Địnhnghĩasốphức
Xét tập hợp R 2 =R×R= (x, y)|x, y∈R.Hai phần tử(x1, y1)và(x2, y2)thuộc R2bằng nhau khi và chỉ khix1=x2vày1=y2 Các phéptoáncộngvànhânđượcđịnhnghĩatrênR2n h ưsau: z1+z2=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)∈R 2 và z1ãz2= (x1,y1)ã(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+x2y1)∈R 2 , vớimọiz1=(x1,y1)∈R 2 và z2=(x2,y2)∈R 2
Phầntửz1+z2∈R 2 đượcgọilàtổngcủaz1vàz2;phầntửz1ãz2∈R 2 đượcgọilàtíchcủaz1vàz2.
Chúj1 1 1 a)Nếuz1=(x1,0)∈R 2 v àz2=(x2,0)∈R 2 t h ì z1ãz2=(x1x2,0). b)Nếuz1=(0,y1)∈R2vàz2=(0,y2)∈R2thì z1ãz2=(−y1y2,0).
Víd ụ 1 1 2 Choz1=(−4,7)vàz2=(2,−5).Khiđó z1+z2=(−4,7)+(2,−5)=(−2,2) và z1ãz2=(−4,7)ã(2,−5)=(−8+35,20+14)=(27,34). Địnhn g h ĩ a 1 1 3 T ậ pR 2cùng v ớ i h a i p h é p t o á n c ộ n g v à n h â n đ ư ợ c địnhnghĩanhưtrêngọilàtậpsốphức,đượckíhiệulàC.Bấtkìmộtphần tửz=(x,y)∈Cđượcxemlàmộtsốphức.
Theo định nghĩa trên, mỗi số phức tương ứng với một cặp số(x, y)∈R 2 ,điều này sẽ gây ít nhiều khó khăn cho việc trình bày các kiến thức về sốphức.Vìlẽđó,tasẽbiểudiễncácsốphứcdướidạngđạisố.
Xét tập hợp R× {0}, cùng với phép toán cộng và nhân trên
Ta nhận thấy rằng các phép toán trên R×{0}cũng tương tự nhưtrênR.Từ đ â y , t a sẽ đ ồ n g n h ất c ặ p số(x,0)v ớisốx( ∀x∈R),t av i ế t( x,0)=x.
} Đặti=(0,1)thì i 2 =iãi=(0,1)ã(0,1)=(−1,0)=−1 và z= (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)ã(0,1)=x+yi.
Mệnh đề 1.2.1 Mọi số phứcz= (x, y)đều được biểu diễn duy nhất dướidạngz=x+yi,x,y∈Rtrongđói 2 =−1.
Biểu thứcx+yiđược gọi là dạng đại số của số phứcz= (x, y), vì vậychúng ta có thể viếtC=x+yi|x, y∈R, i 2 =−1.Từ bây giờ chúngtasẽkýhiệusốphứcz=(x,y)bằngx+yi.
Khi số phứczđược biểu diễn dưới dạngz=x+yi, ta gọixlà phầnthựccủasốphứczv àkíhiệulàx=Re(z),cònylàphầnảocủasốphứczv àđượckíhiệulày=Im(z);iđượccgọilàđơnvịảo.
Chúj1.2.2.a)Sốphứccóphầnảobằng0đượccoilàsốthựcvàviếtlà z=a+0i=a∈R⊂C. b) Sốphứccóphầnthựcbằng0đượcgọilàsốảo(còngọilàsốthuầnảo)vàviếtlà z=0+bi=bi(b∈R);i=0+1i=1i. c) Số0=0+0i=0iv aừa làsốthựcvừalàsốảo. Địnhnghĩa1.2.3.Haisố phứcz1=x1+y1i(x1, y1∈R),z2=x2+y2i(x2,y2∈ R)g ọ il à b ằ n g n h a u n ế ux1=x2,y1=y2.K h iđ ó t a v i ế tz1=z2.
1.3 Biểudiễnhình họ cc ủasố phfíc
Trong mặt phẳng tọa độOxy, mỗi số phứcz=x+yiđược biểu diễnbởiđiểmMc ótọađộ(x;y).Ngượclại,mỗiđiểmM(x;y)biểudiễnm ột z
2 sốphứcz=x+yi.TacònviếtlàM(x+yi)hayM(z).Vìthếmặtphẳngtọađộbiể udiễnsốphứccòngọilàmặtphẳngphức.
1.4 Sốp h f í c l i ê n h ợ p Địnhn g h ĩ a 1 4 1 S ốphứcliênhợpcủasốphứcz=x+yi(x,y∈ R) làz=x−yi.
Nhậnx é t H a isố p h ứ c l iê n h ợ p kh i v à ch ỉ k h i cá c đ i ể m bi ểu d i ễn c ủ a c húngđốixứngvớinhauquatrụcthựcOx.
1.5 Môđuncủasố phfíc Địnhn g h ĩ a 1 5 1 M ô đ u nc ủ a số p hứ cz=x+yi(x,y
Mộtsốt í n h ch ất v ề mô đ u n củ asố p h ứ cs ẽ đ ượ c th ể h iệ n ở m ệ n h đề dưới đây.
(5)|z1ãz2| 2 =(z1ãz2)ã(z1ãz2)=(z1ãz1)ã(z2ãz2)=|z1| 2 ã|z2| 2
=|z1|+ z1z2+z1z2+|z2|. Vỡz1ãz2=z1ãz2=z1ãz2n ờ n z1z2+z1z2= 2Re(z1z2)≤2|z1z2|=2|z1||z2|=2|z1||z2|. Dođó|z1
1.6.1 Phépcộngvàphéptrừsốphfíc a) Tổngcủahaisốphfíc Địnhn g h ĩ a 1 6 1 T ổ n gc ủ a h a i s ố p h ứ cz1=x1+y1i(x1,y1∈ R)v à z2=x2+y2i(x2,y2∈R)làsốphức z1+z2=(x1+y1i)+(x2+y2i)=(x1+x2)+(y1+y2)i∈C.
Nhậnxét.Tổngcủahaisốphứclàmộtsốphứccóphầnthực(ảo)làtổngcácphầnth ực(ảo)củacácsốđãcho:
Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2);Im (z1+z2)=Im(z1)+Im(z2).
▷P h nần t ử đ ơ n v ị : T ồ nt ạ i d uy nh ất số p hứ c0=(0,0)saoch o z+0=0+z=z,∀z∈C.
▷Ph nần tửđối:V ớ imọiz∈C,tồntạiduynhất−z∈Csaocho z+(−z)=(−z)+z=0.
Khiđótanói−zl àsốđối(phầntửđối)củasốphứcz. b) Hiệuc ủ a h a i s ố p h f í c
Hiệucủahaisốphứcz1vàz2làtổngcủaz1với−z2,tứclà: z1−z2=z1+(−z2).
Từđây,tacóthểđịnhnghĩaphéptrừcủahaisốphứcnhưsau. Địnhn g h ĩ a 1 6 2 H i ệ uc ủ a h a i s ố p h ứ cz=x1+y1i(x1,y1∈ R)v à z2=x2+y2i(x2,y2∈R)làsốphức z1−z2=(x1+y1i)−(x2+y2i)=(x1−x2)+(y1−y2)i∈C.
Re (z1−z2) = Re (z1)−Re (z2) ;Im(z1−z2)=Im(z1)−Im(z2
). Ýnghĩahìnhh c ọc c a ủa phépc ng ột số ứng vàphéptr ừ s ố phức và một số ứng ph c: ức và một số ứng
1.6.2 Phépn h â n s ố p h f í c Địnhn g h ĩ a 1 6 3 T í c hc ủ a h a i s ố p h ứ cz1=x1+y1i(x1,y1∈ R)v à z2=x2+y2i(x2,y2∈R)làsốphức z1ãz2=(x1+y1i)ã(x2+y2i)=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1)i∈C.
Re (z1z2)=Re (z1)ãRe (z2)−Im (z1)ãIm (z2) ;Im(z1z2)=Re(z1)ãIm(z2)+Re(z2)ãIm(z1)
. Ngoàira,vớimọisốthựcλvàmọisốphứcz=x+yi(x,y∈R),tacó λãz=λ(x+yi)= (λ+0i)(x+yi)=λx+λyi∈C. z x 2 +y 2 x 2 +y 2
▷P h nần t ử đ ơ n v ị : T ồ nt ạ i d uy n h ấ t số p hứ c1=(1,0)saoch o zã1=1ãz=z,∀z∈ C.
C ∗sao cho zãz −1 =z −1 ãz= 1. Khiđótanóiz −1 làsốđối(phầntửđối)củaz.
2) Dễthấyrằngthương z làsốphứcws a ochozãw=z ′ Từđúcúthể nóiphépchiachosốphứckhác0làphéptoánngượccủaphépnhân.
Lũythừanguyêncủamộtsốphứcz∈C ∗đư ợc địnhnghĩanhưsau: z 0 =1;z 1 =z;z 2 =zãz; n z n =z`ã z ˛ãáã ã zxn∈Z + ;z n =z −1 − n∈Z −
x1y2=x2y1 Đặtx2=kx1⇒y2=ky1 Suy rakx1 2+ky1 2≥0⇒k≥0.Vậybấtđẳngthứccầnchứngminhđúng.
x1y2=x2y1 Đặtx2=kx1⇒y2=ky1 Suy rakx1 2+ky1 2≤0⇒k≤0.Vậybấtđẳngthứccầnchứngminhđúng.
L i ời gi i ải Theo bấtđẳngthứctamgiác,tacó
Dấu“=”x ả y rakhiz=kã(3i)=3ki,trongđúk≥0.
Dođó,từgiảthiếtsuyracácsốphứczth aỏa mãnbàitoánlàcácsốthuầnảomàc óphầnảokhôngâm.
Khidấu“=”x ả y ra,hãytìmsốphứczs aocho|z| L i ời g i i ải V i ới mọisốphứcz,tacó
Bàitoán2.1.3.Tìm số phứczsao choP=|z−2i|+|z+ 1|đạt giá trịnhỏnhất,biếtrằng|z−2|=|z+i−1|.
L i ời gi i ải Áp dụngbấtđẳngthứctamgiác,tacó
≥|2i−z+z+1|=|1+2i|Dấu“=”x ả y rakhivàchỉ kh iz+1=k(2i−z),vớik>0.
|z−1−2i|= 4.GọiM,ml nần lượtl à g i á t r ị l ớ n n h ấ t , g i á t r ị n h ỏ n h ấ t của|z+2+i|.TínhS=M 2 +m 2
L i ời gi i ải Ta có
Tadễdàngtìmđượccácsốphứcđểdấu“=”c ủ a2bấtđẳngthứctrênlần lượtxảyra.KhiđóM= 4+3√2vàm=3√2−4.
(SởG D H à T ĩ n h 2 0 1 7 ) Trongcácsốphứczt h aỏa mãnz−(2 + 4i) 2,gọiz1vàz2lần lượt là sốphức có môđun lớn nhất vàmôđunnhỏnhất.Tínhtổngphầnảocủahaisốphứcz1vàz2. mi n
L i ời gi i ải Ta có
Suy ra giá trị lớn nhất của|z|là2√5+2khiz=k(2+4i)với(k−1)√5 1,tứclàk=1+√
Chúj 2.1.6.K h is ử d ụ n g b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t a m g i á c t a s ẽ đ ư ợ c c á c đ á n h giá của các biểu thức về môđun số phức Tuy nhiên, nếu số phứczbị ràngbuộc thêm bởi một hoặc nhiều điều kiện thì chúng ta phải xét tới trườnghợp xảy ra dấu “=” của bất đẳng thức tam giác Nếu không tồn tại số phứczđể dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra thì ta cần sử dụng các phươngphápkhácđểgiảicácbàitoáncựctrịsốphức.
Với2sốp hứ cz1,z2t ù yý , ta có
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi|z1|=| z2|,t cức làz1v àz2l ànhữngsốphứccóđ i ể m b i ể u d i ễ n n ằ m t r ê n c ù n g m ộ t đ ư ờ n g t r ò n t â mOc ób á n k ín hR bấtkì.
Dấu“=”x ả y r a k h i v à c h ỉ k h i|z1|=|z2|= = |z n |,t cức l à c á c s ố p h ứ c xuấthiệntrongbấtđẳngthứcđềucóđiểmbiểudiễnnằmtrêncùngmộtđườngtròntâ mO,bánkínhRb tất kì.
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi| z 1 | m1 =| z2| m2. Tổngquáthơn,vớinsốphứcz1,z2, ,z n tùyývàm1,m2, ,m n ∈R ∗ , tacó m 1 |z1|+m2 |z2|+ +m n | z n | 2
,v iới quyướcnếu m n mộtsốm i ,(i=1,2,3, ,n)nàođóbằng0thìsốphứcz i tươngứngcũng bằng0.
Sau đây là các bất đẳng thức thường được sử dụng để giải các bài toáncực trị số phức Các bất đẳng thức này được suy ra dễ dàng từ bất đẳngthứcCauchyvàbấtđẳngthứcBunyakovsky.
Bàit o á n 2 1 7 G ọ iz1v àz2l àh a i n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h b ậ c h a iz 2 +az+6−8i=0, trong đóalà tham số thực Hãy tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thứcP=|z1|+|z2|.Xác định giá trị củaakhi biểu thứcPđ tạt giátrịnhỏnhất.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacúz1ãz2=6−8i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tađược
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi|z1|=|z2|2= 10.TheođịnhlýViet, tal ạ i c óz1+z2= −a∈ R.S u y r az1=x1+yiv à z2=x2−yi.V ì
Bài toán 2.1.8.Gọiz1vàz2là hai nghiệm phức của phương trình bậchaiz 2 +az+ 3 + 4i= 0, trong đóalà tham số thực Hãytìm giá trị nhỏnhấtcủabiểuthứcP= 2|z1|+3|z2|.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacúz1ãz2=3+4i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tacó
Bàitoá n2 1 9 Gọiz1,z2,z3làbanghiệmphứccủaphươngtrìnhbậcba z 3 +az 2 +bz+8i=0.Hãytìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
L i ời gi i ải T h e o địnhl ý Viet,ta c úz1ãz2ãz3=−8i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tacó
Vậygiá trịnhỏ nhất củabiểu thứcPl à Pmin,đạt được khi
Bàitoán 2.1.10.Gọizlà số phức thỏa mãn điều kiện|z|= 6.Hãy tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthứcP= |z−2 + 3i|+|z+ 2−3i| vàt ì m s ố phứczđểuPđ tạt giátrịlớnnhất.
L i ời gi i ải Ta có
=|z−v|+|z+v|, trongđ óv= 2−3i.S u yr a|v|=√13. ÁpdụngbấtđẳngthứcBunyakovsky,tađược
13. Nhìn chung, phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải các bài toáncựct r ị t h ư ờ n g đ ư ợ c s ử d ụ n g k h i g i ả t h i ế t b à i t o á n đ ơ n g i ả n , h o ặ c l i ê n quanđ ế n mô đ u n số p h ứ c Kh i g i ả t hi ết củ a b ài t o á np h ứ c t ạ p h ơ n h o ặ c liên quan đến tập hợp điểm biểu diễn số phức thì giải bằng phương pháphình học thường sẽ thuận lợi hơn Khi chuyển sang hình học, từ những giảthiếtvềsốphứckhátrừutượng,bàitoánsẽđượcminhhọamộtcáchrất trực quan, sinh động và cũng giải được bằng hình học với phương pháp rấtđẹp Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháphình học để giải quyết các bài toán về cực trị số phức là một trong nhữngphương pháp khá hay và hiệu quả Hơn nữa, với những bài toán cực trịhìnhhọcđượcgiảitheophươngpháptrắcnghiệm,nếubiểudiễnđượctrênhìnhvẽ,t acóthểlựachọnđápándễdànghơn.
Bước1 : C h uy ể nđổ ingônngữb àitoá nsốphứ csang ngônn gữhình học.
Víd ụ 2 2 1 C h os ố p h ứ czt h aỏa m ã n2(z−z)=i(z+z) 2 T ì mgi át r ị nh ỏnhấtcủa|z+3i|.
Bước1 : Giảsửz=x+yi(x,y∈ R),s uyraz=x−yi.K hiđó
GọiM(x;y)v àA(0;−3)l ầ nl ư ợ t l à đ i ể m b i ể u d i ễ n c h o s ố p h ứ cz và
Bước2:Parabolcó đỉnhtại điểmO(0;0),tr c đ iục đối ố xứng làđườngthẳng x=0.
Suyramin(MA)=3khiM≡O.Vậ ymin |z+3i|=3,k h iz= 0.
Sau đây là một số bài toán minh họa thêm cho phương pháp hình họckhigiảicácbàitoánvềcựctrịsốphức.
2.2.2 Mộts ố d ạ n g t h ư ờ n g g ặ p Ý tưởng chính của phương pháp hình học là tìm và vẽ được hình củatập hợp điểm biểu diễn cho các số phứczthỏa mãn giả thiết bài toán. Từđó,tìmđượcđápsốcủabàitoáncựctrịsốphức.
Phương pháp này rất thuận lợi khi giải các bài tập trắc nghiệm và cũngkháhiệuquảđểtìmlờigiảichitiếtkhilàmbàitậptựluận.
Bàitoán2.2.2.T r o n gt ấ t c ả c á c s ố p h ứ cz th aỏa m ã n|z−1+2i||z+3−4i|.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủamôđunz.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễncủasốphứcz.Ta có
=OM,m àO M đ tạt g i á t r ị n h ỏ n h ấ t k h iM làh ì n h c h i ế u củaOtr ên∆.
Vậy|z|min= ,khiđiểmMb i uểu diễnchozl àhìnhchiếuvuông góccủaOtrênđườngthẳng∆.13
Chúj2.2.3.Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ điểmOđến một điểmthuộc đường thẳng∆thì đoạn thẳngOMvuông góc với đường thẳng∆làngắnnhất.
Bàitoán2 2 4 Choz∈C thỏa mãn|z−1| ≥ |z−2i| Tìm giá trị nhỏnhấtcủa.z−(3+i) q 2
L i ời g i i ải G i ải sửz=x+yi(x,y∈ R),s u yraz=x−yi.
Từ(2.3)suyraMthu cộc miềngạchchéoởhìnhvẽ.Mặtk h ác. z−(3+i).=MKv iới K(3;1).D ođ ó hìnhv ẽ
(a,b∈R).Khiđóquỹtíchc ủ a đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz là đ ư ờ n g t r u n g t r ự c c ủ a đoạnOAv iới A(a;b).Dođó
(a,b,c,d∈ R).Khiđóquỹtíchcác điểmM(x;y)biểudiễncho sốphứczlàđ ư ờ n g t r u n g t r ự c∆ củađ o ạ nA B v iới A(a;b),B(c;d).D o đ ó
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
SuyraMthu cộc đường tròn(C)cótâmI(3;−4),bánkínhR=4.
=OM,m àO I= 5>Rn ê n O n mằm n g o à i đ ư ờ n g t r ò n(C).Đườngt h ẳn gOI c t ắt đ ư ờ n g t r ò n(C)t ạih a i đ i ể m p h â n b i ệ tM1,M2.
VìMd iđộngtrênđườngtròn(C)nênOMn hỏanhấtkhiMt r ù n gvới
M1,vàOMl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
+(−4) +R=9. Vậy|z|nhỏn hấ t b ằ n g1;|z|lớnn hấ t b ằ n g9.
▷Bướic1:ViếtphươngtrìnhđườngthẳngOI( g iảsửOIc óphươngtrình y=ax+b.Th ayO(0;0)vàI(3;−4)t ađ ượ cp hư ơn g trìn hOI).
▷Bư ớic2:TìmgiaođiểmcủađườngthẳngOIv àđườngtròn(C),từđótìmđ ượctọađộM1,M2.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
Suyr aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n(C)c ót â mI(1;0),b á n k í n hR= 2.Xét
Bàitoán2.2.8 Choz∈Cthỏamãn z+2≤ 1.Tìmgiátrịlớn ĐườngthẳngKIc tắt đườngtròn(C)tạihaiđiểmphânbiệtM1,M2.
M1vàMKl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
Từ( 2 4 ) s u y r aM thu cộc h ì n h t r ò n(C)c ót â mI(0;2),b á n k í n hR= 1. Mặtkhác, vớiK 0;3
Từz−(4+3i)= 2,s u y r aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n t â mI(4;3),b á n k í n h R=2.
Giả sử số phứczt h a m ã n đ i u k i nỏa ều kiện ện |z−a−bi|=R>0,(a, b∈R).Khiđ ó q u ỹ t í c h c á c đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz làđ ư ờ n g t r ò n tâmI(a;b),bánkínhR.Dođó,tacó
2.TrongmặtphẳngphứcgọiM,Nl nần lượtlàđiểmbiểudiễncủasốphứcz v à z.TìmgiátrịlớnnhấtcủadiệntíchtamgiácOMN.
L i ời gi i ải Đ t ặt z=x+yi(x,y∈ R),suyraz=x−yi.
GọiF1(−2; 0), F2(2; 0), M(x;y), N(x;−y)lần lượt là các điểm biểudiễncácsốphức−2;2;z;z.
VìM,Nl à đ i mểu biểudiễnsốphứczvàznênsuyraM,Nđ iố xứngnhauquaOx.DođóS∆
TheogiảthiếttalạicóMF1+MF2=4√ 2,suyra tậphợpđiểmMt h aỏa điềuk i ệ n t r ê n l à đ ư ờ n g e l i p c ó đ ộ d à i t r ụ c l ớ n
≤2√2.Đ ngẳng thứcxảyrakhix=2vày=√2.VậygiátrịlớnnhấtcủaS∆OMN l à2√2.
Bàito án2.2.11 (THPTYênKhánh NinhBình 2019).Chohaisố
Vì√5c). KhiđóquỹtíchđiểmM(x;y)biểudiễnsốphứczl àđườngelipcóphương x 2 y 2 trình(E): a 2 + a 2 −c 2 =1.Dođó,tacó
Chương này trình bày phương pháp chứng minh các bất đẳng thức đạisố bằng cách sử dụng các bất đẳng thức về môđun của số phức Đây làphương pháp khá thú vị, sử dụng cái ảo để chứng minh cái thực Các bàitoáncủachươngnàyđượcthamkhảotừ([1]).
Bàit o á n 3 1 1 Chứngminhrằngvớicácsốthựcbất kỳa k ,b k vớik 1,2, ,n,tacóbấtđẳngthứcsau q(a1+a2+ããã+a n ) 2 + (b1+b2+ããã+b n ) 2
L i ời g i i ải Xét z k =a k +b k i(k=1,2, ,n),khiđó z1+z2+ããã+z n =(a1+a2+ããã+a n )+(b1+b2+ããã+b n )i.
Bàit o á n 3 1 2 C h ob a s ố t h ự ca , b,ct h aỏa m ã na+b+c= 6.C h nức gminhrằng
L igi i.Xét ời ải cácsốphứcz1=a+i,z2=b+2i,z3=c+3i,khiđó
4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b)+ 4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b)≥2.
L i ời g i i ải Xét z1= 2 cosacosb+ s i n (a−b)iv à z 2= 2 sinasinb+ sin(a
|z1|=q4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b);|z2|=q4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b).
Bàitoán3.1.4 (Đạihọcquanhệquốctế−1997).Chứngminh rằngvớicácsốdươnga,b,ctacó
Bàit o á n 3 1 5 C h ứ n gm i n h r ằ n g n ế ua ,b,cl àc á c s ố d ư ơ n g t h ỏ a m ã n ab+bc+cact h ì√ a 2 +2b 2 ab +
L i ời gi i ải Cách 1:(Sửdụngsốphức) r q q
Xétc ác số phứ cz1=(x+2)+√3i,z2=(2−x)+√3i,t acó
L i ời gi i ải Ta viếtlạibấtđẳngthứctrênnhưsau q(x+1) 2 +(2y) 2 +q(3−x) 2 +(3−2y) 2 ≥5.
Bàitoán3.2.1.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,cv àsốdươngk,tacó k(a+b+c)−abc 2≤ a 2 +kb 2 +kc 2 +k.
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc3nhậna,b,cl à mnghiệmnhưsau f(t)=(t−a)(t−b)(t−c)
|A+Bi|=(A+Bi)(A−Bi)=A+B ≥A (vớii=−1), nêntacó
.f(it).=it−it(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc 2
=.−it3+t2(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc.2
Mặtkhác f(it) =(it−a)(it−b)(it−c)
=(it−a)(−it−a)(it−b)(−it−b)(it−c)(−it−c)
Chúj3.2.2.Với mỗiklà số cụ thể ta sẽ được những bài toán cụ thểkhác nhau Chẳng hạn, vớik= 3, tađược bài toán sau:Choa, b, clà cácsốthựcdươngthỏamãna 2 +b 2 +c 2 ≤3.Ch ngứng minhrằng abc+8≥3(a+b+c).
. −it(abc+bcd+cda+dab)+abcd)
≥t 4 −t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+
Bàitoán3.2.3.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,c,dv àsốdương k,tacó k 2 −k(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd2
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc4,nhậna,b,c,dl à mnghiệmnhưsau f(t)= (t−a)(t−b)(t−c)(t−d)
=t 4 −t 3 (a+b+c+d)+t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
—t(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Vì|A+Bi| 2= (A+Bi) (A−Bi)=A 2 +B 2 ≥A 2 (vớii 2 =−1) nênvớimọisốthựct,tacó
.f(it).=.it−it(a+b+c+d)+it(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
= t 4 +it 3 (a+b+c+d)−t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
−it(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Mặtkhác f(it) 2= (it−a)(it−b)(it−c)(it−d) 2
=( −a+it) (−a−it) (−b+it) (−b−it) (−c+it)( c it)( d+it)( d it)
Choc ác số d ươ nga,b,c,dt h aỏa m ãna 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 1.C h n gức m in h rằng ab+ac+ad+bc+bd+cd≤ 5
L i ời g i i ải T ừ 1kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=0,25tađược
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
⇒16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd≥−
⇒4+4abcd≥ab+ac+ad+bc+bd+cd.
Bàit o á n 3 2 5 ([1])Chocácsốthựca,b,c,dth aỏa mãn a 2 +1b 2 +1c 2 +1d 2 +1.
−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
L i ời g i i ải T ừ kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=1tađược
1 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd 2
—4≤(ab+ac+ad+bc+bd+cd)−abcd−1≤4
⇒−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
Bàitoán3.2.6 (USA Mathematical Olympiads 2014).Cho các số thựca,b,c,dthỏa mãn điều kiệnb−d≥5và tất cả các nghiệmx1, x2, x3, x4của đa thứcP(x) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+dđ u l à n g h i m t h c ều kiện ện ực.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacód=x1x2x3x4và b=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4. Vìb−d≥5nên
Nhận xét.Qua các bài toán trên, ta thấy rằng ứng dụng số phức vào việcchứng minh bất đẳng thức thật là thú vị Ẩn chứa trong cách giải các bàitoánbấtđẳngthứcbằngphươngphápsốphứcđóchínhlàviệcsửdụ ngcáiảođểchứngminhcáithực.
Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác định một đathức Cụ thể, nếu đa thứcP(x)bậcn(n∈N ∗ )cónnghiệmx1, x2, ,x n thìP(x)códạng
Tuy nhiên, nếu chỉ xét các nghiệm thực của đa thức thì trong nhiều trườnghợpsẽkhôngđủsốnghiệm.Hơnnữa,trongcácbàitoánphươngtrìnhhàmđath ức,nếuchỉxétcácnghiệmthựcthìlờigiảisẽkhônghoànchỉnh.Địnhlý cơ bản của đại số vì vậy đóng một vai trò hết sức quan trọng trong dạngtoán này đó là: "Một đa thức với hệ số phức (bao gồm cả số thực) luôn cóítnhấtmộtnghiệmphức(baogồmcảnghiệmthực)". Địnhljcơbảncủađạisố.Mọiđathứcbậcnhệnsốphức(thực)
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(vớia n ̸=0) đềucóđủnng hi mện phức(phânbiệthaytrùngnhau). Địnhl j V i e tt h u ậ n N ế ux1,x2, ,x n l àn n g h i mện ( p h â n b i ệ t h o ặ c trựngnhau)củađathứcP(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(a n ̸=0)
S n =x1x2 ãããx n =( 1) n a0 a n ĐịnhljVietđảo Nếunsốx1,x2, ,x n thỏamãn x1+x2+ããã+x n =S1 x1x2+x1x3+ããã+x n−1x n =S2 x1x2x3+x1x2x4+ããã+x n−2x n−1x n =S3
L igi i.V i ời ải ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0vớia n ≠ 0 làđathứcthỏamãncácyêucầubàitoán.Từ(4.1)t acó
VìhàmđathứcliêntụctrênRnêntừ(4.2),chox→0tađượcP1(0)=0, đếnđâytagặpmâuthuẫn.VậyTrườnghợp1khôngxảyra.
Giảsửαl àmộtnghiệmthựccủaP(x).Khiđó,vìa0=1nênα̸=0. TacóP(2α 3 +α)=P(α)P(2α 2 )=0.
Nếuα>0thì(α n )làdãytăngnghiêmngặt,nếuα1.Đi uều kiện nàydẫnđến
Dođ ó.2z 3 +z k = |z k |.2z 2 +1.>|z k |,s u yr aP(x)c óv ô s ố n g h i ệ m , điềunàykhôngthểxảyra.Vậyvớimọik=1,2, ,nthì|z k |≤1.Từđây vàt ừ ( 4 3 ) su y r a|z k |=1,∀k= 1,n.
Giảs ửα= cosϕ+isinϕl àn g h i ệ m p h ứ c c ủ aP(x).
2 Suyraα= ±i.D ođóP(x)= (x 2 +1) k ,k∈ N.T hử l ạit at hấyt hỏ amãn. Vậytất cảcácđa thứcthỏamãnyêu cầubàitoán là
Chúj4.1.2.TrongTrườnghợp1,đểsuyraP1(0)=0(nhằmtạoramâuthuẫn)m àkhôngcầndùngđếngiớihạntacóthểlàmnhưsau. π.
L i ời g i i ải V i ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
(4.5)Từ(4.4)tacóP(0)=0hoặcP(0)=1.D ođóa0=0hoặca0=1.
Từ(4.6),chox=0tađượcQ(0)=0,đ nến đâytagặpmâuthuẫn.
Trườngh ợ p 2 Nếua0=1.Đồngnhấthệsốbậccaonhấtở(4.4)tađược a n ãa n ã2
Từ(4.4)suyranếuP(x0)=0thìP(x 3 +x0)=0.V y,ậy, nếux0lànghiệmthựccủ aP(x)thìx 3 +x0cũnglànghiệmcủaP(x).
Nếux0>0thì(x n )làdãytăngnghiêmngặt,nếux0|z k |.Su yraP(x)cóvôsốnghiệm,điều
Chúj4.1.4.Bàitoán4.1.1vàBàitoán4.1.3đượctổngquáthoáthànhbàitoánsauđ ây.
Bài toán 4.1.6 (Olympic Hồng Kông−1999).Choklà số nguyêndương.Tìmcácđathứchệsốthựcthỏamãnđiềukiện
L i ời g i i ải Xét tr ười ng h p ợp P(x)≡C( Cl à h n g ằm s ) ố Từ(4.7)đượcC=C k Khik=1thìCl àhằngsốbấtkì.Khik>1thì
Nếukc h nẵn thìC= 1hoặcC= 0,nếuklẻthìC= 0hoặcC= 1hoặc C=−1.
Tiếp theo ta xét trường hợpdegP≥1 Vì đa thứcP(x)−xluôn cónghiệm (xét cả nghiệm phức) nên vớimọin∈N ∗ , tồn tạiα n ∈C sao choP(α n )=α n Từđó,tacó
Vậynếuk=0thìP(x)≡C(Cl àhằngsốbấtkì).Nếuk>1thìcácđathứct hỏamãnđềbàilàP(x)≡0,P(x)≡1,P(x)≡x k
Bàitoán4.1.7.([6])Tìmtấtcảcácđathứcf(x)∈R[x]thỏamãn f(sinx+cosx)=f(sinx)+f(cosx),∀x∈R (4.9)
L i ời g i i ải D ễ thấyđathứcf(x)≡c( cl àhằngsố)thỏamãn cácyêucầubàit oán.Tiếptheogiảsửdeg(f)=n≥1. k
1 a k x k +a0.Nhâncảhaivếcủa(4.10)với 1+x 2n , rồithayxb iởi i(ilàđơnvịảo,i 2 =−1)tađược a n (2+2i) n =a n (2i) n +2 n ⇔(1+i) n =1+i n
4 Khin=1thì(4.12)đúng.Khin=2thì(4.12)khôngđúng.Khin>2 thì2 n−2 >2>cos 2 nπ.
4 Tómlại(4.12)⇔n=1.Dođódeg(f)=1hayf(x)=ax+b.Thay vào(4.9)đượcb=0.Suyraf(x)≡ax.
Bàitoán4.1.8.([1])Tìmtấtcảcácđathứchệsốthựcf,gth aỏa mãn f(g(x))=f(x)g(x),∀x∈R (4.13) n
L i gi i ời ải Nếug(x)≡0thì từ (4.13) suy raf(x)là đa thức thỏa mãnf(0)
= 0 Nếuf(x)≡0thì mọi đa thứcg(x)đều thỏa mãn yêu cầu đềbài.
Tiếptheogiảsửf(x)̸≡0vàg(x)̸≡0.Từ(4.13)suyra deg(f)ãdeg(g)= deg(f)+deg(g). (4.14)Dodeg(f),deg(g)lànhữngsốtựnhiênnên
Giảsửf(x)≡a,g(x)=b(a,blànhữnghằngsốkhác0).Thayvào(4.13),tađ ược a⇔b=1.
Lúcnày(4.13)trởthành a[g(x)] 2 +bg(x)=ax 2 +bxg(x),∀x∈R.
Vậycáccặpđathứcthỏamãnyêucầubàitoánlà f(x)≡a n x n +ããã+a1x,g(x)≡0; f(x)≡0,g(x)làđathứchệsốthực; f(x)≡a,g(x)≡1(alàhằngsốkhác0); f(x)≡ax 2 +bx,g(x)≡ax 2 +b x−b ( a,bl àhằngsố,a̸=0).
L i gi i ời ải Giả sửx0là nghiệm củaP(x)= 0, suy raP(x0 2+x0+ 1) 0.Khiđóx 2 +x0+1cũnglànghiệmcủaP(x).
Chọnαlà nghiệm có môđun lớn nhất (nếu tồn tại vài nghiệm với môđunlớnnhất,tachọnmộttrongsốcácnghiệmđó).Từ cáchchọnαnh ưvậytasuyra α 2 +α+1≤|α|v à α 2 −α+1≤ |α| vìcảα 2 +α+1vàα 2 −α+1đềulànghiệmcủaP(x).
Vếđầuv àvế cuốic ủab ấtđẳngthứ ctrê nbằng nhaunênd ấu bằngph ải xảy ra Từ đây ta suy raα 2 +α+ 1 =−kα 2 −α+ 1, vớiklà hằng sốdương.Hơnnữa,vì|α|làlớnnhấtnên α 2 +α+1=α 2 −α+1=|α|.
Từ đóα=±ivàx 2 + 1là thừa số củaP(x) Như vậy ta có thể viếtP(x)dướidạngP(x)=x 2 +1 m Q(x)vớim∈N ∗ ,trongđóQ(x)làđathứck hôngchiahếtchox 2 +1.Thayngượctrởlạivàophươngtrình(4.15),ta thấyQ(x)cũngthoảmãnđiềukiện
NếuphươngtrìnhQ(x)=0lạicónghiệmthìlậpluậnnhưtrêntasuyranghiệ mcómôđunlớnnhấtcủanóphảilà±i.Đi uều kiện nàykhôngthểxảyravìx 2 +1không chiahếtQ(x).TasuyrarằngQ(x)làmộthằngsố,giả sửQ(x) =c,∀x∈R Thay vào phương trình(4.16),ta đượcc= 1. VậylớpcácđathứcthoảmãnbàitoánlàP(x)=x 2 +1 m v ớ i mlàmộtsố nguyêndươngnàođó.
L i ời gi i ải Giả sửαlà nghiệm của phương trìnhP(x)=0 Khi đó từphươngt r ì n h s u y r aα 2 ,α 4 ,α 8 , c ũ n gl à n g h i ệ m c ủ aP(x)= 0.T ừ đ â y suy ra rằng|α|= 0hoặc|α|= 1, vì nếu ngược lại ta sẽ thu được dãy vôhạncácnghiệmphânbiệtcủaP(x).
Giảsửrằng|α|=1và|α−1|=1.Taviếtα=cosβ+isinβv iới β∈
3 Trườnghợpβ= Xétα 2 cũnglànghiệmcủaP(x)=0.Nhưvậy α 2 −1cũnglànghiệmcủaP(x)=0và3
Nhưv ậ y t a c ó t h ể k ế t l u ậ n rằ n gα= 0ho ặcα−1=0.S u y r aP(x) códạngP(x)=cx m (1−x) n ,v iới clàmộthằngsốnàođóvàm,nlàcác sốnguyênkhôngâm.Thayvàophươngtrìnhđãcho,tadễdàngkiểmtrađượcrằngc=1 vàm=n.
Ta biết rằng nếu đa thứcP(x)chia hết cho đa thứcQ(x)thì mọi nghiệmcủaQ(x)đ ề ul à n g h i ệ m c ủ aP(x).T í n h c h ấ t đ ơ n g i ả n n à y l à c h ì a k h o á đểgiảinhiềubàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
L i ời gi i ải V ì x 2 +1=0⇔(x−i)(x+i)=0nênx 2 +1cónghiệmlài và−i. Đặtf(x)=(x+1) 4n+2 +(x−1) 4n+2 Tacó
Bài toán 4.2.2.([2])Chứng minh rằng với mọi số tự nhiênnlớn hơn1vàsố thựcαthỏa mãnsinα̸=0, đa thứcx n sinα−xsinnα+ sin
L i ời g i i ải Xét phươngtrìnhx 2 −2xcosα+1có∆ ′ =cos 2 α−1=i 2 sin 2 α nên có nghiệmx1= cosα+isinαvàx2= cosα−isinαlà 2 số phức liênhợp. ĐặtP(x)=x n sinα−xsinnα+sin(n−1)α,tađược
P(x1)=(cosnα+isinnα)sinα−(cosα+isinα)sinnα
=cosnαsinα−cosαsinnα+sin(n−1)α=0. Tươngtự,tacóP(x2)=0.
Bàit o á n 4 2 3 ( [ 2 ] )Tìmsố n gu yê n dươngns a och ođat hứ c(x−1) n − x n +1chiahếtchođathứcx 2 −x+1.
L i ời gi i ải C á c n g h i ệ m c ủ a đ a t hứ cx 2 −x+1l àx1
Vậygiátrịcầntìmcủanl ànhữngsốnguyêndươngchiacho6dư1 hoặcchiacho6dư5.
L i ời g i i ải Các nghiệmcủađathứcx 4 −1là±1,±i. Đặtf(x)=(x+1) 2n +(x−1) 2n −2x 2n ,tacó f(1)=f(−1)=0
L i ời gi i ải Ta ców=−
2 3 3 ĐathứcP(x)=x 2n +x n +1chiahếtchoQ(x)khivàchỉkhiP(w)=0. Điềunàytươngđươngvới cos 4n π.
Vậyvớin=3k+1hoặcn=3k+2(k∈Z)thìP(x)chiahếtchoQ(x). Trongvídụdướiđây,mộtlầnnữa,căncủađơnvịlạiđóngvaitròthenchốt.
L i ời g i i ải Đ t ặt w=e 5 thìw 5 =1và1+w+w 2 +w 3 +w 4 =0.
Cộngv ế v ớ i v ế c ủ a( 1 ),(2),(3),(4),(5)t ađ ư ợ c5P(1)= 0,t cức l àP(x) chiahếtchox−1.
Luậnvăn “S ố phức và một số ứng p h c ức và một số ứng v à m t ột số ứng s ố phức và một số ứng ức và một số ứng n g d n g ụng t r o n g t o á n s ơ c p ấp”
(1) Trình bày được một số kiến thức cần thiết về số phức như địnhnghĩa, tính chất, các phép toán trên tập số phức và các dạng biểu diễn củasốphức,
(2) Trình bày và hệ thống được một số phương pháp để giải các bàitoán cực trị số phức như: phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đại sốtrongsốphức,phươngpháphìnhhọc.
(3) Ứng dụng số phức như một cách khác để giải các bài toán sơ cấp.Cụthểnhưsau:
⋄Sửdụ ng số ph ức đ ể c hứ ng minhb ấ t đẳ ng th ức
⋄Sử dụng số phức để giải các bài toán về đa thức chẳng hạn như xácđịnhđathức,bàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
Hy vọng rằng luận văn sẽ đem đến một số điều thú vị, bổ ích cho mộtsốgiáoviênvàcácemhọcsinhkhá,giỏiởphổthông.Họcviênsẽtiếptụctìm hiểu,nghiên cứu sâu hơn về nội dung, phương pháp giải và ứng dụngthựctếcủasốphứctrongtươnglai.
[1] Nguyễn Tài Chung, Huỳnh Thanh Luân, Trần Minh Vũ, NguyễnThànhN h â n , H u ỳ n h K i m L i n h , T r ị n h K h ắ c T u ấ n , Đ a t h ứ c,N X B ĐạihọcQuốcgiaHàNội,2019.
[2] Nguyễn Văn Dũng,Phương pháp giải toán số phức và ứng dụng, NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội,2010.
[4] NguyễnVănMậu,TrầnNamDũng,NguyễnĐăngPhất,NguyễnThủyThanh,Ch uyênđềchọnlọcsốphứcvàứngdụng,NXBGiáodục,2009.
[6] TituAndreescu, Dorin Andrica,Complex numbers from A to
Biểudiễnhìnhhọccủasốphức
Trong mặt phẳng tọa độOxy, mỗi số phứcz=x+yiđược biểu diễnbởiđiểmMc ótọađộ(x;y).Ngượclại,mỗiđiểmM(x;y)biểudiễnm ột z
2 sốphứcz=x+yi.TacònviếtlàM(x+yi)hayM(z).Vìthếmặtphẳngtọađộbiể udiễnsốphứccòngọilàmặtphẳngphức.
1.4 Sốp h f í c l i ê n h ợ p Địnhn g h ĩ a 1 4 1 S ốphứcliênhợpcủasốphứcz=x+yi(x,y∈ R) làz=x−yi.
Nhậnx é t H a isố p h ứ c l iê n h ợ p kh i v à ch ỉ k h i cá c đ i ể m bi ểu d i ễn c ủ a c húngđốixứngvớinhauquatrụcthựcOx.
1.5 Môđuncủasố phfíc Địnhn g h ĩ a 1 5 1 M ô đ u nc ủ a số p hứ cz=x+yi(x,y
Mộtsốt í n h ch ất v ề mô đ u n củ asố p h ứ cs ẽ đ ượ c th ể h iệ n ở m ệ n h đề dưới đây.
(5)|z1ãz2| 2 =(z1ãz2)ã(z1ãz2)=(z1ãz1)ã(z2ãz2)=|z1| 2 ã|z2| 2
=|z1|+ z1z2+z1z2+|z2|. Vỡz1ãz2=z1ãz2=z1ãz2n ờ n z1z2+z1z2= 2Re(z1z2)≤2|z1z2|=2|z1||z2|=2|z1||z2|. Dođó|z1
1.6.1 Phépcộngvàphéptrừsốphfíc a) Tổngcủahaisốphfíc Địnhn g h ĩ a 1 6 1 T ổ n gc ủ a h a i s ố p h ứ cz1=x1+y1i(x1,y1∈ R)v à z2=x2+y2i(x2,y2∈R)làsốphức z1+z2=(x1+y1i)+(x2+y2i)=(x1+x2)+(y1+y2)i∈C.
Nhậnxét.Tổngcủahaisốphứclàmộtsốphứccóphầnthực(ảo)làtổngcácphầnth ực(ảo)củacácsốđãcho:
Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2);Im (z1+z2)=Im(z1)+Im(z2).
▷P h nần t ử đ ơ n v ị : T ồ nt ạ i d uy nh ất số p hứ c0=(0,0)saoch o z+0=0+z=z,∀z∈C.
▷Ph nần tửđối:V ớ imọiz∈C,tồntạiduynhất−z∈Csaocho z+(−z)=(−z)+z=0.
Khiđótanói−zl àsốđối(phầntửđối)củasốphứcz. b) Hiệuc ủ a h a i s ố p h f í c
Hiệucủahaisốphứcz1vàz2làtổngcủaz1với−z2,tứclà: z1−z2=z1+(−z2).
Từđây,tacóthểđịnhnghĩaphéptrừcủahaisốphứcnhưsau. Địnhn g h ĩ a 1 6 2 H i ệ uc ủ a h a i s ố p h ứ cz=x1+y1i(x1,y1∈ R)v à z2=x2+y2i(x2,y2∈R)làsốphức z1−z2=(x1+y1i)−(x2+y2i)=(x1−x2)+(y1−y2)i∈C.
Re (z1−z2) = Re (z1)−Re (z2) ;Im(z1−z2)=Im(z1)−Im(z2
). Ýnghĩahìnhh c ọc c a ủa phépc ng ột số ứng vàphéptr ừ s ố phức và một số ứng ph c: ức và một số ứng
1.6.2 Phépn h â n s ố p h f í c Địnhn g h ĩ a 1 6 3 T í c hc ủ a h a i s ố p h ứ cz1=x1+y1i(x1,y1∈ R)v à z2=x2+y2i(x2,y2∈R)làsốphức z1ãz2=(x1+y1i)ã(x2+y2i)=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1)i∈C.
Re (z1z2)=Re (z1)ãRe (z2)−Im (z1)ãIm (z2) ;Im(z1z2)=Re(z1)ãIm(z2)+Re(z2)ãIm(z1)
. Ngoàira,vớimọisốthựcλvàmọisốphứcz=x+yi(x,y∈R),tacó λãz=λ(x+yi)= (λ+0i)(x+yi)=λx+λyi∈C. z x 2 +y 2 x 2 +y 2
▷P h nần t ử đ ơ n v ị : T ồ nt ạ i d uy n h ấ t số p hứ c1=(1,0)saoch o zã1=1ãz=z,∀z∈ C.
C ∗sao cho zãz −1 =z −1 ãz= 1. Khiđótanóiz −1 làsốđối(phầntửđối)củaz.
2) Dễthấyrằngthương z làsốphứcws a ochozãw=z ′ Từđúcúthể nóiphépchiachosốphứckhác0làphéptoánngượccủaphépnhân.
Lũythừanguyêncủamộtsốphứcz∈C ∗đư ợc địnhnghĩanhưsau: z 0 =1;z 1 =z;z 2 =zãz; n z n =z`ã z ˛ãáã ã zxn∈Z + ;z n =z −1 − n∈Z −
x1y2=x2y1 Đặtx2=kx1⇒y2=ky1 Suy rakx1 2+ky1 2≥0⇒k≥0.Vậybấtđẳngthứccầnchứngminhđúng.
x1y2=x2y1 Đặtx2=kx1⇒y2=ky1 Suy rakx1 2+ky1 2≤0⇒k≤0.Vậybấtđẳngthứccầnchứngminhđúng.
L i ời gi i ải Theo bấtđẳngthứctamgiác,tacó
Dấu“=”x ả y rakhiz=kã(3i)=3ki,trongđúk≥0.
Dođó,từgiảthiếtsuyracácsốphứczth aỏa mãnbàitoánlàcácsốthuầnảomàc óphầnảokhôngâm.
Khidấu“=”x ả y ra,hãytìmsốphứczs aocho|z| L i ời g i i ải V i ới mọisốphứcz,tacó
Bàitoán2.1.3.Tìm số phứczsao choP=|z−2i|+|z+ 1|đạt giá trịnhỏnhất,biếtrằng|z−2|=|z+i−1|.
L i ời gi i ải Áp dụngbấtđẳngthứctamgiác,tacó
≥|2i−z+z+1|=|1+2i|Dấu“=”x ả y rakhivàchỉ kh iz+1=k(2i−z),vớik>0.
|z−1−2i|= 4.GọiM,ml nần lượtl à g i á t r ị l ớ n n h ấ t , g i á t r ị n h ỏ n h ấ t của|z+2+i|.TínhS=M 2 +m 2
L i ời gi i ải Ta có
Tadễdàngtìmđượccácsốphứcđểdấu“=”c ủ a2bấtđẳngthứctrênlần lượtxảyra.KhiđóM= 4+3√2vàm=3√2−4.
(SởG D H à T ĩ n h 2 0 1 7 ) Trongcácsốphứczt h aỏa mãnz−(2 + 4i) 2,gọiz1vàz2lần lượt là sốphức có môđun lớn nhất vàmôđunnhỏnhất.Tínhtổngphầnảocủahaisốphứcz1vàz2. mi n
L i ời gi i ải Ta có
Suy ra giá trị lớn nhất của|z|là2√5+2khiz=k(2+4i)với(k−1)√5 1,tứclàk=1+√
Chúj 2.1.6.K h is ử d ụ n g b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t a m g i á c t a s ẽ đ ư ợ c c á c đ á n h giá của các biểu thức về môđun số phức Tuy nhiên, nếu số phứczbị ràngbuộc thêm bởi một hoặc nhiều điều kiện thì chúng ta phải xét tới trườnghợp xảy ra dấu “=” của bất đẳng thức tam giác Nếu không tồn tại số phứczđể dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra thì ta cần sử dụng các phươngphápkhácđểgiảicácbàitoáncựctrịsốphức.
Với2sốp hứ cz1,z2t ù yý , ta có
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi|z1|=| z2|,t cức làz1v àz2l ànhữngsốphứccóđ i ể m b i ể u d i ễ n n ằ m t r ê n c ù n g m ộ t đ ư ờ n g t r ò n t â mOc ób á n k ín hR bấtkì.
Dấu“=”x ả y r a k h i v à c h ỉ k h i|z1|=|z2|= = |z n |,t cức l à c á c s ố p h ứ c xuấthiệntrongbấtđẳngthứcđềucóđiểmbiểudiễnnằmtrêncùngmộtđườngtròntâ mO,bánkínhRb tất kì.
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi| z 1 | m1 =| z2| m2. Tổngquáthơn,vớinsốphứcz1,z2, ,z n tùyývàm1,m2, ,m n ∈R ∗ , tacó m 1 |z1|+m2 |z2|+ +m n | z n | 2
,v iới quyướcnếu m n mộtsốm i ,(i=1,2,3, ,n)nàođóbằng0thìsốphứcz i tươngứngcũng bằng0.
Sau đây là các bất đẳng thức thường được sử dụng để giải các bài toáncực trị số phức Các bất đẳng thức này được suy ra dễ dàng từ bất đẳngthứcCauchyvàbấtđẳngthứcBunyakovsky.
Bàit o á n 2 1 7 G ọ iz1v àz2l àh a i n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h b ậ c h a iz 2 +az+6−8i=0, trong đóalà tham số thực Hãy tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thứcP=|z1|+|z2|.Xác định giá trị củaakhi biểu thứcPđ tạt giátrịnhỏnhất.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacúz1ãz2=6−8i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tađược
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi|z1|=|z2|2= 10.TheođịnhlýViet, tal ạ i c óz1+z2= −a∈ R.S u y r az1=x1+yiv à z2=x2−yi.V ì
Bài toán 2.1.8.Gọiz1vàz2là hai nghiệm phức của phương trình bậchaiz 2 +az+ 3 + 4i= 0, trong đóalà tham số thực Hãytìm giá trị nhỏnhấtcủabiểuthứcP= 2|z1|+3|z2|.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacúz1ãz2=3+4i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tacó
Bàitoá n2 1 9 Gọiz1,z2,z3làbanghiệmphứccủaphươngtrìnhbậcba z 3 +az 2 +bz+8i=0.Hãytìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
L i ời gi i ải T h e o địnhl ý Viet,ta c úz1ãz2ãz3=−8i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tacó
Vậygiá trịnhỏ nhất củabiểu thứcPl à Pmin,đạt được khi
Bàitoán 2.1.10.Gọizlà số phức thỏa mãn điều kiện|z|= 6.Hãy tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthứcP= |z−2 + 3i|+|z+ 2−3i| vàt ì m s ố phứczđểuPđ tạt giátrịlớnnhất.
L i ời gi i ải Ta có
=|z−v|+|z+v|, trongđ óv= 2−3i.S u yr a|v|=√13. ÁpdụngbấtđẳngthứcBunyakovsky,tađược
13. Nhìn chung, phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải các bài toáncựct r ị t h ư ờ n g đ ư ợ c s ử d ụ n g k h i g i ả t h i ế t b à i t o á n đ ơ n g i ả n , h o ặ c l i ê n quanđ ế n mô đ u n số p h ứ c Kh i g i ả t hi ết củ a b ài t o á np h ứ c t ạ p h ơ n h o ặ c liên quan đến tập hợp điểm biểu diễn số phức thì giải bằng phương pháphình học thường sẽ thuận lợi hơn Khi chuyển sang hình học, từ những giảthiếtvềsốphứckhátrừutượng,bàitoánsẽđượcminhhọamộtcáchrất trực quan, sinh động và cũng giải được bằng hình học với phương pháp rấtđẹp Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháphình học để giải quyết các bài toán về cực trị số phức là một trong nhữngphương pháp khá hay và hiệu quả Hơn nữa, với những bài toán cực trịhìnhhọcđượcgiảitheophươngpháptrắcnghiệm,nếubiểudiễnđượctrênhìnhvẽ,t acóthểlựachọnđápándễdànghơn.
Bước1 : C h uy ể nđổ ingônngữb àitoá nsốphứ csang ngônn gữhình học.
Víd ụ 2 2 1 C h os ố p h ứ czt h aỏa m ã n2(z−z)=i(z+z) 2 T ì mgi át r ị nh ỏnhấtcủa|z+3i|.
Bước1 : Giảsửz=x+yi(x,y∈ R),s uyraz=x−yi.K hiđó
GọiM(x;y)v àA(0;−3)l ầ nl ư ợ t l à đ i ể m b i ể u d i ễ n c h o s ố p h ứ cz và
Bước2:Parabolcó đỉnhtại điểmO(0;0),tr c đ iục đối ố xứng làđườngthẳng x=0.
Suyramin(MA)=3khiM≡O.Vậ ymin |z+3i|=3,k h iz= 0.
Sau đây là một số bài toán minh họa thêm cho phương pháp hình họckhigiảicácbàitoánvềcựctrịsốphức.
2.2.2 Mộts ố d ạ n g t h ư ờ n g g ặ p Ý tưởng chính của phương pháp hình học là tìm và vẽ được hình củatập hợp điểm biểu diễn cho các số phứczthỏa mãn giả thiết bài toán. Từđó,tìmđượcđápsốcủabàitoáncựctrịsốphức.
Phương pháp này rất thuận lợi khi giải các bài tập trắc nghiệm và cũngkháhiệuquảđểtìmlờigiảichitiếtkhilàmbàitậptựluận.
Bàitoán2.2.2.T r o n gt ấ t c ả c á c s ố p h ứ cz th aỏa m ã n|z−1+2i||z+3−4i|.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủamôđunz.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễncủasốphứcz.Ta có
=OM,m àO M đ tạt g i á t r ị n h ỏ n h ấ t k h iM làh ì n h c h i ế u củaOtr ên∆.
Vậy|z|min= ,khiđiểmMb i uểu diễnchozl àhìnhchiếuvuông góccủaOtrênđườngthẳng∆.13
Chúj2.2.3.Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ điểmOđến một điểmthuộc đường thẳng∆thì đoạn thẳngOMvuông góc với đường thẳng∆làngắnnhất.
Bàitoán2 2 4 Choz∈C thỏa mãn|z−1| ≥ |z−2i| Tìm giá trị nhỏnhấtcủa.z−(3+i) q 2
L i ời g i i ải G i ải sửz=x+yi(x,y∈ R),s u yraz=x−yi.
Từ(2.3)suyraMthu cộc miềngạchchéoởhìnhvẽ.Mặtk h ác. z−(3+i).=MKv iới K(3;1).D ođ ó hìnhv ẽ
(a,b∈R).Khiđóquỹtíchc ủ a đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz là đ ư ờ n g t r u n g t r ự c c ủ a đoạnOAv iới A(a;b).Dođó
(a,b,c,d∈ R).Khiđóquỹtíchcác điểmM(x;y)biểudiễncho sốphứczlàđ ư ờ n g t r u n g t r ự c∆ củađ o ạ nA B v iới A(a;b),B(c;d).D o đ ó
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
SuyraMthu cộc đường tròn(C)cótâmI(3;−4),bánkínhR=4.
=OM,m àO I= 5>Rn ê n O n mằm n g o à i đ ư ờ n g t r ò n(C).Đườngt h ẳn gOI c t ắt đ ư ờ n g t r ò n(C)t ạih a i đ i ể m p h â n b i ệ tM1,M2.
VìMd iđộngtrênđườngtròn(C)nênOMn hỏanhấtkhiMt r ù n gvới
M1,vàOMl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
+(−4) +R=9. Vậy|z|nhỏn hấ t b ằ n g1;|z|lớnn hấ t b ằ n g9.
▷Bướic1:ViếtphươngtrìnhđườngthẳngOI( g iảsửOIc óphươngtrình y=ax+b.Th ayO(0;0)vàI(3;−4)t ađ ượ cp hư ơn g trìn hOI).
▷Bư ớic2:TìmgiaođiểmcủađườngthẳngOIv àđườngtròn(C),từđótìmđ ượctọađộM1,M2.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
Suyr aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n(C)c ót â mI(1;0),b á n k í n hR= 2.Xét
Bàitoán2.2.8 Choz∈Cthỏamãn z+2≤ 1.Tìmgiátrịlớn ĐườngthẳngKIc tắt đườngtròn(C)tạihaiđiểmphânbiệtM1,M2.
M1vàMKl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
Từ( 2 4 ) s u y r aM thu cộc h ì n h t r ò n(C)c ót â mI(0;2),b á n k í n hR= 1. Mặtkhác, vớiK 0;3
Từz−(4+3i)= 2,s u y r aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n t â mI(4;3),b á n k í n h R=2.
Giả sử số phứczt h a m ã n đ i u k i nỏa ều kiện ện |z−a−bi|=R>0,(a, b∈R).Khiđ ó q u ỹ t í c h c á c đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz làđ ư ờ n g t r ò n tâmI(a;b),bánkínhR.Dođó,tacó
2.TrongmặtphẳngphứcgọiM,Nl nần lượtlàđiểmbiểudiễncủasốphứcz v à z.TìmgiátrịlớnnhấtcủadiệntíchtamgiácOMN.
L i ời gi i ải Đ t ặt z=x+yi(x,y∈ R),suyraz=x−yi.
GọiF1(−2; 0), F2(2; 0), M(x;y), N(x;−y)lần lượt là các điểm biểudiễncácsốphức−2;2;z;z.
VìM,Nl à đ i mểu biểudiễnsốphứczvàznênsuyraM,Nđ iố xứngnhauquaOx.DođóS∆
TheogiảthiếttalạicóMF1+MF2=4√ 2,suyra tậphợpđiểmMt h aỏa điềuk i ệ n t r ê n l à đ ư ờ n g e l i p c ó đ ộ d à i t r ụ c l ớ n
≤2√2.Đ ngẳng thứcxảyrakhix=2vày=√2.VậygiátrịlớnnhấtcủaS∆OMN l à2√2.
Bàito án2.2.11 (THPTYênKhánh NinhBình 2019).Chohaisố
Vì√5c). KhiđóquỹtíchđiểmM(x;y)biểudiễnsốphứczl àđườngelipcóphương x 2 y 2 trình(E): a 2 + a 2 −c 2 =1.Dođó,tacó
Chương này trình bày phương pháp chứng minh các bất đẳng thức đạisố bằng cách sử dụng các bất đẳng thức về môđun của số phức Đây làphương pháp khá thú vị, sử dụng cái ảo để chứng minh cái thực Các bàitoáncủachươngnàyđượcthamkhảotừ([1]).
Bàit o á n 3 1 1 Chứngminhrằngvớicácsốthựcbất kỳa k ,b k vớik 1,2, ,n,tacóbấtđẳngthứcsau q(a1+a2+ããã+a n ) 2 + (b1+b2+ããã+b n ) 2
L i ời g i i ải Xét z k =a k +b k i(k=1,2, ,n),khiđó z1+z2+ããã+z n =(a1+a2+ããã+a n )+(b1+b2+ããã+b n )i.
Bàit o á n 3 1 2 C h ob a s ố t h ự ca , b,ct h aỏa m ã na+b+c= 6.C h nức gminhrằng
L igi i.Xét ời ải cácsốphứcz1=a+i,z2=b+2i,z3=c+3i,khiđó
4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b)+ 4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b)≥2.
L i ời g i i ải Xét z1= 2 cosacosb+ s i n (a−b)iv à z 2= 2 sinasinb+ sin(a
|z1|=q4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b);|z2|=q4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b).
Bàitoán3.1.4 (Đạihọcquanhệquốctế−1997).Chứngminh rằngvớicácsốdươnga,b,ctacó
Bàit o á n 3 1 5 C h ứ n gm i n h r ằ n g n ế ua ,b,cl àc á c s ố d ư ơ n g t h ỏ a m ã n ab+bc+cact h ì√ a 2 +2b 2 ab +
L i ời gi i ải Cách 1:(Sửdụngsốphức) r q q
Xétc ác số phứ cz1=(x+2)+√3i,z2=(2−x)+√3i,t acó
L i ời gi i ải Ta viếtlạibấtđẳngthứctrênnhưsau q(x+1) 2 +(2y) 2 +q(3−x) 2 +(3−2y) 2 ≥5.
Bàitoán3.2.1.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,cv àsốdươngk,tacó k(a+b+c)−abc 2≤ a 2 +kb 2 +kc 2 +k.
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc3nhậna,b,cl à mnghiệmnhưsau f(t)=(t−a)(t−b)(t−c)
|A+Bi|=(A+Bi)(A−Bi)=A+B ≥A (vớii=−1), nêntacó
.f(it).=it−it(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc 2
=.−it3+t2(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc.2
Mặtkhác f(it) =(it−a)(it−b)(it−c)
=(it−a)(−it−a)(it−b)(−it−b)(it−c)(−it−c)
Chúj3.2.2.Với mỗiklà số cụ thể ta sẽ được những bài toán cụ thểkhác nhau Chẳng hạn, vớik= 3, tađược bài toán sau:Choa, b, clà cácsốthựcdươngthỏamãna 2 +b 2 +c 2 ≤3.Ch ngứng minhrằng abc+8≥3(a+b+c).
. −it(abc+bcd+cda+dab)+abcd)
≥t 4 −t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+
Bàitoán3.2.3.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,c,dv àsốdương k,tacó k 2 −k(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd2
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc4,nhậna,b,c,dl à mnghiệmnhưsau f(t)= (t−a)(t−b)(t−c)(t−d)
=t 4 −t 3 (a+b+c+d)+t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
—t(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Vì|A+Bi| 2= (A+Bi) (A−Bi)=A 2 +B 2 ≥A 2 (vớii 2 =−1) nênvớimọisốthựct,tacó
.f(it).=.it−it(a+b+c+d)+it(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
= t 4 +it 3 (a+b+c+d)−t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
−it(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Mặtkhác f(it) 2= (it−a)(it−b)(it−c)(it−d) 2
=( −a+it) (−a−it) (−b+it) (−b−it) (−c+it)( c it)( d+it)( d it)
Choc ác số d ươ nga,b,c,dt h aỏa m ãna 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 1.C h n gức m in h rằng ab+ac+ad+bc+bd+cd≤ 5
L i ời g i i ải T ừ 1kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=0,25tađược
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
⇒16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd≥−
⇒4+4abcd≥ab+ac+ad+bc+bd+cd.
Bàit o á n 3 2 5 ([1])Chocácsốthựca,b,c,dth aỏa mãn a 2 +1b 2 +1c 2 +1d 2 +1.
−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
L i ời g i i ải T ừ kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=1tađược
1 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd 2
—4≤(ab+ac+ad+bc+bd+cd)−abcd−1≤4
⇒−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
Bàitoán3.2.6 (USA Mathematical Olympiads 2014).Cho các số thựca,b,c,dthỏa mãn điều kiệnb−d≥5và tất cả các nghiệmx1, x2, x3, x4của đa thứcP(x) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+dđ u l à n g h i m t h c ều kiện ện ực.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacód=x1x2x3x4và b=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4. Vìb−d≥5nên
Nhận xét.Qua các bài toán trên, ta thấy rằng ứng dụng số phức vào việcchứng minh bất đẳng thức thật là thú vị Ẩn chứa trong cách giải các bàitoánbấtđẳngthứcbằngphươngphápsốphứcđóchínhlàviệcsửdụ ngcáiảođểchứngminhcáithực.
Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác định một đathức Cụ thể, nếu đa thứcP(x)bậcn(n∈N ∗ )cónnghiệmx1, x2, ,x n thìP(x)códạng
Tuy nhiên, nếu chỉ xét các nghiệm thực của đa thức thì trong nhiều trườnghợpsẽkhôngđủsốnghiệm.Hơnnữa,trongcácbàitoánphươngtrìnhhàmđath ức,nếuchỉxétcácnghiệmthựcthìlờigiảisẽkhônghoànchỉnh.Địnhlý cơ bản của đại số vì vậy đóng một vai trò hết sức quan trọng trong dạngtoán này đó là: "Một đa thức với hệ số phức (bao gồm cả số thực) luôn cóítnhấtmộtnghiệmphức(baogồmcảnghiệmthực)". Địnhljcơbảncủađạisố.Mọiđathứcbậcnhệnsốphức(thực)
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(vớia n ̸=0) đềucóđủnng hi mện phức(phânbiệthaytrùngnhau). Địnhl j V i e tt h u ậ n N ế ux1,x2, ,x n l àn n g h i mện ( p h â n b i ệ t h o ặ c trựngnhau)củađathứcP(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(a n ̸=0)
S n =x1x2 ãããx n =( 1) n a0 a n ĐịnhljVietđảo Nếunsốx1,x2, ,x n thỏamãn x1+x2+ããã+x n =S1 x1x2+x1x3+ããã+x n−1x n =S2 x1x2x3+x1x2x4+ããã+x n−2x n−1x n =S3
L igi i.V i ời ải ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0vớia n ≠ 0 làđathứcthỏamãncácyêucầubàitoán.Từ(4.1)t acó
VìhàmđathứcliêntụctrênRnêntừ(4.2),chox→0tađượcP1(0)=0, đếnđâytagặpmâuthuẫn.VậyTrườnghợp1khôngxảyra.
Giảsửαl àmộtnghiệmthựccủaP(x).Khiđó,vìa0=1nênα̸=0. TacóP(2α 3 +α)=P(α)P(2α 2 )=0.
Nếuα>0thì(α n )làdãytăngnghiêmngặt,nếuα1.Đi uều kiện nàydẫnđến
Dođ ó.2z 3 +z k = |z k |.2z 2 +1.>|z k |,s u yr aP(x)c óv ô s ố n g h i ệ m , điềunàykhôngthểxảyra.Vậyvớimọik=1,2, ,nthì|z k |≤1.Từđây vàt ừ ( 4 3 ) su y r a|z k |=1,∀k= 1,n.
Giảs ửα= cosϕ+isinϕl àn g h i ệ m p h ứ c c ủ aP(x).
2 Suyraα= ±i.D ođóP(x)= (x 2 +1) k ,k∈ N.T hử l ạit at hấyt hỏ amãn. Vậytất cảcácđa thứcthỏamãnyêu cầubàitoán là
Chúj4.1.2.TrongTrườnghợp1,đểsuyraP1(0)=0(nhằmtạoramâuthuẫn)m àkhôngcầndùngđếngiớihạntacóthểlàmnhưsau. π.
L i ời g i i ải V i ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
(4.5)Từ(4.4)tacóP(0)=0hoặcP(0)=1.D ođóa0=0hoặca0=1.
Từ(4.6),chox=0tađượcQ(0)=0,đ nến đâytagặpmâuthuẫn.
Trườngh ợ p 2 Nếua0=1.Đồngnhấthệsốbậccaonhấtở(4.4)tađược a n ãa n ã2
Từ(4.4)suyranếuP(x0)=0thìP(x 3 +x0)=0.V y,ậy, nếux0lànghiệmthựccủ aP(x)thìx 3 +x0cũnglànghiệmcủaP(x).
Nếux0>0thì(x n )làdãytăngnghiêmngặt,nếux0|z k |.Su yraP(x)cóvôsốnghiệm,điều
Chúj4.1.4.Bàitoán4.1.1vàBàitoán4.1.3đượctổngquáthoáthànhbàitoánsauđ ây.
Bài toán 4.1.6 (Olympic Hồng Kông−1999).Choklà số nguyêndương.Tìmcácđathứchệsốthựcthỏamãnđiềukiện
L i ời g i i ải Xét tr ười ng h p ợp P(x)≡C( Cl à h n g ằm s ) ố Từ(4.7)đượcC=C k Khik=1thìCl àhằngsốbấtkì.Khik>1thì
Nếukc h nẵn thìC= 1hoặcC= 0,nếuklẻthìC= 0hoặcC= 1hoặc C=−1.
Tiếp theo ta xét trường hợpdegP≥1 Vì đa thứcP(x)−xluôn cónghiệm (xét cả nghiệm phức) nên vớimọin∈N ∗ , tồn tạiα n ∈C sao choP(α n )=α n Từđó,tacó
Vậynếuk=0thìP(x)≡C(Cl àhằngsốbấtkì).Nếuk>1thìcácđathứct hỏamãnđềbàilàP(x)≡0,P(x)≡1,P(x)≡x k
Bàitoán4.1.7.([6])Tìmtấtcảcácđathứcf(x)∈R[x]thỏamãn f(sinx+cosx)=f(sinx)+f(cosx),∀x∈R (4.9)
L i ời g i i ải D ễ thấyđathứcf(x)≡c( cl àhằngsố)thỏamãn cácyêucầubàit oán.Tiếptheogiảsửdeg(f)=n≥1. k
1 a k x k +a0.Nhâncảhaivếcủa(4.10)với 1+x 2n , rồithayxb iởi i(ilàđơnvịảo,i 2 =−1)tađược a n (2+2i) n =a n (2i) n +2 n ⇔(1+i) n =1+i n
4 Khin=1thì(4.12)đúng.Khin=2thì(4.12)khôngđúng.Khin>2 thì2 n−2 >2>cos 2 nπ.
4 Tómlại(4.12)⇔n=1.Dođódeg(f)=1hayf(x)=ax+b.Thay vào(4.9)đượcb=0.Suyraf(x)≡ax.
Bàitoán4.1.8.([1])Tìmtấtcảcácđathứchệsốthựcf,gth aỏa mãn f(g(x))=f(x)g(x),∀x∈R (4.13) n
L i gi i ời ải Nếug(x)≡0thì từ (4.13) suy raf(x)là đa thức thỏa mãnf(0)
= 0 Nếuf(x)≡0thì mọi đa thứcg(x)đều thỏa mãn yêu cầu đềbài.
Tiếptheogiảsửf(x)̸≡0vàg(x)̸≡0.Từ(4.13)suyra deg(f)ãdeg(g)= deg(f)+deg(g). (4.14)Dodeg(f),deg(g)lànhữngsốtựnhiênnên
Giảsửf(x)≡a,g(x)=b(a,blànhữnghằngsốkhác0).Thayvào(4.13),tađ ược a⇔b=1.
Lúcnày(4.13)trởthành a[g(x)] 2 +bg(x)=ax 2 +bxg(x),∀x∈R.
Vậycáccặpđathứcthỏamãnyêucầubàitoánlà f(x)≡a n x n +ããã+a1x,g(x)≡0; f(x)≡0,g(x)làđathứchệsốthực; f(x)≡a,g(x)≡1(alàhằngsốkhác0); f(x)≡ax 2 +bx,g(x)≡ax 2 +b x−b ( a,bl àhằngsố,a̸=0).
L i gi i ời ải Giả sửx0là nghiệm củaP(x)= 0, suy raP(x0 2+x0+ 1) 0.Khiđóx 2 +x0+1cũnglànghiệmcủaP(x).
Chọnαlà nghiệm có môđun lớn nhất (nếu tồn tại vài nghiệm với môđunlớnnhất,tachọnmộttrongsốcácnghiệmđó).Từ cáchchọnαnh ưvậytasuyra α 2 +α+1≤|α|v à α 2 −α+1≤ |α| vìcảα 2 +α+1vàα 2 −α+1đềulànghiệmcủaP(x).
Vếđầuv àvế cuốic ủab ấtđẳngthứ ctrê nbằng nhaunênd ấu bằngph ải xảy ra Từ đây ta suy raα 2 +α+ 1 =−kα 2 −α+ 1, vớiklà hằng sốdương.Hơnnữa,vì|α|làlớnnhấtnên α 2 +α+1=α 2 −α+1=|α|.
Từ đóα=±ivàx 2 + 1là thừa số củaP(x) Như vậy ta có thể viếtP(x)dướidạngP(x)=x 2 +1 m Q(x)vớim∈N ∗ ,trongđóQ(x)làđathứck hôngchiahếtchox 2 +1.Thayngượctrởlạivàophươngtrình(4.15),ta thấyQ(x)cũngthoảmãnđiềukiện
NếuphươngtrìnhQ(x)=0lạicónghiệmthìlậpluậnnhưtrêntasuyranghiệ mcómôđunlớnnhấtcủanóphảilà±i.Đi uều kiện nàykhôngthểxảyravìx 2 +1không chiahếtQ(x).TasuyrarằngQ(x)làmộthằngsố,giả sửQ(x) =c,∀x∈R Thay vào phương trình(4.16),ta đượcc= 1. VậylớpcácđathứcthoảmãnbàitoánlàP(x)=x 2 +1 m v ớ i mlàmộtsố nguyêndươngnàođó.
L i ời gi i ải Giả sửαlà nghiệm của phương trìnhP(x)=0 Khi đó từphươngt r ì n h s u y r aα 2 ,α 4 ,α 8 , c ũ n gl à n g h i ệ m c ủ aP(x)= 0.T ừ đ â y suy ra rằng|α|= 0hoặc|α|= 1, vì nếu ngược lại ta sẽ thu được dãy vôhạncácnghiệmphânbiệtcủaP(x).
Giảsửrằng|α|=1và|α−1|=1.Taviếtα=cosβ+isinβv iới β∈
3 Trườnghợpβ= Xétα 2 cũnglànghiệmcủaP(x)=0.Nhưvậy α 2 −1cũnglànghiệmcủaP(x)=0và3
Nhưv ậ y t a c ó t h ể k ế t l u ậ n rằ n gα= 0ho ặcα−1=0.S u y r aP(x) códạngP(x)=cx m (1−x) n ,v iới clàmộthằngsốnàođóvàm,nlàcác sốnguyênkhôngâm.Thayvàophươngtrìnhđãcho,tadễdàngkiểmtrađượcrằngc=1 vàm=n.
Ta biết rằng nếu đa thứcP(x)chia hết cho đa thứcQ(x)thì mọi nghiệmcủaQ(x)đ ề ul à n g h i ệ m c ủ aP(x).T í n h c h ấ t đ ơ n g i ả n n à y l à c h ì a k h o á đểgiảinhiềubàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
L i ời gi i ải V ì x 2 +1=0⇔(x−i)(x+i)=0nênx 2 +1cónghiệmlài và−i. Đặtf(x)=(x+1) 4n+2 +(x−1) 4n+2 Tacó
Bài toán 4.2.2.([2])Chứng minh rằng với mọi số tự nhiênnlớn hơn1vàsố thựcαthỏa mãnsinα̸=0, đa thứcx n sinα−xsinnα+ sin
L i ời g i i ải Xét phươngtrìnhx 2 −2xcosα+1có∆ ′ =cos 2 α−1=i 2 sin 2 α nên có nghiệmx1= cosα+isinαvàx2= cosα−isinαlà 2 số phức liênhợp. ĐặtP(x)=x n sinα−xsinnα+sin(n−1)α,tađược
P(x1)=(cosnα+isinnα)sinα−(cosα+isinα)sinnα
=cosnαsinα−cosαsinnα+sin(n−1)α=0. Tươngtự,tacóP(x2)=0.
Bàit o á n 4 2 3 ( [ 2 ] )Tìmsố n gu yê n dươngns a och ođat hứ c(x−1) n − x n +1chiahếtchođathứcx 2 −x+1.
L i ời gi i ải C á c n g h i ệ m c ủ a đ a t hứ cx 2 −x+1l àx1
Vậygiátrịcầntìmcủanl ànhữngsốnguyêndươngchiacho6dư1 hoặcchiacho6dư5.
L i ời g i i ải Các nghiệmcủađathứcx 4 −1là±1,±i. Đặtf(x)=(x+1) 2n +(x−1) 2n −2x 2n ,tacó f(1)=f(−1)=0
L i ời gi i ải Ta ców=−
2 3 3 ĐathứcP(x)=x 2n +x n +1chiahếtchoQ(x)khivàchỉkhiP(w)=0. Điềunàytươngđươngvới cos 4n π.
Vậyvớin=3k+1hoặcn=3k+2(k∈Z)thìP(x)chiahếtchoQ(x). Trongvídụdướiđây,mộtlầnnữa,căncủađơnvịlạiđóngvaitròthenchốt.
L i ời g i i ải Đ t ặt w=e 5 thìw 5 =1và1+w+w 2 +w 3 +w 4 =0.
Cộngv ế v ớ i v ế c ủ a( 1 ),(2),(3),(4),(5)t ađ ư ợ c5P(1)= 0,t cức l àP(x) chiahếtchox−1.
Luậnvăn “S ố phức và một số ứng p h c ức và một số ứng v à m t ột số ứng s ố phức và một số ứng ức và một số ứng n g d n g ụng t r o n g t o á n s ơ c p ấp”
(1) Trình bày được một số kiến thức cần thiết về số phức như địnhnghĩa, tính chất, các phép toán trên tập số phức và các dạng biểu diễn củasốphức,
(2) Trình bày và hệ thống được một số phương pháp để giải các bàitoán cực trị số phức như: phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đại sốtrongsốphức,phươngpháphìnhhọc.
(3) Ứng dụng số phức như một cách khác để giải các bài toán sơ cấp.Cụthểnhưsau:
⋄Sửdụ ng số ph ức đ ể c hứ ng minhb ấ t đẳ ng th ức
⋄Sử dụng số phức để giải các bài toán về đa thức chẳng hạn như xácđịnhđathức,bàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
Hy vọng rằng luận văn sẽ đem đến một số điều thú vị, bổ ích cho mộtsốgiáoviênvàcácemhọcsinhkhá,giỏiởphổthông.Họcviênsẽtiếptụctìm hiểu,nghiên cứu sâu hơn về nội dung, phương pháp giải và ứng dụngthựctếcủasốphứctrongtươnglai.
[1] Nguyễn Tài Chung, Huỳnh Thanh Luân, Trần Minh Vũ, NguyễnThànhN h â n , H u ỳ n h K i m L i n h , T r ị n h K h ắ c T u ấ n , Đ a t h ứ c,N X B ĐạihọcQuốcgiaHàNội,2019.
[2] Nguyễn Văn Dũng,Phương pháp giải toán số phức và ứng dụng, NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội,2010.
[4] NguyễnVănMậu,TrầnNamDũng,NguyễnĐăngPhất,NguyễnThủyThanh,Ch uyênđềchọnlọcsốphứcvàứngdụng,NXBGiáodục,2009.
[6] TituAndreescu, Dorin Andrica,Complex numbers from A to
Môđuncủasốphức
Địnhn g h ĩ a 1 5 1 M ô đ u nc ủ a số p hứ cz=x+yi(x,y
Mộtsốt í n h ch ất v ề mô đ u n củ asố p h ứ cs ẽ đ ượ c th ể h iệ n ở m ệ n h đề dưới đây.
(5)|z1ãz2| 2 =(z1ãz2)ã(z1ãz2)=(z1ãz1)ã(z2ãz2)=|z1| 2 ã|z2| 2
=|z1|+ z1z2+z1z2+|z2|. Vỡz1ãz2=z1ãz2=z1ãz2n ờ n z1z2+z1z2= 2Re(z1z2)≤2|z1z2|=2|z1||z2|=2|z1||z2|. Dođó|z1
Cácphéptoántrêntậpsốphức
Phépcộngvàphéptrừsốphức
a) Tổngcủahaisốphfíc Địnhn g h ĩ a 1 6 1 T ổ n gc ủ a h a i s ố p h ứ cz1=x1+y1i(x1,y1∈ R)v à z2=x2+y2i(x2,y2∈R)làsốphức z1+z2=(x1+y1i)+(x2+y2i)=(x1+x2)+(y1+y2)i∈C.
Nhậnxét.Tổngcủahaisốphứclàmộtsốphứccóphầnthực(ảo)làtổngcácphầnth ực(ảo)củacácsốđãcho:
Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2);Im (z1+z2)=Im(z1)+Im(z2).
▷P h nần t ử đ ơ n v ị : T ồ nt ạ i d uy nh ất số p hứ c0=(0,0)saoch o z+0=0+z=z,∀z∈C.
▷Ph nần tửđối:V ớ imọiz∈C,tồntạiduynhất−z∈Csaocho z+(−z)=(−z)+z=0.
Khiđótanói−zl àsốđối(phầntửđối)củasốphứcz. b) Hiệuc ủ a h a i s ố p h f í c
Hiệucủahaisốphứcz1vàz2làtổngcủaz1với−z2,tứclà: z1−z2=z1+(−z2).
Từđây,tacóthểđịnhnghĩaphéptrừcủahaisốphứcnhưsau. Địnhn g h ĩ a 1 6 2 H i ệ uc ủ a h a i s ố p h ứ cz=x1+y1i(x1,y1∈ R)v à z2=x2+y2i(x2,y2∈R)làsốphức z1−z2=(x1+y1i)−(x2+y2i)=(x1−x2)+(y1−y2)i∈C.
Re (z1−z2) = Re (z1)−Re (z2) ;Im(z1−z2)=Im(z1)−Im(z2
). Ýnghĩahìnhh c ọc c a ủa phépc ng ột số ứng vàphéptr ừ s ố phức và một số ứng ph c: ức và một số ứng
Phépnhânsốphức
Địnhn g h ĩ a 1 6 3 T í c hc ủ a h a i s ố p h ứ cz1=x1+y1i(x1,y1∈ R)v à z2=x2+y2i(x2,y2∈R)làsốphức z1ãz2=(x1+y1i)ã(x2+y2i)=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1)i∈C.
Re (z1z2)=Re (z1)ãRe (z2)−Im (z1)ãIm (z2) ;Im(z1z2)=Re(z1)ãIm(z2)+Re(z2)ãIm(z1)
. Ngoàira,vớimọisốthựcλvàmọisốphứcz=x+yi(x,y∈R),tacó λãz=λ(x+yi)= (λ+0i)(x+yi)=λx+λyi∈C. z x 2 +y 2 x 2 +y 2
▷P h nần t ử đ ơ n v ị : T ồ nt ạ i d uy n h ấ t số p hứ c1=(1,0)saoch o zã1=1ãz=z,∀z∈ C.
C ∗sao cho zãz −1 =z −1 ãz= 1. Khiđótanóiz −1 làsốđối(phầntửđối)củaz.
2) Dễthấyrằngthương z làsốphứcws a ochozãw=z ′ Từđúcúthể nóiphépchiachosốphứckhác0làphéptoánngượccủaphépnhân.
Lũythừanguyêncủamộtsốphứcz∈C ∗đư ợc địnhnghĩanhưsau: z 0 =1;z 1 =z;z 2 =zãz; n z n =z`ã z ˛ãáã ã zxn∈Z + ;z n =z −1 − n∈Z −
x1y2=x2y1 Đặtx2=kx1⇒y2=ky1 Suy rakx1 2+ky1 2≥0⇒k≥0.Vậybấtđẳngthứccầnchứngminhđúng.
x1y2=x2y1 Đặtx2=kx1⇒y2=ky1 Suy rakx1 2+ky1 2≤0⇒k≤0.Vậybấtđẳngthứccầnchứngminhđúng.
L i ời gi i ải Theo bấtđẳngthứctamgiác,tacó
Dấu“=”x ả y rakhiz=kã(3i)=3ki,trongđúk≥0.
Dođó,từgiảthiếtsuyracácsốphứczth aỏa mãnbàitoánlàcácsốthuầnảomàc óphầnảokhôngâm.
Khidấu“=”x ả y ra,hãytìmsốphứczs aocho|z| L i ời g i i ải V i ới mọisốphứcz,tacó
Bàitoán2.1.3.Tìm số phứczsao choP=|z−2i|+|z+ 1|đạt giá trịnhỏnhất,biếtrằng|z−2|=|z+i−1|.
L i ời gi i ải Áp dụngbấtđẳngthứctamgiác,tacó
≥|2i−z+z+1|=|1+2i|Dấu“=”x ả y rakhivàchỉ kh iz+1=k(2i−z),vớik>0.
|z−1−2i|= 4.GọiM,ml nần lượtl à g i á t r ị l ớ n n h ấ t , g i á t r ị n h ỏ n h ấ t của|z+2+i|.TínhS=M 2 +m 2
L i ời gi i ải Ta có
Tadễdàngtìmđượccácsốphứcđểdấu“=”c ủ a2bấtđẳngthứctrênlần lượtxảyra.KhiđóM= 4+3√2vàm=3√2−4.
(SởG D H à T ĩ n h 2 0 1 7 ) Trongcácsốphứczt h aỏa mãnz−(2 + 4i) 2,gọiz1vàz2lần lượt là sốphức có môđun lớn nhất vàmôđunnhỏnhất.Tínhtổngphầnảocủahaisốphứcz1vàz2. mi n
L i ời gi i ải Ta có
Suy ra giá trị lớn nhất của|z|là2√5+2khiz=k(2+4i)với(k−1)√5 1,tứclàk=1+√
Chúj 2.1.6.K h is ử d ụ n g b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t a m g i á c t a s ẽ đ ư ợ c c á c đ á n h giá của các biểu thức về môđun số phức Tuy nhiên, nếu số phứczbị ràngbuộc thêm bởi một hoặc nhiều điều kiện thì chúng ta phải xét tới trườnghợp xảy ra dấu “=” của bất đẳng thức tam giác Nếu không tồn tại số phứczđể dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra thì ta cần sử dụng các phươngphápkhácđểgiảicácbàitoáncựctrịsốphức.
Với2sốp hứ cz1,z2t ù yý , ta có
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi|z1|=| z2|,t cức làz1v àz2l ànhữngsốphứccóđ i ể m b i ể u d i ễ n n ằ m t r ê n c ù n g m ộ t đ ư ờ n g t r ò n t â mOc ób á n k ín hR bấtkì.
Dấu“=”x ả y r a k h i v à c h ỉ k h i|z1|=|z2|= = |z n |,t cức l à c á c s ố p h ứ c xuấthiệntrongbấtđẳngthứcđềucóđiểmbiểudiễnnằmtrêncùngmộtđườngtròntâ mO,bánkínhRb tất kì.
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi| z 1 | m1 =| z2| m2. Tổngquáthơn,vớinsốphứcz1,z2, ,z n tùyývàm1,m2, ,m n ∈R ∗ , tacó m 1 |z1|+m2 |z2|+ +m n | z n | 2
,v iới quyướcnếu m n mộtsốm i ,(i=1,2,3, ,n)nàođóbằng0thìsốphứcz i tươngứngcũng bằng0.
Sau đây là các bất đẳng thức thường được sử dụng để giải các bài toáncực trị số phức Các bất đẳng thức này được suy ra dễ dàng từ bất đẳngthứcCauchyvàbấtđẳngthứcBunyakovsky.
Bàit o á n 2 1 7 G ọ iz1v àz2l àh a i n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h b ậ c h a iz 2 +az+6−8i=0, trong đóalà tham số thực Hãy tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thứcP=|z1|+|z2|.Xác định giá trị củaakhi biểu thứcPđ tạt giátrịnhỏnhất.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacúz1ãz2=6−8i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tađược
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi|z1|=|z2|2= 10.TheođịnhlýViet, tal ạ i c óz1+z2= −a∈ R.S u y r az1=x1+yiv à z2=x2−yi.V ì
Bài toán 2.1.8.Gọiz1vàz2là hai nghiệm phức của phương trình bậchaiz 2 +az+ 3 + 4i= 0, trong đóalà tham số thực Hãytìm giá trị nhỏnhấtcủabiểuthứcP= 2|z1|+3|z2|.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacúz1ãz2=3+4i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tacó
Bàitoá n2 1 9 Gọiz1,z2,z3làbanghiệmphứccủaphươngtrìnhbậcba z 3 +az 2 +bz+8i=0.Hãytìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
L i ời gi i ải T h e o địnhl ý Viet,ta c úz1ãz2ãz3=−8i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tacó
Vậygiá trịnhỏ nhất củabiểu thứcPl à Pmin,đạt được khi
Bàitoán 2.1.10.Gọizlà số phức thỏa mãn điều kiện|z|= 6.Hãy tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthứcP= |z−2 + 3i|+|z+ 2−3i| vàt ì m s ố phứczđểuPđ tạt giátrịlớnnhất.
L i ời gi i ải Ta có
=|z−v|+|z+v|, trongđ óv= 2−3i.S u yr a|v|=√13. ÁpdụngbấtđẳngthứcBunyakovsky,tađược
13. Nhìn chung, phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải các bài toáncựct r ị t h ư ờ n g đ ư ợ c s ử d ụ n g k h i g i ả t h i ế t b à i t o á n đ ơ n g i ả n , h o ặ c l i ê n quanđ ế n mô đ u n số p h ứ c Kh i g i ả t hi ết củ a b ài t o á np h ứ c t ạ p h ơ n h o ặ c liên quan đến tập hợp điểm biểu diễn số phức thì giải bằng phương pháphình học thường sẽ thuận lợi hơn Khi chuyển sang hình học, từ những giảthiếtvềsốphứckhátrừutượng,bàitoánsẽđượcminhhọamộtcáchrất trực quan, sinh động và cũng giải được bằng hình học với phương pháp rấtđẹp Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháphình học để giải quyết các bài toán về cực trị số phức là một trong nhữngphương pháp khá hay và hiệu quả Hơn nữa, với những bài toán cực trịhìnhhọcđượcgiảitheophươngpháptrắcnghiệm,nếubiểudiễnđượctrênhìnhvẽ,t acóthểlựachọnđápándễdànghơn.
Bước1 : C h uy ể nđổ ingônngữb àitoá nsốphứ csang ngônn gữhình học.
Víd ụ 2 2 1 C h os ố p h ứ czt h aỏa m ã n2(z−z)=i(z+z) 2 T ì mgi át r ị nh ỏnhấtcủa|z+3i|.
Bước1 : Giảsửz=x+yi(x,y∈ R),s uyraz=x−yi.K hiđó
GọiM(x;y)v àA(0;−3)l ầ nl ư ợ t l à đ i ể m b i ể u d i ễ n c h o s ố p h ứ cz và
Bước2:Parabolcó đỉnhtại điểmO(0;0),tr c đ iục đối ố xứng làđườngthẳng x=0.
Suyramin(MA)=3khiM≡O.Vậ ymin |z+3i|=3,k h iz= 0.
Sau đây là một số bài toán minh họa thêm cho phương pháp hình họckhigiảicácbàitoánvềcựctrịsốphức.
2.2.2 Mộts ố d ạ n g t h ư ờ n g g ặ p Ý tưởng chính của phương pháp hình học là tìm và vẽ được hình củatập hợp điểm biểu diễn cho các số phứczthỏa mãn giả thiết bài toán. Từđó,tìmđượcđápsốcủabàitoáncựctrịsốphức.
Phương pháp này rất thuận lợi khi giải các bài tập trắc nghiệm và cũngkháhiệuquảđểtìmlờigiảichitiếtkhilàmbàitậptựluận.
Bàitoán2.2.2.T r o n gt ấ t c ả c á c s ố p h ứ cz th aỏa m ã n|z−1+2i||z+3−4i|.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủamôđunz.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễncủasốphứcz.Ta có
=OM,m àO M đ tạt g i á t r ị n h ỏ n h ấ t k h iM làh ì n h c h i ế u củaOtr ên∆.
Vậy|z|min= ,khiđiểmMb i uểu diễnchozl àhìnhchiếuvuông góccủaOtrênđườngthẳng∆.13
Chúj2.2.3.Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ điểmOđến một điểmthuộc đường thẳng∆thì đoạn thẳngOMvuông góc với đường thẳng∆làngắnnhất.
Bàitoán2 2 4 Choz∈C thỏa mãn|z−1| ≥ |z−2i| Tìm giá trị nhỏnhấtcủa.z−(3+i) q 2
L i ời g i i ải G i ải sửz=x+yi(x,y∈ R),s u yraz=x−yi.
Từ(2.3)suyraMthu cộc miềngạchchéoởhìnhvẽ.Mặtk h ác. z−(3+i).=MKv iới K(3;1).D ođ ó hìnhv ẽ
(a,b∈R).Khiđóquỹtíchc ủ a đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz là đ ư ờ n g t r u n g t r ự c c ủ a đoạnOAv iới A(a;b).Dođó
(a,b,c,d∈ R).Khiđóquỹtíchcác điểmM(x;y)biểudiễncho sốphứczlàđ ư ờ n g t r u n g t r ự c∆ củađ o ạ nA B v iới A(a;b),B(c;d).D o đ ó
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
SuyraMthu cộc đường tròn(C)cótâmI(3;−4),bánkínhR=4.
=OM,m àO I= 5>Rn ê n O n mằm n g o à i đ ư ờ n g t r ò n(C).Đườngt h ẳn gOI c t ắt đ ư ờ n g t r ò n(C)t ạih a i đ i ể m p h â n b i ệ tM1,M2.
VìMd iđộngtrênđườngtròn(C)nênOMn hỏanhấtkhiMt r ù n gvới
M1,vàOMl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
+(−4) +R=9. Vậy|z|nhỏn hấ t b ằ n g1;|z|lớnn hấ t b ằ n g9.
▷Bướic1:ViếtphươngtrìnhđườngthẳngOI( g iảsửOIc óphươngtrình y=ax+b.Th ayO(0;0)vàI(3;−4)t ađ ượ cp hư ơn g trìn hOI).
▷Bư ớic2:TìmgiaođiểmcủađườngthẳngOIv àđườngtròn(C),từđótìmđ ượctọađộM1,M2.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
Suyr aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n(C)c ót â mI(1;0),b á n k í n hR= 2.Xét
Bàitoán2.2.8 Choz∈Cthỏamãn z+2≤ 1.Tìmgiátrịlớn ĐườngthẳngKIc tắt đườngtròn(C)tạihaiđiểmphânbiệtM1,M2.
M1vàMKl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
Từ( 2 4 ) s u y r aM thu cộc h ì n h t r ò n(C)c ót â mI(0;2),b á n k í n hR= 1. Mặtkhác, vớiK 0;3
Từz−(4+3i)= 2,s u y r aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n t â mI(4;3),b á n k í n h R=2.
Giả sử số phứczt h a m ã n đ i u k i nỏa ều kiện ện |z−a−bi|=R>0,(a, b∈R).Khiđ ó q u ỹ t í c h c á c đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz làđ ư ờ n g t r ò n tâmI(a;b),bánkínhR.Dođó,tacó
2.TrongmặtphẳngphứcgọiM,Nl nần lượtlàđiểmbiểudiễncủasốphứcz v à z.TìmgiátrịlớnnhấtcủadiệntíchtamgiácOMN.
L i ời gi i ải Đ t ặt z=x+yi(x,y∈ R),suyraz=x−yi.
GọiF1(−2; 0), F2(2; 0), M(x;y), N(x;−y)lần lượt là các điểm biểudiễncácsốphức−2;2;z;z.
VìM,Nl à đ i mểu biểudiễnsốphứczvàznênsuyraM,Nđ iố xứngnhauquaOx.DođóS∆
TheogiảthiếttalạicóMF1+MF2=4√ 2,suyra tậphợpđiểmMt h aỏa điềuk i ệ n t r ê n l à đ ư ờ n g e l i p c ó đ ộ d à i t r ụ c l ớ n
≤2√2.Đ ngẳng thứcxảyrakhix=2vày=√2.VậygiátrịlớnnhấtcủaS∆OMN l à2√2.
Bàito án2.2.11 (THPTYênKhánh NinhBình 2019).Chohaisố
Vì√5c). KhiđóquỹtíchđiểmM(x;y)biểudiễnsốphứczl àđườngelipcóphương x 2 y 2 trình(E): a 2 + a 2 −c 2 =1.Dođó,tacó
Chương này trình bày phương pháp chứng minh các bất đẳng thức đạisố bằng cách sử dụng các bất đẳng thức về môđun của số phức Đây làphương pháp khá thú vị, sử dụng cái ảo để chứng minh cái thực Các bàitoáncủachươngnàyđượcthamkhảotừ([1]).
Bàit o á n 3 1 1 Chứngminhrằngvớicácsốthựcbất kỳa k ,b k vớik 1,2, ,n,tacóbấtđẳngthứcsau q(a1+a2+ããã+a n ) 2 + (b1+b2+ããã+b n ) 2
L i ời g i i ải Xét z k =a k +b k i(k=1,2, ,n),khiđó z1+z2+ããã+z n =(a1+a2+ããã+a n )+(b1+b2+ããã+b n )i.
Bàit o á n 3 1 2 C h ob a s ố t h ự ca , b,ct h aỏa m ã na+b+c= 6.C h nức gminhrằng
L igi i.Xét ời ải cácsốphứcz1=a+i,z2=b+2i,z3=c+3i,khiđó
4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b)+ 4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b)≥2.
L i ời g i i ải Xét z1= 2 cosacosb+ s i n (a−b)iv à z 2= 2 sinasinb+ sin(a
|z1|=q4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b);|z2|=q4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b).
Bàitoán3.1.4 (Đạihọcquanhệquốctế−1997).Chứngminh rằngvớicácsốdươnga,b,ctacó
Bàit o á n 3 1 5 C h ứ n gm i n h r ằ n g n ế ua ,b,cl àc á c s ố d ư ơ n g t h ỏ a m ã n ab+bc+cact h ì√ a 2 +2b 2 ab +
L i ời gi i ải Cách 1:(Sửdụngsốphức) r q q
Xétc ác số phứ cz1=(x+2)+√3i,z2=(2−x)+√3i,t acó
L i ời gi i ải Ta viếtlạibấtđẳngthứctrênnhưsau q(x+1) 2 +(2y) 2 +q(3−x) 2 +(3−2y) 2 ≥5.
Bàitoán3.2.1.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,cv àsốdươngk,tacó k(a+b+c)−abc 2≤ a 2 +kb 2 +kc 2 +k.
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc3nhậna,b,cl à mnghiệmnhưsau f(t)=(t−a)(t−b)(t−c)
|A+Bi|=(A+Bi)(A−Bi)=A+B ≥A (vớii=−1), nêntacó
.f(it).=it−it(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc 2
=.−it3+t2(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc.2
Mặtkhác f(it) =(it−a)(it−b)(it−c)
=(it−a)(−it−a)(it−b)(−it−b)(it−c)(−it−c)
Chúj3.2.2.Với mỗiklà số cụ thể ta sẽ được những bài toán cụ thểkhác nhau Chẳng hạn, vớik= 3, tađược bài toán sau:Choa, b, clà cácsốthựcdươngthỏamãna 2 +b 2 +c 2 ≤3.Ch ngứng minhrằng abc+8≥3(a+b+c).
. −it(abc+bcd+cda+dab)+abcd)
≥t 4 −t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+
Bàitoán3.2.3.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,c,dv àsốdương k,tacó k 2 −k(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd2
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc4,nhậna,b,c,dl à mnghiệmnhưsau f(t)= (t−a)(t−b)(t−c)(t−d)
=t 4 −t 3 (a+b+c+d)+t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
—t(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Vì|A+Bi| 2= (A+Bi) (A−Bi)=A 2 +B 2 ≥A 2 (vớii 2 =−1) nênvớimọisốthựct,tacó
.f(it).=.it−it(a+b+c+d)+it(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
= t 4 +it 3 (a+b+c+d)−t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
−it(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Mặtkhác f(it) 2= (it−a)(it−b)(it−c)(it−d) 2
=( −a+it) (−a−it) (−b+it) (−b−it) (−c+it)( c it)( d+it)( d it)
Choc ác số d ươ nga,b,c,dt h aỏa m ãna 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 1.C h n gức m in h rằng ab+ac+ad+bc+bd+cd≤ 5
L i ời g i i ải T ừ 1kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=0,25tađược
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
⇒16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd≥−
⇒4+4abcd≥ab+ac+ad+bc+bd+cd.
Bàit o á n 3 2 5 ([1])Chocácsốthựca,b,c,dth aỏa mãn a 2 +1b 2 +1c 2 +1d 2 +1.
−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
L i ời g i i ải T ừ kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=1tađược
1 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd 2
—4≤(ab+ac+ad+bc+bd+cd)−abcd−1≤4
⇒−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
Bàitoán3.2.6 (USA Mathematical Olympiads 2014).Cho các số thựca,b,c,dthỏa mãn điều kiệnb−d≥5và tất cả các nghiệmx1, x2, x3, x4của đa thứcP(x) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+dđ u l à n g h i m t h c ều kiện ện ực.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacód=x1x2x3x4và b=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4. Vìb−d≥5nên
Nhận xét.Qua các bài toán trên, ta thấy rằng ứng dụng số phức vào việcchứng minh bất đẳng thức thật là thú vị Ẩn chứa trong cách giải các bàitoánbấtđẳngthứcbằngphươngphápsốphứcđóchínhlàviệcsửdụ ngcáiảođểchứngminhcáithực.
Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác định một đathức Cụ thể, nếu đa thứcP(x)bậcn(n∈N ∗ )cónnghiệmx1, x2, ,x n thìP(x)códạng
Tuy nhiên, nếu chỉ xét các nghiệm thực của đa thức thì trong nhiều trườnghợpsẽkhôngđủsốnghiệm.Hơnnữa,trongcácbàitoánphươngtrìnhhàmđath ức,nếuchỉxétcácnghiệmthựcthìlờigiảisẽkhônghoànchỉnh.Địnhlý cơ bản của đại số vì vậy đóng một vai trò hết sức quan trọng trong dạngtoán này đó là: "Một đa thức với hệ số phức (bao gồm cả số thực) luôn cóítnhấtmộtnghiệmphức(baogồmcảnghiệmthực)". Địnhljcơbảncủađạisố.Mọiđathứcbậcnhệnsốphức(thực)
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(vớia n ̸=0) đềucóđủnng hi mện phức(phânbiệthaytrùngnhau). Địnhl j V i e tt h u ậ n N ế ux1,x2, ,x n l àn n g h i mện ( p h â n b i ệ t h o ặ c trựngnhau)củađathứcP(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(a n ̸=0)
S n =x1x2 ãããx n =( 1) n a0 a n ĐịnhljVietđảo Nếunsốx1,x2, ,x n thỏamãn x1+x2+ããã+x n =S1 x1x2+x1x3+ããã+x n−1x n =S2 x1x2x3+x1x2x4+ããã+x n−2x n−1x n =S3
L igi i.V i ời ải ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0vớia n ≠ 0 làđathứcthỏamãncácyêucầubàitoán.Từ(4.1)t acó
VìhàmđathứcliêntụctrênRnêntừ(4.2),chox→0tađượcP1(0)=0, đếnđâytagặpmâuthuẫn.VậyTrườnghợp1khôngxảyra.
Giảsửαl àmộtnghiệmthựccủaP(x).Khiđó,vìa0=1nênα̸=0. TacóP(2α 3 +α)=P(α)P(2α 2 )=0.
Nếuα>0thì(α n )làdãytăngnghiêmngặt,nếuα1.Đi uều kiện nàydẫnđến
Dođ ó.2z 3 +z k = |z k |.2z 2 +1.>|z k |,s u yr aP(x)c óv ô s ố n g h i ệ m , điềunàykhôngthểxảyra.Vậyvớimọik=1,2, ,nthì|z k |≤1.Từđây vàt ừ ( 4 3 ) su y r a|z k |=1,∀k= 1,n.
Giảs ửα= cosϕ+isinϕl àn g h i ệ m p h ứ c c ủ aP(x).
2 Suyraα= ±i.D ođóP(x)= (x 2 +1) k ,k∈ N.T hử l ạit at hấyt hỏ amãn. Vậytất cảcácđa thứcthỏamãnyêu cầubàitoán là
Chúj4.1.2.TrongTrườnghợp1,đểsuyraP1(0)=0(nhằmtạoramâuthuẫn)m àkhôngcầndùngđếngiớihạntacóthểlàmnhưsau. π.
L i ời g i i ải V i ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
(4.5)Từ(4.4)tacóP(0)=0hoặcP(0)=1.D ođóa0=0hoặca0=1.
Từ(4.6),chox=0tađượcQ(0)=0,đ nến đâytagặpmâuthuẫn.
Trườngh ợ p 2 Nếua0=1.Đồngnhấthệsốbậccaonhấtở(4.4)tađược a n ãa n ã2
Từ(4.4)suyranếuP(x0)=0thìP(x 3 +x0)=0.V y,ậy, nếux0lànghiệmthựccủ aP(x)thìx 3 +x0cũnglànghiệmcủaP(x).
Nếux0>0thì(x n )làdãytăngnghiêmngặt,nếux0|z k |.Su yraP(x)cóvôsốnghiệm,điều
Chúj4.1.4.Bàitoán4.1.1vàBàitoán4.1.3đượctổngquáthoáthànhbàitoánsauđ ây.
Bài toán 4.1.6 (Olympic Hồng Kông−1999).Choklà số nguyêndương.Tìmcácđathứchệsốthựcthỏamãnđiềukiện
L i ời g i i ải Xét tr ười ng h p ợp P(x)≡C( Cl à h n g ằm s ) ố Từ(4.7)đượcC=C k Khik=1thìCl àhằngsốbấtkì.Khik>1thì
Nếukc h nẵn thìC= 1hoặcC= 0,nếuklẻthìC= 0hoặcC= 1hoặc C=−1.
Tiếp theo ta xét trường hợpdegP≥1 Vì đa thứcP(x)−xluôn cónghiệm (xét cả nghiệm phức) nên vớimọin∈N ∗ , tồn tạiα n ∈C sao choP(α n )=α n Từđó,tacó
Vậynếuk=0thìP(x)≡C(Cl àhằngsốbấtkì).Nếuk>1thìcácđathứct hỏamãnđềbàilàP(x)≡0,P(x)≡1,P(x)≡x k
Bàitoán4.1.7.([6])Tìmtấtcảcácđathứcf(x)∈R[x]thỏamãn f(sinx+cosx)=f(sinx)+f(cosx),∀x∈R (4.9)
L i ời g i i ải D ễ thấyđathứcf(x)≡c( cl àhằngsố)thỏamãn cácyêucầubàit oán.Tiếptheogiảsửdeg(f)=n≥1. k
1 a k x k +a0.Nhâncảhaivếcủa(4.10)với 1+x 2n , rồithayxb iởi i(ilàđơnvịảo,i 2 =−1)tađược a n (2+2i) n =a n (2i) n +2 n ⇔(1+i) n =1+i n
4 Khin=1thì(4.12)đúng.Khin=2thì(4.12)khôngđúng.Khin>2 thì2 n−2 >2>cos 2 nπ.
4 Tómlại(4.12)⇔n=1.Dođódeg(f)=1hayf(x)=ax+b.Thay vào(4.9)đượcb=0.Suyraf(x)≡ax.
Bàitoán4.1.8.([1])Tìmtấtcảcácđathứchệsốthựcf,gth aỏa mãn f(g(x))=f(x)g(x),∀x∈R (4.13) n
L i gi i ời ải Nếug(x)≡0thì từ (4.13) suy raf(x)là đa thức thỏa mãnf(0)
= 0 Nếuf(x)≡0thì mọi đa thứcg(x)đều thỏa mãn yêu cầu đềbài.
Tiếptheogiảsửf(x)̸≡0vàg(x)̸≡0.Từ(4.13)suyra deg(f)ãdeg(g)= deg(f)+deg(g). (4.14)Dodeg(f),deg(g)lànhữngsốtựnhiênnên
Giảsửf(x)≡a,g(x)=b(a,blànhữnghằngsốkhác0).Thayvào(4.13),tađ ược a⇔b=1.
Lúcnày(4.13)trởthành a[g(x)] 2 +bg(x)=ax 2 +bxg(x),∀x∈R.
Vậycáccặpđathứcthỏamãnyêucầubàitoánlà f(x)≡a n x n +ããã+a1x,g(x)≡0; f(x)≡0,g(x)làđathứchệsốthực; f(x)≡a,g(x)≡1(alàhằngsốkhác0); f(x)≡ax 2 +bx,g(x)≡ax 2 +b x−b ( a,bl àhằngsố,a̸=0).
L i gi i ời ải Giả sửx0là nghiệm củaP(x)= 0, suy raP(x0 2+x0+ 1) 0.Khiđóx 2 +x0+1cũnglànghiệmcủaP(x).
Chọnαlà nghiệm có môđun lớn nhất (nếu tồn tại vài nghiệm với môđunlớnnhất,tachọnmộttrongsốcácnghiệmđó).Từ cáchchọnαnh ưvậytasuyra α 2 +α+1≤|α|v à α 2 −α+1≤ |α| vìcảα 2 +α+1vàα 2 −α+1đềulànghiệmcủaP(x).
Vếđầuv àvế cuốic ủab ấtđẳngthứ ctrê nbằng nhaunênd ấu bằngph ải xảy ra Từ đây ta suy raα 2 +α+ 1 =−kα 2 −α+ 1, vớiklà hằng sốdương.Hơnnữa,vì|α|làlớnnhấtnên α 2 +α+1=α 2 −α+1=|α|.
Từ đóα=±ivàx 2 + 1là thừa số củaP(x) Như vậy ta có thể viếtP(x)dướidạngP(x)=x 2 +1 m Q(x)vớim∈N ∗ ,trongđóQ(x)làđathứck hôngchiahếtchox 2 +1.Thayngượctrởlạivàophươngtrình(4.15),ta thấyQ(x)cũngthoảmãnđiềukiện
NếuphươngtrìnhQ(x)=0lạicónghiệmthìlậpluậnnhưtrêntasuyranghiệ mcómôđunlớnnhấtcủanóphảilà±i.Đi uều kiện nàykhôngthểxảyravìx 2 +1không chiahếtQ(x).TasuyrarằngQ(x)làmộthằngsố,giả sửQ(x) =c,∀x∈R Thay vào phương trình(4.16),ta đượcc= 1. VậylớpcácđathứcthoảmãnbàitoánlàP(x)=x 2 +1 m v ớ i mlàmộtsố nguyêndươngnàođó.
L i ời gi i ải Giả sửαlà nghiệm của phương trìnhP(x)=0 Khi đó từphươngt r ì n h s u y r aα 2 ,α 4 ,α 8 , c ũ n gl à n g h i ệ m c ủ aP(x)= 0.T ừ đ â y suy ra rằng|α|= 0hoặc|α|= 1, vì nếu ngược lại ta sẽ thu được dãy vôhạncácnghiệmphânbiệtcủaP(x).
Giảsửrằng|α|=1và|α−1|=1.Taviếtα=cosβ+isinβv iới β∈
3 Trườnghợpβ= Xétα 2 cũnglànghiệmcủaP(x)=0.Nhưvậy α 2 −1cũnglànghiệmcủaP(x)=0và3
Nhưv ậ y t a c ó t h ể k ế t l u ậ n rằ n gα= 0ho ặcα−1=0.S u y r aP(x) códạngP(x)=cx m (1−x) n ,v iới clàmộthằngsốnàođóvàm,nlàcác sốnguyênkhôngâm.Thayvàophươngtrìnhđãcho,tadễdàngkiểmtrađượcrằngc=1 vàm=n.
Ta biết rằng nếu đa thứcP(x)chia hết cho đa thứcQ(x)thì mọi nghiệmcủaQ(x)đ ề ul à n g h i ệ m c ủ aP(x).T í n h c h ấ t đ ơ n g i ả n n à y l à c h ì a k h o á đểgiảinhiềubàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
L i ời gi i ải V ì x 2 +1=0⇔(x−i)(x+i)=0nênx 2 +1cónghiệmlài và−i. Đặtf(x)=(x+1) 4n+2 +(x−1) 4n+2 Tacó
Bài toán 4.2.2.([2])Chứng minh rằng với mọi số tự nhiênnlớn hơn1vàsố thựcαthỏa mãnsinα̸=0, đa thứcx n sinα−xsinnα+ sin
L i ời g i i ải Xét phươngtrìnhx 2 −2xcosα+1có∆ ′ =cos 2 α−1=i 2 sin 2 α nên có nghiệmx1= cosα+isinαvàx2= cosα−isinαlà 2 số phức liênhợp. ĐặtP(x)=x n sinα−xsinnα+sin(n−1)α,tađược
P(x1)=(cosnα+isinnα)sinα−(cosα+isinα)sinnα
=cosnαsinα−cosαsinnα+sin(n−1)α=0. Tươngtự,tacóP(x2)=0.
Bàit o á n 4 2 3 ( [ 2 ] )Tìmsố n gu yê n dươngns a och ođat hứ c(x−1) n − x n +1chiahếtchođathứcx 2 −x+1.
L i ời gi i ải C á c n g h i ệ m c ủ a đ a t hứ cx 2 −x+1l àx1
Vậygiátrịcầntìmcủanl ànhữngsốnguyêndươngchiacho6dư1 hoặcchiacho6dư5.
L i ời g i i ải Các nghiệmcủađathứcx 4 −1là±1,±i. Đặtf(x)=(x+1) 2n +(x−1) 2n −2x 2n ,tacó f(1)=f(−1)=0
L i ời gi i ải Ta ców=−
2 3 3 ĐathứcP(x)=x 2n +x n +1chiahếtchoQ(x)khivàchỉkhiP(w)=0. Điềunàytươngđươngvới cos 4n π.
Vậyvớin=3k+1hoặcn=3k+2(k∈Z)thìP(x)chiahếtchoQ(x). Trongvídụdướiđây,mộtlầnnữa,căncủađơnvịlạiđóngvaitròthenchốt.
L i ời g i i ải Đ t ặt w=e 5 thìw 5 =1và1+w+w 2 +w 3 +w 4 =0.
Cộngv ế v ớ i v ế c ủ a( 1 ),(2),(3),(4),(5)t ađ ư ợ c5P(1)= 0,t cức l àP(x) chiahếtchox−1.
Luậnvăn “S ố phức và một số ứng p h c ức và một số ứng v à m t ột số ứng s ố phức và một số ứng ức và một số ứng n g d n g ụng t r o n g t o á n s ơ c p ấp”
(1) Trình bày được một số kiến thức cần thiết về số phức như địnhnghĩa, tính chất, các phép toán trên tập số phức và các dạng biểu diễn củasốphức,
(2) Trình bày và hệ thống được một số phương pháp để giải các bàitoán cực trị số phức như: phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đại sốtrongsốphức,phươngpháphìnhhọc.
(3) Ứng dụng số phức như một cách khác để giải các bài toán sơ cấp.Cụthểnhưsau:
⋄Sửdụ ng số ph ức đ ể c hứ ng minhb ấ t đẳ ng th ức
⋄Sử dụng số phức để giải các bài toán về đa thức chẳng hạn như xácđịnhđathức,bàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
Hy vọng rằng luận văn sẽ đem đến một số điều thú vị, bổ ích cho mộtsốgiáoviênvàcácemhọcsinhkhá,giỏiởphổthông.Họcviênsẽtiếptụctìm hiểu,nghiên cứu sâu hơn về nội dung, phương pháp giải và ứng dụngthựctếcủasốphứctrongtươnglai.
[1] Nguyễn Tài Chung, Huỳnh Thanh Luân, Trần Minh Vũ, NguyễnThànhN h â n , H u ỳ n h K i m L i n h , T r ị n h K h ắ c T u ấ n , Đ a t h ứ c,N X B ĐạihọcQuốcgiaHàNội,2019.
[2] Nguyễn Văn Dũng,Phương pháp giải toán số phức và ứng dụng, NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội,2010.
[4] NguyễnVănMậu,TrầnNamDũng,NguyễnĐăngPhất,NguyễnThủyThanh,Ch uyênđềchọnlọcsốphứcvàứngdụng,NXBGiáodục,2009.
[6] TituAndreescu, Dorin Andrica,Complex numbers from A to
Lũythừanguyêncủasốphức
Lũythừanguyêncủamộtsốphứcz∈C ∗đư ợc địnhnghĩanhưsau: z 0 =1;z 1 =z;z 2 =zãz; n z n =z`ã z ˛ãáã ã zxn∈Z + ;z n =z −1 − n∈Z −
x1y2=x2y1 Đặtx2=kx1⇒y2=ky1 Suy rakx1 2+ky1 2≥0⇒k≥0.Vậybấtđẳngthứccầnchứngminhđúng.
x1y2=x2y1 Đặtx2=kx1⇒y2=ky1 Suy rakx1 2+ky1 2≤0⇒k≤0.Vậybấtđẳngthứccầnchứngminhđúng.
L i ời gi i ải Theo bấtđẳngthứctamgiác,tacó
Dấu“=”x ả y rakhiz=kã(3i)=3ki,trongđúk≥0.
Dođó,từgiảthiếtsuyracácsốphứczth aỏa mãnbàitoánlàcácsốthuầnảomàc óphầnảokhôngâm.
Khidấu“=”x ả y ra,hãytìmsốphứczs aocho|z| L i ời g i i ải V i ới mọisốphứcz,tacó
Bàitoán2.1.3.Tìm số phứczsao choP=|z−2i|+|z+ 1|đạt giá trịnhỏnhất,biếtrằng|z−2|=|z+i−1|.
L i ời gi i ải Áp dụngbấtđẳngthứctamgiác,tacó
≥|2i−z+z+1|=|1+2i|Dấu“=”x ả y rakhivàchỉ kh iz+1=k(2i−z),vớik>0.
|z−1−2i|= 4.GọiM,ml nần lượtl à g i á t r ị l ớ n n h ấ t , g i á t r ị n h ỏ n h ấ t của|z+2+i|.TínhS=M 2 +m 2
L i ời gi i ải Ta có
Tadễdàngtìmđượccácsốphứcđểdấu“=”c ủ a2bấtđẳngthứctrênlần lượtxảyra.KhiđóM= 4+3√2vàm=3√2−4.
(SởG D H à T ĩ n h 2 0 1 7 ) Trongcácsốphứczt h aỏa mãnz−(2 + 4i) 2,gọiz1vàz2lần lượt là sốphức có môđun lớn nhất vàmôđunnhỏnhất.Tínhtổngphầnảocủahaisốphứcz1vàz2. mi n
L i ời gi i ải Ta có
Suy ra giá trị lớn nhất của|z|là2√5+2khiz=k(2+4i)với(k−1)√5 1,tứclàk=1+√
Chúj 2.1.6.K h is ử d ụ n g b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t a m g i á c t a s ẽ đ ư ợ c c á c đ á n h giá của các biểu thức về môđun số phức Tuy nhiên, nếu số phứczbị ràngbuộc thêm bởi một hoặc nhiều điều kiện thì chúng ta phải xét tới trườnghợp xảy ra dấu “=” của bất đẳng thức tam giác Nếu không tồn tại số phứczđể dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra thì ta cần sử dụng các phươngphápkhácđểgiảicácbàitoáncựctrịsốphức.
Với2sốp hứ cz1,z2t ù yý , ta có
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi|z1|=| z2|,t cức làz1v àz2l ànhữngsốphứccóđ i ể m b i ể u d i ễ n n ằ m t r ê n c ù n g m ộ t đ ư ờ n g t r ò n t â mOc ób á n k ín hR bấtkì.
Dấu“=”x ả y r a k h i v à c h ỉ k h i|z1|=|z2|= = |z n |,t cức l à c á c s ố p h ứ c xuấthiệntrongbấtđẳngthứcđềucóđiểmbiểudiễnnằmtrêncùngmộtđườngtròntâ mO,bánkínhRb tất kì.
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi| z 1 | m1 =| z2| m2. Tổngquáthơn,vớinsốphứcz1,z2, ,z n tùyývàm1,m2, ,m n ∈R ∗ , tacó m 1 |z1|+m2 |z2|+ +m n | z n | 2
,v iới quyướcnếu m n mộtsốm i ,(i=1,2,3, ,n)nàođóbằng0thìsốphứcz i tươngứngcũng bằng0.
Sau đây là các bất đẳng thức thường được sử dụng để giải các bài toáncực trị số phức Các bất đẳng thức này được suy ra dễ dàng từ bất đẳngthứcCauchyvàbấtđẳngthứcBunyakovsky.
Bàit o á n 2 1 7 G ọ iz1v àz2l àh a i n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h b ậ c h a iz 2 +az+6−8i=0, trong đóalà tham số thực Hãy tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thứcP=|z1|+|z2|.Xác định giá trị củaakhi biểu thứcPđ tạt giátrịnhỏnhất.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacúz1ãz2=6−8i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tađược
Dấu“=”x ả y rakhivàchỉkhi|z1|=|z2|2= 10.TheođịnhlýViet, tal ạ i c óz1+z2= −a∈ R.S u y r az1=x1+yiv à z2=x2−yi.V ì
Bài toán 2.1.8.Gọiz1vàz2là hai nghiệm phức của phương trình bậchaiz 2 +az+ 3 + 4i= 0, trong đóalà tham số thực Hãytìm giá trị nhỏnhấtcủabiểuthứcP= 2|z1|+3|z2|.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacúz1ãz2=3+4i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tacó
Bàitoá n2 1 9 Gọiz1,z2,z3làbanghiệmphứccủaphươngtrìnhbậcba z 3 +az 2 +bz+8i=0.Hãytìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
L i ời gi i ải T h e o địnhl ý Viet,ta c úz1ãz2ãz3=−8i. ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tacó
Vậygiá trịnhỏ nhất củabiểu thứcPl à Pmin,đạt được khi
Bàitoán 2.1.10.Gọizlà số phức thỏa mãn điều kiện|z|= 6.Hãy tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthứcP= |z−2 + 3i|+|z+ 2−3i| vàt ì m s ố phứczđểuPđ tạt giátrịlớnnhất.
L i ời gi i ải Ta có
=|z−v|+|z+v|, trongđ óv= 2−3i.S u yr a|v|=√13. ÁpdụngbấtđẳngthứcBunyakovsky,tađược
13. Nhìn chung, phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải các bài toáncựct r ị t h ư ờ n g đ ư ợ c s ử d ụ n g k h i g i ả t h i ế t b à i t o á n đ ơ n g i ả n , h o ặ c l i ê n quanđ ế n mô đ u n số p h ứ c Kh i g i ả t hi ết củ a b ài t o á np h ứ c t ạ p h ơ n h o ặ c liên quan đến tập hợp điểm biểu diễn số phức thì giải bằng phương pháphình học thường sẽ thuận lợi hơn Khi chuyển sang hình học, từ những giảthiếtvềsốphứckhátrừutượng,bàitoánsẽđượcminhhọamộtcáchrất trực quan, sinh động và cũng giải được bằng hình học với phương pháp rấtđẹp Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháphình học để giải quyết các bài toán về cực trị số phức là một trong nhữngphương pháp khá hay và hiệu quả Hơn nữa, với những bài toán cực trịhìnhhọcđượcgiảitheophươngpháptrắcnghiệm,nếubiểudiễnđượctrênhìnhvẽ,t acóthểlựachọnđápándễdànghơn.
Bước1 : C h uy ể nđổ ingônngữb àitoá nsốphứ csang ngônn gữhình học.
Víd ụ 2 2 1 C h os ố p h ứ czt h aỏa m ã n2(z−z)=i(z+z) 2 T ì mgi át r ị nh ỏnhấtcủa|z+3i|.
Bước1 : Giảsửz=x+yi(x,y∈ R),s uyraz=x−yi.K hiđó
GọiM(x;y)v àA(0;−3)l ầ nl ư ợ t l à đ i ể m b i ể u d i ễ n c h o s ố p h ứ cz và
Bước2:Parabolcó đỉnhtại điểmO(0;0),tr c đ iục đối ố xứng làđườngthẳng x=0.
Suyramin(MA)=3khiM≡O.Vậ ymin |z+3i|=3,k h iz= 0.
Sau đây là một số bài toán minh họa thêm cho phương pháp hình họckhigiảicácbàitoánvềcựctrịsốphức.
2.2.2 Mộts ố d ạ n g t h ư ờ n g g ặ p Ý tưởng chính của phương pháp hình học là tìm và vẽ được hình củatập hợp điểm biểu diễn cho các số phứczthỏa mãn giả thiết bài toán. Từđó,tìmđượcđápsốcủabàitoáncựctrịsốphức.
Phương pháp này rất thuận lợi khi giải các bài tập trắc nghiệm và cũngkháhiệuquảđểtìmlờigiảichitiếtkhilàmbàitậptựluận.
Bàitoán2.2.2.T r o n gt ấ t c ả c á c s ố p h ứ cz th aỏa m ã n|z−1+2i||z+3−4i|.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủamôđunz.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễncủasốphứcz.Ta có
=OM,m àO M đ tạt g i á t r ị n h ỏ n h ấ t k h iM làh ì n h c h i ế u củaOtr ên∆.
Vậy|z|min= ,khiđiểmMb i uểu diễnchozl àhìnhchiếuvuông góccủaOtrênđườngthẳng∆.13
Chúj2.2.3.Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ điểmOđến một điểmthuộc đường thẳng∆thì đoạn thẳngOMvuông góc với đường thẳng∆làngắnnhất.
Bàitoán2 2 4 Choz∈C thỏa mãn|z−1| ≥ |z−2i| Tìm giá trị nhỏnhấtcủa.z−(3+i) q 2
L i ời g i i ải G i ải sửz=x+yi(x,y∈ R),s u yraz=x−yi.
Từ(2.3)suyraMthu cộc miềngạchchéoởhìnhvẽ.Mặtk h ác. z−(3+i).=MKv iới K(3;1).D ođ ó hìnhv ẽ
(a,b∈R).Khiđóquỹtíchc ủ a đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz là đ ư ờ n g t r u n g t r ự c c ủ a đoạnOAv iới A(a;b).Dođó
(a,b,c,d∈ R).Khiđóquỹtíchcác điểmM(x;y)biểudiễncho sốphứczlàđ ư ờ n g t r u n g t r ự c∆ củađ o ạ nA B v iới A(a;b),B(c;d).D o đ ó
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
SuyraMthu cộc đường tròn(C)cótâmI(3;−4),bánkínhR=4.
=OM,m àO I= 5>Rn ê n O n mằm n g o à i đ ư ờ n g t r ò n(C).Đườngt h ẳn gOI c t ắt đ ư ờ n g t r ò n(C)t ạih a i đ i ể m p h â n b i ệ tM1,M2.
VìMd iđộngtrênđườngtròn(C)nênOMn hỏanhấtkhiMt r ù n gvới
M1,vàOMl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
+(−4) +R=9. Vậy|z|nhỏn hấ t b ằ n g1;|z|lớnn hấ t b ằ n g9.
▷Bướic1:ViếtphươngtrìnhđườngthẳngOI( g iảsửOIc óphươngtrình y=ax+b.Th ayO(0;0)vàI(3;−4)t ađ ượ cp hư ơn g trìn hOI).
▷Bư ớic2:TìmgiaođiểmcủađườngthẳngOIv àđườngtròn(C),từđótìmđ ượctọađộM1,M2.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
Suyr aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n(C)c ót â mI(1;0),b á n k í n hR= 2.Xét
Bàitoán2.2.8 Choz∈Cthỏamãn z+2≤ 1.Tìmgiátrịlớn ĐườngthẳngKIc tắt đườngtròn(C)tạihaiđiểmphânbiệtM1,M2.
M1vàMKl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
Từ( 2 4 ) s u y r aM thu cộc h ì n h t r ò n(C)c ót â mI(0;2),b á n k í n hR= 1. Mặtkhác, vớiK 0;3
Từz−(4+3i)= 2,s u y r aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n t â mI(4;3),b á n k í n h R=2.
Giả sử số phứczt h a m ã n đ i u k i nỏa ều kiện ện |z−a−bi|=R>0,(a, b∈R).Khiđ ó q u ỹ t í c h c á c đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz làđ ư ờ n g t r ò n tâmI(a;b),bánkínhR.Dođó,tacó
2.TrongmặtphẳngphứcgọiM,Nl nần lượtlàđiểmbiểudiễncủasốphứcz v à z.TìmgiátrịlớnnhấtcủadiệntíchtamgiácOMN.
L i ời gi i ải Đ t ặt z=x+yi(x,y∈ R),suyraz=x−yi.
GọiF1(−2; 0), F2(2; 0), M(x;y), N(x;−y)lần lượt là các điểm biểudiễncácsốphức−2;2;z;z.
VìM,Nl à đ i mểu biểudiễnsốphứczvàznênsuyraM,Nđ iố xứngnhauquaOx.DođóS∆
TheogiảthiếttalạicóMF1+MF2=4√ 2,suyra tậphợpđiểmMt h aỏa điềuk i ệ n t r ê n l à đ ư ờ n g e l i p c ó đ ộ d à i t r ụ c l ớ n
≤2√2.Đ ngẳng thứcxảyrakhix=2vày=√2.VậygiátrịlớnnhấtcủaS∆OMN l à2√2.
Bàito án2.2.11 (THPTYênKhánh NinhBình 2019).Chohaisố
Vì√5c). KhiđóquỹtíchđiểmM(x;y)biểudiễnsốphứczl àđườngelipcóphương x 2 y 2 trình(E): a 2 + a 2 −c 2 =1.Dođó,tacó
Chương này trình bày phương pháp chứng minh các bất đẳng thức đạisố bằng cách sử dụng các bất đẳng thức về môđun của số phức Đây làphương pháp khá thú vị, sử dụng cái ảo để chứng minh cái thực Các bàitoáncủachươngnàyđượcthamkhảotừ([1]).
Bàit o á n 3 1 1 Chứngminhrằngvớicácsốthựcbất kỳa k ,b k vớik 1,2, ,n,tacóbấtđẳngthứcsau q(a1+a2+ããã+a n ) 2 + (b1+b2+ããã+b n ) 2
L i ời g i i ải Xét z k =a k +b k i(k=1,2, ,n),khiđó z1+z2+ããã+z n =(a1+a2+ããã+a n )+(b1+b2+ããã+b n )i.
Bàit o á n 3 1 2 C h ob a s ố t h ự ca , b,ct h aỏa m ã na+b+c= 6.C h nức gminhrằng
L igi i.Xét ời ải cácsốphứcz1=a+i,z2=b+2i,z3=c+3i,khiđó
4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b)+ 4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b)≥2.
L i ời g i i ải Xét z1= 2 cosacosb+ s i n (a−b)iv à z 2= 2 sinasinb+ sin(a
|z1|=q4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b);|z2|=q4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b).
Bàitoán3.1.4 (Đạihọcquanhệquốctế−1997).Chứngminh rằngvớicácsốdươnga,b,ctacó
Bàit o á n 3 1 5 C h ứ n gm i n h r ằ n g n ế ua ,b,cl àc á c s ố d ư ơ n g t h ỏ a m ã n ab+bc+cact h ì√ a 2 +2b 2 ab +
L i ời gi i ải Cách 1:(Sửdụngsốphức) r q q
Xétc ác số phứ cz1=(x+2)+√3i,z2=(2−x)+√3i,t acó
L i ời gi i ải Ta viếtlạibấtđẳngthứctrênnhưsau q(x+1) 2 +(2y) 2 +q(3−x) 2 +(3−2y) 2 ≥5.
Bàitoán3.2.1.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,cv àsốdươngk,tacó k(a+b+c)−abc 2≤ a 2 +kb 2 +kc 2 +k.
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc3nhậna,b,cl à mnghiệmnhưsau f(t)=(t−a)(t−b)(t−c)
|A+Bi|=(A+Bi)(A−Bi)=A+B ≥A (vớii=−1), nêntacó
.f(it).=it−it(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc 2
=.−it3+t2(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc.2
Mặtkhác f(it) =(it−a)(it−b)(it−c)
=(it−a)(−it−a)(it−b)(−it−b)(it−c)(−it−c)
Chúj3.2.2.Với mỗiklà số cụ thể ta sẽ được những bài toán cụ thểkhác nhau Chẳng hạn, vớik= 3, tađược bài toán sau:Choa, b, clà cácsốthựcdươngthỏamãna 2 +b 2 +c 2 ≤3.Ch ngứng minhrằng abc+8≥3(a+b+c).
. −it(abc+bcd+cda+dab)+abcd)
≥t 4 −t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+
Bàitoán3.2.3.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,c,dv àsốdương k,tacó k 2 −k(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd2
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc4,nhậna,b,c,dl à mnghiệmnhưsau f(t)= (t−a)(t−b)(t−c)(t−d)
=t 4 −t 3 (a+b+c+d)+t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
—t(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Vì|A+Bi| 2= (A+Bi) (A−Bi)=A 2 +B 2 ≥A 2 (vớii 2 =−1) nênvớimọisốthựct,tacó
.f(it).=.it−it(a+b+c+d)+it(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
= t 4 +it 3 (a+b+c+d)−t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
−it(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Mặtkhác f(it) 2= (it−a)(it−b)(it−c)(it−d) 2
=( −a+it) (−a−it) (−b+it) (−b−it) (−c+it)( c it)( d+it)( d it)
Choc ác số d ươ nga,b,c,dt h aỏa m ãna 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 1.C h n gức m in h rằng ab+ac+ad+bc+bd+cd≤ 5
L i ời g i i ải T ừ 1kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=0,25tađược
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
⇒16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd≥−
⇒4+4abcd≥ab+ac+ad+bc+bd+cd.
Bàit o á n 3 2 5 ([1])Chocácsốthựca,b,c,dth aỏa mãn a 2 +1b 2 +1c 2 +1d 2 +1.
−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
L i ời g i i ải T ừ kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=1tađược
1 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd 2
—4≤(ab+ac+ad+bc+bd+cd)−abcd−1≤4
⇒−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
Bàitoán3.2.6 (USA Mathematical Olympiads 2014).Cho các số thựca,b,c,dthỏa mãn điều kiệnb−d≥5và tất cả các nghiệmx1, x2, x3, x4của đa thứcP(x) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+dđ u l à n g h i m t h c ều kiện ện ực.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacód=x1x2x3x4và b=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4. Vìb−d≥5nên
Nhận xét.Qua các bài toán trên, ta thấy rằng ứng dụng số phức vào việcchứng minh bất đẳng thức thật là thú vị Ẩn chứa trong cách giải các bàitoánbấtđẳngthứcbằngphươngphápsốphứcđóchínhlàviệcsửdụ ngcáiảođểchứngminhcáithực.
Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác định một đathức Cụ thể, nếu đa thứcP(x)bậcn(n∈N ∗ )cónnghiệmx1, x2, ,x n thìP(x)códạng
Tuy nhiên, nếu chỉ xét các nghiệm thực của đa thức thì trong nhiều trườnghợpsẽkhôngđủsốnghiệm.Hơnnữa,trongcácbàitoánphươngtrìnhhàmđath ức,nếuchỉxétcácnghiệmthựcthìlờigiảisẽkhônghoànchỉnh.Địnhlý cơ bản của đại số vì vậy đóng một vai trò hết sức quan trọng trong dạngtoán này đó là: "Một đa thức với hệ số phức (bao gồm cả số thực) luôn cóítnhấtmộtnghiệmphức(baogồmcảnghiệmthực)". Địnhljcơbảncủađạisố.Mọiđathứcbậcnhệnsốphức(thực)
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(vớia n ̸=0) đềucóđủnng hi mện phức(phânbiệthaytrùngnhau). Địnhl j V i e tt h u ậ n N ế ux1,x2, ,x n l àn n g h i mện ( p h â n b i ệ t h o ặ c trựngnhau)củađathứcP(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(a n ̸=0)
S n =x1x2 ãããx n =( 1) n a0 a n ĐịnhljVietđảo Nếunsốx1,x2, ,x n thỏamãn x1+x2+ããã+x n =S1 x1x2+x1x3+ããã+x n−1x n =S2 x1x2x3+x1x2x4+ããã+x n−2x n−1x n =S3
L igi i.V i ời ải ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0vớia n ≠ 0 làđathứcthỏamãncácyêucầubàitoán.Từ(4.1)t acó
VìhàmđathứcliêntụctrênRnêntừ(4.2),chox→0tađượcP1(0)=0, đếnđâytagặpmâuthuẫn.VậyTrườnghợp1khôngxảyra.
Giảsửαl àmộtnghiệmthựccủaP(x).Khiđó,vìa0=1nênα̸=0. TacóP(2α 3 +α)=P(α)P(2α 2 )=0.
Nếuα>0thì(α n )làdãytăngnghiêmngặt,nếuα1.Đi uều kiện nàydẫnđến
Dođ ó.2z 3 +z k = |z k |.2z 2 +1.>|z k |,s u yr aP(x)c óv ô s ố n g h i ệ m , điềunàykhôngthểxảyra.Vậyvớimọik=1,2, ,nthì|z k |≤1.Từđây vàt ừ ( 4 3 ) su y r a|z k |=1,∀k= 1,n.
Giảs ửα= cosϕ+isinϕl àn g h i ệ m p h ứ c c ủ aP(x).
2 Suyraα= ±i.D ođóP(x)= (x 2 +1) k ,k∈ N.T hử l ạit at hấyt hỏ amãn. Vậytất cảcácđa thứcthỏamãnyêu cầubàitoán là
Chúj4.1.2.TrongTrườnghợp1,đểsuyraP1(0)=0(nhằmtạoramâuthuẫn)m àkhôngcầndùngđếngiớihạntacóthểlàmnhưsau. π.
L i ời g i i ải V i ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
(4.5)Từ(4.4)tacóP(0)=0hoặcP(0)=1.D ođóa0=0hoặca0=1.
Từ(4.6),chox=0tađượcQ(0)=0,đ nến đâytagặpmâuthuẫn.
Trườngh ợ p 2 Nếua0=1.Đồngnhấthệsốbậccaonhấtở(4.4)tađược a n ãa n ã2
Từ(4.4)suyranếuP(x0)=0thìP(x 3 +x0)=0.V y,ậy, nếux0lànghiệmthựccủ aP(x)thìx 3 +x0cũnglànghiệmcủaP(x).
Nếux0>0thì(x n )làdãytăngnghiêmngặt,nếux0|z k |.Su yraP(x)cóvôsốnghiệm,điều
Chúj4.1.4.Bàitoán4.1.1vàBàitoán4.1.3đượctổngquáthoáthànhbàitoánsauđ ây.
Bài toán 4.1.6 (Olympic Hồng Kông−1999).Choklà số nguyêndương.Tìmcácđathứchệsốthựcthỏamãnđiềukiện
L i ời g i i ải Xét tr ười ng h p ợp P(x)≡C( Cl à h n g ằm s ) ố Từ(4.7)đượcC=C k Khik=1thìCl àhằngsốbấtkì.Khik>1thì
Nếukc h nẵn thìC= 1hoặcC= 0,nếuklẻthìC= 0hoặcC= 1hoặc C=−1.
Tiếp theo ta xét trường hợpdegP≥1 Vì đa thứcP(x)−xluôn cónghiệm (xét cả nghiệm phức) nên vớimọin∈N ∗ , tồn tạiα n ∈C sao choP(α n )=α n Từđó,tacó
Vậynếuk=0thìP(x)≡C(Cl àhằngsốbấtkì).Nếuk>1thìcácđathứct hỏamãnđềbàilàP(x)≡0,P(x)≡1,P(x)≡x k
Bàitoán4.1.7.([6])Tìmtấtcảcácđathứcf(x)∈R[x]thỏamãn f(sinx+cosx)=f(sinx)+f(cosx),∀x∈R (4.9)
L i ời g i i ải D ễ thấyđathứcf(x)≡c( cl àhằngsố)thỏamãn cácyêucầubàit oán.Tiếptheogiảsửdeg(f)=n≥1. k
1 a k x k +a0.Nhâncảhaivếcủa(4.10)với 1+x 2n , rồithayxb iởi i(ilàđơnvịảo,i 2 =−1)tađược a n (2+2i) n =a n (2i) n +2 n ⇔(1+i) n =1+i n
4 Khin=1thì(4.12)đúng.Khin=2thì(4.12)khôngđúng.Khin>2 thì2 n−2 >2>cos 2 nπ.
4 Tómlại(4.12)⇔n=1.Dođódeg(f)=1hayf(x)=ax+b.Thay vào(4.9)đượcb=0.Suyraf(x)≡ax.
Bàitoán4.1.8.([1])Tìmtấtcảcácđathứchệsốthựcf,gth aỏa mãn f(g(x))=f(x)g(x),∀x∈R (4.13) n
L i gi i ời ải Nếug(x)≡0thì từ (4.13) suy raf(x)là đa thức thỏa mãnf(0)
= 0 Nếuf(x)≡0thì mọi đa thứcg(x)đều thỏa mãn yêu cầu đềbài.
Tiếptheogiảsửf(x)̸≡0vàg(x)̸≡0.Từ(4.13)suyra deg(f)ãdeg(g)= deg(f)+deg(g). (4.14)Dodeg(f),deg(g)lànhữngsốtựnhiênnên
Giảsửf(x)≡a,g(x)=b(a,blànhữnghằngsốkhác0).Thayvào(4.13),tađ ược a⇔b=1.
Lúcnày(4.13)trởthành a[g(x)] 2 +bg(x)=ax 2 +bxg(x),∀x∈R.
Vậycáccặpđathứcthỏamãnyêucầubàitoánlà f(x)≡a n x n +ããã+a1x,g(x)≡0; f(x)≡0,g(x)làđathứchệsốthực; f(x)≡a,g(x)≡1(alàhằngsốkhác0); f(x)≡ax 2 +bx,g(x)≡ax 2 +b x−b ( a,bl àhằngsố,a̸=0).
L i gi i ời ải Giả sửx0là nghiệm củaP(x)= 0, suy raP(x0 2+x0+ 1) 0.Khiđóx 2 +x0+1cũnglànghiệmcủaP(x).
Chọnαlà nghiệm có môđun lớn nhất (nếu tồn tại vài nghiệm với môđunlớnnhất,tachọnmộttrongsốcácnghiệmđó).Từ cáchchọnαnh ưvậytasuyra α 2 +α+1≤|α|v à α 2 −α+1≤ |α| vìcảα 2 +α+1vàα 2 −α+1đềulànghiệmcủaP(x).
Vếđầuv àvế cuốic ủab ấtđẳngthứ ctrê nbằng nhaunênd ấu bằngph ải xảy ra Từ đây ta suy raα 2 +α+ 1 =−kα 2 −α+ 1, vớiklà hằng sốdương.Hơnnữa,vì|α|làlớnnhấtnên α 2 +α+1=α 2 −α+1=|α|.
Từ đóα=±ivàx 2 + 1là thừa số củaP(x) Như vậy ta có thể viếtP(x)dướidạngP(x)=x 2 +1 m Q(x)vớim∈N ∗ ,trongđóQ(x)làđathứck hôngchiahếtchox 2 +1.Thayngượctrởlạivàophươngtrình(4.15),ta thấyQ(x)cũngthoảmãnđiềukiện
NếuphươngtrìnhQ(x)=0lạicónghiệmthìlậpluậnnhưtrêntasuyranghiệ mcómôđunlớnnhấtcủanóphảilà±i.Đi uều kiện nàykhôngthểxảyravìx 2 +1không chiahếtQ(x).TasuyrarằngQ(x)làmộthằngsố,giả sửQ(x) =c,∀x∈R Thay vào phương trình(4.16),ta đượcc= 1. VậylớpcácđathứcthoảmãnbàitoánlàP(x)=x 2 +1 m v ớ i mlàmộtsố nguyêndươngnàođó.
L i ời gi i ải Giả sửαlà nghiệm của phương trìnhP(x)=0 Khi đó từphươngt r ì n h s u y r aα 2 ,α 4 ,α 8 , c ũ n gl à n g h i ệ m c ủ aP(x)= 0.T ừ đ â y suy ra rằng|α|= 0hoặc|α|= 1, vì nếu ngược lại ta sẽ thu được dãy vôhạncácnghiệmphânbiệtcủaP(x).
Giảsửrằng|α|=1và|α−1|=1.Taviếtα=cosβ+isinβv iới β∈
3 Trườnghợpβ= Xétα 2 cũnglànghiệmcủaP(x)=0.Nhưvậy α 2 −1cũnglànghiệmcủaP(x)=0và3
Nhưv ậ y t a c ó t h ể k ế t l u ậ n rằ n gα= 0ho ặcα−1=0.S u y r aP(x) códạngP(x)=cx m (1−x) n ,v iới clàmộthằngsốnàođóvàm,nlàcác sốnguyênkhôngâm.Thayvàophươngtrìnhđãcho,tadễdàngkiểmtrađượcrằngc=1 vàm=n.
Ta biết rằng nếu đa thứcP(x)chia hết cho đa thứcQ(x)thì mọi nghiệmcủaQ(x)đ ề ul à n g h i ệ m c ủ aP(x).T í n h c h ấ t đ ơ n g i ả n n à y l à c h ì a k h o á đểgiảinhiềubàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
L i ời gi i ải V ì x 2 +1=0⇔(x−i)(x+i)=0nênx 2 +1cónghiệmlài và−i. Đặtf(x)=(x+1) 4n+2 +(x−1) 4n+2 Tacó
Bài toán 4.2.2.([2])Chứng minh rằng với mọi số tự nhiênnlớn hơn1vàsố thựcαthỏa mãnsinα̸=0, đa thứcx n sinα−xsinnα+ sin
L i ời g i i ải Xét phươngtrìnhx 2 −2xcosα+1có∆ ′ =cos 2 α−1=i 2 sin 2 α nên có nghiệmx1= cosα+isinαvàx2= cosα−isinαlà 2 số phức liênhợp. ĐặtP(x)=x n sinα−xsinnα+sin(n−1)α,tađược
P(x1)=(cosnα+isinnα)sinα−(cosα+isinα)sinnα
=cosnαsinα−cosαsinnα+sin(n−1)α=0. Tươngtự,tacóP(x2)=0.
Bàit o á n 4 2 3 ( [ 2 ] )Tìmsố n gu yê n dươngns a och ođat hứ c(x−1) n − x n +1chiahếtchođathứcx 2 −x+1.
L i ời gi i ải C á c n g h i ệ m c ủ a đ a t hứ cx 2 −x+1l àx1
Vậygiátrịcầntìmcủanl ànhữngsốnguyêndươngchiacho6dư1 hoặcchiacho6dư5.
L i ời g i i ải Các nghiệmcủađathứcx 4 −1là±1,±i. Đặtf(x)=(x+1) 2n +(x−1) 2n −2x 2n ,tacó f(1)=f(−1)=0
L i ời gi i ải Ta ców=−
2 3 3 ĐathứcP(x)=x 2n +x n +1chiahếtchoQ(x)khivàchỉkhiP(w)=0. Điềunàytươngđươngvới cos 4n π.
Vậyvớin=3k+1hoặcn=3k+2(k∈Z)thìP(x)chiahếtchoQ(x). Trongvídụdướiđây,mộtlầnnữa,căncủađơnvịlạiđóngvaitròthenchốt.
L i ời g i i ải Đ t ặt w=e 5 thìw 5 =1và1+w+w 2 +w 3 +w 4 =0.
Cộngv ế v ớ i v ế c ủ a( 1 ),(2),(3),(4),(5)t ađ ư ợ c5P(1)= 0,t cức l àP(x) chiahếtchox−1.
Luậnvăn “S ố phức và một số ứng p h c ức và một số ứng v à m t ột số ứng s ố phức và một số ứng ức và một số ứng n g d n g ụng t r o n g t o á n s ơ c p ấp”
(1) Trình bày được một số kiến thức cần thiết về số phức như địnhnghĩa, tính chất, các phép toán trên tập số phức và các dạng biểu diễn củasốphức,
(2) Trình bày và hệ thống được một số phương pháp để giải các bàitoán cực trị số phức như: phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đại sốtrongsốphức,phươngpháphìnhhọc.
(3) Ứng dụng số phức như một cách khác để giải các bài toán sơ cấp.Cụthểnhưsau:
⋄Sửdụ ng số ph ức đ ể c hứ ng minhb ấ t đẳ ng th ức
⋄Sử dụng số phức để giải các bài toán về đa thức chẳng hạn như xácđịnhđathức,bàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
Hy vọng rằng luận văn sẽ đem đến một số điều thú vị, bổ ích cho mộtsốgiáoviênvàcácemhọcsinhkhá,giỏiởphổthông.Họcviênsẽtiếptụctìm hiểu,nghiên cứu sâu hơn về nội dung, phương pháp giải và ứng dụngthựctếcủasốphứctrongtươnglai.
[1] Nguyễn Tài Chung, Huỳnh Thanh Luân, Trần Minh Vũ, NguyễnThànhN h â n , H u ỳ n h K i m L i n h , T r ị n h K h ắ c T u ấ n , Đ a t h ứ c,N X B ĐạihọcQuốcgiaHàNội,2019.
[2] Nguyễn Văn Dũng,Phương pháp giải toán số phức và ứng dụng, NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội,2010.
[4] NguyễnVănMậu,TrầnNamDũng,NguyễnĐăngPhất,NguyễnThủyThanh,Ch uyênđềchọnlọcsốphứcvàứngdụng,NXBGiáodục,2009.
[6] TituAndreescu, Dorin Andrica,Complex numbers from A to
Sửdụngbấtđẳngthứcđểgiảicácbàitoáncựctrịsốphức 14
Sửdụngphươngpháphìnhhọcđểgiảicácbàitoáncựctrị sốphức
Phươngphápgiải
Bước1 : C h uy ể nđổ ingônngữb àitoá nsốphứ csang ngônn gữhình học.
Víd ụ 2 2 1 C h os ố p h ứ czt h aỏa m ã n2(z−z)=i(z+z) 2 T ì mgi át r ị nh ỏnhấtcủa|z+3i|.
Bước1 : Giảsửz=x+yi(x,y∈ R),s uyraz=x−yi.K hiđó
GọiM(x;y)v àA(0;−3)l ầ nl ư ợ t l à đ i ể m b i ể u d i ễ n c h o s ố p h ứ cz và
Bước2:Parabolcó đỉnhtại điểmO(0;0),tr c đ iục đối ố xứng làđườngthẳng x=0.
Suyramin(MA)=3khiM≡O.Vậ ymin |z+3i|=3,k h iz= 0.
Sau đây là một số bài toán minh họa thêm cho phương pháp hình họckhigiảicácbàitoánvềcựctrịsốphức.
Mộtsốdạngthườnggặp
Ý tưởng chính của phương pháp hình học là tìm và vẽ được hình củatập hợp điểm biểu diễn cho các số phứczthỏa mãn giả thiết bài toán. Từđó,tìmđượcđápsốcủabàitoáncựctrịsốphức.
Phương pháp này rất thuận lợi khi giải các bài tập trắc nghiệm và cũngkháhiệuquảđểtìmlờigiảichitiếtkhilàmbàitậptựluận.
Bàitoán2.2.2.T r o n gt ấ t c ả c á c s ố p h ứ cz th aỏa m ã n|z−1+2i||z+3−4i|.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủamôđunz.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễncủasốphứcz.Ta có
=OM,m àO M đ tạt g i á t r ị n h ỏ n h ấ t k h iM làh ì n h c h i ế u củaOtr ên∆.
Vậy|z|min= ,khiđiểmMb i uểu diễnchozl àhìnhchiếuvuông góccủaOtrênđườngthẳng∆.13
Chúj2.2.3.Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ điểmOđến một điểmthuộc đường thẳng∆thì đoạn thẳngOMvuông góc với đường thẳng∆làngắnnhất.
Bàitoán2 2 4 Choz∈C thỏa mãn|z−1| ≥ |z−2i| Tìm giá trị nhỏnhấtcủa.z−(3+i) q 2
L i ời g i i ải G i ải sửz=x+yi(x,y∈ R),s u yraz=x−yi.
Từ(2.3)suyraMthu cộc miềngạchchéoởhìnhvẽ.Mặtk h ác. z−(3+i).=MKv iới K(3;1).D ođ ó hìnhv ẽ
(a,b∈R).Khiđóquỹtíchc ủ a đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz là đ ư ờ n g t r u n g t r ự c c ủ a đoạnOAv iới A(a;b).Dođó
(a,b,c,d∈ R).Khiđóquỹtíchcác điểmM(x;y)biểudiễncho sốphứczlàđ ư ờ n g t r u n g t r ự c∆ củađ o ạ nA B v iới A(a;b),B(c;d).D o đ ó
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
SuyraMthu cộc đường tròn(C)cótâmI(3;−4),bánkínhR=4.
=OM,m àO I= 5>Rn ê n O n mằm n g o à i đ ư ờ n g t r ò n(C).Đườngt h ẳn gOI c t ắt đ ư ờ n g t r ò n(C)t ạih a i đ i ể m p h â n b i ệ tM1,M2.
VìMd iđộngtrênđườngtròn(C)nênOMn hỏanhấtkhiMt r ù n gvới
M1,vàOMl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
+(−4) +R=9. Vậy|z|nhỏn hấ t b ằ n g1;|z|lớnn hấ t b ằ n g9.
▷Bướic1:ViếtphươngtrìnhđườngthẳngOI( g iảsửOIc óphươngtrình y=ax+b.Th ayO(0;0)vàI(3;−4)t ađ ượ cp hư ơn g trìn hOI).
▷Bư ớic2:TìmgiaođiểmcủađườngthẳngOIv àđườngtròn(C),từđótìmđ ượctọađộM1,M2.
L i ời g i i ải G i ọc M(x;y)làđiểmbiểudiễnchosốphứcz.Th eogiảthiết,tacó
Suyr aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n(C)c ót â mI(1;0),b á n k í n hR= 2.Xét
Bàitoán2.2.8 Choz∈Cthỏamãn z+2≤ 1.Tìmgiátrịlớn ĐườngthẳngKIc tắt đườngtròn(C)tạihaiđiểmphânbiệtM1,M2.
M1vàMKl nới nhấtkhiMt r ù n gvớiM2.Dođó,tacó
Từ( 2 4 ) s u y r aM thu cộc h ì n h t r ò n(C)c ót â mI(0;2),b á n k í n hR= 1. Mặtkhác, vớiK 0;3
Từz−(4+3i)= 2,s u y r aM thu cộc đ ư ờ n g t r ò n t â mI(4;3),b á n k í n h R=2.
Giả sử số phứczt h a m ã n đ i u k i nỏa ều kiện ện |z−a−bi|=R>0,(a, b∈R).Khiđ ó q u ỹ t í c h c á c đ i ể mM(x;y)b i ể ud i ễ n c h o s ố p h ứ cz làđ ư ờ n g t r ò n tâmI(a;b),bánkínhR.Dođó,tacó
2.TrongmặtphẳngphứcgọiM,Nl nần lượtlàđiểmbiểudiễncủasốphứcz v à z.TìmgiátrịlớnnhấtcủadiệntíchtamgiácOMN.
L i ời gi i ải Đ t ặt z=x+yi(x,y∈ R),suyraz=x−yi.
GọiF1(−2; 0), F2(2; 0), M(x;y), N(x;−y)lần lượt là các điểm biểudiễncácsốphức−2;2;z;z.
VìM,Nl à đ i mểu biểudiễnsốphứczvàznênsuyraM,Nđ iố xứngnhauquaOx.DođóS∆
TheogiảthiếttalạicóMF1+MF2=4√ 2,suyra tậphợpđiểmMt h aỏa điềuk i ệ n t r ê n l à đ ư ờ n g e l i p c ó đ ộ d à i t r ụ c l ớ n
≤2√2.Đ ngẳng thứcxảyrakhix=2vày=√2.VậygiátrịlớnnhấtcủaS∆OMN l à2√2.
Bàito án2.2.11 (THPTYênKhánh NinhBình 2019).Chohaisố
Vì√5c). KhiđóquỹtíchđiểmM(x;y)biểudiễnsốphứczl àđườngelipcóphương x 2 y 2 trình(E): a 2 + a 2 −c 2 =1.Dođó,tacó
Chương này trình bày phương pháp chứng minh các bất đẳng thức đạisố bằng cách sử dụng các bất đẳng thức về môđun của số phức Đây làphương pháp khá thú vị, sử dụng cái ảo để chứng minh cái thực Các bàitoáncủachươngnàyđượcthamkhảotừ([1]).
Bàit o á n 3 1 1 Chứngminhrằngvớicácsốthựcbất kỳa k ,b k vớik 1,2, ,n,tacóbấtđẳngthứcsau q(a1+a2+ããã+a n ) 2 + (b1+b2+ããã+b n ) 2
L i ời g i i ải Xét z k =a k +b k i(k=1,2, ,n),khiđó z1+z2+ããã+z n =(a1+a2+ããã+a n )+(b1+b2+ããã+b n )i.
Bàit o á n 3 1 2 C h ob a s ố t h ự ca , b,ct h aỏa m ã na+b+c= 6.C h nức gminhrằng
L igi i.Xét ời ải cácsốphứcz1=a+i,z2=b+2i,z3=c+3i,khiđó
4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b)+ 4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b)≥2.
L i ời g i i ải Xét z1= 2 cosacosb+ s i n (a−b)iv à z 2= 2 sinasinb+ sin(a
|z1|=q4cos 2 aãcos 2 b+sin 2 (a−b);|z2|=q4sin 2 aãsin 2 b+sin 2 (a−b).
Bàitoán3.1.4 (Đạihọcquanhệquốctế−1997).Chứngminh rằngvớicácsốdươnga,b,ctacó
Bàit o á n 3 1 5 C h ứ n gm i n h r ằ n g n ế ua ,b,cl àc á c s ố d ư ơ n g t h ỏ a m ã n ab+bc+cact h ì√ a 2 +2b 2 ab +
L i ời gi i ải Cách 1:(Sửdụngsốphức) r q q
Xétc ác số phứ cz1=(x+2)+√3i,z2=(2−x)+√3i,t acó
L i ời gi i ải Ta viếtlạibấtđẳngthứctrênnhưsau q(x+1) 2 +(2y) 2 +q(3−x) 2 +(3−2y) 2 ≥5.
Bàitoán3.2.1.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,cv àsốdươngk,tacó k(a+b+c)−abc 2≤ a 2 +kb 2 +kc 2 +k.
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc3nhậna,b,cl à mnghiệmnhưsau f(t)=(t−a)(t−b)(t−c)
|A+Bi|=(A+Bi)(A−Bi)=A+B ≥A (vớii=−1), nêntacó
.f(it).=it−it(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc 2
=.−it3+t2(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc.2
Mặtkhác f(it) =(it−a)(it−b)(it−c)
=(it−a)(−it−a)(it−b)(−it−b)(it−c)(−it−c)
Chúj3.2.2.Với mỗiklà số cụ thể ta sẽ được những bài toán cụ thểkhác nhau Chẳng hạn, vớik= 3, tađược bài toán sau:Choa, b, clà cácsốthựcdươngthỏamãna 2 +b 2 +c 2 ≤3.Ch ngứng minhrằng abc+8≥3(a+b+c).
. −it(abc+bcd+cda+dab)+abcd)
≥t 4 −t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+
Bàitoán3.2.3.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,c,dv àsốdương k,tacó k 2 −k(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd2
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc4,nhậna,b,c,dl à mnghiệmnhưsau f(t)= (t−a)(t−b)(t−c)(t−d)
=t 4 −t 3 (a+b+c+d)+t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
—t(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Vì|A+Bi| 2= (A+Bi) (A−Bi)=A 2 +B 2 ≥A 2 (vớii 2 =−1) nênvớimọisốthựct,tacó
.f(it).=.it−it(a+b+c+d)+it(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
= t 4 +it 3 (a+b+c+d)−t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
−it(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Mặtkhác f(it) 2= (it−a)(it−b)(it−c)(it−d) 2
=( −a+it) (−a−it) (−b+it) (−b−it) (−c+it)( c it)( d+it)( d it)
Choc ác số d ươ nga,b,c,dt h aỏa m ãna 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 1.C h n gức m in h rằng ab+ac+ad+bc+bd+cd≤ 5
L i ời g i i ải T ừ 1kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=0,25tađược
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
⇒16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd≥−
⇒4+4abcd≥ab+ac+ad+bc+bd+cd.
Bàit o á n 3 2 5 ([1])Chocácsốthựca,b,c,dth aỏa mãn a 2 +1b 2 +1c 2 +1d 2 +1.
−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
L i ời g i i ải T ừ kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=1tađược
1 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd 2
—4≤(ab+ac+ad+bc+bd+cd)−abcd−1≤4
⇒−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
Bàitoán3.2.6 (USA Mathematical Olympiads 2014).Cho các số thựca,b,c,dthỏa mãn điều kiệnb−d≥5và tất cả các nghiệmx1, x2, x3, x4của đa thứcP(x) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+dđ u l à n g h i m t h c ều kiện ện ực.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacód=x1x2x3x4và b=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4. Vìb−d≥5nên
Nhận xét.Qua các bài toán trên, ta thấy rằng ứng dụng số phức vào việcchứng minh bất đẳng thức thật là thú vị Ẩn chứa trong cách giải các bàitoánbấtđẳngthứcbằngphươngphápsốphứcđóchínhlàviệcsửdụ ngcáiảođểchứngminhcáithực.
Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác định một đathức Cụ thể, nếu đa thứcP(x)bậcn(n∈N ∗ )cónnghiệmx1, x2, ,x n thìP(x)códạng
Tuy nhiên, nếu chỉ xét các nghiệm thực của đa thức thì trong nhiều trườnghợpsẽkhôngđủsốnghiệm.Hơnnữa,trongcácbàitoánphươngtrìnhhàmđath ức,nếuchỉxétcácnghiệmthựcthìlờigiảisẽkhônghoànchỉnh.Địnhlý cơ bản của đại số vì vậy đóng một vai trò hết sức quan trọng trong dạngtoán này đó là: "Một đa thức với hệ số phức (bao gồm cả số thực) luôn cóítnhấtmộtnghiệmphức(baogồmcảnghiệmthực)". Địnhljcơbảncủađạisố.Mọiđathứcbậcnhệnsốphức(thực)
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(vớia n ̸=0) đềucóđủnng hi mện phức(phânbiệthaytrùngnhau). Địnhl j V i e tt h u ậ n N ế ux1,x2, ,x n l àn n g h i mện ( p h â n b i ệ t h o ặ c trựngnhau)củađathứcP(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(a n ̸=0)
S n =x1x2 ãããx n =( 1) n a0 a n ĐịnhljVietđảo Nếunsốx1,x2, ,x n thỏamãn x1+x2+ããã+x n =S1 x1x2+x1x3+ããã+x n−1x n =S2 x1x2x3+x1x2x4+ããã+x n−2x n−1x n =S3
L igi i.V i ời ải ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0vớia n ≠ 0 làđathứcthỏamãncácyêucầubàitoán.Từ(4.1)t acó
VìhàmđathứcliêntụctrênRnêntừ(4.2),chox→0tađượcP1(0)=0, đếnđâytagặpmâuthuẫn.VậyTrườnghợp1khôngxảyra.
Giảsửαl àmộtnghiệmthựccủaP(x).Khiđó,vìa0=1nênα̸=0. TacóP(2α 3 +α)=P(α)P(2α 2 )=0.
Nếuα>0thì(α n )làdãytăngnghiêmngặt,nếuα1.Đi uều kiện nàydẫnđến
Dođ ó.2z 3 +z k = |z k |.2z 2 +1.>|z k |,s u yr aP(x)c óv ô s ố n g h i ệ m , điềunàykhôngthểxảyra.Vậyvớimọik=1,2, ,nthì|z k |≤1.Từđây vàt ừ ( 4 3 ) su y r a|z k |=1,∀k= 1,n.
Giảs ửα= cosϕ+isinϕl àn g h i ệ m p h ứ c c ủ aP(x).
2 Suyraα= ±i.D ođóP(x)= (x 2 +1) k ,k∈ N.T hử l ạit at hấyt hỏ amãn. Vậytất cảcácđa thứcthỏamãnyêu cầubàitoán là
Chúj4.1.2.TrongTrườnghợp1,đểsuyraP1(0)=0(nhằmtạoramâuthuẫn)m àkhôngcầndùngđếngiớihạntacóthểlàmnhưsau. π.
L i ời g i i ải V i ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
(4.5)Từ(4.4)tacóP(0)=0hoặcP(0)=1.D ođóa0=0hoặca0=1.
Từ(4.6),chox=0tađượcQ(0)=0,đ nến đâytagặpmâuthuẫn.
Trườngh ợ p 2 Nếua0=1.Đồngnhấthệsốbậccaonhấtở(4.4)tađược a n ãa n ã2
Từ(4.4)suyranếuP(x0)=0thìP(x 3 +x0)=0.V y,ậy, nếux0lànghiệmthựccủ aP(x)thìx 3 +x0cũnglànghiệmcủaP(x).
Nếux0>0thì(x n )làdãytăngnghiêmngặt,nếux0|z k |.Su yraP(x)cóvôsốnghiệm,điều
Chúj4.1.4.Bàitoán4.1.1vàBàitoán4.1.3đượctổngquáthoáthànhbàitoánsauđ ây.
Bài toán 4.1.6 (Olympic Hồng Kông−1999).Choklà số nguyêndương.Tìmcácđathứchệsốthựcthỏamãnđiềukiện
L i ời g i i ải Xét tr ười ng h p ợp P(x)≡C( Cl à h n g ằm s ) ố Từ(4.7)đượcC=C k Khik=1thìCl àhằngsốbấtkì.Khik>1thì
Nếukc h nẵn thìC= 1hoặcC= 0,nếuklẻthìC= 0hoặcC= 1hoặc C=−1.
Tiếp theo ta xét trường hợpdegP≥1 Vì đa thứcP(x)−xluôn cónghiệm (xét cả nghiệm phức) nên vớimọin∈N ∗ , tồn tạiα n ∈C sao choP(α n )=α n Từđó,tacó
Vậynếuk=0thìP(x)≡C(Cl àhằngsốbấtkì).Nếuk>1thìcácđathứct hỏamãnđềbàilàP(x)≡0,P(x)≡1,P(x)≡x k
Bàitoán4.1.7.([6])Tìmtấtcảcácđathứcf(x)∈R[x]thỏamãn f(sinx+cosx)=f(sinx)+f(cosx),∀x∈R (4.9)
L i ời g i i ải D ễ thấyđathứcf(x)≡c( cl àhằngsố)thỏamãn cácyêucầubàit oán.Tiếptheogiảsửdeg(f)=n≥1. k
1 a k x k +a0.Nhâncảhaivếcủa(4.10)với 1+x 2n , rồithayxb iởi i(ilàđơnvịảo,i 2 =−1)tađược a n (2+2i) n =a n (2i) n +2 n ⇔(1+i) n =1+i n
4 Khin=1thì(4.12)đúng.Khin=2thì(4.12)khôngđúng.Khin>2 thì2 n−2 >2>cos 2 nπ.
4 Tómlại(4.12)⇔n=1.Dođódeg(f)=1hayf(x)=ax+b.Thay vào(4.9)đượcb=0.Suyraf(x)≡ax.
Bàitoán4.1.8.([1])Tìmtấtcảcácđathứchệsốthựcf,gth aỏa mãn f(g(x))=f(x)g(x),∀x∈R (4.13) n
L i gi i ời ải Nếug(x)≡0thì từ (4.13) suy raf(x)là đa thức thỏa mãnf(0)
= 0 Nếuf(x)≡0thì mọi đa thứcg(x)đều thỏa mãn yêu cầu đềbài.
Tiếptheogiảsửf(x)̸≡0vàg(x)̸≡0.Từ(4.13)suyra deg(f)ãdeg(g)= deg(f)+deg(g). (4.14)Dodeg(f),deg(g)lànhữngsốtựnhiênnên
Giảsửf(x)≡a,g(x)=b(a,blànhữnghằngsốkhác0).Thayvào(4.13),tađ ược a⇔b=1.
Lúcnày(4.13)trởthành a[g(x)] 2 +bg(x)=ax 2 +bxg(x),∀x∈R.
Vậycáccặpđathứcthỏamãnyêucầubàitoánlà f(x)≡a n x n +ããã+a1x,g(x)≡0; f(x)≡0,g(x)làđathứchệsốthực; f(x)≡a,g(x)≡1(alàhằngsốkhác0); f(x)≡ax 2 +bx,g(x)≡ax 2 +b x−b ( a,bl àhằngsố,a̸=0).
L i gi i ời ải Giả sửx0là nghiệm củaP(x)= 0, suy raP(x0 2+x0+ 1) 0.Khiđóx 2 +x0+1cũnglànghiệmcủaP(x).
Chọnαlà nghiệm có môđun lớn nhất (nếu tồn tại vài nghiệm với môđunlớnnhất,tachọnmộttrongsốcácnghiệmđó).Từ cáchchọnαnh ưvậytasuyra α 2 +α+1≤|α|v à α 2 −α+1≤ |α| vìcảα 2 +α+1vàα 2 −α+1đềulànghiệmcủaP(x).
Vếđầuv àvế cuốic ủab ấtđẳngthứ ctrê nbằng nhaunênd ấu bằngph ải xảy ra Từ đây ta suy raα 2 +α+ 1 =−kα 2 −α+ 1, vớiklà hằng sốdương.Hơnnữa,vì|α|làlớnnhấtnên α 2 +α+1=α 2 −α+1=|α|.
Từ đóα=±ivàx 2 + 1là thừa số củaP(x) Như vậy ta có thể viếtP(x)dướidạngP(x)=x 2 +1 m Q(x)vớim∈N ∗ ,trongđóQ(x)làđathứck hôngchiahếtchox 2 +1.Thayngượctrởlạivàophươngtrình(4.15),ta thấyQ(x)cũngthoảmãnđiềukiện
NếuphươngtrìnhQ(x)=0lạicónghiệmthìlậpluậnnhưtrêntasuyranghiệ mcómôđunlớnnhấtcủanóphảilà±i.Đi uều kiện nàykhôngthểxảyravìx 2 +1không chiahếtQ(x).TasuyrarằngQ(x)làmộthằngsố,giả sửQ(x) =c,∀x∈R Thay vào phương trình(4.16),ta đượcc= 1. VậylớpcácđathứcthoảmãnbàitoánlàP(x)=x 2 +1 m v ớ i mlàmộtsố nguyêndươngnàođó.
L i ời gi i ải Giả sửαlà nghiệm của phương trìnhP(x)=0 Khi đó từphươngt r ì n h s u y r aα 2 ,α 4 ,α 8 , c ũ n gl à n g h i ệ m c ủ aP(x)= 0.T ừ đ â y suy ra rằng|α|= 0hoặc|α|= 1, vì nếu ngược lại ta sẽ thu được dãy vôhạncácnghiệmphânbiệtcủaP(x).
Giảsửrằng|α|=1và|α−1|=1.Taviếtα=cosβ+isinβv iới β∈
3 Trườnghợpβ= Xétα 2 cũnglànghiệmcủaP(x)=0.Nhưvậy α 2 −1cũnglànghiệmcủaP(x)=0và3
Nhưv ậ y t a c ó t h ể k ế t l u ậ n rằ n gα= 0ho ặcα−1=0.S u y r aP(x) códạngP(x)=cx m (1−x) n ,v iới clàmộthằngsốnàođóvàm,nlàcác sốnguyênkhôngâm.Thayvàophươngtrìnhđãcho,tadễdàngkiểmtrađượcrằngc=1 vàm=n.
Ta biết rằng nếu đa thứcP(x)chia hết cho đa thứcQ(x)thì mọi nghiệmcủaQ(x)đ ề ul à n g h i ệ m c ủ aP(x).T í n h c h ấ t đ ơ n g i ả n n à y l à c h ì a k h o á đểgiảinhiềubàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
L i ời gi i ải V ì x 2 +1=0⇔(x−i)(x+i)=0nênx 2 +1cónghiệmlài và−i. Đặtf(x)=(x+1) 4n+2 +(x−1) 4n+2 Tacó
Bài toán 4.2.2.([2])Chứng minh rằng với mọi số tự nhiênnlớn hơn1vàsố thựcαthỏa mãnsinα̸=0, đa thứcx n sinα−xsinnα+ sin
L i ời g i i ải Xét phươngtrìnhx 2 −2xcosα+1có∆ ′ =cos 2 α−1=i 2 sin 2 α nên có nghiệmx1= cosα+isinαvàx2= cosα−isinαlà 2 số phức liênhợp. ĐặtP(x)=x n sinα−xsinnα+sin(n−1)α,tađược
P(x1)=(cosnα+isinnα)sinα−(cosα+isinα)sinnα
=cosnαsinα−cosαsinnα+sin(n−1)α=0. Tươngtự,tacóP(x2)=0.
Bàit o á n 4 2 3 ( [ 2 ] )Tìmsố n gu yê n dươngns a och ođat hứ c(x−1) n − x n +1chiahếtchođathứcx 2 −x+1.
L i ời gi i ải C á c n g h i ệ m c ủ a đ a t hứ cx 2 −x+1l àx1
Vậygiátrịcầntìmcủanl ànhữngsốnguyêndươngchiacho6dư1 hoặcchiacho6dư5.
L i ời g i i ải Các nghiệmcủađathứcx 4 −1là±1,±i. Đặtf(x)=(x+1) 2n +(x−1) 2n −2x 2n ,tacó f(1)=f(−1)=0
L i ời gi i ải Ta ców=−
2 3 3 ĐathứcP(x)=x 2n +x n +1chiahếtchoQ(x)khivàchỉkhiP(w)=0. Điềunàytươngđươngvới cos 4n π.
Vậyvớin=3k+1hoặcn=3k+2(k∈Z)thìP(x)chiahếtchoQ(x). Trongvídụdướiđây,mộtlầnnữa,căncủađơnvịlạiđóngvaitròthenchốt.
L i ời g i i ải Đ t ặt w=e 5 thìw 5 =1và1+w+w 2 +w 3 +w 4 =0.
Cộngv ế v ớ i v ế c ủ a( 1 ),(2),(3),(4),(5)t ađ ư ợ c5P(1)= 0,t cức l àP(x) chiahếtchox−1.
Luậnvăn “S ố phức và một số ứng p h c ức và một số ứng v à m t ột số ứng s ố phức và một số ứng ức và một số ứng n g d n g ụng t r o n g t o á n s ơ c p ấp”
(1) Trình bày được một số kiến thức cần thiết về số phức như địnhnghĩa, tính chất, các phép toán trên tập số phức và các dạng biểu diễn củasốphức,
(2) Trình bày và hệ thống được một số phương pháp để giải các bàitoán cực trị số phức như: phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đại sốtrongsốphức,phươngpháphìnhhọc.
(3) Ứng dụng số phức như một cách khác để giải các bài toán sơ cấp.Cụthểnhưsau:
⋄Sửdụ ng số ph ức đ ể c hứ ng minhb ấ t đẳ ng th ức
⋄Sử dụng số phức để giải các bài toán về đa thức chẳng hạn như xácđịnhđathức,bàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
Hy vọng rằng luận văn sẽ đem đến một số điều thú vị, bổ ích cho mộtsốgiáoviênvàcácemhọcsinhkhá,giỏiởphổthông.Họcviênsẽtiếptụctìm hiểu,nghiên cứu sâu hơn về nội dung, phương pháp giải và ứng dụngthựctếcủasốphứctrongtươnglai.
[1] Nguyễn Tài Chung, Huỳnh Thanh Luân, Trần Minh Vũ, NguyễnThànhN h â n , H u ỳ n h K i m L i n h , T r ị n h K h ắ c T u ấ n , Đ a t h ứ c,N X B ĐạihọcQuốcgiaHàNội,2019.
[2] Nguyễn Văn Dũng,Phương pháp giải toán số phức và ứng dụng, NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội,2010.
[4] NguyễnVănMậu,TrầnNamDũng,NguyễnĐăngPhất,NguyễnThủyThanh,Ch uyênđềchọnlọcsốphứcvàứngdụng,NXBGiáodục,2009.
[6] TituAndreescu, Dorin Andrica,Complex numbers from A to
Ứngdụngtínhchấtnghiệmcủađathức
Bàitoán3.2.1.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,cv àsốdươngk,tacó k(a+b+c)−abc 2≤ a 2 +kb 2 +kc 2 +k.
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc3nhậna,b,cl à mnghiệmnhưsau f(t)=(t−a)(t−b)(t−c)
|A+Bi|=(A+Bi)(A−Bi)=A+B ≥A (vớii=−1), nêntacó
.f(it).=it−it(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc 2
=.−it3+t2(a+b+c)+it(ab+bc+ca)−abc.2
Mặtkhác f(it) =(it−a)(it−b)(it−c)
=(it−a)(−it−a)(it−b)(−it−b)(it−c)(−it−c)
Chúj3.2.2.Với mỗiklà số cụ thể ta sẽ được những bài toán cụ thểkhác nhau Chẳng hạn, vớik= 3, tađược bài toán sau:Choa, b, clà cácsốthựcdươngthỏamãna 2 +b 2 +c 2 ≤3.Ch ngứng minhrằng abc+8≥3(a+b+c).
. −it(abc+bcd+cda+dab)+abcd)
≥t 4 −t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+
Bàitoán3.2.3.Chứngminhrằngvớimọisốthựca,b,c,dv àsốdương k,tacó k 2 −k(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd2
L i ời g i i ải X ét f(t)làđathứcbậc4,nhậna,b,c,dl à mnghiệmnhưsau f(t)= (t−a)(t−b)(t−c)(t−d)
=t 4 −t 3 (a+b+c+d)+t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
—t(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Vì|A+Bi| 2= (A+Bi) (A−Bi)=A 2 +B 2 ≥A 2 (vớii 2 =−1) nênvớimọisốthựct,tacó
.f(it).=.it−it(a+b+c+d)+it(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
= t 4 +it 3 (a+b+c+d)−t 2 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)
−it(abc+bcd+cda+dab)+abcd.
Mặtkhác f(it) 2= (it−a)(it−b)(it−c)(it−d) 2
=( −a+it) (−a−it) (−b+it) (−b−it) (−c+it)( c it)( d+it)( d it)
Choc ác số d ươ nga,b,c,dt h aỏa m ãna 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 1.C h n gức m in h rằng ab+ac+ad+bc+bd+cd≤ 5
L i ời g i i ải T ừ 1kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=0,25tađược
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd
⇒16−4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd≥−
⇒4+4abcd≥ab+ac+ad+bc+bd+cd.
Bàit o á n 3 2 5 ([1])Chocácsốthựca,b,c,dth aỏa mãn a 2 +1b 2 +1c 2 +1d 2 +1.
−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
L i ời g i i ải T ừ kếtquảcủaBàitoán3.2.3,lấyk=1tađược
1 (ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd 2
—4≤(ab+ac+ad+bc+bd+cd)−abcd−1≤4
⇒−3≤ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd≤5.
Bàitoán3.2.6 (USA Mathematical Olympiads 2014).Cho các số thựca,b,c,dthỏa mãn điều kiệnb−d≥5và tất cả các nghiệmx1, x2, x3, x4của đa thứcP(x) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+dđ u l à n g h i m t h c ều kiện ện ực.
L i ời g i i ải Theo địnhlýViet,tacód=x1x2x3x4và b=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4. Vìb−d≥5nên
Nhận xét.Qua các bài toán trên, ta thấy rằng ứng dụng số phức vào việcchứng minh bất đẳng thức thật là thú vị Ẩn chứa trong cách giải các bàitoánbấtđẳngthứcbằngphươngphápsốphứcđóchínhlàviệcsửdụ ngcáiảođểchứngminhcáithực.
Xácđịnhđathức
Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác định một đathức Cụ thể, nếu đa thứcP(x)bậcn(n∈N ∗ )cónnghiệmx1, x2, ,x n thìP(x)códạng
Tuy nhiên, nếu chỉ xét các nghiệm thực của đa thức thì trong nhiều trườnghợpsẽkhôngđủsốnghiệm.Hơnnữa,trongcácbàitoánphươngtrìnhhàmđath ức,nếuchỉxétcácnghiệmthựcthìlờigiảisẽkhônghoànchỉnh.Địnhlý cơ bản của đại số vì vậy đóng một vai trò hết sức quan trọng trong dạngtoán này đó là: "Một đa thức với hệ số phức (bao gồm cả số thực) luôn cóítnhấtmộtnghiệmphức(baogồmcảnghiệmthực)". Địnhljcơbảncủađạisố.Mọiđathứcbậcnhệnsốphức(thực)
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(vớia n ̸=0) đềucóđủnng hi mện phức(phânbiệthaytrùngnhau). Địnhl j V i e tt h u ậ n N ế ux1,x2, ,x n l àn n g h i mện ( p h â n b i ệ t h o ặ c trựngnhau)củađathứcP(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0(a n ̸=0)
S n =x1x2 ãããx n =( 1) n a0 a n ĐịnhljVietđảo Nếunsốx1,x2, ,x n thỏamãn x1+x2+ããã+x n =S1 x1x2+x1x3+ããã+x n−1x n =S2 x1x2x3+x1x2x4+ããã+x n−2x n−1x n =S3
L igi i.V i ời ải ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
P(x)=a n x n +a n−1x n−1 +ããã+a1x+a0vớia n ≠ 0 làđathứcthỏamãncácyêucầubàitoán.Từ(4.1)t acó
VìhàmđathứcliêntụctrênRnêntừ(4.2),chox→0tađượcP1(0)=0, đếnđâytagặpmâuthuẫn.VậyTrườnghợp1khôngxảyra.
Giảsửαl àmộtnghiệmthựccủaP(x).Khiđó,vìa0=1nênα̸=0. TacóP(2α 3 +α)=P(α)P(2α 2 )=0.
Nếuα>0thì(α n )làdãytăngnghiêmngặt,nếuα1.Đi uều kiện nàydẫnđến
Dođ ó.2z 3 +z k = |z k |.2z 2 +1.>|z k |,s u yr aP(x)c óv ô s ố n g h i ệ m , điềunàykhôngthểxảyra.Vậyvớimọik=1,2, ,nthì|z k |≤1.Từđây vàt ừ ( 4 3 ) su y r a|z k |=1,∀k= 1,n.
Giảs ửα= cosϕ+isinϕl àn g h i ệ m p h ứ c c ủ aP(x).
2 Suyraα= ±i.D ođóP(x)= (x 2 +1) k ,k∈ N.T hử l ạit at hấyt hỏ amãn. Vậytất cảcácđa thứcthỏamãnyêu cầubàitoán là
Chúj4.1.2.TrongTrườnghợp1,đểsuyraP1(0)=0(nhằmtạoramâuthuẫn)m àkhôngcầndùngđếngiớihạntacóthểlàmnhưsau. π.
L i ời g i i ải V i ới đathứchằngP(x)≡a,tacó a 2 =a a=0.a
(4.5)Từ(4.4)tacóP(0)=0hoặcP(0)=1.D ođóa0=0hoặca0=1.
Từ(4.6),chox=0tađượcQ(0)=0,đ nến đâytagặpmâuthuẫn.
Trườngh ợ p 2 Nếua0=1.Đồngnhấthệsốbậccaonhấtở(4.4)tađược a n ãa n ã2
Từ(4.4)suyranếuP(x0)=0thìP(x 3 +x0)=0.V y,ậy, nếux0lànghiệmthựccủ aP(x)thìx 3 +x0cũnglànghiệmcủaP(x).
Nếux0>0thì(x n )làdãytăngnghiêmngặt,nếux0|z k |.Su yraP(x)cóvôsốnghiệm,điều
Chúj4.1.4.Bàitoán4.1.1vàBàitoán4.1.3đượctổngquáthoáthànhbàitoánsauđ ây.
Bài toán 4.1.6 (Olympic Hồng Kông−1999).Choklà số nguyêndương.Tìmcácđathứchệsốthựcthỏamãnđiềukiện
L i ời g i i ải Xét tr ười ng h p ợp P(x)≡C( Cl à h n g ằm s ) ố Từ(4.7)đượcC=C k Khik=1thìCl àhằngsốbấtkì.Khik>1thì
Nếukc h nẵn thìC= 1hoặcC= 0,nếuklẻthìC= 0hoặcC= 1hoặc C=−1.
Tiếp theo ta xét trường hợpdegP≥1 Vì đa thứcP(x)−xluôn cónghiệm (xét cả nghiệm phức) nên vớimọin∈N ∗ , tồn tạiα n ∈C sao choP(α n )=α n Từđó,tacó
Vậynếuk=0thìP(x)≡C(Cl àhằngsốbấtkì).Nếuk>1thìcácđathứct hỏamãnđềbàilàP(x)≡0,P(x)≡1,P(x)≡x k
Bàitoán4.1.7.([6])Tìmtấtcảcácđathứcf(x)∈R[x]thỏamãn f(sinx+cosx)=f(sinx)+f(cosx),∀x∈R (4.9)
L i ời g i i ải D ễ thấyđathứcf(x)≡c( cl àhằngsố)thỏamãn cácyêucầubàit oán.Tiếptheogiảsửdeg(f)=n≥1. k
1 a k x k +a0.Nhâncảhaivếcủa(4.10)với 1+x 2n , rồithayxb iởi i(ilàđơnvịảo,i 2 =−1)tađược a n (2+2i) n =a n (2i) n +2 n ⇔(1+i) n =1+i n
4 Khin=1thì(4.12)đúng.Khin=2thì(4.12)khôngđúng.Khin>2 thì2 n−2 >2>cos 2 nπ.
4 Tómlại(4.12)⇔n=1.Dođódeg(f)=1hayf(x)=ax+b.Thay vào(4.9)đượcb=0.Suyraf(x)≡ax.
Bàitoán4.1.8.([1])Tìmtấtcảcácđathứchệsốthựcf,gth aỏa mãn f(g(x))=f(x)g(x),∀x∈R (4.13) n
L i gi i ời ải Nếug(x)≡0thì từ (4.13) suy raf(x)là đa thức thỏa mãnf(0)
= 0 Nếuf(x)≡0thì mọi đa thứcg(x)đều thỏa mãn yêu cầu đềbài.
Tiếptheogiảsửf(x)̸≡0vàg(x)̸≡0.Từ(4.13)suyra deg(f)ãdeg(g)= deg(f)+deg(g). (4.14)Dodeg(f),deg(g)lànhữngsốtựnhiênnên
Giảsửf(x)≡a,g(x)=b(a,blànhữnghằngsốkhác0).Thayvào(4.13),tađ ược a⇔b=1.
Lúcnày(4.13)trởthành a[g(x)] 2 +bg(x)=ax 2 +bxg(x),∀x∈R.
Vậycáccặpđathứcthỏamãnyêucầubàitoánlà f(x)≡a n x n +ããã+a1x,g(x)≡0; f(x)≡0,g(x)làđathứchệsốthực; f(x)≡a,g(x)≡1(alàhằngsốkhác0); f(x)≡ax 2 +bx,g(x)≡ax 2 +b x−b ( a,bl àhằngsố,a̸=0).
L i gi i ời ải Giả sửx0là nghiệm củaP(x)= 0, suy raP(x0 2+x0+ 1) 0.Khiđóx 2 +x0+1cũnglànghiệmcủaP(x).
Chọnαlà nghiệm có môđun lớn nhất (nếu tồn tại vài nghiệm với môđunlớnnhất,tachọnmộttrongsốcácnghiệmđó).Từ cáchchọnαnh ưvậytasuyra α 2 +α+1≤|α|v à α 2 −α+1≤ |α| vìcảα 2 +α+1vàα 2 −α+1đềulànghiệmcủaP(x).
Vếđầuv àvế cuốic ủab ấtđẳngthứ ctrê nbằng nhaunênd ấu bằngph ải xảy ra Từ đây ta suy raα 2 +α+ 1 =−kα 2 −α+ 1, vớiklà hằng sốdương.Hơnnữa,vì|α|làlớnnhấtnên α 2 +α+1=α 2 −α+1=|α|.
Từ đóα=±ivàx 2 + 1là thừa số củaP(x) Như vậy ta có thể viếtP(x)dướidạngP(x)=x 2 +1 m Q(x)vớim∈N ∗ ,trongđóQ(x)làđathứck hôngchiahếtchox 2 +1.Thayngượctrởlạivàophươngtrình(4.15),ta thấyQ(x)cũngthoảmãnđiềukiện
NếuphươngtrìnhQ(x)=0lạicónghiệmthìlậpluậnnhưtrêntasuyranghiệ mcómôđunlớnnhấtcủanóphảilà±i.Đi uều kiện nàykhôngthểxảyravìx 2 +1không chiahếtQ(x).TasuyrarằngQ(x)làmộthằngsố,giả sửQ(x) =c,∀x∈R Thay vào phương trình(4.16),ta đượcc= 1. VậylớpcácđathứcthoảmãnbàitoánlàP(x)=x 2 +1 m v ớ i mlàmộtsố nguyêndươngnàođó.
L i ời gi i ải Giả sửαlà nghiệm của phương trìnhP(x)=0 Khi đó từphươngt r ì n h s u y r aα 2 ,α 4 ,α 8 , c ũ n gl à n g h i ệ m c ủ aP(x)= 0.T ừ đ â y suy ra rằng|α|= 0hoặc|α|= 1, vì nếu ngược lại ta sẽ thu được dãy vôhạncácnghiệmphânbiệtcủaP(x).
Giảsửrằng|α|=1và|α−1|=1.Taviếtα=cosβ+isinβv iới β∈
3 Trườnghợpβ= Xétα 2 cũnglànghiệmcủaP(x)=0.Nhưvậy α 2 −1cũnglànghiệmcủaP(x)=0và3
Nhưv ậ y t a c ó t h ể k ế t l u ậ n rằ n gα= 0ho ặcα−1=0.S u y r aP(x) códạngP(x)=cx m (1−x) n ,v iới clàmộthằngsốnàođóvàm,nlàcác sốnguyênkhôngâm.Thayvàophươngtrìnhđãcho,tadễdàngkiểmtrađượcrằngc=1 vàm=n.
Bàitoánvềsựchiahếtcủađathức
Ta biết rằng nếu đa thứcP(x)chia hết cho đa thứcQ(x)thì mọi nghiệmcủaQ(x)đ ề ul à n g h i ệ m c ủ aP(x).T í n h c h ấ t đ ơ n g i ả n n à y l à c h ì a k h o á đểgiảinhiềubàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
L i ời gi i ải V ì x 2 +1=0⇔(x−i)(x+i)=0nênx 2 +1cónghiệmlài và−i. Đặtf(x)=(x+1) 4n+2 +(x−1) 4n+2 Tacó
Bài toán 4.2.2.([2])Chứng minh rằng với mọi số tự nhiênnlớn hơn1vàsố thựcαthỏa mãnsinα̸=0, đa thứcx n sinα−xsinnα+ sin
L i ời g i i ải Xét phươngtrìnhx 2 −2xcosα+1có∆ ′ =cos 2 α−1=i 2 sin 2 α nên có nghiệmx1= cosα+isinαvàx2= cosα−isinαlà 2 số phức liênhợp. ĐặtP(x)=x n sinα−xsinnα+sin(n−1)α,tađược
P(x1)=(cosnα+isinnα)sinα−(cosα+isinα)sinnα
=cosnαsinα−cosαsinnα+sin(n−1)α=0. Tươngtự,tacóP(x2)=0.
Bàit o á n 4 2 3 ( [ 2 ] )Tìmsố n gu yê n dươngns a och ođat hứ c(x−1) n − x n +1chiahếtchođathứcx 2 −x+1.
L i ời gi i ải C á c n g h i ệ m c ủ a đ a t hứ cx 2 −x+1l àx1
Vậygiátrịcầntìmcủanl ànhữngsốnguyêndươngchiacho6dư1 hoặcchiacho6dư5.
L i ời g i i ải Các nghiệmcủađathứcx 4 −1là±1,±i. Đặtf(x)=(x+1) 2n +(x−1) 2n −2x 2n ,tacó f(1)=f(−1)=0
L i ời gi i ải Ta ców=−
2 3 3 ĐathứcP(x)=x 2n +x n +1chiahếtchoQ(x)khivàchỉkhiP(w)=0. Điềunàytươngđươngvới cos 4n π.
Vậyvớin=3k+1hoặcn=3k+2(k∈Z)thìP(x)chiahếtchoQ(x). Trongvídụdướiđây,mộtlầnnữa,căncủađơnvịlạiđóngvaitròthenchốt.
L i ời g i i ải Đ t ặt w=e 5 thìw 5 =1và1+w+w 2 +w 3 +w 4 =0.
Cộngv ế v ớ i v ế c ủ a( 1 ),(2),(3),(4),(5)t ađ ư ợ c5P(1)= 0,t cức l àP(x) chiahếtchox−1.
Luậnvăn “S ố phức và một số ứng p h c ức và một số ứng v à m t ột số ứng s ố phức và một số ứng ức và một số ứng n g d n g ụng t r o n g t o á n s ơ c p ấp”
(1) Trình bày được một số kiến thức cần thiết về số phức như địnhnghĩa, tính chất, các phép toán trên tập số phức và các dạng biểu diễn củasốphức,
(2) Trình bày và hệ thống được một số phương pháp để giải các bàitoán cực trị số phức như: phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đại sốtrongsốphức,phươngpháphìnhhọc.
(3) Ứng dụng số phức như một cách khác để giải các bài toán sơ cấp.Cụthểnhưsau:
⋄Sửdụ ng số ph ức đ ể c hứ ng minhb ấ t đẳ ng th ức
⋄Sử dụng số phức để giải các bài toán về đa thức chẳng hạn như xácđịnhđathức,bàitoánvềsựchiahếtcủađathức.
Hy vọng rằng luận văn sẽ đem đến một số điều thú vị, bổ ích cho mộtsốgiáoviênvàcácemhọcsinhkhá,giỏiởphổthông.Họcviênsẽtiếptụctìm hiểu,nghiên cứu sâu hơn về nội dung, phương pháp giải và ứng dụngthựctếcủasốphứctrongtươnglai.
[1] Nguyễn Tài Chung, Huỳnh Thanh Luân, Trần Minh Vũ, NguyễnThànhN h â n , H u ỳ n h K i m L i n h , T r ị n h K h ắ c T u ấ n , Đ a t h ứ c,N X B ĐạihọcQuốcgiaHàNội,2019.
[2] Nguyễn Văn Dũng,Phương pháp giải toán số phức và ứng dụng, NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội,2010.
[4] NguyễnVănMậu,TrầnNamDũng,NguyễnĐăngPhất,NguyễnThủyThanh,Ch uyênđềchọnlọcsốphứcvàứngdụng,NXBGiáodục,2009.
[6] TituAndreescu, Dorin Andrica,Complex numbers from A to