0302 số phức và một số ứng dụng trong toán sơ cấp luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌCQUYNHƠN HUỲNHQUẾĐAN SỐPHỨCVÀMỘTSỐỨNGDỤNGTRONGT ỐNSƠCẤP LUẬNVĂNTHẠCSĨTỐNHỌC BìnhĐịnh-Năm 2022 HUỲNHQUẾĐAN SỐPHỨCVÀMỘTSỐỨNGDỤNGTRONGT ỐNSƠCẤP Chun ngành : PhươngphápTốnsơcấpMãsố : 8460113 Ngườihướngdẫn:TS.DƯƠNGTHANHVỸ BìnhĐịnh-Năm 2022 LỜIC A M Đ O A N Tôi xin cam đoan nội dung luận văn "Số phfíc số fíngdụng tốn sơ cấp" thân thực theo logic riêng dướisự hướng dẫn TS Dương Thanh Vỹ Các nội dung kết sử dụngtrongluậnvănđềucótríchdẫnvàchúthíchnguồngốcrõràng BìnhĐịnh,tháng7năm2022 Họcviên HuỳnhQuếĐan Mụcl ụ c MỞĐẦU 1 Mộts ố k iế n t h f íc c h u ẩ n b ị 1.1 Địnhnghĩasốphức 1.2 Biểudiễnsốphứcdướidạngđạisố 1.3 Biểudiễnhìnhhọccủasốphức 1.4 Sốphứcliênhợp .7 1.5 Môđuncủasốphức 1.6 Cácphéptoántrêntậpsốphức 10 1.6.1 Phépcộngvàphéptrừsốphức .10 1.6.2 Phépnhânsốphức 11 1.6.3 Phépchiachosốphứckhác0 12 1.6.4 Lũythừanguyêncủasốphức 13 Vềb i to n c ự c t r ị s ố p h f í c 2.1 2.2 Sửdụngbấtđẳngthứcđểgiảicácbàitoáncựctrịsốphức 14 14 2.1.1 Bấtđẳngthứctamgiácdạngđạisố 14 2.1.2 BấtđẳngthứcCauchy,bấtđẳngthứcBunyakovsky 19 Sửdụngphươngpháphìnhhọcđểgiảicácbàitốncựctrị sốphức 24 2.2.1 Phươngphápgiải 24 2.2.2 Mộtsốdạngthườnggặp 25 Ứngdụngsốphfícđểchfíngminhbấtđẳngthfíc 37 3.1 Ứngdụngbấtđẳngthứcvềmơđuncủasốphức 37 3.2 Ứngdụngtínhchấtnghiệmcủađathức 42 Ứngdụng sốphfícđểgiảicácbài tốnvềđathfíc 48 4.1 Xácđịnhđathức 48 4.2 Bàitoánvềsựchiahếtcủađathức .59 Kếtl u ậ n .63 Tàil i ệ u t h a m k h ả o 64 MỞĐ Ầ U Số phức khơng có nhiều ứng dụng Cơ học, Vật lý học vàcác ngành khoa học kỹ thuật cơng nghệ mà cịn đóng vai trị mộtcôngc ụ đ ắ c l ự c n h ằ m g i ả i q u y ế t h i ệ u q u ả n h i ề u b i t o n c ủ a h ì n h h ọ c , giảitích,đạisố,sốhọcvàtốntổhợp.Ngồira,cáctínhchấtcơbảncủasố phức biến phức cịn sử dụng tốn cao cấp, tốn ứng dụngvàtrongnhiềumơhìnhthựctế Trongnhữngnămgầnđây,cókhánhiềubàitốnhayvàkhóvềsốphứchoặcứ n g d ụ n g s ố p h ứ c x u ấ t h i ệ n t r o n g c c k ì t h i t r u n g h ọ c p h ổ t h ô n g quốc gia, OlympickhuvựcvàOlympicquốctế.Đểgiảiđượccácbàitốnnày,họcsinhcầnđượctrangbịđầyđủvàsâusắccác kiếnthức,kỹthuậtđặcthùvềsốphức Với mục đích muốn tìm hiểu số phức, ứng dụng số phứctrongviệcgiảicácbàitoánsơcấpvàđáp ứngmongmuốncủabảnthâ nvềm ộ t đ ề t i p h ù h ợp c h o v i ệ c g i ả n g d ạy c ủ a m ì n h t r n g t r u n g h ọ c phổ thông nên học viên chọn đề tài“Số phức số ứng phức số ứngc số ứngt số phức số ứng ức số ứngng dụngngtrongt o n s c ấp” p ” đ ể nghiêncứucholuậnvănthạcsĩcủamình Luậnv ă n n y t ậ p t r u n g t ì m h i ể u , t r ì n h b y c c b i t o n v ề s ố p h ứ c hoặcứ n g d ụ n g s ố p h ứ c x u ấ t h i ệ n t r o n g c c k ì t h i t r u n g h ọ c p h ổ t h ô n g quốc gia, kì thi học sinh giỏi Từ đó, tổng hợp phương pháp kỹthuậtt h ườ ng d ù n g đ ể gi ải s ố b ài to n v ề c ự c t rị s ố ph ứ cv mộ t s ố ứngdụngcủasốphứctrongcácbàitốnsơcấp Ngồi mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đượcchiathànhbốnchươngnhưsau: Chương1.Mộtsốkiếnthfícchuẩnbị Chương trình bày kiến thức liên quan đến số phức nhưđịnhn g h ĩ a , t í n h c h ấ t , c c p h é p t o n t r ê n t ậ p s ố p h ứ c v c c d n g b i ể u diễncủasốphức, Chương2.Vềbàitốncựctrịsốphfíc Chương trình bày phương pháp sử dụng bất đẳng thức phươngpháph ì n h h ọ c đ ể g i ả i c c b i t o n c ự c t r ị s ố p h ứ c C c b ấ t đ ẳ n g t h ứ c đượct r ì n h b y b a o g m b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t a m g i c d n g đ i s ố , b ấ t đ ẳ n g thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovsky vận dụng số phức Đặcbiệt,phươngpháphìnhhọcđượcsửdụngđểchuyểncácbàitốncựctrị sốp h ứ c v ề c c b i t o n c ự c t r ị đ n g i ả n t r o n g h ì n h h ọ c p h ẳ n g ; n h đ ó làmnổibậtthêmýnghĩacủasựbiểudiễnhìnhhọctrongsốphứcvàthấythêm nhiều mối liên hệ thú vị toán đại số với bàitốn hình học phẳng Từ đó, ta ứng dụng số phức để giải cácbài toán đại số, chẳng hạn sử dụng số phức để chứng minh bất đẳng thứcđượctrìnhbàyởchươngtiếptheo Chương3.Ứngdụngsốphfícđểchfíngminhbấtđẳngthfíc Chương trình bày số toán bất đẳng thức giải bằngcáchsửdụngmộtsốtínhchấtvềmơđuncủasốphức Chương4.Ứngdụngsốphfícđểgiảicácbàitốnvềđathfíc Chươngn y t r ì n h b y ứ n g d ụ n g s ố p h ứ c đ ể t ì m đ a t h ứ c v g i ả i m ộ t sốbàitốnvềsựchiahếtcủađathứctrongchươngtrìnhtrunghọcphổthơng Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình củaTS Dương Thanh Vỹ Học viên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy đãnhậnl i h n g d ẫ n , đ ộ n g v i ê n v t ậ n t ì n h g i ú p đ ỡ t r o n g s u ố t q u t r ì n h làmluậnvăn Nhân đây, học viên xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban GiámHiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau đại học, Khoa TốnvàThốngkê,cùngqThầyCơgiảngdạylớpcaohọcTốnchunngànhPhươn g pháp Tốn sơ cấp khóa 23, tận tình giúp đỡ tạo điềukiệntốtnhấttrongthờigianhọctậpvànghiêncứuthựchiệnđềtài Cuối học viên xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình ngườibạnđ ã l u ô n b ê n c n h q u a n t â m , g i ú p đ ỡ v đ ộ n g v i ê n t r o n g s u ố t h n h trìnhvừaqua Mặc dù thân nỗ lực, cố gắng để hoàn thành luận văn.Tuy nhiên, điều kiện thời gian học tập, trình độ kiến thức kinhnghiệmnghiêncứucịnhạnchếnênchắcchắnluậnvănsẽkhơngthểtránhkhỏin hữngthiếusót.Họcviênrấtmongnhậnđượcnhữngnhậnxét,gópý q thầycơgiáovàcácbạnhọcviêntronglớpđểluậnvănđượchồnthiệnhơn Họcviênxinchânthànhcảmơn! BìnhĐịnh,tháng7năm2022 Họcviênthựchiện HuỳnhQuếĐan Chương1 Mộtsố kiến thfíc chuẩnbị Chươngn y t r ì n h b y m ộ t s ố k i ế n t h ứ c c b ả n v ề s ố p h ứ c C c k i ế n thức tham khảo từ([3]),([5]),([7])và sử dụng cho cácchươngsau 1.1 Địnhn g h ĩ a s ố p h f í c Xét tập hợp R2=R×R= y2)thuộc R2bằng } (x, y)|x, y∈R.Hai phần tử(x1, y1)và(x2, x1=x2vày1=y2 phéptoáncộngvànhânđượcđịnhnghĩatrênR 2n h sau: z1+z2=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y 1+y2)∈R2 z1·z2= (x1,y1)·(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x 1y2+x2y1)∈R2, vớimọiz 1=(x1,y1)∈R2vàz 2=(x2,y2)∈R2 Phầntửz 1+z2∈ R2được gọilàtổngcủaz 1v z 2;phầntửz 1·z2∈ R2 đượcgọilàtíchcủaz 1vàz Chúj1 a)Nếuz 1=(x1,0)∈R2v z 2=(x2,0)∈R2t h ì z1·z2= (x1x2,0) Các b)Nếuz 1=(0,y1)∈R2vàz 2=(0,y2)∈R2thì z1·z2=(−y1y2,0) Víd ụ Ch o z 1=(−4,7)và z 2=(2,−5).Kh iđó z1+z2=(−4,7)+(2,−5)=(−2,2) z1·z2=(−4,7)·(2,−5)=(−8+35,20+14)=(27,34) Địnhn g h ĩ a T ậ p R 2cùng v i h a i p h é p t o n c ộ n g v n h â n đ ợ c địnhnghĩanhưtrêngọilàtậpsốphức,đượckíhiệulàC.Bấtkìmộtphần tửz= (x,y)∈Cđượcxemlàmộtsốphức Ngồira,tacịnkíhiệuC ∗đ ể chỉtậphợpC\(0,0)} 1.2 Biểud i ễ n s ố p h f í c d i d n g đ i s ố Theo định nghĩa trên, số phức tương ứng với cặp số(x, y)∈R2,điều gây nhiều khó khăn cho việc trình bày kiến thức sốphức.Vìlẽđó,tasẽbiểudiễncácsốphứcdướidạngđạisố Xét tập hợp R× {0}, với phép tốn cộng nhân R2nhưtrên.Khiđóhàmsố f: R→R×{0} x›→f(x) = (x,0) làsongánh.Hơnnữatacũngcó: (x,0)+(y,0)=(x+y,0)v ( x,0)·(y,0)=(xy,0) Ta nhận thấy phép tốn R×{0}cũng tương tự nhưtrênR.T đ â y , t a s ẽ đ n g n h ấ t c ặ p s ố ( x,0)v i s ố x ( ∀x∈R),t a v i ế t ( x,0)=x