1141 một số vấn đề về hàm đơn điệu và hàm lồi ma trận luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌCQU YNHƠN —————————————– CAOTHỊÁILOAN MỘTSỐVẤNĐỀVỀHÀMĐƠNĐIỆUVÀHÀ ML ỒIM A T R Ậ N LUẬNV Ă N T H Ạ C S Ĩ Đ Ạ I S Ố V À L Ý T H U Y Ế T S Ố BìnhĐ ị n h - N ă m 2 CAOTHỊÁILOAN MỘTSỐVẤNĐỀVỀHÀMĐƠNĐIỆUVÀHÀ ML ỒIM A T R Ậ N Ngành: ĐẠISỐVÀLÝTHUYẾTSỐ Mãsố: 8460104 Ngườihướngdẫn: PGS.TS.L Ê CƠNGTRÌNH Lờic ả m n Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy LêCơng Trình nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt thời giantơithựchiệnluậnvăn.Đồngthời,tơicũngxinchânthànhgửilờicảmơnsâusắcđếntấtcảcácthầycơtrongKhoa TốnvàThốngkê,khoaSưphạm, phịng Đào tạo sau đại học, nhà trường, gia đình bạn bè tạomọiđiềukiệnthuậnlợigiúptơihồnthànhluậnvănnày BìnhĐịnh,ngày tháng năm2022 Họcviên CaoT h ị Á i L o a n i Mụcl ụ c Mởđ ầ u iii Kiếnt h f íc c h u ẩ n b ị 1.1 Giátrịriêngvàphổcủamatrận 1.2 Vếtvàđịnhthứccủamatrận 1.3 Matrậndương 1.4 PhântíchSchmidtvàphântíchphổ Hàmđ n đ i ệ u m a t r ậ n v h m l i m a t r ậ n 2.1 Hàmđơnđiệumatrận 2.1.1 Địnhnghĩavàvídụvềhàmđơnđiệumatrận 2.1.2 Tiêuchuẩnđạohàmchotínhđơnđiệumatrận 2.2 Hàmlồimatrận T ậ p lồivàhàmlồi 2.2.2 Hàmlồimatrận 2.3 Biểudiễntíchphâncủahàmđơnđiệumatrậnvàhàmlồi matrậ n 2.3.1 HàmPick 2.3.2 nhlýLoăwner 2.3.3 Biudintớchphõncahmniumatrnv hmlimatrn 2.4 Mộtsốápdụng 1 5 9 15 19 19 22 28 31 Kếtluận 34 Tàili ệ u t h am k h ảo 34 ii Mởđ ầ u Cho(a, b)⊆R khoảng mở Một hàm sốt khoảng mở Một hàm sống mở Một hàm số Một khoảng mở Một hàm sốt hàm sốf: ( a, b)− → R đ ợc c gọi đơn điệu ma trận vuông cấpn n ế u f(A)≤ f (B)v i mọiA,Bl cácmatrậnvuôngHermitcấp n ,A B c ó cácgiátrịriêng nằm trong(a, b)thỏa mãnA≤B Ở đây,A≤Bcó nghĩa làB−Alàmộtmatrậnnửaxácđịnhdương Nếu hàm số đơn điệu ma trận vuông cấp thìnóđượcgọilàmộth m đơnđiệumatrậnh a y h m đơnđiệutốntử Hàmsố f: (a,b)−→ Rđượcgọilàh m l i m a t r ậ n n ế u f(tA+(1−t)B)≤tf(A)+(1−t)f(B) vớiA, Blà ma trận vng Hermit cấp có giá trị riêng thuộckhoảng(a,b)vàvớimọi 0≤t≤1 Nếu−flàhàmlồi matrận,thìfđược gọilàhàmlõmmatrận Ở đây, vớiA∈Mn(C)là ma trận vuông phức cấp nHermit vớicácg i t r ị r i ê n g t h u ộ c k h o ả n g ( a,b)⊆ R v f : ( a,b)→ R l m ộ t h m số,matrận f(A)đượcc địnhnghĩathơngquasựphânt íchphổhoặcphép Σk chéohóacủa A ,tức là, A= αP phântíchphổcủa A i=1 i il ∗l A=U Di ag (α1, ,αk)U p h é p c h é o h ó a c ủ a A ,t h ì f(A)= k Σ f(αi)Pi= UDiag(f(α1), ,f(αk))U∗ i=1 Lý thuyết hàm đơn điệu ma trận khởi xng bi KarelLoăwner([6],1934),khụnglõusauú,FritzKraus([5],1936)óphỏttrin lý thuyt cỏc hm li ma trn Sau phát triển mộtsố nhà nghiên cứu (chẳng hạn, Bendat Sherman([1],1955), Korányi([4],1956)),HansenvàPedersen([2],1982)đãthiếtlậpcácphươngphápng hiêncứuhiệnđạiđốivớicáchàmlồivàđơnđiệumatrận iii iv MtcimỏngchỳýcalýthuytLoăwnerlchỳngtacúctrng khỏc cỏc hm n iu ma trn v hàm lồi ma trận từ cácquan điểm khác Các biểu diễn tích phân hàm đơn điệu matrậnvàhàmlồimatrậnlàđóngvaitrịquantrọngcảvềmặt lýthuyế tvàứngdụng TrongGiảitíchthực,tínhđơnđiệuvàtínhlồikhơngliênquantrựctiếpvớinhau, nhưngtrongGiảitíchmatrậnthìtìnhhuốngrấtkhác.Chẳng hạn, hàm đơn điệu ma trận trên(0,+∞)là lõm ma trận Cáchàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận có nhiều ứng dụng quan trọng,nhưng hàm cụ thể, việc xác định tính đơn điệu ma trận hoặctínhlồimatrậncủanólàkhơngdễdàng Chính thế, việc nghiên cứu đặc trưng ví dụ hàmđơn điệu hàm lồi ma trận cần thiết có ý nghĩa Mục đích củaluận văn nhằm tìm hiểu số đặc trưng, tính chất ví dụ hàmđơnđiệuvàlồimatrận Ngồi mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luậnvănđượctrìnhbàytronghaichương Chương1.Kiếnthfícchuẩnbị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức đượcsửdụngtrongcácchươngsaucủaluậnvăn,gồm:hàmđơnđiệu,hàmlồi;mộts ốkiếnthứccơbảnvềmatrận,trongđócósựphântíchphổvàphépchéohóamatrận, vàmộtsốkếtquảkhácliênquan Chương2 H àm đ n đ i ệ u m a t r ận v h m lồ i m at rậ n Trong chương chúng tơi trình bày số định lý bất đẳngthức liên quan đến hàm đơn điệu hàm lồi ma trận Đồng thời, chúngtơicũngtrìnhbàymộtsốvídụápdụng Mặc dù tác giả cố gắng tổng hợp tài liệu trình bày nội dungliên quan đến hàm đơn điệu hàm lồi ma trận cách tốt nhất, nhưngdođiềukiệnvềmặtthờigianvàkiếnthứccóhạnnênluậnvănkh ơngthểtránhkhỏi thiếusót Rất mongnhậnđược sựgóp ýtừq thầy vàcácbạnhọcviênđểluậnvănđượchồnthiệnhơn Chương1 Kiếnt hfí c ch uẩ n bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức matrận, chuẩn bị cho chương sau luận văn Các khái niệm kết quảtrong chương tham khảo sách Hiai Petz([3]) 1.1 Giát r ị r i ê n g v p h ổ c ủ a m a t r ậ n Ký hiệu Mnlà tập hợp ma trận vuông phức cấp n ChoA∈Mnvàλ∈C Ta nói rằngλlàmột giá trị riêngcủaAnếu tồn mộtvectơv∈Cnkhác khơng choAv=λv.Vectơvđược gọi làvectơriêngcủa Atươngứngvớigiátrịriêngλ.Kýhiệuσ(A)làtậptấtcảcácgiát rịriêngcủa A Dođó, σ(A)={λ∈C |det(A−λII)=0} 1.2 Vếtv đ ị n h t h f í c c ủ a m a t r ậ n Với ma trận(Aij)n×n∈Mn,vếtcủaAđược định tổngcủacácphầntửtrênđườngchéochínhcủa A,tứclà TrA=A11+A22+ +Ann Giảs σ (A)={λ1,λ2, ,λn}.K h i đ ó n n Σλ TrA= i, i=1 det(A)= Yλ i=1 i nghĩa Địnhlý1.2.1.ĐịnhthứccủamatrậndươngA∈Mnkhơngvượtqtíchcủađ ườngchéochính detA≤ n Y Aii i=1 1.3 Mat r ậ n d n g mỗiA= (Aij∈ )n×nM ,ký hiệuAtlà ma trậnchuyểnvịcủaA,kýhiệuA∗ matrậnchuyểnvịliênhợpcủaA,tứclàliênhợp phứccủamatrận A t MatrậnA∈M nđượcgọilàHermit(h ay tựliênhợp)nếu A=A∗ Matrận U∈ M nđượcgọilàu n i t a n ế u Định nghĩa 1.3.1.Với = U∗U= UU ∗ I Định nghĩa 1.3.2.Ma trậnA∈Mnđược gọi làdương(haynửa xácđịnhdương)nếu x ∗Ax≥0,∀ x∈C n,kýhiệu A≥0 Chúýrằng A≥0 A làHermit.Hơnnữa,nếu A 1≥0,A2≥0 A1+ A2≥ V i h a i m a t r ậ n A , B∈ M n,t a v i ế t A ≥ B c ó n g h ĩ a l A−B≥0 Địnhlý1.3.3.ChoA∈Mn Khi điều kiện sau tươngđương (1) Alàmatrậndương, (2) A=A ∗ phổcủa A nằmtrongR += [0,∞), (3) Ađượcviếtdướidạng A=B∗ B, với B∈ M n Chúý r ằ n g A ∈ Mnl d n g n ế u v c h ỉ n ế u UAU ∗d ơng n g v i U mat rậnunita Địnhlý1.3.4.ChoAlà ma trận dương Khi tồn nhấtmộtmatrậndương B saocho B 2=A TậptấtcảcácmatrậnHermitcấp nđược kýhiệubởiM sa n Địnhlý1.3.5.ChoAvàBlàcác matrậnvngdương cấpn Khiđó Cij= AijBij( ≤i,j≤n) xácđịnhmộtmatrậndương Ma trậnCgồm hệ tửCijcủa định lý gọi làtíchHadamard( hoặct í c h S c h u r )củamatrận A v B ,kíhiệu C = A◦ B Matrậndươngkhảnghịchđượcgọilàmatrậnxácđịnhdương.Nếu Alà mộtmatrậnxácđịnhdương,takýhiệuA>0 1.4 PhântíchSchmidtvàphântíchphổ ChoA∈Mnlà ma trận Hermit Khi đó, vớiσ(A) ={λ1, , λn},tồn vectơ riêngv1, , vntạo thành sở trực chuẩn Cn,vớiAv i=λIivi,∀ i.Khiđótacóphântích A= n Σ λivivi∗ (1.1) i=1 Phântíchnàyđượcgọilàphânt í c h S c h m i d t c ủ a A PhântíchSchmidt làduynhấtnếutấtcảcácgiátrịriênglàphânbiệt Một phân tích khác ma trận làphân tích phổ Giả sử ma trậnHermitA cócácgiátrịriêng µ1> µ2> > µk.Khiđó A= k Σ µjPj, (1.2) j=1 trongđó P jl phépchiếutrựcgiaolênkhơnggianriêngtươngứngvớicác giátrịriêng µ j.Từ phântíchSchmidt(1.1),tacó Σ vivi∗, Pj= i trongđótổngđượclấytrêntấtcảcácchỉsố isao cho λ i= µ j Phântíchnàylnlàduynhất Chof:(a,b)⊂ R → R làmộthàmsố, A ∈ M nlàmộtmatrậncó Σk giát r ị r i ê n g t h u ộ c ( a,b).N ế u A c ó p h â n t í c h p h ổ A = j=1 µjPj,với µ1, ,µklàc c g i t r ị r i ê n g k h c n h a u c ủ a A , t h ì m a t r ậ n f (A)đ ợc c địnhnghĩabởi f(A):= k Σ j=1 f(µj)Pj