng màu vàng), x (hình chữ nhật xanh lá), x (hình chữ nhật xanh dương), x (hình chữ nhật màu cam) Hình Sản phẩm minh họa hoạt động 193 Nguyễn Thị Hồng Duyên Nguyễn Phú Lộc Hoạt động 6: Đếm thêm n Hình thức: làm việc cá nhân phiếu học tập với yêu cầu đếm thêm n điền số vào trống (như Hình 8); giáo viên tổ chức thành trò chơi tập thể để lớp tham gia Chẳng hạn, với đếm thêm 2, học sinh đứng lên nói số 2, học sinh đứng lên nói số 4, đến hết lớp Tương tự với đếm thêm 3, thêm 4, thêm 12 32 44 80 Hình Đếm thêm viết số thích hợp vào trống Hoạt động 7: Giải vấn đề liên quan đến ý nghĩa phép nhân, kĩ thực hành phép nhân tình thực tiễn Chẳng hạn, toán thuộc hoạt động là: “Hãy cho biết lớp học có học sinh biết: lớp có nhóm, nhóm có học sinh” Ngồi ra, với hoạt động này, giáo viên sử dụng câu hỏi Hình 9, Hình10 Hình Một câu hỏi thuộc hoạt động Hình hình chụp slide trình chiếu thiết kế phần mềm soạn giảng Microsoft Powerpoint Trả lời câu hỏi Hình tức học sinh giải vấn đề ngữ cảnh cách sử dụng hai phép nhân (4x6 5x7) phép so sánh hai số tự nhiên (so sánh 24 35) Hình 10 Một câu hỏi thuộc hoạt động Hình 10 ảnh chụp slide trình chiếu thiết kế phần mềm soạn giảng Microsoft Powerpoint Trả lời câu hỏi Hình 9, tức học sinh giải vấn đề ngữ cảnh cách đếm số lần cộng số lượng 194 Một số vấn đề sở phương pháp luận dạy phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học Kết luận Quan điểm dạy học Toán RME quan điểm dạy học tích cực, người học học thơng qua khám phá lại tri thức, điều thú vị gây hứng thú cho người học Và tri thức chiếm lĩnh hoạt động tự cá nhân người học tri thức trở thành kiến thức lực người học Bên cạnh đó, phân tích tri thức luận tri thức tốn nghiên cứu khơng thể bỏ qua trước nghiên cứu, xem xét, thiết kế hoạt động dạy học tri thức toán Ở nghiên cứu này, cách vận dung quan điểm dạy học toán lý thuyết RME, kết hợp với kết phân tích tri thức luận khái niệm phép nhân hai số tự nhiên, xác định tiến trình dạy học khái niệm phép nhân cho học sinh có hội trải nghiệm q trình tốn học hóa để khám phá lại tri thức tốn học Theo tiến trình xác định với hoạt động, học sinh giải vấn đề ngữ cảnh, hướng dẫn giáo viên giới thiệu khái niệm, xây dựng mô hình tổng qt cho học sinh, q trình tốn học hóa, q trình chuyển đổi từ mơ hình cụ thể sang mơ hình tổng qt diễn học sinh Qua đó, học sinh tái khám phá lại tri thức toán học dạy – phép nhân hai số tự nhiên Các kết nghiên cứu báo góp phần giới thiệu RME để giáo viên tiếp cận vận dụng RME vào dạy học mơn tốn theo định hướng phát triển lực người học Hướng triển khai thực nghiệm tiến trình này, đánh giá mức độ khả thi, hiệu tiến trình thơng qua quan sát lớp học xem xét trình tốn học hóa diễn nào, mức độ tham gia học sinh trình đó, vai trị giáo viên việc hướng dẫn học sinh tái khám phá tri thức toán dạy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dickinson, P & Hough, S., 2012 Using Realistic Mathematics Education in UK classrooms Centre for Mathematics Education [2] Sembiring, R., 2010 Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI): Perkembangan dan Tantangannya IndoMS J.M.E, Vol 1, No 1, pp 11-16 [3] Thuy, N.T., 2005 Learning to teach Realistic mathematics in Vietnam University of Amsterdam [4] Anh, L.T., 2007 Apply Realistic Mathematics Education in Vietnam: Teaching middle school geometry University of Postdam [5] Hao, M.H., 2016 Dạy học hàm số bậc theo RME Luận văn Thạc sĩ Đại học Cần Thơ [6] Tien-Trung, N & Tinh, P.T., 2020 Giáo dục Toán thực (Realistic Mathematics Education): số nghiên cứu lí luận gợi ý cho việc nghiên cứu phát triển chương trình giáo dục tốn học Việt Nam HNUE Journal of Science, Educational Science, Vol 65, issue 4, pp.130-145 [7] Bộ Giáo dục Đào tạo Việt Nam, 2018 Chương trình giáo dục phổ thơng - Chương trình tổng thể [8] Freudenthal, H., 1991 Revisiting mathematics education: China lectures Kluwer Academic Publisher, Netherlands [9] Treffers, A (1991a) Didactical background of a mathematics program for Primary Education In Leen Streefland (Ed.), Realistic Mathematics Education in Primary Schools Utrecht: Freudenthal Institute, Utrecht University 195 Nguyễn Thị Hồng Duyên Nguyễn Phú Lộc [10] Gravemeijer, K & Doorman, M., 1999 Context problems in Realistic Mathematics Education: a calculus course as an example Educational Studies in Mathematics, 39, 111-129 [11] Gravemeijer, K., 1994 Developing realistic mathematics education The Nederlands, Utrecht: Freudenthal Institute [12] Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2003 The didactical use of models in Realistic Mathematics Education: An example from a longitudinal trajectory on percentage Educational Studies in Mathematics, 54, 9-35 [13] Gravemeijer, K., 1999 Developmental research: Fostering a dialectic relation between theory and practice In J Anghileri (Ed.), Principles and Practice in Arithmetic Teaching London: Open University Press [14] Lê Thị Hoài Châu., 2017b Sự cần thiết phân tích tri thức luận nghiên cứu hoạt động dạy học đào tạo giáo viên Kỉ yếu Hội thảo Quốc tế lần thứ Didactic Toán, tr.17-41 NXB ĐHSP TP HCM [15] Gravemeijer, K., 1997 Instructional design for reform in mathematics education In M Beishuizen, K.P.E Gravemeijer, & E.C.D.M van Lieshout (Eds.), The Role of Contexts and Models in the Development of Mathematical Strategies and Procedures Utrecht: Freudenthal Institute [16] Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2001 Mathematics education in the Netherlands: A guided tour, Utrecht: Utrecht University [17] Nikolski, S., 1997 Từ điển Bách khoa phổ thơng - Tốn học Nga: NXB Đại từ điển bách khoa Nga (Bản dịch Hoàng Quý - Nguyễn Văn Ban - Hoàng Chúng - Trần Văn Hạo Lê Thị Thiên Hương, 2010 TP Hồ Chí Minh: NXB Giáo dục VN) [18] Robert, S., 1963 Set theory and logic Inc NewYork: Dover Publications ABSTRACT Some fundamental methodological issues relating to teaching the multiplication of two natural numbers to primary students Nguyen Thi Hong Duyen and Nguyen Phu Loc2 School of Education, Soc Trang Community College School of Education, Can Tho University The article shows an overview of Realistic Mathematics Education (RME) and an epistemological analysis of the multiplication of two natural numbers These results of the study could be considered as fundamental methodological issues relating to teaching the multiplication of two natural numbers to primary students This is theoretical research Based on the theoretical framework, we proposed a process of teaching the multiplication of two natural numbers to primary students according to RME Furthermore, we analyzed and illustrated the process with particular learning activities Throughout doing these learning activities, under the teacher’s guidance, students will have opportunities to experience mathematizing processes to reinvent mathematics - the multiplication of two natural numbers It can be seen that the idea of teaching mathematics under the RME perspective is consistent with the current goal of mathematics education in Vietnam We hope that this article will contribute to introducing an effective approach for teaching mathematics in the orientation of developing learners’ competency Keywords: Realistic Mathematics Education, RME, mathematization, multiplication of two natural numbers, primary 196 ... Hình 9, tức học sinh giải vấn đề ngữ cảnh cách đếm số lần cộng số lượng 194 Một số vấn đề sở phương pháp luận dạy phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học Kết luận Quan điểm dạy học Toán... phép nhân để lựa phép nhân với hình đó, giúp học sinh hiểu rõ tri thức dạy Hình Phiếu học tập hoạt động 192 Một số vấn đề sở phương pháp luận dạy phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học. .. 188 Một số vấn đề sở phương pháp luận dạy phép nhân hai số tự nhiên cho học sinh tiểu học P2 Nếu (phần tử gọi phần tử ) P3 (hai số tự nhiên khơng phần tử kế tiếp) P4 với (0 không phần tử số tự nhiên