0307 rút gọn hardy cho một số lớp tích phân liouville của hàm số sơ cấp luận văn tốt nghiệp

BậGIO O DệCV O TO TRìNGIHCQUYNHèN PHMTHDUHIN RểTGNHARDYCHOMậTLẻPTCH CH P H… NL I O U V I L L E COCHMSẩS èCP LUNVNTHCSTON O HC Bẳnhnh-Nôm2021 PHMTHDUHIN RểTGNHARDYCHOMậTLẻPTCH CH P H… NL I O U V I L L E COCH€MSÈS ÌC‡P CHUY–NN G € N H : PH×ÌNGP H O P T O O N S Ì C‡PM‚SÈ: 4601 13 LUNVNTHCSTON O HC Ngữớihữợngdăn:PGS.TS.THIO THUNQUANG Bẳnhnh-2021 DANHMệCCCKịHIU O R Q(x) x) :V n h vi ph¥n :T r ữ n g cĂcphƠnthựcvợihằsốhỳutR( :TrữớngcĂcphƠnthựcvợihằsốthỹc C(x) :T r ữ n g cĂcphƠnthựcvợihằsốphực(2j 1)!! =1.3.5 (2j1) (2j)!! =2.4 (2j) (3j2)!!! (3j1)!!! =1.4.7 (3j2) =2.5.8 (3j1) i Mửclửc DanhmửccĂckỵhiằu CC O H€MSÈSÌC‡PV€À N H LÞLIOUVILLE 1.1 V nhv trữớngviphƠn 1.1.1 CĂckhĂiniằmv tẵnhchĐt 1.1.2 Mrởnglogaritv mrởngmụ 1.2 nhlỵLiouville 11 1.2.1 C¡ch msèsìc§p 11 1.2.2 nhlỵLiouville 12 1.2.3 Mëtsèv½dư¡pdưng 17 RểTGNHARDYCHOLẻPTCHCHPHNLIOUVILLE 25 2.1 MởtsốkátquÊchuânb 25 2.2 RútgồnHardychotẵchphƠnLiouville 26 2.2.1 MởtsốkátquÊvÃrútgồnHardy 26 2.2.2 C¡ch»qu£ 32 2.2.3 C¡cv½dư 33 MËTSÈPO DÖNG 38 3.1 Mëtsè dÔngtẵch phƠn Liouville c b i ằ t 38 3.2 CĂctẵchphƠnKiuLiouville 42 T ili»uthamkh£o 46 MІ U Viằc kát luên mởt tẵch phƠn cừa mởt h m c§p câ cán l mët h m sè sỡ cĐp haykhổngl mởtcƠuhọiquantrồngÂữủcnghiảncựutứthớiNewtonv Le ibniz.PhƯnlợndỹatrảncĂccổngtrẳnhcừaLiouville[10],Risch[13],v Rosentlicht[14],rĐtnhiÃutiá n bởÂÔt ữủc và vĐnà n y suốt hai thá k[1, 2, 3, 4, 7, 9, 16, 17] Tuynhi¶n,c â m ë t s ố l ợ p t ẵ c h p hƠ n r Đ t ữủchồ c s i n h , s i n h v i ¶ n q u a n tƠ m t ẵ n h t o Ă n n h ữ ng vănchữacõcƠutrÊlớiho nto nƯ y chocƠuhọin y Mởtvẵdửtrongsốn yl lợpcĂctẵchphƠncõdÔng xreaxsdx, vợir , sl cĂcsốnguyản.LợptẵchphƠnn ychẵnhxĂcl ố i tữủngnghiảncựutron gmởttrữớnghủpcbiằtsauƠycừamởt n h lỵLiouville[10,11,13,14] nhlỵ(TiảuchuânLiouvilleố i vợitẵchphƠn,1835) Chof,gl cĂch msố hỳutv ợ i gk h ¡ c h¬ngsè.Khiâ ∫f(x)eg(x)dx ∫ l mëth msốsỡcĐpnáuv chnáutỗntÔimởth msốhỳutRsaocho R(x)eg(x),hocmởtcĂchtữỡngữỡng f(x)eg(x) dx= f(x)=R(x)gJ(x)+RJ(x) Tiảuchuânn ythữớngữủcsỷdửngchohồcsinhtẵnhtoĂnv nhênbiátrơngmởtsốlợp nhĐt n h tẵch phƠncời n chng hÔnnhữ erf(x)=√ π x e−u du, Li(x)= ∫ x d , u lnu Si(x)= ∫ xsin u u , khổngth ữ ủ c biuthdữợi dÔng cĂc h m sỡcĐp Tuynhiản, bĐ tchĐpvaitrỏ th i tyáu cừa nõ viằc xĂcnhc tẵnhkhổng sỡ cĐpcừa cĂc tẵch phƠn quan trồngtrongcĂcựngdửng,mựcở liảnquancừakátquÊn ytrongcĂctẳnhhuốngcửth ữủcgiợihÔntrongmởtv ilợpconcừalợptẵchphƠnLiouville[11,12,15] Chừà cừa Luên vôn liản quanán cƠu trÊ lới cho cƠu họi nảu trảnối vợi lợp tẵchphƠn Liouville.õ l lợp cĂc tẵch phƠn cừa h m số cõ d Ô n g f (x)eg(x)dxt r o n g â f, gl cĂch msốhỳut, gkhổng l h mhơng MửctiảucừaLuênvônl têptrunggiÊiquyátcĂcb itoĂnsau: Dỹav otiảuchuânLiouvillenghiảncựuữ a ramởtthuêttoĂnrútgồnHardy phƠntẵchh mdữợidĐutẵchphƠnth nhhaith nhphƯncỡbÊncỹcÔiv cỹc tiu cho phƠn tẵch n y cõ th Ăp ựng Ưy lỵthuyát rút gồn cừaHardyxĂcnhliằucĂctẵchphƠnõcõphÊil h msỡcĐphaykhổng NghiảncựumởtsốĂpdửngcừathuêttoĂn Ngo i phƯn M Ưu, Kát luên, T iliằu tham khÊo, Luên vôn ữủc chia th nh bachữỡng Chữỡng d nh cho viằc tẳm hiu n h l ỵ L i o u v i l l e t ê n g q u ¡ t t r ¶ n m ë t t r ÷ í n g v i phƠnv mởtsốhằquÊcbiằtcừanõốivợih msốsỡcĐp Trong Chữỡng chúng tổi têp trung nghiản cựuữa mởt thuêt toĂn phƠntẵchh mdữợidĐutẵchphƠnth nhhaith nhphƯncỡbÊncỹcÔiv cỹctiusaocho phƠn tẵch n y cõ thĂ p ự n g Ư y l ỵ t h u y ¸ t r ó t g å n c õ a H a r d y º x Ă c n h l i ằ u cĂctẵchphƠnõcõphÊil h msỡcĐphaykhổng,v ÂkhngnhthẳliằucõthtẵnhtoĂnữ ủ c giĂtrchẵnhxĂchaykhổng Chữỡng nghiản cùu mët sè ¡p dưng cõa thuªt to¡n rót gån Hardy cho lợp tẵchphƠnLiouvillecĂch msỡcĐp Luên vônữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa thƯy PGS TS ThĂiThuƯnQuang,KhoaToĂnv Thốngkả,TrữớngÔihồcQuyNhỡn.NhƠndpn ytổixinb yt ọsỹkẵnhtrồngv lỏngbiátỡnsƠuscánThƯyÂgiúpùtổitrongsuốtquĂtrẳnhhồctêpv thỹ chiằnluênvôn TổicụngxingỷilớicÊmỡnánBangiĂmhiằuTrữớngÔ i hồcQuyNhỡn,Phỏng o tÔo SauÔi hồc, Khoa ToĂn, quỵ thƯy cổ giĂo giÊng dÔy lợp cao hồc PhữỡngphĂp ToĂn sỡ cĐp khõa 22 d y cổng giÊng dÔy suốt khõa hồc, tÔoiÃu kiằnthuênlủichotổitrongquĂtrẳnhhồctêpv thỹchiằnÃt i NhƠnƠytổicụngxinchƠnth nhcÊmỡnsỹhộtrủvÃmttinhthƯncừagia ẳnh,bÔnbÂluổntÔomồiiÃukiằngiúpùtổiho nth nhtốtkhõahồcv luênvônn y Mcdũluênvônữ ủ c thỹchiằnvợisỹnộlỹccốgnghátsựccừabÊnthƠn,nhữngdoiÃukiằnthớigiancõhÔn,trẳnhởkiánthựcv kinhnghiằmn ghiảncựucỏnhÔnchánảnluênvônkhõtrĂnhkhọinhỳngthiáusõt.TổirĐtmongnhênữủ cnhỳnggõpỵcừaquỵthƯycổgiĂoluênvônữ ủ c ho nthiằnhỡn TổixinchƠnth nhcÊmỡn Chữỡng1 CĂch msốsỡcĐpv nhlỵLiouvile TrongChữỡngn y,chúngtổitrẳnhb yhaivĐnÃ:V nhviphƠnv nhlỵLiou-ville PhƯn tiáp theo cừa Chữỡng, chúng tổi nghiản cựu mởt số Ăp dửng cừanh lỵLiouvillechotẵnhsỡcĐpcừamởtsốtẵchphƠn 1.1 V nhv trữớngviphƠn 1.1.1 CĂckhĂiniằmv tẵnhchĐt nhnghắa1.1.1([5]).ChoR l mởtv nhgiaohoĂncõỡnv TagồiĂnhxÔ :RRữ ủ c gồil ĂnhxÔÔ o h mnáu (a+b)=(a)+(b) ,a , b (ab)=(a)b+a(b)  ∈ R Mët v nh÷ đ c t r a n g b m t Ô o h m c ö t h º g å i l v nh vi phƠn. thuên tiằn, n g ữ i ta thữớng viát(a) =a MiÃn nguyảnRữ ủ c g å i l m ë t mi·n nguy¶n vi phƠnnáuRl v nh viphƠn TrữớngRữủcgồi l mởttrữớngvi phƠnnáu Rl v nh viph¥n J M»nh· 1.1.2([5]).ChoRl mët v nh vi ph¥n Khiâ1)1 ' = 2) ∂(n1)=0 vỵimåin∈Z 3) ∂(na)=n∂(a)v î i måi a∈R,n∈Z Chùngminh.1 ) Tacâ = (1·1) = ·1+1·1 n ¶ n = +1 Doâ = J J J J J J J J 2)Tacõ(n1)=n(1)=n0=0 3)Tachựngminhtữỡngtỹnhữtrong2)bơngphữỡngphĂpquynÔptheo n Mằnhà 1.1.3([5]).ChoRl mởtv nhviphƠn.Khiõ , vợimồiaRthẳ (an) = J nan1 aJ Chựngmi nh T a chựngminhmằnhà bơngphữỡngphĂp quynÔp Vợin=2thẳ(a2) =(aa) =a a+aa =2aa GiÊsỷmằnhÃú n g vợin=k,tacõ(ak) =kak1a TacƯnchựngminhmằnhà ú n g v ợ i n=k+1.Thêt vêy, J J J J J J J (ak+1)J =( aka)J =(ak)Ja+akaJ =k a k1aJa+akaJ =ka kaJ+akaJ =(k+1)akaJ Vêymằnhà ú n g vợin=k+1 Mằnhà 1.1.4 ([5]) Cho R l mởttrữớngviphƠn.Khiõ , vợimồi aR\{0}thẳ (a1)J=a2aJ Chựngminh V ẳ 0=1 =(aa1) =a a1+a(a1) n ả n a(a−1) =−a a−1.Doâ ( J J J J J J a1)J=a2aJ Mằnhà 1.1.5([5]).ChoRl mởttrữớngviphƠn.Khiõ , vợimồiaRv bR\{0}thẳ J a babJ ∂b = a b Chùngminh T a câ (ab−1) =a b−1+a(b−1) =2a b−1+a(−b−2b )= ( a b−ab )(b−2) J J J J J J J iÃun ychothĐyrơngnáu QR,mộiphƯntỷcừa Ql mởthơngsố Chúỵ.Náu Rl mởtmiÃnnguyảnviphƠnthẳtrữớngcĂcthữỡng Fs i n h bi Rv ợ i phptoĂnÔ oh ml mởttrữớngviphƠn Vẵdử1.1.6 Mồiv nhgiaohoĂn R c õ ỡ n v vợ i phptoĂnÔ o h mtƯmthữớng d(a)=0, aR, l mởtv nhviphƠn Vẵd C h o P (x)l v n h c ¡ c at h ù c c â h » s è t h ü c v ỵ i p h ² p t o Ă n Ô o h m thổ ngthữớng.Khiõ P(x)l mởtv nhviphƠn Hỡnnỳa,trữớngcĂcthữỡngcừa P (x)l trữớng R(x)c Ă c phƠnthựccõhằsốthỹc Chonản R(x)l mởttrữớngviphƠnvợiphptoĂnÔoh mthổngthữớng Vẵdử1.1.8.V nhcĂch mthỹckhÊvivổhÔn,v nhcĂch mchnhhẳnhtrảnmtphngphựcv ợiphptoĂnÔoh mthổngthữớngl cĂcv nhviphƠn nhnghắa1.1.9([5]).S ữủcgồimởtv nhconviphƠncừav nhviphƠn Rnáu S l v nhconcừaRv õngkẵnvợiphptoĂnÔoh m Nhữvêy,SRl v nhconviphƠnnáu1S ,a,bSthẳ abSv aSthẳ a ∈S Mët c¡ch t÷ìng tü, idealIc õ a v nh vi phƠnRữ ủ c gồi l ideal vi phƠnnáuIõ n g kẵnvợiphptoĂnÔoh m J nhnghắa1.1.10 ([5]) C h o R , Sl cĂcv nh viphƠ n O nh xÔ : R S ữ ủ c gồil mở tỗ n g cĐuviphƠnnáu (a+b) =(a)+(b) (ab) (1) =1 (aJ ) =(a)(b) MằnhÃ1.1.11([5]).ChoR,Sl=((a)) cĂcv nhviphƠnv :RSl mởtỗ n g c§uv nh.Khi â J } x 1) kerϕ= R:(x)=0 l ideal cừaR, 2) nh O xÔf: R/ kerf Imfl mởtngcĐuviphƠn