ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ BÁ LONG NHẬT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU LIÊN HỢP VÀ LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU LAGRANGE Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ BÁ LONG NHẬT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU LIÊN HỢP VÀ LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU LAGRANGE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Dương Thị Việt An THÁI NGUYÊN - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Möc löc Danh mửc kỵ hiằu M Ưu Lới cÊm ỡn Kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 1.4 Têp lỗi v Hm lỗi H m li¶n hđp v mët số tẵnh chĐt Dữợi vi phƠn cừa hm lỗi Mët sè k¸t qu£ bê trđ Mởt số vĐn à và lỵ thuyát ối ngău 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 PhĂt biu bi toĂn ối ngău li¶n hđp ối ngău Lagrange Vẵ dử v Ăp dửng sỡ ỗ ối ngău p dửng tẵnh toĂn dữợi vi phƠn Kát luên 11 13 14 17 17 20 24 27 31 35 Danh mửc kỵ hi»u R R R+ X∗ ∅ ∀x ∃x M ∩N |x| ||x|| B X (0, 1) int A inf f (x) x∈K sup f (x) x∈K δΩ (·) epi f dom f hx , xi trữớng số thỹc têp số thỹc suy rởng têp số thỹc khổng Ơm khổng gian liản hủp ( ối ngău) cừa X têp rộng vợi mồi x tỗn tÔi x giao cừa hai têp hủp M v N gi¡ trà tuy»t èi cõa x chu©n cõa vctỡ x hẳnh cƯu ỡn v õng X phƯn cõa tªp A infimum cõa tªp sè thüc {f (x) | x ∈ K} supremum cõa tªp sè thüc {f (x) | x ∈ K} h m ch¿ cõa tªp trản ỗ th cừa hm f miÃn hỳu hiằu cừa hm f giĂ tr cừa phiám hm x tÔi x ∂f (x) f∗ f ∗∗ l.s.c N (x) val(P ) dữợi vi phƠn cừa hm lỗi f tÔi x h m li¶n hđp cõa h m f h m li¶n hđp thự hai cừa hm f nỷa liản tửc dữợi hồ cĂc lƠn cên cừa x têp cĂc giĂ tr tối ữu cừa bi toĂn P M Ưu Lỵ thuyát ối ngău l mởt bở phên quan trồng cừa lỵ thuyát tối ữu hoĂ Tữỡng ựng vợi mội bi toĂn Quy hoÔch tuyán tẵnh (cỏn gồi l bi toĂn gốc) cõ mởt bi toĂn ối ngău Bi toĂn gốc v bi toĂn ối ngău cõ mối liản hằ qua lÔi vợi nhau, tẵnh chĐt cừa bi toĂn ny cõ th ÷đc kh£o s¡t thỉng qua b i to¡n Nhi·u quy trẳnh tẵnh toĂn hay phƠn tẵch ữủc hon thiằn xem x²t c°p b i to¡n gèc v b i to¡n èi ngău mội quan hằ cht ch cừa chúng, mang lÔi nhỳng lủi ẵch viằc giÊi quyát cĂc vĐn à phĂt sinh tứ thỹc tá Bi toĂn quy hoÔch toĂn hồc cĂc khổng gian vổ hÔn chiÃu  ữủc nghiản cựu tứ giỳa thá k trữợc, bưt Ưu vợi mổ hẳnh bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh vổ hÔn chiÃu NhiÃu bi toĂn tối ữu cĂc khổng gian hm, cõ cĐu trúc phực tÔp, nhữ bi toĂn iÃu khin tối ữu v bi toĂn bián phƠn cõ th ữa và bi toĂn quy hoÔch toĂn hồc khổng gian vổ hÔn chiÃu Php tẵnh vi phƠn l mët nhúng · t i cì b£n nh§t cõa gi£i tẵch cờ in Trong giÊi tẵch lỗi, lỵ thuyát ny lÔi cng tr nản phong phú nhớ nhỳng tẵnh chĐt c biằt cừa têp lỗi v hm lỗi Dữợi vi ph¥n l kh¡i ni»m mð rëng cho kh¡i ni»m Ôo hm hm khổng khÊ vi iÃu ny cho thĐy vai trỏ cừa dữợi vi phƠn giÊi tẵch hiằn Ôi cụng cõ tƯm quan trồng nhữ vai trỏ cừa Ôo hm giÊi tẵch cờ in Trong Lỵ thuyát tối ữu nõi chung v GiÊi tẵch lỗi nõi riảng, cĂc quy tưc tẵnh tờng dữợi vi phƠn cừa cĂc hm lỗi, chẵnh thữớng cõ vai trỏ hát sực quan trång, °c bi»t l ta l m vi»c vỵi cĂc bi toĂn tối ữu cõ rng buởc Mửc ẵch cừa luên vôn l nghiản cựu lỵ thuyát ối ngău liản hủp v lỵ thuyát ối ngău Lagrange cho bi toĂn quy hoÔch lỗi cõ tham số khổng gian Banach Tứ õ Ăp dửng lữủc ỗ ối ngău nghiản cựu quy tưc tẵnh tờng dữợi vi phƠn cừa cĂc hm lỗi, chẵnh thữớng dữợi nhỳng iÃu kiằn chẵnh quy thẵch hủp Nởi dung cừa luên vôn ữủc dch Ti¸ng Vi»t mët sè nëi dung tø mưc 2.5 Duality Theory cuèn s¡ch chuy¶n kh£o "Perturbation Analysis of Optimization Problems" (Springer, New York, 2000) cõa c¡c t¡c gi£ J F Bonnans and A Shapiro [3] Trong qu¡ tr¼nh nghiản cựu tĂc giÊ cụng tẳm hiu, tờng hủp cĂc kián thực cỡ bÊn liản quan v cố gưng diạn Ôt chi tiát chựng minh cừa cĂc mằnh à v cĂc nh lỵ Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, phƯn kát luên, danh mửc ti liằu tham khÊo, v hai chữỡng cõ nởi dung nhữ sau: Chữỡng 1: Kián thực chuân b nhưc lÔi mởt số khĂi niằm v kián thực cỡ bÊn và têp lỗi, hm lỗi, hm liản hủp mởt số kát quÊ bờ trủ nhơm phửc vử cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ chữỡng sau Chữỡng 2: Mởt số vĐn à và lỵ thuyát ối ngău trẳnh by hai cĂch tiáp cên và lỵ thuyát ối ngău: ối ngău liản hủp v ối ngău Lagrange Vẵ dử v Ăp dửng sỡ ỗ ối ngău cụng ữủc nghiản cựu chữỡng ny c biằt, phƯn cuối chữỡng, mởt kát quÊ và quy tưc tẵnh toĂn dữợi vi phƠn cừa tờng hai hm lỗi, nỷa liản tửc dữợi, chẵnh thữớng thu ữủc bơng cĂch Ăp dửng sỡ ỗ ối ngău Lới cÊm ỡn Luên vôn ny ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa TS Dữỡng Th Viằt An Em xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi Cổ  hữợng dăn hiằu quÊ v truyÃn cho em nhỳng kinh nghiằm nghiản cựu quĂ trẳnh em hồc têp v hon thiằn luên vôn ny Em cụng xin chƠn thnh c£m ìn c¡c th¦y cỉ Khoa To¡n - Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho em suốt quĂ trẳnh em hồc têp trữớng ThĂi Nguyản, ngy 16 thĂng nôm 2020 Hồc viản Lả BĂ Long Nhêt Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, chúng tổi nhưc lÔi mởt số khĂi niằm v kián thực cỡ bÊn và têp lỗi, hm lỗi, hm liản hủp mởt số kát quÊ bờ trủ nhơm phửc vử cho viằc chựng minh cĂc kát qu£ cõa ch÷ìng sau Nëi dung cõa ch÷ìng ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2] v [3] 1.1 Têp lỗi v Hm lỗi GiÊ sỷ X l khổng gian Banach vợi khổng gian ối ngău tữỡng ựng l X ∗, D ⊂ X, f : D → R = R {} CĂc têp hủp dữợi Ơy: epif := {(x, α) ∈ D × R | f (x) ≤ α}, domf := {x ∈ D | f (x) < +}, lƯn lữủt ữủc gồi l trản ỗ th v mi·n húu hi»u cõa h m f H m f ÷đc gồi l chẵnh thữớng náu domf 6= v f (x) > , x D nh nghắa 1.1 Têp A X ữủc gồi l lỗi náu x, y ∈ A, ∀λ ∈ (0, 1) ⇒ λx + (1 )y A Quy ữợc: Têp l têp lỗi Vẵ dử 1.1 Trong khổng gian hỳu hÔn chiÃu, mt phng, oÔn thng, ữớng thng, tam giĂc, hẳnh cƯu l cĂc têp lỗi Mằnh à 1.1 (xem [1, trang 4]) Gi£ sû Aα ⊂ X(α ∈ I) l cĂc têp lỗi, vợi I l têp ch số bĐt ký Khi â A = T Aα α∈I công l têp lỗi Mằnh à 1.2 (xem [1, trang 4]) GiÊ sû tªp Ai λi ∈ R, 1, m ∈ X l cĂc têp lỗi, Khi õ 1A1 + à à à + mAm l têp lỗi Mằnh à 1.3 (xem [1, trang 4]) Gi£ sû Xi l khỉng gian tuy¸n tẵnh, têp Ai Xi lỗi (i = 1, n) Khi õ, tẵch à cĂc A1 ì A2 ì ì An l têp lỗi X1 ì X2 ì ì Xn nh nghắa 1.2 Hm f : D R ữủc gồi l lỗi trản D náu epif l têp lỗi X ì R Mằnh à 1.4 (xem [1, trang 40]) Cho f : X → (−∞, +] Khi õ f l hm lỗi náu v ch n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1) (1.1) Chùng minh ⇒) V¼ f l hm lỗi nản epif l têp lỗi Khi õ vợi måi (x, r) ∈ epif , (y, s) ∈ epif , λ ∈ (0, 1), ta câ λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y, λr + (1 − λ)s) ∈ epif ⇔ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s ⇔ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), (l§y r = f (x), s = f (y)) N¸u x ho°c y khỉng thc domf th¼ f (x) = +∞ ho°c f (y) = + Khi õ (1.1) úng ) Ngữủc lÔi giÊ sỷ (1.1) óng L§y (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif , vợi mồi thẳ ta cõ v(u) hu∗ , ui − v ∗ (u∗ ) Theo M»nh · 2.2, v(u) = hu∗ , ui − v ∗ (u ) náu v ch náu u v(u) Vẳ v∗(u∗) = ϕ∗ (0, u∗), i·u n y suy r¬ng u l mởt nghiằm tối ữu cừa (Du) náu u ∈ ∂v(u) v tr÷íng hđp â val (Pu) = val (Du), v ngữủc lÔi Do õ (i) v (ii) x£y Hìn núa, theo M»nh · 2.4, ta câ S(Du ) = ∂v ∗∗ (u) V¼ v(·) l kh£ dữợi vi phƠn tÔi u, nản tứ Mằnh à 1.8 ta công câ ∂v∗∗(u) = ∂v(u), v â (i) xÊy Náu v(u) = v(u), thẳ mởt lƯn nỳa ∂v∗∗(u) = ∂v(u), v â (ii) x£y N¸u val (Pu) = val (Du) v gi¡ trà n y húu hÔn, thẳ ró rng tứ nhỳng lêp luên trản, x X v u U lƯn lữủt l c¡c nghi»m tèi ÷u cõa (Pu ) v (Du ) n¸u v ch¿ n¸u i·u ki»n (2.4) óng Hìn núa, ta cụng thĐy rơng, náu (2.4) úng thẳ val (Pu) = val (Du), v â (iii) x£y nh nghắa 2.1 Ta nõi rơng bi toĂn (Pu) tắnh náu val(Pu) hỳu hÔn v hm giĂ tr tối ữu v(Ã) khÊ dữợi vi tÔi u, nghắa l v(u) 6= Tứ nh lỵ 2.1, ta cõ kát quÊ sau Mằnh à 2.5 GiÊ sỷ rơng val(Pu) hỳu hÔn Náu (Pu) tắnh Khi õ khổng cõ khoÊng cĂch ối ngău giỳa (Pu) v (Du), v têp nghiằm tối ữu cừa bi toĂn ối ngău (Du) khĂc rộng Ngữủc lÔi, náu khoÊng cĂch ối ngău giỳa (Pu ) v (Du ) bơng khổng, thẳ bi toĂn ối ngău (Du ) cõ mởt nghiằm tối ữu náu v ch náu (Pu) tắnh 22 nh lỵ 2.2 ( nh lỵ ối ngău) GiÊ sỷ rơng (x, u) l lỗi, chẵnh thữớng, hm giĂ tr tối ữu v(u) = val(Pu) hỳu hÔn v liản tửc tÔi u U Khi õ val(Pu ) = val(Du¯ ), S(Du¯ ) 6= ∅, v hìn núa S(Du ) = v( u) Chựng minh Vẳ v(Ã) lỗi v liản tửc tÔi u nản theo nh lỵ 1.3 ta cõ v(u) khĂc rộng Do õ, theo nh lỵ 2.1 (i), ta thu ữủc iÃu cƯn chựng minh iÃu kiằn v(Ã) liản tửc tÔi u ữủc xem nhữ mởt iÃu kiằn chẵnh quy Cõ th viát iÃu kiằn ny dữợi nhiÃu dÔng tữỡng ữỡng Vẵ dử, náu v(Ã) l lỗi v val(Pu) hỳu hÔn thẳ iÃu kiằn ny tữỡng ữỡng vợi iÃu kiằn val(Pu) b chn trản mởt lƠn cên cừa u Hỡn nỳa, náu U l khổng gian hỳu hÔn chiÃu thẳ v(Ã) liản tửc tÔi u n¸u v ch¿ n¸u u¯ ∈ int(dom v) N¸u X, U l cĂc khổng gian Banach thẳ ta cõ kát qu£ sau M»nh · 2.6 Cho X, U l c¡c khổng gian Banach GiÊ sỷ rơng hm l chẵnh thữớng, lỗi, nỷa liản tửc dữợi v v(u) hỳu hÔn Khi õ v(Ã) l liản tửc tÔi u náu v ch náu u int(dom v) (x, u) Vẵ dử 2.1 Cho x = (x1, x2) ∈ R2, u ∈ R v ϕ(x, u) := x1 , −x1 + ex2 + u 0, +∞, c¡c tr÷íng hủp khĂc Vợi mồi u R, cĂc giÊ thiát cừa nh lỵ 2.2 thọa mÂn v v(u) = u vỵi måi u ∈ R Ngo i ra, ϕ∗ (0, u∗ ) := v ∗ (u∗ ) = 0, u∗ = 1, +∞, c¡c tr÷íng hđp kh¡c; vêy khổng cõ khoÊng cĂch ối ngău giỳa (Pu) v (Du); v S(Du) = {1} 23 2.3 ối ngău Lagrange Trong mửc ny chúng tổi trẳnh by cĂch tiáp cên ối ngău dũng hm Lagrange PhƯn cuối chúng tổi cụng ch mối quan hằ giỳa ối ngău liản hủp (Mửc 2.2) v ối ngău Lagrange Cho KX X, KY ⊂ Y l c¡c tªp hđp kh¡c réng bĐt kẳ Ta xt cp bi toĂn gốc v bi toĂn ối ngău thổng qua hm L : KX ì KY → R, ÷đc x¡c ành nh÷ sau sup x∈KX y∈KY L(x, y), (P L) L(x, y) (DL) max inf y∈KY x∈KX Ta gåi L l h m Lagrange t÷ìng ựng vợi cĂc bi toĂn trản Hiằu số giỳa val(P L ) − val(DL ) (khi val(P L ) v val(DL ) khổng nhên giĂ tr vổ hÔn) ữủc gồi l khoÊng cĂch ối ngău tữỡng ựng vợi cp bi toĂn ối ngău trản Ta nõi rơng (x, y) KX ì KY l mởt im yản ngüa cõa h m L(x, y) n¸u L(¯x, y¯) ∈ R v : L(¯x, y) ≤ L(¯x, y¯) ≤ L(x, y¯), ∀(x, y) KX ì KY nh lỵ 2.3 (i) Ta câ val(DL) ≤ val(P L) Hìn núa kho£ng c¡ch ối ngău val(DL) val(P L) (náu nõ xĂc nh) l khỉng ¥m (ii) H m L(x, y) câ mët iºm yản ngỹa náu v ch náu cĂc bi toĂn (DL)v (P L ) câ cịng gi¡ trà tèi ÷u v têp nghiằm tối ữu cừa mội bi toĂn l khĂc rộng Trong trữớng hủp ny, têp hủp cĂc im yản ngỹa ữủc kẵ hiằu S(P L ) ì S(DL ) 24 Chựng minh (i) LĐy (x, y) KX ì KY bĐt kẳ Khi õ inf L(x, y) L( x, yˆ) ≤ sup L(ˆ x, y) x∈K y∈K X Y v sup inf y∈Ky x∈KX L(x, y) ≤ x∈K inf sup X y∈KY L(x, y) Tø â, suy b§t ¯ng thùc val(DL) ≤ val(P L), v â khoÊng cĂch ối ngău l khổng Ơm (ii) GiÊ sỷ rơng tỗn tÔi mởt im yản ngỹa (x, y) Khi â sup y∈KY L(¯x, y) ≤ L(¯x, y¯) ≤ x∈K inf L(x, y) X Thỹc tá thẳ cĂc bĐt ng thực trản chẵnh l cĂc ng thực, bi vẳ cên trản úng v cên dữợi úng lƯn lữủt thu ữủc vợi y v x, vẳ vêy L ( x, y) = L(¯ x, y¯) = inf L(x, y¯) ≤ val(DL ) x∈K y∈K M°t kh¡c, v¼ val(DL) ≤ val(P L) n¶n val(DL) = L(¯x, y¯) = val(P L) val(P L ) ≤ sup X Y Hìn núa, L val(P L ) = (¯ x, y¯) = sup v y∈KY L val(DL ) = (¯ x, y¯) = inf x∈KX L(¯x, y) L(¯x, y) Hay nâi c¡ch kh¡c x¯ ∈ S(P L) v y S(DL) tữỡng ựng BƠy giớ ta s ch rơng giĂ tr tối ữu cừa bi toĂn gốc v bi toĂn ối ngău l bơng nhau, v n¸u x¯ ∈ S(P L) v y¯ ∈ S(DL), thẳ (x, y) l mởt im yản ngỹa cừa L iÃu ny cho thĐy rơng iÃu kiằn ny l iÃu kiằn ừ, v tứ õ têp hủp cĂc im yản ngỹa l S(P L) ì S(DL) Thêt vêy, vẳ val(DL ) = inf x∈KX L(x, y¯) ≤ L(¯x, y¯) ≤ y∈K sup L(¯ x, y) = val(P L ), Y 25 v gi¡ trà tèi ÷u cõa b i to¡n gèc v bi toĂn ối ngău l bơng nhau, ta cõ L(¯x, y¯) = x∈K inf L(x, y¯) ≤ L(x, y¯), ∀x ∈ KX X T÷ìng tü, ta cơng câ L(¯x, y¯) = y∈K sup L(x, y¯) ≥ L(¯ x, y), ∀y ∈ KY Y Khi â (¯x, y¯) l im yản ngỹa thĐy ữủc quan hằ giỳa ối ngău Lagrange v ối ngău liản hủp, ta x²t h m sau, h m n y câ thº ÷đc xem l h m Lagrange cõa c°p b i to¡n gèc (Pu) v b i toĂn ối ngău (Du) tữỡng ựng, L(x, u , u) := hu∗ , ui − ϕ∗u (x, u∗ ) , õ, vợi x cho trữợc, u l liản hủp cõa h m ϕ theo bi¸n u: ϕ∗u (x, u∗ ) = sup {hu∗ , u0 i − ϕ(x, u0 )} u0 ∈U Khi â ta câ inf L(x, u∗ , u) = hu∗ , ui − x∈X sup {hu∗ , u0 i − ϕ(x, u0 )} , (x,u0 )∈X×U v â inf L(x, u∗ , u) = hu∗ , ui (0, u ) xX Vêy nản, bi toĂn ối ngău (Du) tữỡng ữỡng vợi max u∗ ∈U ∗ inf L(x, u∗ , u) x∈X M°t kh¡c, ta câ sup L(x, u∗ , u) = sup {hu∗ , ui − ϕ∗u (x, u∗ )} = ϕ∗∗ u (x, u) u∗ ∈U ∗ u∗ ∈U 26 Chú ỵ rơng u , vẳ vêy val(Du ) = sup inf L(x, u∗ , u) inf sup L(x, u∗ , u) u∗ ∈U ∗ x∈X x∈X u∗ ∈U ∗ = inf ϕ∗∗ u (x, u) val(Pu ) x∈X Ngo i ra, n¸u h m ϕ(x, ·) lỗi v õng vợi mồi x X , theo nh lẵ FenchelMoreau ( nh lỵ 1.2), ta cõ sup L(x, u∗ , u) = ϕ(x, u), u∗ ∈U ∗ v¼ vêy bi toĂn gốc (Pu) cõ th viát dữợi dÔng x∈X sup L(x, u , u) u U Suy rơng náu (x, Ã) l mởt hm lỗi, nỷa liản tửc dữợi, chẵnh thữớng thẳ bi toĂn (Pu) v (Du) cõ ữủc nhớ thay êi thù tü â c¡c to¡n tû "max" v "min" ữủc Ăp dửng cho hm ối ngău Lagrange L(x, u, u) Tực l, trữớng hủp ny, ối ngău liản hủp trũng vợi ối ngău Lagrange, v náu x, u lƯn lữủt l nghiằm tối ữu cừa bi toĂn gốc v ối ngău, v cĂc giĂ tr cừa cĂc bi toĂn ny bơng nhau, thẳ (x, u) l mởt iºm y¶n ngüa cõa L(·, ·, u), tùc l sup L(¯ x, u∗ , u) = L(¯ x, u¯∗ , u) = inf L(x, u¯∗ , u) x∈X u∗ ∈U 2.4 Vẵ dử v Ăp dửng sỡ ỗ ối ngău Cho X, X v Y, Y l cp cĂc khổng gian vectỡ tổpổ lỗi a phữỡng Xt b i to¡n tèi ÷u (P ) min{f (x) + F (G(x))}, 27 (2.5) â f : X → R, F : Y → R l c¡c h m ch½nh thữớng, v G : X Y Têp chĐp nhên ữủc cừa bi toĂn (P 0) l := {x ∈ dom f | G(x) ∈ dom F } Chú ỵ rơng náu F (Ã) = K (Ã) l h m ch¿ cõa tªp khỉng réng K ⊂ Y , õ bi toĂn (P 0) cõ dÔng (P ) f (x) x∈X cho G(x) ∈ K (2.6) Ta x²t hå c¡c b i to¡n tèi ÷u câ tham sè min{f (x) + F (G(x) + y)}, x∈X (Py0 ) â y ∈ Y l tham sè Hiºn nhi¶n y = b i to¡n (P00 ) trịng vỵi b i to¡n (P 0) °t ϕ(x, y) = f (x) + F (G(x) + y) inf ϕ(x, y) Vẳ Hm giĂ tr tối ữu cừa bi toĂn v(y) = val(Py0 ) hay v(y) = x∈X h m f v F l chẵnh thữớng, nản tỗn tÔi x dom f v y ∈ dom F Khi â ϕ(x, y − G(x)) = f (x) + F (y) < +∞, suy (x, y − G(x)) ∈ dom ϕ Hìn núa ϕ(x, y) ≥ −∞, vỵi måi (x, y) ∈ X × Y , â ϕ l h m chẵnh thữớng Náu f v F nỷa liản tửc dữợi thẳ cụng nỷa liản tửc dữợi Trữớng hủp riảng n¸u F (·) = δK (·) l h m ch¿ cõa têp K , õ F l nỷa liản tửc dữợi v ch K õng nh nghắa 2.2 Ta nõi rơng bi toĂn (P 0) ữủc cho bi cổng thực (2.5) l lỗi náu hm F (Ã) l nỷa liản tửc dữợi v f (x) v (x, y) = F (G(x) + y) l lỗi nh nghắa 2.3 Ta nõi rơng bi toĂn (P 0) ữủc cho bi cổng thực (2.6) 28 l lỗi náu hm f (x) lỗi, têp K l lỗi v õng, Ănh xÔ G(x) l lỗi tữỡng ựng vợi têp (K) (hay (x, y) := K (G(x) + y) l lỗi) Hm Lagrange cừa b i to¡n (P 0) l L(x, y ∗ ) := f (x) + hy ∗ , G(x)i M»nh · 2.7 Cho h m ϕ(x, y) = f (x) + F (G(x) + y) Khi õ hm liản hủp thự nhĐt v thự hai cừa lƯn lữủt ữủc xĂc nh bði ϕ∗ (x∗ , y ∗ ) = sup{hx∗ , xi − L(x, y ∗ )} + F ∗ (y ∗ ) x∈X ϕ∗∗ (x, y) = sup {hy ∗ , yi + inf L(x, y ∗ ) − F ∗ (y ∗ )} x∈X y ∗ ∈Y ∗ Chùng minh Theo cỉng thùc cõa h m li¶n hđp, ta câ ϕ∗ (x∗ , y ∗ ) = {hx∗ , xi + hy ∗ , yi − ϕ(x, y)} sup (x,y)∈X×Y = {hx∗ , xi + hy ∗ , yi − f (x) − F (G(x) + y)} sup (x,y)∈X×Y = {hx∗ , xi + hy ∗ , G(x) + yi sup (x,y)∈X×Y − hy ∗ , G(x)i − f (x) − F (G(x) + y)} = sup{hx∗ , xi − f (x) − hy ∗ , G(x)i x∈X + sup[hy ∗ , G(x) + yi − F (G(x) + y)]} yY Bơng cĂch ời bián G(x) + y y ta ÷đc ϕ∗ (x∗ , y ∗ ) = sup{hx∗ , xi − L(x, y ∗ )} + F ∗ (y ) xX Bơng cĂch bián ời tữỡng tỹ ta cụng tẵnh ữủc (x, y) = sup {hy ∗ , yi + inf L(x, y ∗ ) − F ∗ (y ∗ )} x∈X y ∗ ∈Y ∗ 29 Bi toĂn ối ngău (Dy0 ) cừa bi toĂn (Py0 ) cõ dÔng {hy , yi + inf L(x, y ∗ ) − F ∗ (y ∗ )} max ∗ ∗ y ∈Y x∈X (Dy0 ) Tr÷íng hủp y = 0, bi toĂn ối ngău cừa (P 0) l max { inf L(x, y ∗ ) − F ∗ (y ∗ )} y ∗ ∈Y ∗ x∈X (D0) Ta ln câ val(P 0) ≥ val(D0) v¼ v(u) v(u) Náu vợi mởt vi x0 X, y ∈ Y ∗ m f (x0 ) + F (G(x0 )) = inf L(x, y¯∗ ) − F ∗ (¯ y ∗ ), x∈X (2.7) th¼ val(P 0) = val(D0) (theo nh lỵ 2.1) Khi val(P 0) = val(D0) hỳu hÔn thẳ x0 X v y Y t÷ìng ùng l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P 0) v (D0) iÃu kiằn (2.7) ữủc viát lÔi nhữ sau = f (x0 ) + F (G(x0 )) − inf L(x, y¯∗ ) − F ∗ (¯ y∗) x∈X ⇔ = L(x0 , y¯∗ ) − hy ∗ , G(x0 )i + F (G(x0 )) − inf L(x, y¯∗ ) + F ∗ (¯ y ∗ ) x∈X Hay L(x0 , y¯∗ )− inf L(x, y¯∗ ) + F (G(x0 )) + F ∗ (¯ y ∗ ) − hy ∗ , G(x0 )i = x∈X (2.8) Nhªn x²t 2.2 (i) L(x0, y¯∗) ≥ x∈X inf L(x, y¯∗ ) hay L(x0 , y¯∗ )− inf L(x, y ) xX DĐu bơng xÊy v ch¿ x0 ∈ arg L(x, y¯∗ ) x∈X ∗ ∗ ∗ (ii) F (G(x0)) ≥ hy , G(x0)i − F (¯y ) D§u ¯ng thùc x£y v ch¿ y¯∗ ∈ ∂F (G(x0)) Tứ cĂc nhên xt trản ta cõ iÃu kiằn (2.8) tữỡng ữỡng vợi x0 arg L(x, y ) v y¯∗ ∈ ∂F (G(x0 )) x∈X 30 (2.9) ành lỵ 2.4 Náu val(P 0) = val(D0) v x0 X, l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P 0) v (D0) t÷ìng ùng Khi â i·u ki»n (2.9) thäa mÂn Ngữủc lÔi, náu iÃu kiằn (2.9) thọa mÂn vợi mët v i x0, y¯∗, â x0 l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P 0), y¯∗ l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (D0) v y¯∗ ∈ Y ∗ val(P ) = val(D0 ) B¥y gií ta x²t i·u ki»n ch½nh quy M»nh · 2.6 i·u ki»n chẵnh quy v(y) < + vợi mồi y thuởc lƠn cên cừa 0, iÃu ny tữỡng ữỡng vợi int(dom v) M°t kh¡c, ta câ v(y) < +∞ v ch tỗn tÔi x dom f cho G(x) + y ∈ K Tùc l dom v = K G(dom f ) Vẳ vêy trữớng hủp ny, iÃu kiằn chẵnh quy int(dom v) ữủc viát dữợi dÔng int(G(dom f ) K) 2.5 p dửng tẵnh toĂn dữợi vi phƠn Cho X, Y l c¡c khæng gian Banach, f : X → R v g : Y → R l cĂc hm lỗi, chẵnh thữớng, A : X Y l toĂn tỷ tuyán tẵnh Xt hm F (x) := f (x) + g(Ax), vỵi mi·n húu hi»u dom F := {x ∈ dom f | Ax ∈ dom g} X²t b i to¡n tèi ÷u (P 00 ) min{f (x) + g(Ax)} x∈X 31 (2.10) (B i to¡n n y l tr÷íng hủp riảng cừa bi toĂn (2.5) vợi g F, A ≡ G.) H m Lagrange cõa b i to¡n n y l L(x, y ∗ ) = f (x) + hy ∗ , Axi = f (x) + hA∗ y ∗ , xi, suy inf L(x, y ∗ ) = − sup{−f (x) + h−A∗ y ∗ , xi} = −f (A y ) xX xX Vẳ vêy bi toĂn ối ngău cừa bi toĂn (2.10) l (D00 ) {−f ∗ (−A∗ y ∗ ) − g ∗ (y ∗ )} max ∗ ∗ y ∈Y H m gi¡ trà tối ữu tữỡng ựng vợi bi toĂn (2.10) l v = inf {f (x) + g(Ax)} x∈X Ta câ dom v = {x ∈ dom f | Ax ∈ dom g} = dom g − A(dom f ) i·u ki»n chẵnh quy int(dom v) ữủc viát lÔi thnh ∈ int{A(dom f ) − dom g} (2.11) ành lỵ 2.5 Cho X, Y l cĂc khổng gian Banach, c¡c h m f : X → R v g : Y R l cĂc hm lỗi, chẵnh thữớng, l.s.c., A : X Y l toĂn tỷ tuyán tẵnh li¶n tưc v F (x) = f (x) + g(Ax) GiÊ sỷ rơng iÃu kiằn chẵnh quy (2.11) thọa mÂn Khi õ, vợi bĐt kẳ x0 dom F , ta câ ∂F (x0 ) = ∂f (x0 ) + A∗ [∂g(Ax0 )] Trong tr÷íng hđp X = Y , Ănh xÔ tuyán tẵnh A l Ănh xÔ ỗng nhĐt, ta cõ kát quÊ sau 32 nh lỵ 2.6 Cho X l khæng gian Banach, h m f, g : X R l cĂc hm lỗi, l.s.c., chẵnh thữớng Náu i·u ki»n ch½nh quy (2.12) ∈ int{dom f − dom g} ữủc thọa mÂn thẳ vợi bĐt kẳ x0 ∈ (dom f ) ∩ dom g, ta câ ∂(f + g)(x0 ) = ∂f (x0 ) + ∂g(x0 ) (2.13) nh lỵ 2.6 chẵnh l quy tưc tẵnh toĂn dữợi vi phƠn cừa tờng hai hm lỗi, nỷa liản tửc dữợi, chẵnh thữớng Sau Ơy ta xt mởt số vẵ dử minh hồa thĐy vai trỏ cừa cĂc giÊ thiát nh lỵ 2.6 Ưu tiản l mởt vẵ dử ch sỹ cƯn thiát cừa iÃu kiằn chẵnh quy (2.12) Vẵ dử 2.2 LĐy X = Y = R, f ÷đc x¡c ành bði f (x) = n¸u x = v f (x) = + náu x 6= Cho g ữủc cho bi g(y) = −√y n¸u y ≥ v g(y) = +∞ n¸u y < Khi â g(Ax) = g(x) = Ta câ A(dom f ) = dom f = {0}, √ − x if x ≥ 0, +∞ if x < dom g = [0, +∞) Suy 0∈ / int(A(dom f ) − dom g) Hìn núa F (x) = f (x) + g(Ax) = 0 if x = 0, +∞ if x 6= Chån x¯ := ∈ dom F , ta câ ∂F (¯x) = R â ∂f (¯ x) + A∗ (g(A x)) = 33 Tiáp theo, vẵ dử sau Ơy chựng tọ rơng giÊ thiát và tẵnh l.s.c cừa f v g khổng th bọ qua nh lỵ 2.6 V½ dư 2.3 Cho X l khỉng gian Banach vổ hÔn chiÃu Khi õ luổn tỗn tÔi phiám hm tuyán tẵnh khổng liản tửc f : X R °t g := −f , ta câ dom f = dom g = X , vẳ vêy iÃu kiằn chẵnh quy (2.12) thọa mÂn Vẳ f v g l cĂc phiám hm tuyán tẵnh khổng liản tửc, nản chúng khổng l.s.c Mët m°t ta câ, ∂f (x) = ∂g(x) = vợi bĐt kẳ x X Mt khĂc, v¼ f (x) + g(x) ≡ 0, ta câ ∂(f + g)(x) = {0} Vẳ vêy, (2.13) khổng úng 34 Kát luên Trong luên vôn ny, chúng tổi nghiản cựu quy tưc tẵnh toĂn dữợi vi phƠn cừa tờng hai hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi bơng cĂch Ăp dửng lữủc ỗ ối ngău Cử th, chúng tổi sỷ dửng cĂc cổng cử cừa lỵ thuyát ối ngău nghiản cựu cổng thực tẵnh dữợi vi phƠn cừa tờng hai hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi sỷ dửng nhỳng iÃu kiằn chẵnh quy thẵch hủp CĂc kát quÊ Ơy ữủc xt trản cĂc khổng gian Banach Nởi dung chẵnh cừa luên vôn ữủc dch, tờng hủp v trẳnh by chi tiát theo cĂc nởi dung t÷ìng ùng cõa mưc 2.5 Duality Theory cn sĂch chuyản khÊo [3] 35 Ti liằu tham khÊo Tiáng Viằt [1] ộ Vôn Lữu, Phan Huy KhÊi, GiÊi tẵch lỗi, Nh xuĐt bÊn Khoa hồc K thuêt, H Nởi (2000) [2] Huýnh Thá Phũng, Cỡ s giÊi tẵch lỗi, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc Viằt Nam, Nđng (2012) Ti¸ng Anh [3] J F Bonnans and A Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer-Verlag, New York (2000) 36