ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THẢO CHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG SIMSON VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - HOÀNG THẢO CHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG SIMSON VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - HOÀNG THẢO CHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG SIMSON VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trần Việt Cường THÁI NGUYÊN - 2019 i Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Trần Việt Cường Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K11 (2018 - 2020) Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 Người viết Luận văn HOÀNG THẢO CHI ii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 10 1.9 11 1.10 12 1.11 13 1.12 14 1.13 15 1.14 16 1.15 17 1.16 19 1.17 20 1.18 21 1.19 22 1.20 22 1.21 24 2.1 27 2.2 28 iii 2.3 29 2.4 30 2.5 30 2.6 31 2.7 32 2.8 33 2.9 34 2.10 35 2.11 36 2.12 37 2.13 37 2.14 38 2.15 39 2.16 40 2.17 41 2.18 42 2.19 43 2.20 44 2.21 45 2.22 46 2.23 47 2.24 48 2.25 49 2.26 51 2.27 51 2.28 52 2.29 53 2.30 53 2.31 55 2.32 56 2.33 57 iv 2.34 59 2.35 60 2.36 61 2.37 61 2.38 62 2.39 63 2.40 64 2.41 65 2.42 66 2.43 67 2.44 68 v Mục lục Danh sách hình vẽ ii Chương ĐƯỜNG THẲNG SIMSON 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Đường thẳng Simson 11 Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG SIMSON 26 2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 26 2.2 Chứng minh đồng quy 33 2.3 Chứng minh song song 36 2.4 Chứng minh yếu tố cố định 38 2.5 Một số toán khác 46 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Mở đầu Đường thẳng Simson có nhiều ứng dụng hình học phẳng Các toán liên quan đến đường thẳng Simson tốn hay khó Để giải tốn đó, trước tiên chúng tơi tìm hiểu định nghĩa tính chất đường thẳng Simson Tiếp đó, chúng tơi tìm hiểu việc vận dụng tính chất đường thẳng Simson vào việc giải số dạng toán cụ thể hình học phẳng Với mong muốn tìm hiểu sâu ứng dụng đường thẳng Simson, lựa chọn đề tài nghiên cứu “Một số vấn đề đường thẳng Simson ứng dụng” hướng dẫn PGS TS Trần Việt Cường Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương Đường thẳng Simson Trong chương này, trình bày số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tơi trình bày định lý Simson tính chất đường thẳng Simson Các nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1, 2, 5, 6, 9] Chương Ứng dụng đường thẳng Simson Trong chương này, áp dụng tính chất đường thẳng Simson vào giải số dạng tốn hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Các nội dung chương tham khảo từ tài liệu [3, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 13] Luận văn hình thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Việt Cường Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc học trị suốt q trình học tập, nghiên cứu giúp tơi hồn thành luận văn Tôi gửi lời cám ơn chân thành đến thầy giá khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Tơi xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp động viên, cổ vũ tạo điều kiện để tơi hồn thành nghiệp vụ Chương ĐƯỜNG THẲNG SIMSON Trong chương này, trình bày số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tơi trình bày định lý Simson tính chất đường thẳng Simson 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.1 (Điểm Euler,[9]) Trong tam giác, trung điểm đoạn thẳng thuộc đường cao kẻ từ đỉnh đến trực tâm tam giác gọi điểm Euler Định lý 1.1.2 ([9]) Trong tam giác, chân đường trung tuyến, chân đường cao điểm Euler nằm đường tròn, gọi đường tròn chín điểm hay đường trịn Euler Chứng minh Cho tam giác ABC, gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA, kẻ đường cao AK, BM, CN (K ∈ BC, M ∈ AC, N ∈ AB), H trực tâm tam giác ABC, P, L, T trung điểm AH, BH, CH (O) đường tròn ngoại tiếp ∆DEF AB Do E, F trung điểm BC, AC nên EF đường trung bình AB ∆ABC Suy EF = Do đó, ta có DK = EF Do DK đường trung tuyến tam giác vuông AKB nên DK = Mặt khác, DF ∥ EK Suy DEKF hình thang cân Vì đường trịn (O) qua điểm D, E, F hình thang cân DEKF nên 57 Hình 2.33: Gọi H, H trực tâm tam giác ABC, AEF Hb , Hc hình chiếu F, E AC, AB Ta có H F · H Hb = H E · H Hc suy H thuộc trục đẳng phương (BE) (CF ) Chứng minh tương tự suy HH trục đẳng phương (BE) (CF ) Mà P E · P B = P F · P C nên P, H, H thẳng hàng Do Oa T ⊥ AZ nên T điểm Miquel tứ giác toàn phần M F EC.AZ Suy T có chung đường thẳng Simson với hai tam giác AEF, ABC Do đường thẳng Steiner ảnh đường thẳng Simson qua phép vị tự tâm T tỉ số nên HH đường thẳng Steiner T ứng với hai tam giác AEF, ABC hay P H đường thẳng Steiner P ứng với tam giác ABC Kéo dài AH cắt (O) R suy T R qua Q Ta có ZP · ZK = PZ/(Oa ) = ZB · ZC Suy BP KC tứ giác nội tiếp Gọi U đối xứng P qua M Phép đối xứng tâm M biến đường tròn (BP KC) thành (BLU C) Lại có Q đối xứng với P qua BC nên QU ∥ BC QB = QP = U C hay tứ giác BQU C hình thang cân Vậy năm điểm B, Q, L, U, C thuộc đường trịn 58 Ta có P K ∥ U L nên [ P[ XL = 180◦ − QLU (2.7) Gọi V giao điểm thứ hai P Q với (BQC) W điểm đối xứng với A qua O Do hai đường tròn (BP C) (BQC) đối xứng với qua BC nên P trực tâm tam giác BV C Đồng thời V U qua tâm ngoại tiếp tam giác V BC \ \ nên \ QV U = |V BC − V CB| [ = ACP [ nên V[ \ \ Lại có ABP BA = V[ CA Suy |V BC − V CB| [ − ACB| [ = RAW \ = RT \ [ = |ABC W = QT P Vậy \ [ QV U = QT P (2.8) [ \ hay tứ giác XT P Q nội tiếp đường tròn Từ (2.7) (2.8) suy QT P = QXP (S) [ Ta có ST P = 90◦ − T[ QP = 90◦ − T[ RA = 90◦ − T\ W A = T\ AW Suy ST tiếp tuyến đường tròn (O) [ \ \ Mặt khác, ST X = 90◦ − T P X = T[ ZP = T Y X Suy ST tiếp tuyến đường tròn (XY Z) Vậy hai đường tròn (O) (XY Z) tiếp xúc T _ Bài toán 2.5.14 ([2]) Cho tam giác ABC, M điểm thuộc cung BC không chứa đỉnh A Gọi D, E, H hình chiếu vng góc M BC CA AB cạnh BC, CA, AB Chứng minh = + MD ME MH Chứng minh Áp dụng định lý Simson, ta có H, D, E thẳng hàng Do M HBD, _ \ \ M DEC tứ giác nội tiếp nên M EH = M CB (chắn cung BM ), \ \ M BC = M HE Suy ∆M EH đồng dạng với ∆M CB Kẻ M I ⊥ HE Do đó, ta có BC HE = MD MI \ \ \ \ \ \ Ta có M HD = M BC = M AC, M DH = M BH = M CA (2.9) 59 Hình 2.34: Suy ∆M HD đồng dạng với ∆M AC Suy AC HD = ME MI (2.10) \ \ \ \ \ \ \ Ta có M ED = M CB = M AB, M DE + M CA = 180◦ = M BA + M CA Suy ∆M ED đồng dạng với ∆M AB Suy AB ED = MH MI (2.11) AC AB HD + DE HE Cộng hai vế (2.10) (2.11) ta + = = ME MH MI MI BC CA AB Kết hợp với (2.9) ta có = + MD ME MH _ Bài toán 2.5.15 ([2]) Cho tam giác nhọn ABC, M điểm thuộc cung BC không chứa đỉnh A Gọi D, H hình chiếu vng góc M cạnh AC, AB Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng DH ngắn Chứng minh Hạ M E ⊥ BC Ta có D, E, H thẳng hàng (Định lý Simson) 60 Hình 2.35: \ = DHM \ Do M CDE tứ giác nội Do M HBE tứ giác nội tiếp nên CBM \ = HDM \ tiếp nên BCM Do hai tam giác HDM BCM đồng dạng HM MH HD HD = , M H ≤ M B, suy ≤ 1, suy ≤ Suy BC BM MB BC Do HD ≤ BC Suy HD lớn HD = BC Suy M H = M B, suy M B ⊥ AB hay AB đường kính Vậy M đối xứng với A qua tâm O Bài toán 2.5.16 ([2]) Cho ba điểm A, B, C thuộc đường thẳng M khơng thuộc đường thẳng Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M AB, M BC, M CA M thuộc đường tròn Chứng minh Gọi O1 , O2 , O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M AB, M BC, M CA D, E, F hình chiếu vng góc M cạnh ∆O1 O2 O3 Do M F ⊥ O1 O2 , M D ⊥ O2 O3 , M E ⊥ O3 O1 Suy D, E, F thẳng hàng (Định lý Simson) Theo toán ngược lại, ta có O1 , O2 , O3 , M nằm đường trịn 61 Hình 2.36: Bài tốn 2.5.17 ([2]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi H, K hình chiếu vng góc B AC CD; M, N trung điểm AD HK Chứng minh tam giác BM N tam giác vng Hình 2.37: Chứng minh Từ B kẻ BE ⊥ AD, theo định lý Simson ta có đỉnh B với tam giác ADC có BH ⊥ AC, BK ⊥ CD Suy E, H, K thẳng hàng \ = EKB \ Do BEDK tứ giác nội tiếp nên EDB \ + BCS [ = 180◦ Do BHKC tứ giác nội tiếp nên BHK \ + BCD \ = 180◦ suy BAD \ = BHK \ Mặt khác, BAD Do hai tam giác BHK BAD đồng dạng 62 Do M A = M D N H = N K suy ∆BN K ∆BM D đồng dạng \ \ \ \ \ \ Ta có AM B=M DB + M BD; BN E=N KB + N BK \ \ Suy AM B = BN E Do BEM N tứ giác nội tiếp Do BE ⊥ AD nên BN ⊥ M N Vậy BM N tam giác vng Bài tốn 2.5.18 ([2]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi P, Q, R hình chiếu vng góc D BC, CA, AB Chứng minh P Q = QR [ ADC \ cắt AC đường phân giác ABC Hình 2.38: Chứng minh Theo giả thiết, ta có P, Q, R thẳng hàng (Định lý Simson) \ = DP \ Do DP CQ tứ giác nội tiếp nên DCA R \ = DRP \ Tương tự, ta có DAC Suy ∆DCA ∆DP R đồng dạng, ∆DAB ∆DQP đồng dạng, ∆DBC ∆DRQ đồng dạng DA DR DR QR DP PQ Suy = ; = ; = DC DP DB BC DB BA QR DB DA BC = QR · BA ⇒ = PQ DC P Q BC DB BA DA BA [ Suy P Q = QR = hay đường phân giác ABC DC BC \ cắt AC ADC 63 Bài toán 2.5.19 ([2]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), E điểm (O) Gọi K, L, M, H hình chiếu vng góc E DA, AB, BC, CD Chứng minh H trực tâm tam giác KLM ABCD hình chữ nhật Hình 2.39: Chứng minh Theo giả thiết EK ⊥ AD, EL ⊥ AB, EM ⊥ BC, EH ⊥ CD, từ E kẻ EG ⊥ AC, EF ⊥ BD Theo định lý đường thẳng Simson, ta có ba (K, L, F ), (M, F, H), (K, H, G), (M, L, G) thẳng hàng; [ = AQE, [ Gọi P Q giao điểm EG, EF với đường tròn (O) Suy ABE [ [ suy LF [ [ Suy raKL ∥ AQ LF E = LBE E = AQE Tương tự, ta có M G ∥ BP, DP ∥ KH, CQ ∥ M H Ta có KF ∥ M H ⇔ AQ ⊥ QC, M G ⊥ KH ⇔ BP ⊥ P D [ = 90◦ hay AC đường kính đường Mặt khác, AQ ⊥ QC nên AQC tròn (O) Tương tự, BP ⊥ DP nên BD đường kính đường trịn (O) Do AC, BD đồng thời đường kính đường trịn (O) nên ABCD hình chữ nhật hay H trực tâm ∆KLM [ = 60◦ , AC = b, AB = c (b > c) Bài toán 2.5.20 ([12]) Cho ∆ABC có BAC Đường kính EF đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC 64 M Gọi I J chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AC; H K chân đường vng góc hạ từ F xuống AB, AC Chứng minh IJ ⊥ HK Hình 2.40: Chứng minh Ta thấy HK qua M (đường thẳng Simson) Gọi L giao điểm AE IJ, ta có [ = ECB \ = EBC \ = JAE [ IAE Do ∆AIE = ∆AJE Suy AE ⊥ IJ Mặt khác ta có [ = EF [ \ EAC C = AKH Suy AE ∥ HK Do IJ ⊥ HK Bài tốn 2.5.21 ([4]) Xét điểm A, B, C, D, E thỏa mãn ABCD hình bình hành, bốn điểm B, C, E, D nằm đường tròn Gọi l đường thẳng qua A Giả sử l cắt đoạn DC F BC G Giả sử \ EF = EG = EC Chứng minh l phân giác góc DAB Chứng minh Gọi ME , MD , MC hình chiếu vng góc E lên CB, CD, BD Ta có theo giả thiết ban đầu E thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD, suy MC , MD , ME thẳng hàng (đường thẳng Simson) 65 Hình 2.41: Mặt khác EG = EC = EF nên E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GCF , suy ME , MD trung điểm CG, CF Suy ME MD đường trung bình tam giác CGF Do ta có (ME MD MC ) ∥ (AF ) ≡ (GF ) suy MC trung điểm CA đồng thời trung điểm BD Trong tam giác EBD, EMC đường cao đồng thời đường trung tuyến, suy tam giác EBD cân E, suy EB = BD \ = EDC \ suy tam giác EBME tam giác EDMD Mặt khác EBC nhau, suy EME = EMD ⇒ GC = CF hay ∆CF G cân C, suy [ = CF [ CGF G [ = GF [ \ [ =F \ Mà BAF C, F AD = F[ GC ⇒ BAF AD, suy F A phân giác \ hay l phân giác góc BAD \ góc BAD Bài toán 2.5.22 ([4]) Cho tam giác ABC với BA > AC Gọi P giao điểm b Dựng đường trung trực BC đường phân giác góc A điểm X AB Y AC cho P X vng góc với AB P Y vng BZ góc với AC Gọi Z giao điểm XY BC Xác định giá trị tỉ số ZC Chứng minh Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Giả sử đường phân [ cắt đường tròn R giác BAC [ = 2BAR [ = 2CAR [ = COR [ Như thế, BR = CR điểm R nằm Ta có BOR trung trực BC 66 Hình 2.42: Vậy R ≡ P tứ giác ABCP nội tiếp Các điểm X, Y, M chân đường vng góc hạ từ P xuống cạnh ∆ABC Từ theo định lý Simson, điểm X, Y, M thẳng hàng Như ta có M ≡ Z BZ = ZC = BM = M C = BZ Vậy = ZC Bài toán 2.5.23 ([6]) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, đường đối trung AD (D ∈ BC) Qua D kẻ đường thẳng cắt AC, AB E, F cho D trung điểm EF Gọi K trực tâm tam giác AEF a) Chứng minh đường trịn đường kính AK tiếp xúc với đường tròn (O) b) Chứng minh đường trịn đường kính AK tiếp xúc với đường trịn (BHC) [ Chứng minh a) Gọi M trung điểm BC Do AM AD đẳng giác BAC D trung điểm EF nên tứ giác F BEC nội tiếp ∆AF E ∼ ∆ACB Do b nên K ∈ AO Suy (AK) tiếp xúc với AH AO đẳng giác góc A đường trịn (O) A b) Cách Gọi T hình chiếu H AM Ta chứng minh (AK) (BHC) tiếp xúc T Gọi X, Y, Z trung điểm AD, BE, CF AD cắt BE, CF V, W ; BE cắt CF R 67 Hình 2.43: Ta có (RW F C) = (RV BE) = −1 nên theo hệ thức Maclaurin, RV · RY = RB · RE = RF · RC = RW · RZ Suy tứ giác V W ZY nội tiếp Theo hệ thức Newton, XY · XZ = XV · XW = XA Do AY, AZ đẳng [ nên ta thu AZX \ = XAY \ = ZAM \ hay AM ∥ XZ giác BAC Do XZ đường thẳng Gauss-Newton tứ giác toàn phần ABDE.F C nên XZ vng góc với đường thẳng Steiner HK Suy AM ⊥ HK hay HK qua T Gọi Q giao điểm thứ hai (AH) với đường trịn (O) HT cắt BC L Ta có Q, H, M thẳng hàng H trực tâm tam giác ALM nên L, A, Q thẳng hàng Suy LH · LT = LA · LQ = LB · LC nên T ∈ (BC) Gọi G điểm đối xứng với A qua M , J tâm (BHC) Ta có J O đối xứng với qua BC nên G ∈ (BHC) JG ∥ AO Vậy T tâm vị cự hai đường tròn (AK) (BHC) hay hai đường tròn tiếp xúc T Cách Theo cách 1, hai đường trịn đường kính AK (BHC) tiếp xúc ta chứng minh HK ⊥ AM [ [ = BF \ Kéo dài AD cắt đường tròn (O) P Ta có BP A = BCA D Suy P điểm Miquel tứ giác toàn phần ABDE.CF Do H, K trực tâm tam giác ABC, AEF nên HK đường thẳng 68 Hình 2.44: Steiner tứ giác tồn phần ABDE.CF hay đường thẳng Steiner điểm Miquel P ứng với tam giác ABC Kẻ P X ⊥ AB, P Y ⊥ AC Suy XY đường thẳng Simson P ứng với tam giác ABC Ta thu XY ∥ HK Mặt khác, ta có AP đường kính (AXY ), AM đẳng giác với AP [ nên AM ⊥ XY Vậy AM ⊥ HK BAC Khi hai đường trịn đường kính AK (BHC) tiếp xúc 69 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau: Trình bày số kiến thức chuẩn bị kiến thức cần thiết phục vụ cho việc chứng minh toán liên quan đến đường thẳng Simson Trình bày định nghĩa, số tính chất thú vị đường thẳng Simson tam giác ứng dụng Luận văn cố gắng đưa lời bình, đưa lời giải tường minh so với lời giải toán tài liệu tham khảo Ngoài ra, luận văn tiến hành phân dạng số dạng toán liên quan tới đường thẳng Simson tam giác 70 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Ngô Quang Dương (2016), Đường thẳng Simson, Tạp chí Epsilon số [2] Nguyễn Bá Đang (2016), Những định lí chọn lọc hình học phẳng toán áp dụng, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Nguyễn Bá Đang, 279 Bài toán hình học phẳng Olympic nước, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [4] Vũ Văn Đức (2011), Một số định lý hình học tiếng áp dụng, Luận văn Thạc sĩ toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên [5] Nguyễn Duy Khương (2018), Tìm tịi sáng tạo số chủ đề Hình học phẳng, Lưu hành nội [6] Nguyễn Văn Linh (2018), 108 tốn hình học sơ cấp, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Ong Thế Phương, Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner điểm anti-Steiner http://123doc.org/document/1979322-duong-thang-simsonduong-thang-steiner-va-diem-antisteiner.htm [8] Võ Tiến Trình, Đường thẳng Simson, toanth.net http://toanth.net/dinhli-ve-duong-thang-simson-chuyen-toan-lop-9/ [9] Trần Trung, Trần Việt Cường, Trần Xuân Bộ (2015), Một số tính chất đặc biệt tam giác, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 71 [10] Đoàn Quốc Việt, Đường thẳng Simson tam giác http://thcsgiovietgl.quangtri.edu.vn/ upload/32390/20181110/ Duong_thang_Simson_trong_tam_giac.pdf [11] Huy Cao’s Blog, Đồng quy, định lí Simson https:// julielltv.wordpress.com/category/su-thang-hang-cac-duong-dong-quy/ [12] Diễn đàn MathScope.org, Tuyển tập tốn hình học phẳng http://www.mathscope.org/showthread.php?t=24911&langid=1 Tiếng Anh [13] Nguyễn Văn Linh (2016), “Another Synthetic Proof of Dao’s Generalization of the Simson Line Therem”, Forum Geometricorum, Vol 16, pp 57-61