1139 một số vấn đề về hàm số học luận văn tốt nghiệp

B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯÍNGĐ Ạ I H O C Q U Y N H Ơ N NGUYENKIE U OA N H MËTSOVANĐEVE HÀMSOHOC LUŠNVĂNTHẠCSĨTỐNHOC BìnhĐịnh-Năm2022 NGUYENKIE U OA N H MËTSOVANĐEVE HÀMSOHOC Chunngành : ĐạisovàlíthuyetsoMãso : 8460104 Ngưíihưỵngdȁn:T S TRANĐÌNHLƯƠNG Mnclnc Danhmnccỏckýhiằu ii Mau 1 HmsohocvtớchchêpDirichlet 1.1 Mđtsokienthỏcchunb 1.2 TíchchªpDirichlet 1.3 Hàmnhân 10 1.4 CụngthỏcnghchoMăobius 15 1.5 Hàmnhânhoàntoàn 17 1.6 Đatháctrênvànhcáchàmsohoc 22 Mët sohà m s o h o c c b ả n 25 2.1 Hàmτ,hàmσ 25 2.2 HàmEuler 29 2.3 HàmLiouvilleλ,hàmMangoldtΛ 34 2.4 SomũcủasonguyêntovàcôngthácLegendre 2.5 Ướclượngcáchàmsohoc 37 40 Ketluªn 44 Danhmnctàili»uthamkhảo 45 DANHMỤCCÁCKÝHI›U A tªphợptatcảcáchàmsohoc C tªphợpcácsophác Z tªphợpcácsonguyên N tªphợpcácsotựnhiên f˚ g tíchchªpDirichletcủafvàg τpnq hàmđ e m s o c c c k há c n h a u c m ® ts o n g u y ê n dư n g n σpnq hàmtínhtőngcácướccủam®tsongun dươngn pnq hmE u l e r àpnq hmMăobiuspnq hmLiouvillepnq hmMangoldt vppnq som ũ c ủ a s o n g u y ê n t o p t r o n g p h â n t í c h c h í n h t a c c ủ a n eppnq som ũ c ủ a s o n g u y ê n t o p t r o n g p h â n t í c h c h í n h t a c c ủ a n ! Mðđau Các hàm so hoc nhà toán hoc quan tâm nghiên cáu hơn400nămqua.Cáchàmsohockhơngchỉđóngm®tvaitrịquantrongtronglý thuyet so, chúng cịn có nhieu dụng lĩnh vực khác củatốnhocnhư:tőhợp,lýthuyetxácsuat,lýthuyetmªtmã, Mục ớch ca luên ny l hằ thong mđt so van đe liên quan đen cáctính chat chung hàm so hoc tªp trung vào vi»c khảo sát mđt sohmsohoccbiằt.Luênvntrỡnhbymđtsovaneliờnquanenvnhc ỏchmsohocoivitớchchêpDirichletnhphộpbieniMăobius,cỏccụngthỏcl i n h ằ , b i e u d i e n c c h m s o h o c L u ª n v ă n c ũ n g t r ì n h b y t í n h c h a t mđtso hmsohoccbnnh:hmemsocỏcc,tngcỏcc,hmEuler,hmMăobius,hmL iouville,hmMangoldt, ,vmoiliờnhằgiachỳng LuênvnMởtsovanevehmsohocb a o gom:Mau,Nđidung, KetluênvTiliằuthamkho.Nđidungcaluênvngomhaichng Chng1:HmsohocvtớchchêpDirichlet Trong chng ny chỳng tơi trình bày m®t so van đe liên quan đen vànhcác hàm so hoc đoi với tích chªp Dirichlet: hàm nhõn, cụng thỏc nghch oMăobius,hmn hõnh ontonvathỏctrờnvnhc ỏ c hms o hoc.C húngtơi trình bày m®t so kien thác chuȁn bị ve so hoc dùng luªnvăn Chương2 : M ë t s o h m s o h o c c b ả n Trongchươngnàychúngtơikhảosátcáctínhchatcủam®tsohàmsohoccơbảnnhư: hmemsocỏcc,tngcỏcc,hmEuler,hmMăobius,hmLiouville,hmMa ngoldt,cụngthỏcLegendre, vmoiliờnhằgiachỳng Luên c hon thnh nh s hướng dan giúp tªn tình củaTS.TranĐìnhLương,TrườngĐạihocQuyNhơn.Nhândịpnàychúngtơixinbàytỏ kính lòng biet ơn sâu sac đen thay Chúng tụi cngxingilicmnenquýBanlónhoTrngihocQuyNhn,Phũngotosau ihoc,KhoaToỏnvThongkờcựngquýthaycụgiỏogingdycỏclpCaohocToỏn khúa23ótomoiieukiằnthuênlichochỳngtụitrongquỏtrỡnhhoctêpvthchiằnet i.Nhõnõychỳngtụicngxinchõnthnhcmngiaỡnh,bnbốóluụnđngviờnetụi honthnhtotluênvnny Mc dự luên thực hi»n với no lực co gang thânnhưng đieu ki»n thời gian có hạn, trình đ® kien thác kinh nghi»m nghiêncáu cịn hạn che nên luªn văn khó tránh khỏi nhǎng thieu sót Chúng tơi ratmong nhªn nhǎng góp ý q thay đe luªn văn hồn thi»nhơn QuyNhơn,ngày29tháng07năm2022 Hocviênthfichi»nđetài NguyenKieuOanh Chương1 Hàmsohoc vàtíchchªp Diric hlet Trong chương chúng tơi trình bày m®t so van đe liên quan đen vànhcác hàm so hoc đoi với tích chªp Dirichlet: hàm nhõn, cụng thỏc nghch oMăobius,hmn hõnh ontonvathỏctrờnvnhc ỏ c hms o hoc.C húngtơi trình bày m®t so kien thác chuȁn bị ve so hoc dùng luªnvăn.Cácketquảtrongchươngnàyđượcthamkhảotàcáctàili»u[1],[2],[4],[5],[6], [7] 1.1 Mëtsokienthfícchuanbị Cho hai so nguyêna, bPZ, b‰0 So nguyênađược goi làchia het cho songunbneutontạicPZsaochoa“bc.Thaychovi»cnóiachiahetchob taviet a ,ho°cnóibchiahetavàvietb |a.Neuachiahetchobthìtagoia b làm®tb®icủabhayblàm®tướccủaa Sauđâylàm®tsotínhchatcơbảncủaquanh»chiahet (i) 1|avớimoia PZ (ii) a| avớimoia P Z,a‰ (iii) Neua | bvàb | cthìa | cvớimoi a, b,cP Z,a,b‰ (iv) Neua | bthì | a|ď|b|vớimoia,bP Z,a,b‰ n ÿ (v) Neua |biv i a i,biP Z,i“1, n,thìa | bixivớix iPZ i“1 Địnhlý 1.1.1(Định lý phép chia có dư).Với mőic¾pso nguna, bPZ, b ‰0,l u ô n t o n t i d u y n h a t m đ t c ắ p s o n g u y ê n q , rP Zs a o c h o a “ qb `rv i 0ďră|b| Choc c s o n g u y ê n a 1,a2, ,anP Zk h ô n g đ o n g t h i b a n g (i) Songuyêndđượcgoilàm®tướcchungcủacáca ineud |aivớimoi i“1,2, ,n (ii) So nguyêndđược goi m®t ước chung lớn nhat cácaineudlàm®tướcchungcủacácaivàdchiahetchomoiướcchungcủachúng.Tadùngkí hi»upa1 ,a2 , ,an qđechỉướcchunglớnnhatdươngcủaa ,a2 , ,an Chocá c s o nguyê n a 1, ,anP Zzt0u (i) Songuyênmđượcgoilàm®tb®ichungcủacácaineumchiahetchotatcảcáca i vớimoii “1,2, ,n (ii) So nguyênm‰0 goi m®t b®i chung nhỏ nhat cácaineumlàb®ichungcủacácaivàmchiahetmoib®ichungkháccủacácai.Tadùngkí h i » u r a1,a2, ,ansđec h ỉ b ® i c h u n g n h ỏ n h a t d n g c ủ a a 1,a2, ,an M®t so tự nhiênpą1 khơng có ước so dương khác ngồi chínhnó goi làso ngun to So tự nhiênpą1 có ước so dương khác vàchínhnóđượcgoilàhợpso Địnhlý1.1.2(Định lý so hoc).Moi so tự nhiên lớn hơn1đeuphân tích thành m®t tích hũu hạn thùa so ngun to phân tíchnàylàduynhatneukhơngkeđenthútựcủacácnhântủ Khip h â n t í c h s o t ự n h i ê n n ą t h n h t í c h c c t h a s o n g u y ê n t o , c ó the m®t so nguyên to xuat hi»n nhieu lan Neu so nguyên top1, p2, , prxuathi»ntheothátựα 1,α2, ,αrl a n , thỡtaviet n p1p22ă ăăpr. Tag o i p h â n t í c h n y l p h â n t í c h c h í n h t a c c ủ a n t h n h t í c h c c t h a s o ngunto 1.2 Tíchc h ª p D i r i c h l e t Trongmcny,chỳngtụitrỡnhbyvehmsohoc,tớchchêpDirichletv vnhsoh ocoivitớchchêpDirichlet nhngha1.2.1.Hmsohoclmđtỏnhxttêpcỏcsonguyờndngentêpcỏ csophác Sauđâylàm®tso ví dụvehàmso hoc Vídn1.2.2 (i) Hàmτđ e m socácước khác nhaucủam®t songuyêndương n τpnq“ ÿ d|n (ii) Hàmσtínhtőngcácướccủam®tsongundươngn σpnq“ ÿ d d|n (iii) Hàmhanguđượcxácđịnhbởicơngthác upnq“1 vớimoisongundươngn (iv) HàmđơnvịIđ ợ c xácđịnhbởicôngthác ’1 neu n“ 1, I pnq“$& ’ neu ną1 % (v) HàmđongnhatNđ ợ c xácđịnhbởicơngthác Npnq“n vớimoisongundươngn Kíhi»uAlàtªphợptatcảcáchàms o h o c V i f , gP A, t ő n g c ủ a h a i hàmsohocfv àg,kíhi»ulàf `g,đượcđịnhnghĩanhưsau pf` g qpnq“fpnq`g pnq vớimoisongundươngn.Tíchthơngthườngcủahaihàmsohocfvàg,kíhi»ulàfg,đượ cđịnhnghĩanhưsau pf g qpnq“fpnqg pnq vớimoisongundươngn Địnhnghĩa1.2.3.Chohaihàmsohocfvàg.TíchchªpDirichletcủaf vàg ,k í h i » u l f ˚ g,đ ợ c đ ị n h n g h ĩ a n h s a u ÿf n˙ pf˚ g qpnq“ pdqgˆ d|n d vimoisonguyờndngn SauõylmđtsotrnghpcbiằtcatớchchêpDirichlet Vớdn1.2.4 (i) Viflmđthmsohocbatkỡ pf uqpnq f d| n n˙ ÿf pdquˆ “ pd q d d| n